Experimento. Guia do professor. Câmara escura. Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia. Ministério da Educação

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1 Números e funções Guia do professor Experimento Câmara escura 1. Objetivos da unidade Motivar o estudo de relações de proporcionalidade direta e inversa a partir da obser vação de um fenômeno físico. licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Câmara escura Guia do professor Sinopse Os alunos, trabalhando em grupo, deverão construir uma câmara escura e tentar descobrir quais as melhores condições para se obter uma imagem com este dispositivo. Inicialmente, fazendo observações fora da sala de aula, os alunos avaliarão quais as condições necessárias para se obter imagens com o dispositivo. A partir dessas observações, pode-se iniciar discussões sobre proporcionalidade direta e inversa. Conteúdos Razão e Proporção: Proporcionalidade direta; Proporcionalidade inversa; Função Afim: Gráfico e coeficientes. 1. Objetivos Motivar o estudo de relações de proporcionalidade direta e inversa a partir da obser vação de um fenômeno físico. Duração Uma aula dupla.

3 Propor aos alunos atividades que se diferenciam de uma aula tradicional é, sem dúvida, prazeroso e necessário nos dias de hoje. Procedimentos desse tipo vêm sendo desenvolvidos com certo sucesso. Aqui, propomos aos alunos a confecção, manipulação de objetos, experiências dentro e fora da sala de aula: o objetivo será construir e explorar uma câmara escura de orifício, através da qual obteremos muitas informações e conhecimentos. Além de tornar a aula mais prática e dinâmica, esse trabalho relaciona conceitos matemáticos com os de outras áreas, de forma interdisciplinar, como a ótica geométrica, em Física; a visão, em Biologia; e a história de como se fotografava antigamente. O experimento nos permitirá, também, tratar com os alunos alguns conceitos matemáticos, dentre eles, a proporcionalidade direta e inversa. Este experimento permitirá também que trabalhemos a confecção e o uso de tabelas e gráficos, interpretando-os e obtendo conclusões, habilidades importantes que devem ser adquiridas pelos alunos.

4 A descoberta que levou ao processo fotográfico foi a câmara escura. Alguns historiadores indicam o aparecimento da câmara aproximadamente por volta do século V a.c.. No século XI, a câmara foi utilizada para observar um eclipse solar. Essa câmara era como uma pequena sala, onde as pessoas entravam e, do lado de dentro, onde havia plena escuridão, acompanhavam a projeção de objetos que se encontravam do lado de fora da câmara, iluminados pelo sol. Essa projeção acontecia sobre um tecido branco colocado na parede oposta ao orifício no qual a imagem projetada era invertida em relação à imagem original. Nos séculos seguintes, a câmara escura se tornou comum entre os sábios europeus para a observação de eclipses solares sem que houvesse prejuízo aos olhos. No século XIV, foi utilizada como auxílio nos desenhos e nas pinturas. Os pintores faziam uso de câmaras portáteis, projetando a imagem em uma tela e pintando por cima dela. A fixação da imagem, isto é, a fotografia, só foi possível depois de muitos séculos após o surgimento da primeira câmara escura, no século XVIII. Desde o tempo em que as câmaras escuras eram salas escuras, já eram obtidas boas imagens. Entretanto, qual era o procedimento? É o que vamos tentar descobrir no nosso experimento.

5 Comentários iniciais O desenvolvimento deste experimento se dá em dois momentos. Um deles é a confecção da câmara escura, o que por si só já é enriquecedor, uma vez que propicia ao aluno a aquisição de habilidades de manuseio, observação e percepção, além de transportá-lo a uma realidade diferente: como seria uma câmara fotográfica? A construção de uma delas é apresentada na primeira etapa. Depois, na segunda etapa, há uma exploração da câmara construída: a observação, as conclusões e a descoberta da matemática ali presente. Construção da câmara escura É importante que a classe seja dividida em grupos, no mínimo de três alunos, pois eles terão muitas tarefas diferentes para realizar simultaneamente. Os alunos podem usar uma caixa, tipo a de sapatos com tampa, ou, se for possível, construir uma caixa antecipadamente. A câmara deve ser confeccionada com todo o cuidado para que nela não haja frestas que permitam a entrada da luz. O orifício no papel deve ser muito pequeno, feito com uma ponta de alfinete, por exemplo. Após a confecção, os alunos podem testar a câmara, observando objetos que estão iluminados de preferência com luz natural. Verão que a imagem obtida desses objetos é invertida.

