UM ESTUDO SOBRE APRENDIZAGEM DE NÚMEROS IRRACIONAIS NO ENSINO FUNDAMENTAL

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1 UM ESTUDO SOBRE APRENDIZAGEM DE NÚMEROS IRRACIONAIS NO ENSINO FUNDAMENTAL Gratuliano Erigoi Alves da Silva Mestrando em Educação no PPGEd da UFRN Francisco Peregrino Rodrigues Neto Prof. Dr. Orientador CONSIDERAÇÕES GERAIS O ensino da matemática elementar tem sido objeto de estudo de pesquisadores desde o movimento da matemática moderna. Esse movimento, com ênfase nos anos setenta, teve como características marcantes a reestruturação do currículo de matemática, com a inclusão de novos conteúdos a exemplo de Conjuntos e Funções além de uma visão estruturalista do ensino de Álgebra. A questão metodológica, que no começo estava voltada para os meios de ensino, sob influência do behaviorismo, receberia importantes contribuições da área de cognição, notadamente dos estudos de Piaget, como o conceito de abstração reflexiva, que dariam base a trabalhos voltados para teoria de aprendizagem em matemática numa perspectiva construtiva. Ao longo das décadas de oitenta e noventa os encontros de Educação Matemática tem discutido questões gerais como teorias de ensino, livros textos e metodologias para abordagem de conteúdos. A pesquisa nessa área tem contemplado estudos sobre conteúdos de matemática dos vários níveis de ensino. Dentre os campos que compõem a matemática elementar tradicionalmente vistos como Aritmética, Álgebra e Geometria isolamos o conjunto dos Números Irracionais como sendo um assunto de nosso interesse para um estudo do ponto de vista do ensino. A história dos números irracionais remonta há cerca de 2500 anos, quando matemáticos gregos constataram a incomensurabilidade entre o lado e a diagonal do quadrado unitário, NIVEM (1984, p.2). Isso significa que 2 não pode ser escrito na forma de um Número Racional, isto é, na forma de uma fração. Uma discussão sobre números irracionais geralmente contém a prova clássica da irracionalidade de 2, por um argumento lógico chamado redução ao absurdo. Essa demonstração, que não é feita nos livros textos de 8ª série, também não faz parte da abordagem metodológica do presente trabalho. Num estudo mais profundo sobre números reais, estes são classificados não apenas como racionais e irracionais, mas também em duas outras categorias que não é estudada no nível do presente trabalho. Uma categoria compreende os que são chamados de números algébricos, ou seja, os números que são soluções de equações algébricas com coeficientes inteiros (p. ex.: 2 é solução de x²-2=0) e uma outra contém todos os demais números sendo estes chamados de números transcendentes, como o número irracional π (pi). No entanto, na 8ª série os alunos resolvem as assim chamadas equações irracionais. Α união dos Números Racionais com os Números Irracionais, forma o conjunto dos Números Reais, campo numérico central da Matemática. O estudo dos Números Reais faz parte do currículo oficial de matemática para o ensino fundamental e consta dos livros textos de matemática para as 7ªs e 8ªs séries. Pesquisas sobre ensino-aprendizagem de matemática que foram levadas a efeito em escolas públicas e particulares de todo território nacional apontam deficiências no ensino de 5ª a 8ª série dessa matéria, como mostram os estudos do Sistema Nacional de Avaliação Escolar, SAEB (1999). Nessas pesquisas, os números irracionais aparecem como um dos obstáculos ao aprendizado dos alunos. Geralmente esses números são apresentados nos livros textos através de exemplos e uma definição. Na 8ª série os números irracionais aparecem em Racionalização de Denominadores, no Estudo dos Radicais.

