UM MODELO SEMI-EMPÍRICO PARA DETERMINAÇÃO DA FLECHA EM VIGAS DE AÇO COM ABERTURAS NA ALMA

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1 UM MODELO SEMI-EMPÍRICO PARA DETERMINAÇÃO DA FLECHA EM VIGAS DE AÇO COM ABERTURAS NA ALMA José Carlos Lopes Ribeiro Gustavo de Souza Veríssimo José Luiz Rangel Paes Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Viçosa Av. P. H. Rols, s/n, Campus da UFV, , Viçosa/MG Brasil Ricardo Hallal Fakury Departamento de Engenharia de Estruturas, Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos, 667 Bloco 1, 4º. Andar, Pampulha, , Belo Horizonte/MG Brasil Resumo. Neste trabalho apresenta-se o desenvolvimento de um modelo semi-empírico para determinação do deslocamento vertical (lecha) em vigas de aço com aberturas na alma. A presença de aberturas na alma de vigas de aço causa redução na rigidez da viga e consequente aumento no valor da lecha. No projeto de um sistema de piso, a determinação da lecha de uma viga com aberturas é complexa e envolve o uso de modelos numéricos avançados via Método dos Elementos Finitos. Este trabalho propõe um modelo semi-empírico ajustado por regressão a partir de resultados de simulações numéricas via MEF. As análises numéricas oram realizadas com o programa Abaqus, simulando-se diversas vigas com aberturas na alma e considerando dierentes relações entre os parâmetros geométricos que inluenciam na lecha. A expressão para cálculo da lecha, obtida por ajustamento estatístico, mostrou-se precisa em relação aos resultados numéricos e de ácil utilização prática. Ao inal do trabalho, é apresentado um exemplo de cálculo da lecha de uma viga de aço com aberturas na alma, evidenciando a aplicabilidade do modelo semi-empírico proposto. Palavras-chaves: lecha, aberturas na alma, vigas de aço, MEF, modelo semi-empírico.

2 Um modelo semi-empírico para determinação da lecha em vigas de aço com aberturas na alma 1 INTRODUÇÃO Nas estruturas metálicas dos sistemas de piso de ediícios, tem se tornado cada vez mais comum azer aberturas na alma dos peris I para possibilitar a passagem de dutos das instalações da ediicação. Dessa orma, as instalações são integradas com a estrutura, reduzindo-se o espaço vertical necessário por pavimento e a altura total do ediício. A motivação para isso pode ser econômica ou legal. No primeiro caso, o objetivo é a redução do volume da ediicação, com consequente redução do consumo de materiais nas paredes, de revestimentos, de área de pintura, etc., resultando em menores custos de execução, de operação e de manutenção. No segundo, o objetivo é atender à legislação, que, eventualmente, limita a altura da ediicação, viabilizando-se certos arranjos arquitetônicos e até a criação de novos pavimentos sem contrariar o gabarito de construção do município. Em ambos os casos, a solução propicia um melhor aproveitamento do espaço. Na Figura 1 são apresentados os elementos geométricos típicos de uma abertura na alma de um peril I de aço e suas designações. As aberturas podem ser concêntricas ou excêntricas em relação à semialtura da seção transversal da viga. hts b s t s D o e o h o h d t w a o h ti b i t i Figura 1. Elementos de uma abertura na alma de um peril I. A presença de aberturas na alma de uma viga de aço pode modiicar seus modos de colapso, bem como reduzir sua capacidade resistente e sua rigidez, e demandar sistemas especiais de reorço (Veríssimo et al., 006). Grande parte da pesquisa teórico-experimental sobre as vigas com aberturas na alma oi realizada nos Estados Unidos, tendo sido compilada e publicada por Darwin e Lucas (1990), cujo trabalho, posteriormente, deu origem ao Design Guide No. do American Institute o Steel Construction (Darwin, 1990). Embora essas publicações proponham ormulações interessantes para a determinação da capacidade resistente de vigas com aberturas, ainda não se tem um modelo analítico ou semiempírico simples para o cálculo das lechas que ocorrem nessas vigas. O objetivo deste trabalho oi ajustar um modelo semi-empírico a partir de resultados obtidos de simulações numéricas com modelos de elementos initos, capaz de estimar a lecha de uma viga com uma ou várias aberturas na alma de maneira simples (Veríssimo e Ribeiro, 01). METODOLOGIA.1 Generalidades Para que osse possível ajustar um modelo semi-empírico, capaz de estimar a lecha de uma viga de aço biapoiada com uma ou algumas aberturas na alma, era necessário obter um conjunto de resultados de lechas de vigas com diversas conigurações de aberturas na alma.

