Números primos. Série Rádio Cangalha. Objetivos 1. Provar que existem infinitos números primos;

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1 Números primos Série Rádio Cangalha Objetivos 1. Provar que existem infinitos números primos;

2 Números primos Série Rádio Cangália Conteúdos Aritmética. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Provar que existem infinitos números primos. Sinopse Os radialistas Ivone e Henrique, comentam com o apoio do professor Leumas, o significado do achado arqueológico conhecido como osso de Ishango. O osso possui marcas associadas a contagem, tem idade estimada em 22 mil anos e é considerado o artefato matemático mais antigo já encontrado. No programa também é feita a demonstração de que existem infinitos números primos. Material relacionado Vídeo: Venda Segura.

3 Introdução Sobre a série A série Rádio Cangália, apresenta programas de variedades descontraídos que usualmente abordam uma informação ou notícia de conhecimentos gerais com comentários de um professor de matemática. No segundo bloco é apresentado um resultado, um teorema ou uma curiosidade matemática com algumas ideias de demonstração. O programa pode ter também tem uma piada ou uma frase célebre, sem preocupação de coerência e sim para ter motivos de discussão e reforçar a descontração. Sobre o programa Neste programa, os três apresentadores da rádio cangalha, discutem o significado do artefato arqueológico conhecido como osso de Ishango. Trata-se de um osso de macaco medindo aproximadamente 10cm que possui várias marcas associadas a algum tipo de contagem. Como o osso possui 22 mil anos ele é considerado o artefato matemático mais antigo já encontrado. Veja a foto. Note os riscos no osso. Note que o osso possui três colunas de marcações. Na primeira coluna possui 4 grupos de marcações, com 11, 13, 17 e 19 marcações. Duas observações feitas sobre esta coluna é que possui no total 60 marcações, e que cada grupo possui um número primo de marcações. A segunda coluna possui também 60 Números primos 3/6

4 marcações em grupos de 11, 21, 19 e 9. Note que nesta coluna temos dois primos 11 e 19 e que 21=11+10, e 9= Na terceira coluna é mais complicado agrupar as marcações, mas sabe-se que ela possui ao todo 48 marcações, que possui 12 como divisor comum com 60, o que indica que o dono do artefato poderia usar um sistema de contagem de base 12 como vários povos da antiguidade. Várias explicações são possíveis para esta contagem como as fases da Lua, por exemplo. O interessante é que o osso é anterior à civilização e mesmo ao desenvolvimento da escrita, o que mostra o quão fundamental é o processo de contagem para o desenvolvimento da humanidade. No programa também é feita a demonstração de que o conjunto dos números primos é infinito, a qual se deve a Euclides. A demonstração é como segue. Suponha que o conjunto P dos números primos é finito, P= {P 1, P 2,..., P n }. Então Q= P 1 P 2... P n + 1 não está em P, logo Q não é primo. Mas Q não é divisível por nenhum P i, i=1,2,...,n. Ou seja Q só é divisível por 1 e Q. Ou seja, Q é primo - contradição. Segue que existem infinitos números primos. Além disso, é apresentada uma fórmula que aproxima a quantidade P(X) de números primos menores que um número dado X, que é P(X)=X/ln(X). Sugestões de atividades Durante a execução Caso disponha de um projetor o professor pode mostrar uma fotografia do osso de ishango. Números primos 4/6

5 Depois da execução No próprio áudio é sugerido que se verifique que a estimativa para a quantidade de primos menores que um número dado X é boa para alguns valores de X. Primos: criptografia e cigarras Os números primos aparecem em alguns fenômenos naturais, e são base de vários dos sistemas de criptografia (Codificação) que garantem o sigilo de mensagens e senhas em comunicações pela internet, por exemplo. Veja o vídeo Venda segura dessa coleção M 3. Aliás a presença de tantos números primos no osso de Ishango denota que esses números apareciam normalmente nas atividades do dono do artefato. Um fenômeno interessante relacionado aos números primos é o ciclo de vida de algumas espécies de cigarras como a Magicicada septendecim e a Magicicada tredecimi que passam 17 e 13 anos respectivamente na forma de larva vivendo abaixo do solo. O que intriga os pesquisadores é que são ciclos de vida bastante longos para um inseto. E outra curiosidade é que ambos os números, 13 e 17 são primos. A explicação da primalidade é que se a cigarra possui parasitas (ou predadores) com ciclo de vida de digamos n anos (n<17), como 17 é primo, n não divide 17, portanto os parasitas só encontrão cigarras para parasitar em MMC(17,n)=n 17 anos, ou seja se passarão 17 gerações do parasita sem cigarras para parasitar (tempos difíceis para o parasita!). Por exemplo, se o ciclo de vida do parasita é de 8 anos, cigarras e parasitas só se encontrarão depois de 136 anos do seu ultimo encontro! Sugestões de leitura Simon Lehna Singh. O último Teorema de Fermat. Adilson Gonçalves(2006). Introdução à Álgebra. Ficha técnica Autor Alison V.D.L. Melo Revisão Samuel Rocha de Oliveira Números primos 5/6

6 Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira Números primos 6/6