2 A PESQUISA O presente trabalho apresenta os primeiros resultados de uma pesquisa em andamento sobre a aprendizagem de números irracionais levada a efeito com alunos de 8ª série. Esclarecemos que essa abordagem aos irracionais está limitada ao nível de conhecimentos da 8ª série do ensino fundamental. O trabalho se enquadra num referencial teórico construtivista, compreendendo um estudo de caso, e foi estruturado em termos da elaboração e aplicação de um módulo de ensino sobre o assunto Números Irracionais e os conteúdos matemáticos considerados pré-requisitos para aprendizagem daqueles números, com coleta de dados. Segundo ZABALLA (1998, p.18), as unidades de intervenção pedagógica são seqüências de atividades previamente organizadas com certa estrutura para atingir determinados objetivos. O presente trabalho discute as duas primeiras partes da pesquisa: os resultados de uma avaliação diagnóstica e a aplicação de um módulo de ensino da pesquisa. A avaliação diagnóstica teve como objetivo verificar os conhecimentos dos alunos sobre conteúdos básicos de matemática necessários para a aprendizagem de números irracionais, além de ter fornecido elementos para a elaboração e organização do módulo de ensino. A AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA O primeiro trabalho de campo da pesquisa foi a realização de uma avaliação diagnóstica numa Escola Pública Municipal, na Zona Norte de Natal/RN, com o intuito de avaliar as condições dos alunos sobre os conteúdos matemáticos considerados pré-requisitos para uma intervenção sobre Números Irracionais. A avaliação foi elaborada com base em questões sobre Números Racionais, na forma fracionária, decimal e na de raiz quadrada, Área do Retângulo e o Teorema de Pitágoras. O instrumento da avaliação diagnóstica foi uma prova escrita e individual, com 12 questões, respondida por 31 alunos de uma 8ª série, no tempo normal de duas horas aula. Os dados foram coletados para uma análise qualitativa. Nesse sentido, as respostas foram inicialmente classificadas em certas ou erradas, do ponto de vista matemático, e respostas em branco. Para um julgamento mais criterioso sobre o significado das respostas dos alunos, procedeuse a uma entrevista, feita num grupo de 12 alunos que foi selecionado dos que participaram do teste, sendo 50% do sexo masculino e a outra metade do feminino. No grupo selecionado, os dois externos dos resultados do teste foram incluídos (isto é, o aluno que acertou e o que errou e/ou deixou em branco todas as questões) para fazerem parte da entrevista. Essa inclusão foi intencional, pois consideramos um caso atípico em uma prova relativamente fácil, um aluno acertar todas as questões e outro errar todas. Os outros 10 alunos foram escolhidos aleatoriamente. A entrevista serviu para subsidiar e aprofundar a investigação do trabalho, tornando-se um instrumento básico para o levantamento de dados. Optamos pela entrevista semi-estruturada que, segundo LÜDKE (1986, p.33-34), se desenvolve a partir de um esquema organizado, mas que não é aplicado com rigor e permite que o pesquisador faça as adaptações necessárias no decorrer do percurso. Assim, uma pergunta feita a um entrevistado não seria obrigatoriamente feita aos outros. No presente trabalho os alunos entrevistados tiveram acesso aos testes escritos, para melhor acompanhar as perguntas do entrevistador. As respostas das questões da avaliação, subsidiadas pela entrevista, foram analisadas de acordo com o conceito de compreensão relacional e o de compreensão instrumental de SKEMP (1980, p.19), para quem a compreensão relacional permite ao sujeito a realização de uma grande quantidade de atividades com inteligência e criatividade, enquanto que na compreensão instrumental, o indivíduo limita-se a execução de tarefas mecanicamente. A análise da avaliação diagnóstica apresentou o seguinte resultado: (i) quanto às perguntas sobre números racionais, vimos que a maioria dos alunos testados teve dificuldade no cálculo de raiz quadrada exata e não demonstraram saber o que é dízima periódica; (ii) a maior parte dos alunos não soube responder uma questão básica de geometria métrica para comparar dois retângulos desenhados sobre a mesma malha quadriculada, o que se esperava que fosse intuitivo devido a

3 apresentação da questão; (iii) quanto a representação e aplicação do teorema de Pitágoras, também a maior parte dos alunos demonstrou ter um conhecimento superficial sobre o assunto, não conseguindo generalizá-lo e representá-lo por meio de uma expressão simbólica. As entrevistas confirmaram o quadro de respostas da avaliação escrita, revelando um baixíssimo percentual de alunos no nível de compreensão relacional sobre as questões de números e geometria. Levando em consideração o nível de conhecimento apresentado pelos alunos, podemos considerar o resultado de certa forma inesperado. No geral, percebemos que a porcentagem de alunos categorizada no nível de compreensão relacional foi relativamente baixa, pois seria de se esperar que alunos de 8 ª série apresentassem mais habilidade em operações com Números Racionais e estivessem mais familiarizados com área do Retângulo e com o Teorema de Pitágoras. Observamos ainda o seguinte: considerando-se um paralelo entre os resultados dos alunos, por sexo, não foram verificadas diferenças expressivas nos resultados apresentados por eles. No entanto, merece destaque o fato de que apenas um aluno, do sexo feminino, conseguiu resolver com êxito todas as questões do pré-teste. Em resumo, os resultados da avaliação diagnóstica mostraram que os alunos estavam desnivelados quanto aos conhecimentos matemáticos testados. O MÓDULO DE ENSINO Considerando o objetivo principal da pesquisa, que é promover atividades para o ensino de Números Irracionais, e o resultado da avaliação diagnóstica, que indicou a necessidade de se promover um nivelamento dos conteúdos testados, foi elaborado um módulo de ensino com a finalidade de remediar as deficiências de