3 J. C. L. Ribeiro, G. S. Veríssimo, J. L. R. Paes, R. H. Fakury Para isso oi elaborado um modelo numérico com o auxílio do sotware Abaqus (Simulia, 009), capaz de calcular o deslocamento vertical sorido no centro do vão por uma viga biapoiada, para um carregamento uniormemente distribuído. A hipótese do carregamento uniormemente distribuído oi adotada porque corresponde à maioria dos casos práticos de vigas de sistemas de piso, as quais quase sempre estão suportando uma laje ou uma parede sobre si. Outra situação relativamente comum é a das vigas principais, que recebem as reações de vigas secundárias. Nestes casos, embora as cargas atuantes na viga sejam concentradas em determinados pontos, normalmente elas são espaçadas de tal orma que produzem uma distribuição de momento letor e de orça cortante não muito dierente da de uma viga biapoiada com carregamento uniormemente distribuído. A veriicação da lecha está relacionada a um estado-limite de serviço, situação para a qual a viga trabalha em regime elástico. Assim, o mesmo peril oi simulado para um carregamento qualquer, uniormemente distribuído, com e sem aberturas, com os apoios rotulados, para possibilitar posteriormente o cálculo da relação entre a lecha da viga com abertura(s) e a lecha da viga sem abertura(s), da orma: 0 (1) onde: 0 é a lecha da viga com uma ou mais aberturas; 4 5 q L é a lecha da mesma viga sem aberturas, dada por. () 384 E I. Características do modelo numérico O modelo numérico oi discretizado utilizando-se elementos do tipo S8R do Abaqus, um elemento de casca quadrilateral com 8 nós e integração reduzida. Uma análise de sensibilidade de malha demonstrou que elementos com lados de aproximadamente 4 cm orneciam precisão adequada para o problema da determinação dos deslocamentos da viga (Figura ). Figura. Aspecto da malha utilizada nos modelos. Para representar o aço oi adotado um modelo constitutivo elástico linear. Simulando as condições de apoio de uma viga biapoiada, os graus de liberdade de alguns elementos em ambas as extremidades da viga oram restringidos de modo a impedir a rotação em relação ao eixo longitudinal (vínculo de garo) e a translação vertical. Além disso, também oi impedida a translação longitudinal de uma das extremidades da viga.

4 Um modelo semi-empírico para determinação da lecha em vigas de aço com aberturas na alma Foram modelados enrijecedores de alma nos apoios, com a mesma espessura da alma, para evitar deormação localizada nessa região em unção da reação de apoio..3 Deinição dos parâmetros para o estudo Para a deinição dos parâmetros a serem variados no estudo, oram selecionadas algumas variáveis que, sabidamente, inluenciam no comportamento de uma viga com abertura na alma, a saber: - a relação entre o vão da viga e a altura da seção do peril de aço (L/d); - a relação entre a altura da abertura e a altura da seção do peril de aço (h o /d); - o número de aberturas ao longo da viga (n); - um ator de orma () que se relaciona com a geometria da abertura (circular, quadrada ou retangular); - um ator (I o ) que relaciona a inércia da abertura com a inércia da seção do peril de alma cheia (Eq. 5). Visando cobrir todo o espectro de esbeltez de alma para as séries de peris laminados abricados no Brasil, oram testados três peris da série W460 da Gerdau-Açominas, conorme mostrado na Tabela 1. Tabela 1. Peris utilizados nas análises. Peril t w (mm) w = h/t w W460x5 7,6 56,37 W460x8 9,9 43,3 W460x106 1,6 33,95.4 Planejamento das simulações Para cada um dos peris listados na Tabela 1 oram simulados modelos para três relações L/d, três tamanhos de aberturas e vigas com uma, três e cinco aberturas, conorme mostrado na Tabela. Tabela. Planejamento das simulações. Para cada peril estudado L/d =10 L/d =15 L/d =0 h o /d = 0,3 n = 1, 3, 5 h o /d = 0,5 n = 1, 3, 5 h o /d = 0,7 n = 1, 3, 5 h o /d = 0,3 n = 1, 3, 5 h o /d = 0,5 n = 1, 3, 5 h o /d = 0,7 n = 1, 3, 5 h o /d = 0,3 n = 1, 3, 5 h o /d = 0,5 n = 1, 3, 5 h o /d = 0,7 n = 1, 3, 5

