Experimento. Guia do professor. Qual é o cone com maior volume? Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia

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1 geometria e medidas Guia do professor Experimento Qual é o cone com maior volume? Objetivos da unidade 1. Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior volume que se poderia montar; 2. Explorar a maximização e minimização de funções. licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Qual é o cone com maior volume? Guia do professor Sinopse Reunidos em grupos, os alunos construirão seis cones diferentes usando o mesmo material inicial (um círculo de cartolina com 8 cm de raio) e tentarão organizá-los em ordem de volume. Feito isso, calcularão seus volumes a partir de suas medidas e tentarão descobrir como o cone deveria ser montado para que se obtivesse o maior volume possível. Conteúdos Geometria Espacial Aplicação: Problema de Otimização. Objetivos 1. Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior volume que se poderia montar; 2. Explorar a maximização e minimização de funções. Duração Uma aula dupla. Material relacionado Experimento: Caixa de Papel; Experimento: Qual o prismas de maior volume.

3 A otimização de embalagens, peças e recipientes é um processo frequente em indústrias de maneira geral. Normalmente, o que se quer é obter o maior volume consumindo uma quantidade fixa de material ou obter um certo volume usando a menor quantidade de material possível. Do ponto de vista matemático, o foco central é a investigação de pontos de máximos e mínimos de funções. Esses pontos podem ser extremos locais, denominados pontos críticos (onde a derivada primeira da função é zero ou inexistente), como no caso do ponto de mínimo da parábola, ou de máximo da função, como em, por exemplo. Em muitas situações, os pontos procurados são extremos globais da função dentro de uma determinada região. As funções podem, ainda, ter uma, duas ou muitas variáveis. Assim, quando falamos em otimização, podemos estar nos referindo a métodos matemáticos, a algoritmos computacionais, a modelagem de um problema ou a alguma necessidade prática específica. Ou, na maioria das vezes, a tudo isso junto. O experimento proposto envolve alguns desses aspectos da otimização. Utilizando círculos de cartolina, os alunos vão construir vários cones e, a partir de algumas análises, poderão, experimentalmente, levantar hipóteses sobre como deve ser a construção do sólido para que ele tenha o maior volume possível.

4 Este experimento apresenta um procedimento completo de modelagem matemática com enfoque em otimização. Vários conceitos estudados no Ensino Médio, como funções, gráficos, relações métricas no plano e volume de sólidos, serão utilizados para o estudo do problema proposto. Durante as atividades, os alunos são convidados a tomar decisões, validar suas hipóteses ou modelos e, ao final, poderão comparar as respostas que obtiveram com as respostas dos diferentes grupos. Comentários iniciais Professor, certifique-se de que os alunos entenderam qual é o problema, a saber, cortar o círculo de cartolina e depois colar de forma a ter um cone que tenha o maior volume interno possível. Construção dos cones Quando os alunos cortarem o círculo (veja figura abaixo), ambas as fatias podem ser usadas para construir cones. Desta forma, cada corte pode gerar dois cones. Isto não é óbvio para os alunos inicialmente. Deixe-os fazer os cortes e peça apenas que eles guardem as fatias cortadas. Oportunamente, mostre que eles podem fazer outros cones com as fatias cortadas.

5 Θ fig. 1 Cálculo dos volumes No cálculo dos volumes dos cones, ambas as medidas devem ser feitas com cuidado para não ter muito erro ao final. A medida do diâmetro ou raio da base circular usualmente tem menos erro sistemático, pois os alunos os medem diretamente. No entanto, qualquer erro nesta medida vai aparecer duplamente no cálculo da área da base. fig. 2 Medida da altura do cone. A altura do cone é uma medida que exige um pouco mais de atenção porque é indireta, mas com um pouco de zelo não deve gerar muitos erros no cálculo do volume.

6 Na seção Modelagem do problema no Fechamento do experimento é deduzida a seguinte expressão para o cálculo do volume do cone em função do ângulo da fatia retirada do disco inicial: Durante o experimento, foi mencionado o fato de que o valor máximo para o volume do cone ocorre quando é aproximadamente igual a. A seguir, vamos determinar precisamente esse valor utilizando alguns conceitos de cálculo diferencial: Fazendo a substituição podemos escrever o volume do cone em função de,. Pela natureza do problema, devemos ter e, da expressão de, devemos ter. Logo, o domínio da função são todos os valores reais de, tais que. Note que o valor de é uma fração que representa a porção do disco que será utilizada na construção do cone. Portanto, o raio do cone construído será igual ao raio do disco multiplicado por. De fato, conforme deduzimos no experimento,.

