Experimento. Guia do professor. Curvas de nível. Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia. Ministério da Educação

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1 geometria e medidas Guia do professor Experimento Curvas de nível Objetivos da unidade 1. Desenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal; 2. Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras tridimensionais a uma representação plana; 3. Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático por meio da construção de curvas de nível. licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Curvas de nível Guia do professor Sinopse Este experimento propõe o estudo das curvas de nível e suas aplicações, usando massa de modelar. A partir da construção de um relevo, é possível desenhar suas curvas de nível e seu perfil topográfico. O caminho contrário também pode ser feito: a partir de um conjunto de curvas, podemos obter o formato do acidente geográfico. Conteúdos Geometria Plana; Geometria Espacial, Paralelismo entre Planos, Projeções Ortogonais Objetivos Desenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal; Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras tridimensionais a uma representação plana; Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático por meio da construção de curvas de nível. Duração Uma aula dupla.

3 Uma curva de nível é o lugar geométrico dos pontos de uma superfície que estão à mesma altitude. O seu estudo pode esclarecer as características dos acidentes do relevo de um terreno, permitindo verificar as elevações ou depressões existentes. Neste experimento é proposta uma atividade que permite aos alunos conhecer, interpretar e construir mapas topográficos a partir da composição e decomposição de relevos, proporcionando uma importante experiência de aplicação do conhecimento geométrico à situações de caráter prático. O experimento possibilita a compreensão de aplicações muito diversificadas, tais como: em agronomia, para proteger terrenos contra erosão, na escolha de lugares para se colocar antenas ou torres de transmissão, na leitura adequada de mapas topográficos para definir estratégias de defesa ou ataque, e mesmo na medicina, ciência cujos especialistas em córnea usam um smt, ou Sistema de Modelagem Topográfica, para produzir um mapa da curvatura da superfície do olho.

4 Comentários iniciais Este experimento possibilita um trabalho em grupo de tal maneira que os alunos construam relevos, com a utilização de massa de modelar. Isto possibilitará obter cortes no relevo criado para depois desenhar as curvas de nível correspondentes e ainda obter o perfil topográfico do relevo, ou seja, é criada uma representação plana do espaço tridimensional. Tipos de relevos Descrição dos relevos Os mapas topográficos permitem localizar as regiões montanhosas e de planícies. Segue um exemplo de um mapa que utiliza uma gradação de cores para distinguir as diferentes alturas das elevações. Por exemplo, as menores altitudes são verdes e as maiores são coloridas em marrom ou vermelho. fig. 1

5 Os mapas topográficos, entretanto, não permitem reconhecer os detalhes de formas do terreno, tais como vales, selas ou espigões. Para isso, é necessário o traçado de curvas de nível. No experimento é citado o termo formas topográficas convexas. No quadro abaixo encontra-se uma definição de sólido convexo e não convexo. Definição Um sólido é convexo se, para quaisquer dois pontos da sua superfície, o segmento de reta que une esses pontos está na sua superfície ou no seu interior. Caso tal não se verifique, o sólido é não convexo. Exemplos: fig. 2 Sólido convexo fig. 3 Sólido não convexo

6 Curvas de nível Associado à construção das curvas de nível, podemos destacar o conceito de projeção ortogonal. A projeção ortogonal,, de um ponto sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular ao plano, conduzida pelo ponto. P α P fig. 4 A projeção ortogonal de uma figura geométrica (qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de sobre. F α F fig. 5 Observe na figura 10 do experimento os pontos das curvas de nível obtidos. Esses pontos correspondem a projeções ortogonais sobre um plano dos pontos que estão nos contornos correspondentes à intersecção do terreno com planos paralelos ao plano.

7 m equidistância m 400 vertical fig. 6 Observação Quanto mais próximo estiverem as curvas umas das outras, mais inclinado será o terreno; quanto mais espaçadas, menos inclinado ele o será. Certos aspectos das superfícies devem ser destacados, por exemplo: um pico montanhoso é rodeado de linhas de nível como a figura abaixo: x 585 x 563 fig. 7

8 fig. 8 uma passagem por uma cordilheira pode ter contornos como a figura abaixo: x 563 fig fig

9 um longo vale apresenta curvas de nível aproximadamente paralelas, conforme a figura abaixo: fig. 11 fig. 12

10 Curiosidade Uma situação em que ocorre o cruzamento de curvas de nível pode ser ilustrada pela figura abaixo. A foto mostra uma formação rochosa existente no parque Nacional das Sete Cidades, no Piauí, e, abaixo, a representação das curvas de nível para uma formação desse tipo: fig. 13 fig. 14

11 Reconstrução e comparação de relevos Nesta etapa os alunos deverão construir um relevo a partir das curvas de nível, num processo inverso ao da etapa 2, permitindo ao aluno manipular, explorar e analisar as relações entre as representações plana e espacial de um relevo. Perfil topográfico A partir do traçado obtido das curvas de nível, é possível escolher uma linha horizontal na carta topográfica e representar os aclives e declives ao percorrer essa linha. A linha obtida por esse gráfico é o perfil topográfico do percurso. Ao analisar um perfil topográfico, podemos identificar as formas côncavas ou convexas de um terreno. Essas formas são ilustradas nas figuras a seguir: vista oblíqua Uma pendente escarpada até o cume e mais suave até a base é uma pendente côncava fig. 15 vista de carta Note que as curvas de nível estão mais juntas na parte abrupta do declive e mais separadas na parte suave. vista de perfil

12 vista de carta As curvas de nível estão mais separadas na parte suave, mais juntas na parte mais inclinada do declive. x vista oblíqua Uma pendente suave até a base é uma pendente convexa fig. 16 vista de perfil VISTA DE PERFIL Observação A partir da identificação das formas côncavas ou convexas de um perfil topográfico, obtemos informações importantes relativas à visibilidade de um ponto em relação a outro. Essas informações são úteis, por exemplo, em projetos de transmissão de sinais de rádio, televisão ou telefonia celular.

13 Este experimento se encerra com um problema de aplicação, no qual é necessário representar o perfil de uma linha de um terreno para responder à seguinte pergunta: a casa situada em receberá sinal de TV de uma torre situada em? O problema deve ser resolvido conforme os passos descritos na etapa 4. A figura abaixo apresenta a solução, mostrando que a casa não receberá o sinal de TV, pois a elevação situada entre a casa e a torre impede a chegada do sinal. fig. 17

14 Caso haja disponibilidade de cartas topográficas da região, adapte o problema para locais conhecidos dos seus alunos. Também podem ser utilizados outros tipos de materiais, como eva, para a cons trução dos relevos e suas curvas de nível. fig. 18 Gleason, Andrew; Hughes-Hallett, Déborah; Mccallum, William et al. Cálculo de Várias Variáveis. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1997.

15 Ficha técnica Autores Miriam Sampieri Santinho, Rosa Maria Machado e Wilson Roberto Rodrigues Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Fotógrafo Augusto Fidalgo Yamamoto Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-Reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

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