5 J. C. L. Ribeiro, G. S. Veríssimo, J. L. R. Paes, R. H. Fakury No total, oram 9 casos para cada relação L/d, 7 casos por viga estudada, 81 casos por peril, mais 9 casos de vigas de alma cheia, resultando em 5 vigas analisadas no total. Numa primeira série de simulações, cada viga oi processada contendo cinco, três e uma aberturas, respectivamente, conorme mostrado na Figura 3. Figura 3. Aspecto da deormada para dierentes números de aberturas na viga..5 Abordagem para a deinição do modelo semi-empírico Visando criar uma equação de simples utilização, estudou-se um modelo da orma: 0 1 m (3) onde m é um multiplicador que leva em conta as inluências dos parâmetros estudados, conorme a Eq. (4). 0 x x3 x4 d h0 n x5 1 x1 1 Io L d (4) Na Eq. (4), é um ator de orma, adimensional, que relaciona a geometria da abertura (circular, quadrada ou retangular) e I o é dado pela Eq. (5). 3 t ho (5) d b t w Io 3 RESULTADOS E DISCUSSÃO Com os resultados obtidos das análises numéricas, oi eita uma análise de regressão com base no Método dos Mínimos Quadrados, para minimizar simultaneamente o somatório dos quadrados dos erros e o erro percentual máximo. Dessa análise obteve-se as constantes x 1,..., x 5 e o parâmetro para aberturas retangulares, quadradas e circulares, conorme abaixo. 3,56 7,59 1, Io d L h0 d n 0,319 (6)

6 Um modelo semi-empírico para determinação da lecha em vigas de aço com aberturas na alma onde: = 1,0 para aberturas retangulares; =,9 para aberturas quadradas; = 4,5 para aberturas circulares. O modelo de regressão da Eq. (6) apresentou coeiciente de determinação ajustado R 0,963. O coeiciente de determinação ajustado é dado por: R 1 1 v 1 n 1 R (7) n Na Eq. (7), n é o número de amostras, v é o número de variáveis explicativas (que para este estudo oram cinco) e R é o coeiciente de determinação, dado pela Eq. (8). onde: R 1 SQ SQ res tot SQ res é a soma dos quadrados dos resíduos, dada por SQ y y SQ tot é a soma total dos quadrados dos resíduos, dada por y i é o valor observado; y é a média das observações; y i é o valor estimado (previsão) de y i. res n i1 i n i1 (8) ; (9) SQ y y ; (10) Na Figura 4 são apresentados os erros percentuais do modelo de regressão (Eq. 6) em relação aos resultados numéricos. tot i 30 aberturas retangulares aberturas quadradas aberturas circulares Erro Percentual Análises Figura 4. Erro percentual do modelo de regressão em relação aos resultados numéricos.

7 J. C. L. Ribeiro, G. S. Veríssimo, J. L. R. Paes, R. H. Fakury Observando a Figura 4, nota-se que para as aberturas circulares o modelo apresenta um ajustamento excelente. Para aberturas quadradas, o erro máximo icou quase sempre na aixa de 5%. Para as aberturas retangulares, o erro máximo em boa parte dos casos icou na aixa de 5%, chegando à aixa de 10% em alguns casos e em apenas 3 casos, do total de 81 análises com aberturas retangulares, o erro chega à aixa entre 0% e 5%. Coincidentemente, estes 3 casos singulares correspondem a vigas com uma única abertura retangular no centro do vão com h o /d = 0,7. Em análises realizadas, observou-se que caso a abertura seja deslocada do centro do vão em direção a um dos apoios, a lecha da viga aumenta devido ao eeito de Vierendeel inluenciado pela orça cortante. Dessa orma, o modelo de regressão apresenta maior precisão para aberturas retangulares distantes do centro do vão e produz resultados conservadores para grandes aberturas retangulares na região do centro do vão. De modo geral, considera-se que o modelo produz resultados bastante acurados, que podem ser considerados para eeito de veriicações de projeto em vigas de aço com aberturas na alma. Nas Figuras 5, 6 e 7 são apresentados graicamente os resultados obtidos com o modelo numérico e com o modelo de regressão para a relação (m) entre a lecha da viga com abertura(s) ( o ) e a lecha da viga sem abertura ( n ). Na Figura 5 pode-se observar os resultados obtidos para as vigas com aberturas retangulares estudadas. Nota-se que o modelo de regressão é capaz de estimar o acréscimo de lecha na viga com abertura(s), em relação à viga de alma cheia, com bastante acurácia e que, na grande maioria dos casos, a presença de uma ou mais aberturas produz pouca alteração nos deslocamentos soridos pela viga aberturas retangulares resultados numéricos modelo de regressão m = o/n Análises Figura 5. Relação entre a lecha na viga com aberturas retangulares e a lecha na viga equivalente de alma cheia. Como já comentado, nos casos estudados em que a viga possuía apenas uma abertura no centro do vão com h o /d = 0,7 o modelo de regressão superestima em até 5% o acréscimo de deslocamento ocasionado pela presença da abertura, em relação ao resultado da simulação numérica. Esse conservadorismo do modelo para vigas com uma abertura tão grande no centro do vão pode ser entendido como uma vantagem, por se tratar de uma situação de grande responsabilidade. Para outras situações o modelo de regressão estima o acréscimo da lecha com erro pequeno.