7 O mesmo fato pode ser observado para a área lateral do cone ( ) em relação à área do disco original ( ):. Determinação do cone ótimo utilizando cálculo diferencial Estamos interessados em encontrar o ponto de máximo da função. Se elevarmos ambos os lados da igualdade acima ao quadrado, podemos nos livrar da raiz quadrada que aparece na equação. Assim,, ou ainda,. Vamos denotar por a função que representa o quadrado do volume do cone, isto é,. Do ponto de vista da otimização, maximizar um volume é equivalente a maximizar o seu quadrado. Ou seja, podemos considerar a função ao invés da função. De fato, se um ponto é um ponto de máximo (ou de mínimo) para a função, também será um ponto de máximo (ou de mínimo) para. Obviamente, os valores das imagens e são diferentes. Expandindo a multiplicação em, podemos escrever. Sabemos que os extremos locais de função diferenciável ocorre onde a derivada primeira é nula ou inexistente. Derivando em relação a, obtemos,,

8 ou ainda,. Para encontrar seus pontos críticos, devemos resolver a equação. ou Como a derivada está definida para todos os valores de ( é uma função polinomial), temos que os únicos pontos críticos de são, e. Como não pertence ao domínio que nos interessa, simplesmente vamos descartar esse valor. Um ponto crítico pode ser um máximo local, um mínimo local ou ainda um ponto de inflexão da função. Para classificarmos os pontos críticos de, vamos analisar sua derivada segunda:. Avaliando os pontos críticos na segunda derivada, obtemos: < O teste da derivada segunda não é conclusivo para o ponto. Mas, claramente, implica, isto é, o volume do cone é igual a zero. Como o volume do cone é um número não negativo, o valor é, certamente, mínimo absoluto para. Como <, o ponto é um ponto de máximo local da função.

9 O ângulo que deve ser retirado para obtenção do cone ótimo é encontrado após desfazermos a substituição. Assim,,. Portanto, o valor máximo para o volume do cone será obtido quando o ângulo da fatia retirada for igual a,. Isso equivale a um volume aproximado de,cm. Interpretação geométrica para o cone ótimo Já dissemos que o valor de representa a fração do disco que será retirada para a construção do cone. Deduzimos que, para obter o maior volume possível,, é necessário que a altura deste cone seja igual a. Portanto, o cone de maior volume que pode ser construído retirando uma fatia de um disco circular possui raio da base igual a e altura igual a. Note que, ou seja, a relação entre o raio e a altura do cone ótimo é a mesma relação existente entre o lado de um quadrado e sua diagonal interna.

10 fig. 3 Isso significa que um cone ótimo pode ser construído com régua e compasso, conforme ilustrado na figura 3: baixando a diagonal para formar o raio da base do cone e mantendo o lado do quadrado como altura do cone. Considerações finais Conforme sugerido no experimento, o fechamento da atividade será feito com um desafio proposto aos alunos: Quem consegue obter o cone de maior volume? Questão para os alunos Esperamos que os alunos utilizem os resultados de seus experimentos para estimar valores de cada vez mais próximos de,, obtendo cones com volumes que convirjam para,cm. O professor pode ainda propor um desafio adicional:

11 Questão para os alunos 1. Quantos cones com cm de volume podem ser construídos? 2. Se houver mais de um desses cones, calcule qual possui a menor área lateral. A resposta exata da questão 1. envolve a resolução da equação, que, mesmo escrita na forma, ainda não tem solução analítica trivial. No entanto, uma análise do gráfico construído através do experimento permite concluir que existem dois cones com volumes iguais a cm. Um deles tomando, e outro tomando fig. 4

12 Da relação, concluímos que, para,, a fatia de disco utilizada para formar o cone terá área igual a,,cm. De forma análoga, para, a fatia de disco utilizada para formar o cone terá área igual a,cm. Portanto, o cone formado a partir da retirada da fatia de disco com ângulo possui a menor área lateral. Finalmente, uma embalagem com volume igual a cm, em forma de cone, produzida a partir de um disco circular de raio cm, seria a opção mais econômica em termos de área lateral. Uma variação deste experimento pode ser encontrada no software Cone de volume máximo, no qual os alunos modelam o problema e desenham o gráfico da função no computador. Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo; Morgado, Augusto César. A matemática do Ensino Médio. Coleção do professor de matemática. Vol. 2. Sociedade Brasileira de Matemática. Impa. Rio de Janeiro RJ, 2003.

13 Ficha técnica Autor Cristiano Torezzan Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design Fotógrafo Augusto Fidalgo Yamamoto Universidade Estadual de Campinas Reitor José Tadeu Jorge Vice-Reitor Fernando Ferreira da Costa Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe unicamp) Coordenador Fernando Arantes Gerente Executiva Miriam C. C. de Oliveira Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

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