conteúdos (pré-requisitos) dos alunos através de atividades de ensino e atender aos objetivos da pesquisa. As atividades são tarefas a serem executadas pelos alunos na sala de aula, preparadas e orientadas pelo pesquisador, visando atingir os objetivos da pesquisa, com a finalidade de nivelar os alunos quanto aos pré-requisitos matemáticos, remediando eventuais deficiências de conteúdo detectadas na avaliação diagnóstica, e abordar os conceitos necessários para que eles possam alcançar os objetivos da intervenção metodológica (RODRIGUES NETO,1998, p.73). As atividades planejadas para o módulo de ensino foram aplicadas a um grupo de 12 alunos no período de 12 horas aula, não incluindo o tempo destinado ao pós-teste, no mesmo horário das aulas de matemática da turma. As atividades propostas foram desenvolvidas em grupos de 2 ou 3 alunos e seguiam os seguintes procedimentos: discussão sobre como resolver a atividade proposta; resolução da atividade (uso de materiais, procedimentos de cálculos, anotações, e outros.); comunicação das idéias. As atividades desenvolvidas nos grupos proporcionaram uma interação entre os alunos, facilitando a discussão das questões e conseqüentemente reforçando o aprendizado, o que de acordo com KEIL (1999, p. 140) possibilita... aos sujeitos explicitarem, valorizarem e trocarem uns com os outros, vivências oriundas de seus universos simbólicos de experiências cotidianas.... Para a autora, os alunos buscam a companhia de seus pares, que pensam e agem da mesma forma convivendo com uma troca de sentimentos e emoções um tanto quanto igualitárias, construindo as representações dos sujeitos a partir de um substrato diário oriundo de movimento dialético. Esse ponto de vista, vem reforçar o intuito dessa pesquisa de aplicar as atividades de ensino com os alunos organizados em grupos. As atividades para nivelamento dos alunos compreenderam conteúdos de Números Racionais (potenciação, radiciação, dízima periódica), Área do Retângulo, Área do Triângulo e o Teorema de Pitágoras. As atividades que visam atingir os objetivos propriamente ditos da pesquisa, são: o cálculo da Raiz Quadrada de 2 por aproximação; a obtenção da constante pi (π) por exercícios de medição do comprimento da circunferência e seu diâmetro e cálculo da razão entre esses elementos; a representação geométrica de outros números irracionais na reta real. Essas atividades são complementadas por definições, explicações e notas históricas.

4 As atividades desse estudo, num total de 12, podem ser classificadas em 5 subdivisões distintas, de acordo com os objetivos da pesquisa: a primeira subdivisão é formada pelas três primeiras atividades e tem como objetivo geral familiarizar o aluno com o cálculo de Números Racionais, nas formas de potenciação, radiciação e dízima periódica. A potenciação e a radiciação foram trabalhadas com o uso de quadrados, através do cálculo da área e do lado da figura, respectivamente. A atividade 4 explorou os conceitos de área do retângulo e área do triângulo com o uso de figuras para obter as fórmulas genéricas (respectivamente, A.=base altura. e A=1/2base altura). As atividades 5 e 6 compreendem um estudo sobre a obtenção da relação de Pitágoras (o quadrado sobre a hipotenusa é igual a soma dos quadrados sobre os catetos), incluindo tópicos sobre a História de Pitágoras e da Escola Pitagórica, extraídos de BOYER (1974, p.34-35), enfatizando assim o uso da História da Matemática como auxílio didático. As atividades 7 e 8 objetivam, respectivamente, a generalização e aplicação do Teorema de Pitágoras (a²=b²+c², onde a, b e c são, respectivamente, a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo). As demais atividades versam sobre os números irracionais. Assim, a atividade 9 visa obter 2 por aproximação, num processo concreto de se mostrar que 2 não atende ao conceito de número racional. A atividade 10 trabalha a obtenção do número π (pi) experimentalmente, e apresenta um histórico desse número que é definido como Irracional. As atividades 11 e 12 trabalham a representação geométrica dos números irracionais 3, 5 e 6 representados na reta real. A abordagem das atividades 05 e 11 prevê o uso de materiais concretos como auxílio de ensino. Para as outras, foi facultado o uso da calculadora como facilitadora do desenvolvimento e agilidade nas resoluções de algumas questões. A aplicação da seqüência de conteúdos acima se justifica pelas seguintes razões: 1. É necessário que o aluno tenha ciência que os números racionais são da forma a/b, com a e b inteiros e b não nulo, e conheça as várias representações desses números na forma de inteiros, de frações, de números decimais, de dízimas periódicas, etc. para que possa reconhecê-los como tal e compreender que todo número que não atenda essa definição não pertence a classe dos Números Racionais, muito embora sejam Reais. 2. O entendimento de área do retângulo e do Teorema de Pitágoras permite ao aluno obter a construção gráfica do segmento 2 através do cálculo da diagonal do quadrado unitário. 3. A potenciação é usada para obter aproximações para 2 com auxílio da calculadora. e levar o aluno a concluir, por um processo construtivo, que 2 não pertence a classe dos números racionais. 4. A obtenção de pi (π= 3, ) como uma constante entre as medidas do comprimento e do diâmetro de uma circunferência é complementada com a informação de que esse número não está de acordo com a definição de número racional, mas pertencendo a classe dos irracionais, inclusive porque não seria possível concluir pela irracionalidade de pi através de um processo prático. 5. A determinação geométrica de 2, 3 e outros números irracionais, é importante porque permite ao aluno visualizar uma perfeita correspondência entre um número irracional e um determinado ponto na reta real. CONSIDERAÇÕES FINAIS Apresentamos um resumo dos principais pontos da pesquisa em relação aos objetivos, lembrando que o estudo tem restrições quanto ao nível de conteúdo matemático.