8 Um modelo semi-empírico para determinação da lecha em vigas de aço com aberturas na alma Na Figura 6 são apresentados os resultados obtidos para as vigas com aberturas quadradas estudadas e na Figura 7 são apresentados os resultados obtidos para as vigas com aberturas circulares. Novamente o modelo de regressão estima o acréscimo de lecha na viga com abertura(s) em relação à viga de alma cheia com boa precisão.,0 aberturas quadradas 1,8 resultados numéricos modelo de regressão 1,6 m = o/n 1,4 1, 1,0 0, Análises Figura 6. Relação entre a lecha na viga com aberturas quadradas e a lecha na viga equivalente de alma cheia.,0 aberturas circulares 1,8 resultados numéricos modelo de regressão 1,6 m = o/n 1,4 1, 1,0 0, Análises Figura 7. Relação entre a lecha na viga com aberturas circulares e a lecha na viga equivalente de alma cheia. Os resultados das simulações numéricas demonstram que as aberturas retangulares são as que causam maior perturbação no comportamento da viga. As aberturas circulares são as que menos aetam o comportamento da viga. De modo geral, como se pode observar nas Figuras 5, 6 e 7, as aberturas causam pouco acréscimo nos deslocamentos em relação à lecha da viga sem aberturas. Não obstante, no caso das aberturas retangulares, dependendo do tamanho das aberturas e de sua quantidade, os deslocamentos podem aumentar de a 4 vezes.

9 J. C. L. Ribeiro, G. S. Veríssimo, J. L. R. Paes, R. H. Fakury 4 EXEMPLO 4.1 Viga com duas aberturas retangulares Deseja-se calcular a lecha de uma viga de aço birrotulada com vão L = 6 m, constituída por um peril I laminado W4605 com altura (d) igual a 450 mm, largura das mesas (b ) igual a 15 mm, espessura das mesas (t ) igual a 10,8 mm e espessura da alma (t w ) igual a 7,6 mm, contendo duas aberturas retangulares com dimensões de mm, não reorçadas, como representado na Figura 8. A viga encontra-se submetida a um carregamento de serviço uniormemente distribuído q d = 1,6 kn/m. Desconsidera-se a contribuição na inércia da viga dos raios de concordância entre as mesas e a alma. 1,6 kn/m y z mm Figura 8. Esquema da viga com duas aberturas retangulares. Cálculo da lecha da viga sem aberturas: qd L 5 1,6/ ,76 mm (11) 384 E I x Número de aberturas: n = Aberturas retangulares: = 1,0 3 3 tw ho 7, I o (1) d b t ,8 Cálculo da lecha da viga com aberturas: 3,56 7,59 1, ,319 3 o 8, ,71 mm (13) ,0 Neste caso, as duas aberturas retangulares de mm oram responsáveis por um acréscimo de cerca de +10,9% na lecha da viga sem aberturas, segundo o modelo semiempírico proposto.

10 Um modelo semi-empírico para determinação da lecha em vigas de aço com aberturas na alma Na Figura 9 mostram-se os deslocamentos verticais obtidos por meio da análise numérica para a viga analisada neste exemplo, considerando as duas aberturas propostas e a viga sem aberturas (lecha de reerência). (a) Viga sem aberturas: = 9,0 mm Deslocamentos em milímetros. (b) Viga com duas aberturas: o = 10,81 mm Figura 9. Deslocamentos verticais (ampliados 50 vezes) obtidos na análise numérica para (a) viga sem aberturas e (b) viga com duas aberturas retangulares. Observa-se, com base nos resultados da análise numérica, que as duas aberturas oram responsáveis por um acréscimo de +19,8% na lecha da viga. A dierença entre o modelo semi-empírico e o modelo numérico é de -8,9% no acréscimo de lecha, dentro da aixa de erro já veriicada na Figura 4. Comparando-se a lecha da viga sem aberturas obtida pela análise numérica com a lecha obtida pelo cálculo manual (Eq. ), observa-se uma dierença de +3,0%. Parte dessa dierença deve-se ao eeito do esorço cortante na lecha e parte deve-se ao eeito de uma compressão localizada nos apoios, em certo nível atenuada pela presença dos enrijecedores. 4. Viga com quatro aberturas quadradas Para o mesmo peril do exemplo anterior, deseja-se calcular a lecha de uma viga de aço birrotulada com vão L = 6 m contendo quatro aberturas quadradas com dimensões de mm, não reorçadas, como representado na Figura 10. O carregamento também é o mesmo do exemplo anterior. 1,6 kn/m y z mm Figura 10. Esquema da viga com quatro aberturas quadradas.