6 A D B C fig. 1 A figura mostra o esquema de uma câmara escura e seu interior. A câmara escura produz uma imagem invertida com relação ao objeto fotografado. O tamanho da imagem depende da distância do objeto ao furo. A câmara escura de orifício utiliza o princípio de propagação retilínea da luz para formar imagens em anteparos. A imagem é formada pela luz refletida pelo objeto, que passa pelo orifício e atinge a face oposta à face do orifício. O orifício seleciona a luz que chega à face oposta, de tal forma que, de todos os raios de luz que saem de um ponto do objeto, o orifício deixa passar somente um, produzindo-se então um ponto na face oposta iluminado por aquele raio. A D P C fig. 2 B Na figura, representa o objeto, representa a imagem e representa o orifício. Os dois triângulos e são semelhantes.

7 Exploração com a câmara É conveniente que esta etapa do experimento seja realizada fora da sala de aula. Os alunos devem, é claro, levar para lá o material necessário: fita métrica, tiras de cartolina, caderno e lápis para anotações. O principal objetivo é a construção de tabelas usando os dados das coletas de medidas, para posterior obtenção de duas relações algébricas. A primeira delas será feita utilizando uma tira de cartolina em cada vez. Os alunos se afastam ou se aproximam da caixa, obtendo, assim, para cada tira, a distância do objeto à caixa, a fim de que a imagem se enquadre no anteparo, ou seja, fique igual a. A relação algébrica, como será visto no fechamento, é do tipo, onde é uma constante positiva que depende da câmara construída pelo grupo. Da mesma maneira, na segunda relação, os alunos utilizarão uma tira de cada vez, mas, nesse caso, o anteparo é aproximado ou afastado do orifício da câmara, obtendo, assim, para cada tira, a relação entre sua medida e a distância entre o anteparo e o orifício. Essa relação é do tipo, onde é uma constante positiva que depende da câmara construída pelo grupo. É bom orientar os alunos sobre o cuidado que devem ter com as posições corretas dos objetos, anteparo, tiras e nas próprias medições, bem como com os objetos usados na sua obtenção. Essa orientação é importante, pois quanto mais precisa for a medida, mais chance terá o experimento de fornecer as relações algébricas procuradas.

8 Após a coleta de dados obtidos na Etapa 2, os alunos deverão representar os pontos em dois sistemas de eixos cartesianos: um relativo a e outro relativo a. O objetivo é que os alunos reflitam sobre uma possível curva que se ajuste a cada um dos conjuntos de pontos obtidos. As tabelas 1 e 2 retratam os dados ideais obtidos para o experimento, dada uma determinada câmara construída. Seja paciente com a falta de precisão dos dados, porque isso acontece em muitos experimentos. Análise das representações gráficas Caso relativo à Tabela 1 Com a finalidade de uma análise em conjunto com a classe, um dos grupos deverá ser escolhido para expor na lousa os dados obtidos na Tabela 1 e a representação gráfica dos pontos correspondentes. Estes últimos deverão ser colineares e, é claro, alguns pontos podem estar representados apenas próximos à reta ao invés de ter uma representação na reta, já que são comuns os erros obtidos na medição e nos arredondamentos dos cálculos. A figura mostra a tabela 1 com esses dados e a representação gráfica correspondente.

9 Relação entre as grandezas T o e D o T o (cm) D o (cm) T e = 5 cm D e = 15 cm fig. 3 Proporcionadade inversa Após a representação gráfica dos pontos coletados, os alunos devem refletir sobre qual curva conhecida se aproxima mais dos dados coletados e, intuitivamente, representá-la no gráfico, que já deve estar com a representação dos pontos coletados. Convém lembrar que, devido às possíveis imprecisões nas medições, a curva poderá não passar por todos os pontos, mas apenas se aproximar deles. É interessante que se discuta esse fato com os alunos. A seguir, vamos identificar essa curva usando conceitos matemáticos.

10 Obtenção da relação matemática entre T o e D o A figura a seguir mostra uma representação da situação da Ilustração 1. Observe que os triângulos e são semelhantes. Note também que, a partir disso, as alturas e dos respectivos triângulos estão na mesma razão de semelhança. Logo, vale a relação, isto é,. A D T o D o P D e T e C fig. 4 B Percebemos que essa última expressão relaciona com o produto de com a constante da câmara construída pelo aluno. Essa relação entre os valores e caracteriza uma proporcionalidade, mais especificamente, uma proporcionalidade direta.