5 (i) (ii) (iii) Em relação a primeira parte da pesquisa, julgamos que avaliação diagnóstica realizada cumpriu seu objetivo no trabalho, pois revelou que os alunos apresentavam deficiência no conhecimento dos conteúdos básicos de matemática que são trabalhados nas quatro últimas séries do Ensino Fundamental. Assim, a avaliação mostrou a necessidade de se promover uma abordagem de conteúdos matemáticos, supostamente estudados pelos alunos, o que foi feito por atividades de ensino para um nivelamento da turma. Sobre a aplicação do módulo de ensino, a participação do pesquisador no trabalho de pesquisa permite fazer as seguintes observações. A aplicação das atividades de ensino foi bem recebida pelos alunos, tendo o grupo demonstrado uma afetividade positiva em relação à intervenção como um todo, o que contribuiu para o desenvolvimento dos trabalhos. Digase, de passagem, que as condições gerais de trabalho foram até favoráveis ao desenvolvimento da pesquisa. A partir da aplicação da primeira atividade, percebemos o interesse dos alunos em realizá-las, o que facilitou bastante o nosso trabalho. Com a aplicação da seqüência das atividades e o interesse demonstrado por eles, verificamos que a intervenção estava sendo positiva do ponto de vista da aprendizagem, pois vimos que as dificuldades dos conteúdos do pré-teste estavam sendo superadas. Além disso, salientamos que os alunos desenvolveram de maneira satisfatória as atividades sobre os números irracionais, que são o principal objetivo do trabalho. Observamos que os alunos participaram ativamente de todas as atividades, demonstrando interesse no seu desenvolvimento, ainda que não tivessem efeito para nota na caderneta. Desse modo, as observações feitas pelo pesquisador quando da aplicação do módulo de ensino junto aos alunos permitem traçar uma expectativa favorável quanto aos resultados da intervenção, cujos dados foram posteriormente coletados através de um pós-teste, ora sob análise. BIBLIOGRAFIA BARRETA, P. A. Estatística Aplicada às Ciências Sociais, 2 ª ed. Florianópolis: editora da UFSC, BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher LTDA, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, GLASERSFELD, E. V. A introduction to Radical Constructivism. In: P. Watzlawick: The invented reality. New York: Norton, p A construção do conhecimento. In: SCHNITMAN, D. F.; et al. Novos paradigmas, culturar subjetividade. Trad. Jussara H. Rodrigues. Porto Alegre: Artes Médicas, GUELLI, O. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, (7ª e 8ª séries.) KEIL, M. I. Fascinação do Estar-Junto. In: GROSS, E. P.; BORDIN, J. Construtivismo Pós- Piagetiano: Um Novo Paradigma sobre aprendizagem, 8 ª ed. Petrópolis: Editora Vozes, 1999, p LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E. A. Pesquisa em Educação: Uma Introdução. 2 ª ed. São Paulo: EPU, NAME, M. A. Tempo de matemática. São Paulo: Editora do Brasil, (7ª e 8ª séries) NIVEN, I. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. PIAGET, J. Seis estudos de psicologia. 21ª ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, PILETI, N. História da educação do Brasil. São Paulo: Ática, RIO GRANDE DO NORTE. Secretaria da Educação e Cultura. Proposta curricular de ensino de 1º grau. Natal: SEC/RN, RODRIGUES NETO, F. P. Um estudo sobre aprendizagem de conceitos algébricos fundamentais. Natal: UFRN, (Tese Doutorado, 270 p.)

6 SAEB- Matrizes Curriculares de Referência, Brasília. INEPE, SKEMP, R. R. Psicologia del Aprendizaje de las Matemática. Madri: Ediciones Moratas, ZABALLA, A. A Prática Educativa: Como ensinar. Tradução. Ernani F. da F. Rosa. Porto Alegre: ARTEMED, 1998.