11 J. C. L. Ribeiro, G. S. Veríssimo, J. L. R. Paes, R. H. Fakury Cálculo da lecha da viga sem aberturas (Eq. 11): = 8,76 mm Número de aberturas: n = 4 Aberturas quadradas: =,9 3 o 3 7, tw h I o (14) d b t ,8 Cálculo da lecha da viga com aberturas: 3,56 7,59 1, ,319 3 o 8, ,0 mm (15) ,90 Neste caso, as quatro aberturas quadradas com h o /d igual a 70% oram responsáveis por um acréscimo de cerca de +14,4% na lecha da viga sem aberturas, com base no modelo semiempírico proposto. Na Figura 11 mostram-se os deslocamentos verticais obtidos por meio da análise numérica para a viga analisada neste exemplo. (a) Viga sem aberturas: = 9,0 mm Deslocamentos em milímetros. (b) Viga com quatro aberturas: o = 10,95 mm Figura 11. Deslocamentos verticais (ampliados 50 vezes) obtidos na análise numérica para (a) viga sem aberturas e (b) viga com quatro aberturas quadradas. Com base nos resultados da análise numérica, observa-se que as quatro aberturas provocaram um acréscimo de +1,4% na lecha da viga. A dierença entre o modelo semiempírico e o modelo numérico é de -7,0% no acréscimo de lecha, dentro da aixa de erro mostrada na Figura 4. 5 CONCLUSÃO Neste trabalho apresenta-se o desenvolvimento de um modelo semi-empírico para o cálculo da lecha em vigas de aço com aberturas na alma. Para ajustar estatisticamente o modelo semi-empírico, oram utilizados os resultados de 5 casos de vigas simuladas numericamente com modelos de elementos initos.

12 Um modelo semi-empírico para determinação da lecha em vigas de aço com aberturas na alma Nas análises numéricas realizadas, diversos parâmetros que aetam as deormações das vigas com aberturas oram variados, com o objetivo de produzir resultados para posterior ajuste de um modelo de regressão. O modelo proposto pode ser aplicado a vigas em peril I duplamente simétrico com aberturas na alma sem reorço ou com reorço constituído por chapas planas soldadas na alma acima e abaixo da abertura, conorme recomendado no Design Guide No. do AISC (Darwin, 1990). Conservadoramente também pode ser aplicado a vigas mistas de sistemas de piso de ediícios, uma vez que a rigidez da viga mista é um pouco maior do que a rigidez da viga de aço isolada. A equação obtida apresentou boa correlação com os resultados dos experimentos numéricos e é útil para o cálculo prático de lechas em vigas com aberturas na alma, cuja análise rigorosa é muito trabalhosa, dispensando o uso de modelos numéricos avançados. Não obstante, pesquisas com o intuito de melhorar ainda mais a precisão do modelo semi-empírico proposto ainda estão em desenvolvimento, de modo a permitir a consideração do eeito do esorço cortante, de várias aberturas com dierentes ormas e em dierentes posições nas almas de vigas de aço e vigas mistas de aço e concreto. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à FAPEMIG e à Universidade Federal de Viçosa pelo apoio para a realização e divulgação deste trabalho. REFERÊNCIAS Darwin, D., Steel and composite with web openings. Steel Design Guide Series, American Institute o Steel Construction, Chicago. Darwin, D., Lucas, W. C., LFRD or Steel and Composite Beams with Web Openings. ASCE Journal o Structural Engineering, vol. 116, n. 6, pp Simulia, Dassault Systèms Corp. (009). ABAQUS Documentation v 6.9, Providence, RI, USA. Veríssimo, G. S; Fakury, R. H. ; Ribeiro, J. C. L. (006). Design Aids or Unreinorced Web Openings in Steel and Composite Beams with W-Shapes, AISC Engineering Journal, Third Quarter 006, pp , American Institute or Steel Construction. Chicago. Veríssimo, G. S; Ribeiro, J. C. L. (01). Flecha em vigas com aberturas na alma, Relatório Técnico, Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Viçosa, Viçosa, MG.