11 Proporcionalidade Direta Definição Duas grandezas são diretamente proporcionais se existe uma correspondência, que associa a cada valor de uma delas um valor bem determinado da outra, de tal modo que seja válida a seguinte condição: Se a um valor corresponde o valor e é um número qualquer positivo, então o valor que corresponde a é. Em símbolos matemáticos, se então. Essa correspondência é chamada proporcionalidade direta. Observação Para verificar que uma correspondência é uma proporcionalidade direta, basta verificar a validade da condição dessa definição para o caso em que é um número natural e verificar que, quanto maior for, maior será, ou, em símbolos matemáticos, se e, então implica. Essas afirmações decorrem do Teorema Fundamental da Proporcionalidade, cujo enunciado é o seguinte. Teorema Fundamental da Proporcionalidade Se é uma função crescente tal que para todo e todo, então para quaisquer e em. A demonstração desse teorema se encontra na pág. 16 do livro Temas e Problemas.

12 Proporcionalidade direta e fator de proporcionalidade Dada uma proporcionalidade direta, o número, que indica o valor de correspondente a, é chamado fator de proporcionalidade. Então, pela definição anterior, obtemos que o valor correspondente a é. Assim, destacamos: Se é uma proporcionalidade direta, existe uma constante positiva, chamada fator de proporcionalidade, tal que para todo. A recíproca é imediata: se existe uma constante a positiva tal que, para todo, então é uma proporcionalidade direta. Então, a definição de grandezas diretamente proporcionais também pode ser dada por: Curiosidade Duas grandezas são diretamente proporcionais se existe uma constante positiva tal que, para todo. Representação gráfica de uma proporcionalidade direta A seguir, veremos que um conjunto de pontos cujas coordenadas são diretamente proporcionais pertencem a uma reta. Consideremos os pontos, e três pontos nessas condições, ou seja,, e, onde é a constante de proporcionalidade. Vamos supor, sem perda de generalidade, que. Temos: Daí, obtemos, ou seja,, e são colineares.

13 Inclinação e coeficiente linear A reta que contém os pontos, e passa pela origem. Sua inclinação em relação ao eixo, ou seja, o seu coeficiente angular, é dada pela tangente do ângulo que ela forma com esse eixo. Assim, se tomamos e, obtemos o coeficiente angular da reta dado por. y ax2 P2 ax2 ax1 ax1 P1 x2 x1 fig. 5 x1 x2 x Como é positivo, os pontos que satisfazem a proporcionalidade constituem a parte dessa reta no primeiro quadrante do plano cartesiano. Essa reta representa o gráfico de uma função linear. Definição Uma função é chamada função linear se, para todo, o valor é dado por, onde é uma constante real.

14 Voltando ao experimento Observamos que no experimento as variáveis e são relacionadas por, onde é uma constante. Assim, a correspondência entre e é uma propor cionalidade direta, com fator de proporcionalidade, que, no caso dos dados obtidos, é igual a 3. É esperado que, considerando as possíveis imprecisões nas medições, os pontos da representação gráfica feita pelos alunos estejam próximos de uma reta passando pela origem e com inclinação igual ou próxima a 3. Função afim O professor pode aproveitar a oportunidade para introduzir aos alunos o conceito de função afim. Adicionando uma constante à segunda coordenada de cada ponto do gráfico de uma função linear, obtemos uma translação desse gráfico, de unidades na direção do eixo dos. O conjunto de pontos obtidos por essa translação é uma nova reta, paralela à primeira e, portanto, com coeficiente angular também igual a e que intersecciona o eixo dos no ponto. Essa reta representa o gráfico de uma função chamada função afim. Definição Uma função é chamada função afim se, para todo, o valor é dado por, onde e são constantes. A constante é chamada valor inicial e o coeficiente é chamado a taxa de variação de. Observação Da mesma maneira como feito para uma proporcionalidade direta, podemos constatar que o gráfico de uma função afim é uma reta.

15 Caso relativo à Tabela 2 Como no caso anterior, a tabela 2 e o gráfico correspondente deverão ser analisados. O propósito é encontrar uma expressão que relacione as grandezas e. A figura mostra a tabela 2 com os dados obtidos na segunda coleta e a representação gráfica correspondente. To (cm) De (cm) T e = 5 cm D o = 50 cm fig. 6 Proporcionadade inversa Qual é a curva para esse caso? Lembramos novamente que, devido às possíveis imprecisões nas medições, alguns pontos apenas se aproximarão da curva. Novamente, é interessante que esse fato seja discutido com os alunos. Vamos identificar a curva usando conceitos matemáticos.

16 Obtenção da relação matemática entre T o e D e Novamente, da semelhança entre os triângulos e, obtemos isto é,,. A D T o D o P D e T e C fig. 7 B Diferentemente da relação obtida no primeiro caso, essa expressão mostra que o produto das grandezas e é igual à constante da câmara construída pelo grupo. Proporcionalidade inversa Definição Duas grandezas são inversamente proporcionais se existe uma correspondência que associa, a cada valor de uma delas, um valor bem determinado da outra, de tal modo que seja válida a seguinte condição: Se a um valor corresponde o valor e é um número qualquer positivo, então o valor que corresponde a é.

17 Em símbolos matemáticos, se então. Essa correspondência é chamada de proporcionalidade inversa. De forma análoga à proporcionalidade direta, para verificar que uma correspondência é uma proporcionalidade inversa, basta verificar a validade da condição dessa definição para o caso em que é um número natural. É necessário também verificar que quanto maior for, menor será, ou, em símbolos matemáticos, se e, então implica. Proporcionalidade inversa e fator de proporcionalidade Dada uma proporcionalidade inversa, o número, que indica o valor de correspondente a, é chamado fator de proporcionalidade. Então, pela definição anterior, obtemos que o valor correspondente a é. Assim, destacamos: Se é uma proporcionalidade inversa, existe uma constante positiva, chamada fator de proporcionalidade inversa, tal que, para todo. A recíproca também é válida: se existe uma constante positiva tal que para todo, então é uma proporcionalidade inversa. Então, a definição de grandezas inversamente proporcionais também pode ser dada por: Definição Duas grandezas são inversamente proporcionais se existe uma constante positiva tal que, para todo.

18 Representação gráfica de uma proporcionalidade inversa Informe aos alunos que a curva que passa pelos pontos tais que, com e é uma constante positiva, é um ramo da curva denominada hipérbole. Um estudo das cônicas, que inclui as hipérboles, é feito em Geometria Analítica na terceira série do Ensino Médio. fig. 8 Proporcionalidade e regra de três A regra de três é um processo prático que o professor pode apresentar aos alunos a partir do que foi visto. Dada uma proporcionalidade tal que e, ou tal que e, e conhecidos três dos números,, e, calculamos o quarto desses números. No caso da proporcionalidade direta temos. Assim, com essa proporção, podemos obter um dos números,, e quando três são conhecidos. No caso da proporcionalidade inversa, temos. Assim, a regra de três inversa consiste em, a partir de três dos valores,, e e conhecidos, calcularmos o quarto desses números usando a proporção.

19 Sugestão ao professor Explorar problemas práticos em que se utiliza a regra de três. Ver Temas e Problemas, p Explorar exemplos em que aparecem grandezas que não são nem diretamente proporcionais, nem inversamente proporcionais. Desenvolver a teoria de grandeza proporcional em várias outras. Ver Temas e Problemas, p Este experimento pode abordar também outros temas, a saber: Introdução ao conceito de função ao obter a dependência entre as variáveis e, ou entre e apresentadas no experimento; Introdução à geometria analítica no estudo das equações das retas e na introdução às cônicas, especificamente às hipérboles; Introdução ao conceito de semelhança de figuras espaciais, assim como homotetia. Quanto a essa última abordagem, apresentamos algumas sugestões. Considere a figura: fig. 9

20 Nela vemos que a imagem do polígono aparece invertida no anteparo e as pirâmides e são semelhantes com razão de semelhança igual a. Os dois polígonos são semelhantes e, devido à posição em que se encontram, são homotéticos, com razão de homotetia (inversa) igual a, sendo que o centro da homotetia é o ponto, o orifício da câmara. Veja mais sobre esse assunto, por exemplo, em [Rezende e Queiroz]. Também, sob um aspecto interdisciplinar, pode ser explorado como é o processo de formação de imagens, o caminho do raio de luz e a imagem que se forma na retina do olho. Ávila, G.. Ainda sobre a regra de três. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n.9, p.1-9, Lima, E. L. Que são grandezas proporcionais? Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n.9, p.21-29, Lima, E. L; Carvalho, P. C. P.; Wagner, E.; Morgado, A. C. QA. C. Temas e Problemas. 3ª ed. Rio de Janeiro: SBM, (Coleção do Professor de Matemática). Disponível em < Acesso em: 23 março Rezende, E. Q. F.; Queiroz, M. L. B. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. 2ª ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2008.

21 Ficha técnica Autoras Claudina Izepe Rodrigues, Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz Revisores Matemática Antônio Carlos do Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico Preface Design Universidade Estadual de Campinas Reitor José Tadeu Jorge Vice-Reitor Fernando Ferreira da Costa Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe unicamp) Coordenador Fernando Arantes Gerente Executiva Miriam C. C. de Oliveira Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação