AMBIENTE DE APRENDIZAGEM DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PAUTADO EM EPISÓDIOS DE RESOLUÇÃO DE TAREFAS

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1 AMBIENTE DE APRENDIZAGEM DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PAUTADO EM EPISÓDIOS DE RESOLUÇÃO DE TAREFAS Nélvia Santana Ramos - nelvia_ramos@hotmail.com Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Londrina - Paraná Maycon Odailson dos Santos da Fonseca - santos_califa@hotmail.com André Luis Trevisan - andrelt@utfpr.edu.br Resumo: Neste artigo apresentamos uma proposta de caracterização de um ambiente de aprendizagem de cálculo diferencial e integral pautado em episódios de resolução de tarefas, que, ao mesmo tempo, leve em conta aspectos apontado pelas pesquisas, atenda demandas rotineiras da sala de aula e estejam alinhadas com a organização didático-pedagógica da instituição de ensino na qual atuamos. Para tanto, dialogamos com uma literatura que caracteriza tarefas matemáticas, bem como características apontadas por algumas pesquisas que discutem o ensino de Cálculo Diferencial e Integral. Apresentamos alguns elementos que caracterizam nosso ambiente real de ensino, e analisamos um episódio envolvendo a utilização de uma tarefa que explora o conceito de sequências numéricas. Palavras-chave: Ensino de Matemática, Ensino de Cálculo Diferencial e Integral, Tarefas matemáticas, Episódios de Resolução de Tarefas. 1 INTRODUÇÃO A cada ano, inúmeros alunos ingressam anualmente em cursos (dentre os quais os cursos de engenharia) que tem em sua ementa a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral (CDI). Entretanto, os índices de não-aprovação nessa disciplina, nas palavras de Rezende (2003) são bem catastróficos, o que tem tornado essa disciplina, nas últimas décadas, objeto de investigação de autores que desenvolvem pesquisas na área de Educação Matemática. A visibilidade dessa temática resultou em um volume especial da revista ZDM (2014), que procura apresentar uma espécie de estado da arte acerca da pesquisa em ensino e aprendizagem do CDI. No texto introdutório desse volume, Rasmussen; Marrongelle e Borba (2014) destacam a importância dessas investigações e sua contribuição para a prática de educar os estudantes que se ingressam em cursos de cálculo a cada ano. Destacam, porém, que,

2 enquanto as últimas décadas de pesquisa em Cálculo têm contribuído para uma melhor compreensão do pensamento matemático, a aprendizagem e ensino de áreas como limite, derivada e integral, muita pesquisas permanecem isoladas e descoordenadas (RASMUSSEN; MARRONGELLE E BORBA, 2014, p.508, tradução nossa). Apontam também que, embora as pesquisas estejam avançando na direção de compreender as dificuldades e obstáculos enfrentados por alunos na aprendizagem do CDI e o modo como alunos aprendem determinados conceitos particulares (função, limite, derivada, integral), essas pesquisas têm tido pouco impacto na prática das salas de aula; os autores reforçam a importância de pesquisadores engajarem-se em propostas nessa direção. Nesse sentido, a proposta deste texto, parte de um projeto de pesquisa intitulado Investigação de um ambiente educacional para o CDI em condições reais de ensino 1, é apresentar uma proposta de caracterização de um ambiente para o ensino dessa disciplina que leve em conta aspectos apontados pelas pesquisas, atendam demandas rotineiras da sala de aula e estejam alinhadas com a organização didático-pedagógica da instituição de ensino. Em especial, discutimos aqui a respeito da elaboração e aplicação de tarefas que possam integrar esse ambiente de aprendizagem. Ambiente de aprendizagem é um conceito ainda em elaboração no âmbito do projeto, mas nosso entendimento é que essa caracterização deve levar em consideração aspectos estruturais (estrutura da instituição de ensino, a natureza dos cursos de graduação oferecidos por ela, o perfil do egresso que se almeja e o perfil dos alunos matriculados na disciplina de Cálculo, entre outros) e aspectos pedagógicos e procedimentais (BORSSOI; SILVA; FERRUZZI, 2016, p. 4). Encontramos que, para Moreira (2007, sp), o ambiente de aprendizagem escolar é um lugar previamente organizado para promover oportunidades de aprendizagem e que se constitui de forma única na medida em que é socialmente construído por alunos e professores a partir das interações que estabelecem entre si e com as demais fontes materiais e simbólicas do ambiente. Baseados na definição de Moreira (2007), entendemos ambientes de aprendizagem como o conjunto de situações que envolvam os estudantes na construção e elaboração de conhecimentos na disciplina de CDI. Defendemos que tais ambientes sejam pautados em episódios de resolução de tarefas. Para autores da RME 2, os padrões de raciocínios encontrados nas resoluções de tarefas matemáticas são muito diferentes daqueles implicitamente apresentados nos livros didáticos ou empregados pelos professores e, portanto, as tarefas devem ser devem ser elaboradas sequências de tarefas que oportunizem a formulação de conjecturas e elaboração do conhecimento, que levem em consideração as concepções e imagens conceituais dos alunos relacionadas aos conteúdos, os quais deverão ser sistematizados mediante um processo de rigor compatível (REIS, 2009, p. 94). A prática de ensino de CDI, em especial nos cursos de engenharias, é organizada por meio de aulas expositivas, e, na mesma direção apontada por Gafanhoto e Canavarro (2014), a escolha das tarefas a serem propostas aos estudantes é influenciada exclusivamente pelos manuais escolares, livros didáticos e outros mediadores curriculares acessíveis, em especial na Internet. Tal prática se dá na contramão das recomendações apontadas pelas pesquisas em 1 Edital Universal 14/2014 do CNPq (Processo /2014-3). 2 Educação Matemática Realística (RME), movimento que teve origem na Holanda no final da década de Opondo-se ao formalismo da Matemática Moderna, Freudenthal, precursor do movimento, entende matemática como uma atividade natural e social cuja evolução acompanha a do indivíduo e a das necessidades de um mundo em expansão, uma atividade de organização (ou matematização).

3 Educação Matemática; abordagens de ensino de matemática promissoras são aquelas em que os alunos trabalham de forma colaborativa, com tarefas que envolvam a resolução de problemas e integrem recursos tecnológicos, propiciam a reflexão, promovam a interação interativa/dialógica e contribuam para a elaboração do pensamento matemático avançado. No entanto, implementar tais abordagens em salas de aula regulares continua a ser um problema em Educação Matemática (LITHNER, 2008). Apoiamo-nos na abordagem defendida por Palha (2013), Palha, Dekker, Gravemeijer e Van Hout-Woltersa (2013) e Palha, Dekker, Gravemeijer (2014): os autores propõe um arranjo de aprendizagem para ambientes reais de ensino, denominado shift problem lessons (o que estamos traduzindo como episódios de resolução de tarefas), planejados por meio da elaboração ou adaptação, a partir de livros didáticos, de sequências de tarefas, a serem resolvidas em grupos heterogêneos. Além de caracterizar um ambiente de aprendizagem de CDI pautado em episódios de resolução de tarefas, analisamos neste texto uma experiência exitosa desenvolvida nesse ambiente, a partir de um episódio de aplicação de uma tarefa em uma turma de Engenharia de Materiais da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR. Para tal, descrevemos o ambiente real de ensino na qual essa experiência foi vivenciada e discutimos possibilidades de encaminhamento dessa tarefa a partir da análise desse episódio. 2 EPISÓDIOS DE RESOLUÇÃO DE TAREFAS EM AULAS DE CDI A elaboração de tarefas matemáticas, segundo Ponte (2014), é uma etapa fundamental do processo de ensino da matemática, visto que sua elaboração deve priorizar a formulação e raciocínio matemático, pensado não como algo pronto e acabado, mas como inerente à atividade humana, valorizando a experiência dos alunos. Na perspectiva da RME, o ambiente de aprendizagem deve oportunizar ao estudante da reelaboração da Matemática, por meio de um processo de reinvenção guiada, na qual os alunos tenham seu papel ativo no processo de elaboração do conhecimento. As tarefas que integram este ambiente devem estimular os estudantes a aprender a analisar, organizar e aplicar Matemática de forma flexível em situações que sejam significativas para eles, e os problemas devem ser acessíveis, convidativos, e que valham a pena serem resolvidos. Também devem ser desafiadores, deixando claro para os estudantes por que algo está sendo perguntado (TREVISAN; BURIASCO, 2015, p. 177). Buscando uma caracterização para o termo tarefa, encontramos em Ponte (2014, p. 16) que estas são ferramentas de mediação fundamentais no ensino e na aprendizagem da Matemática, podendo ter ou não potencialidades em termos de conceitos e processos matemáticos que pode ajudar a mobilizar. Para Stein e Smith (2009, p. 105), tarefa é um segmento da atividade da sala de aula dedicada ao desenvolvimento de uma ideia matemática particular. Para Watson et al. (2013, p. 12), tarefas geram atividade que proporciona oportunidade de descobrir conceitos matemáticos, ideias, estratégias, e também o uso e o desenvolvimento do pensamento matemático e de modos de investigação. Pautados nas ideias apresentadas por esses autores, estamos tomando tarefa como o amplo espectro composto por coisas a fazer pelos estudantes em sala de aula, o que inclui desde a execução de exercícios algorítmicos até a realização de investigações ou construção de modelos matemáticos (TREVISAN; BORSSOI; ELIAS, 2015, p.3).

4 As tarefas matemáticas podem ser planejadas segundo diferentes níveis de demanda cognitiva, relacionando-se com o tipo de raciocínio exigido dos alunos para sua resolução (FONSECA; TREVISAN, 2016). Assim, tarefas que pedem aos alunos a execução de um procedimento memorizado, de maneira rotineira, representam um certo tipo de oportunidade para os alunos pensarem; tarefas que exigem que os alunos pensem conceptualmente e que os estimulem a fazer conexões representam um tipo diferente de oportunidade para os alunos pensarem (STEIN;SMITH, 2009, p. 22). Palha (2013), Palha, Dekker, Gravemeijer e Van Hout-Woltersa (2013) e Palha, Dekker, Gravemeijer (2014) defendem um arranjo de aprendizagem denominado shift problem lessons (o que estamos traduzindo como episódios de resolução de tarefas), que tem como objetivo a promoção de compreensões da matemática por meio de resoluções de tarefas em diferentes episódios factíveis em sala de aula regular. O modelo de ensino subjacente ao shift problem lessons, consiste em sequências de tarefas matemáticas, adaptadas de livros didáticos, a serem resolvidas por estudantes em grupos heterogêneos, de forma colaborativa, pois proporciona a troca de conhecimentos entre eles e proporciona indagações a conceitos matemáticos. (FONSECA, TREVISAN, 2016, p. 8). Tais episódios não substituem outras estratégias adotadas em uma aula usual de CDI, como os momentos de exposição pelo professor ou a resolução de listas de tarefas em horário extra-classe. Essa abordagem difere significativamente de uma aula expositiva usual, tendo como características principais: (i) o fato que o conteúdo subjacente à tarefa não precisar necessariamente ser apresentado aos estudantes primeiro; (ii) ser pautado na proposição de sequências de tarefas para introduzir e reinventar os conceitos do conteúdo proposto, sendo proposto em diferentes momentos durante o curso, em temas centrais da disciplina; (iii) os estudantes trabalharem em grupos na resolução dessas tarefas, e o papel do professor, ao invés de sempre fornecer explicações, é incentivar os alunos a apresentar e discutir suas ideias. Nesta linha, tais episódios permitem estimular o papel ativo do aluno, na discussão e resolução de tarefas em pequenos grupos heterogêneos de forma colaborativa, onde o professor tem um papel de mediador entre as apresentações e intervenções possíveis nas resoluções das tarefas. Palha, Dekker, Gravemeijer (2014, p.1593) defendem que essa abordagem seja limitada a 4 de treze lições do capítulo do livro. Na abordagem que defendemos, não há necessidade desse engessamento quanto ao número de aulas organizadas segundo essa abordagem. Defendemos a organização de uma sequência de tarefas começa a partir de uma situação particular, que remeta ao uso de estratégias e representações informais, e progressivamente leva à formalização e generalização dos procedimentos de solução (TREVISAN; BORSSOI; ELIAS, 2014, p. 4). Essas tarefas devem contemplar as grandes ideias presentes na ementa da disciplina de CDI: função, derivada e integral. 3 O CONTEXTO DO TRABALHO: NOSSAS CONDIÇÕES REAIS DE ENSINO A turma na qual coletamos os dados apresentados neste texto ilustra um perfil típico dos estudantes que ingressam em turmas de CDI 1, nos cursos diurnos de Engenharia na

5 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR). Essas turmas iniciam com cerca de 44 alunos de ingresso regular, além de 6 a 8 estudantes, que ingressam na modalidade especial (alunos que não obtiveram aprovação anterior na disciplina) 3. A seleção de candidatos para vagas aos cursos de graduação é realizada pelo Sistema de Seleção Unificado (SISU/MEC): O Sistema de Seleção Unificada (Sisu) é o sistema informatizado, gerenciado pelo Ministério da Educação (MEC), pelo qual instituições públicas de educação superior oferecem vagas a candidatos participantes do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) (BRASIL, 2016, sp). O processo ocorre durante o ano em duas etapas, no primeiro semestre e no segundo semestres, com 44 vagas em cada semestre letivo para novos ingressantes. Enquanto houver vagas, são realizadas chamadas adicionais, fazendo com que muitos alunos ingressem na turma até três semanas após o início das aulas. Em muitos casos os alunos que não conseguiram ingressar no primeiro semestre, tentam novamente para o segundo. Durante o segundo semestre, são abertos editais para trocas de cursos (interna), onde os alunos podem optar pela transferência de curso de graduação, do mesmo eixo tecnológico. Neste período simultaneamente são destinadas vagas para transferências externas, os quais alunos de outras instituições podem almejar uma vaga na instituição UTFPR, para os cursos de graduação. Muitos destes estudantes iniciam o curso sem que este tenha sido sua primeira opção no Sisu. Caso sejam chamados pela instituição na qual fizeram essa primeira opção (ou mesmo em listas adicionais de outras universidades na qual prestaram vestibular), abandonam o curso logo nas primeiras semanas, gerando vagas adicionais e novas listas de chamada. Tais fatos geram certa instabilidade nas primeiras semanas de aula do curso, e um número significativo de desistências ao longo dele. Em especial, a turma na qual desenvolve-se a experiência descrita neste texto teve altos índices de desistência em função da aprovação em outras universidades estaduais do Paraná, que tiveram seus calendários atrasados em função da greve ocorrida em Nos cursos de engenharias, a disciplina de CDI 1 possui seis aulas semanais, o que totaliza uma carga horária semestral de 90 horas/aulas, distribuídas ou em dois encontros semanais de três aulas, ou três encontros semanais de aulas. Em nosso entendimento, a segunda configuração possibilita um trabalho mais produtivo, tendo sido essa distribuição de aula solicitada à coordenação do curso para a turma na qual coletamos os dados. A disciplina faz parte da grade do primeiro semestre dos cursos de engenharia e também é tomado como pré-requisito para outras disciplinas, como Cálculo Diferencial Integral 2, Cálculo Diferencial Integral 2 e Equações Diferencial Ordinárias. Cálculo é utilizado como base para diversas disciplinas pré-requisito, na preparação para abordar problemas aplicados nas disciplinas subjacentes, preparar os alunos a uma compreensão de taxas, concavidade, relações funcionais, entre outros tópicos que envolvam problemas multidisciplinares. (RASMUSSEN; MARRONGELLE; BORBA, 2014, p. 509, tradução nossa). Em termos de infraestrutura, as salas de aula seguem a disposição usual (quadro negro à frente, mesa do professor e carteiras), além de data show. A UTFPR possui ambiente de estudo para os alunos, restaurante universitário, biblioteca, laboratórios de informática, física, 3 Em geral alunos que foram reprovados com média inferior a 4,0 e/ou frequência inferior à 75%. Aos alunos reprovados com média superior a 4,0 (e inferior a 6,0), e que apresentaram pelo menos 75% de frequência nas aulas, é permita a matrícula em turma sem presença obrigatória, ou seja, não precisam assistir as aulas e somente realizarem as avaliações.

6 química e laboratórios destinados a cursos específicos. Os alunos também têm acesso à acompanhamento pedagógico, sendo realizado pelo Núcleo de Assistência Pedagógica (NUAPE), onde contam com total assistência pedagógica (Departamento de Educação DEPED) e tem à disposição assistência psicológica, médica e odontológica. Com relação às disciplinas, são disponibilizados aos alunos assistência de monitoria, realizada em uma sala destinada ao atendimento dos mesmos em horários pré-estabelecidos pelo monitor. O monitor da disciplina é escolhido por um processo seletivo, realizado no início do semestre, por meio de edital própria. Cada disciplina cuja necessidade seja notória a assistência de monitoria (como é o caso de CDI 1) tem seu próprio monitor que, em conjunto o professor responsável pela disciplina auxilia os alunos em suas respectivas dúvidas na matéria, seja em conceito ou em listas de exercícios. Além disso, o professor destinada 25% da sua carga horária em sala de aula em horários na qual está disponível para atendimento aos estudantes. Dados organizados pelo DEPED indicam, em geral, uma utilização muito baixa desses recursos (monitoria e atendimento de professor) por parte dos alunos. Embora não seja nosso objetivo aqui discutir essa questão, nossa hipótese é que essas atividades acabam se caracterizando como espaços de reprodução das práticas tradicionais de sala de aula e, portanto, alinhá-las com uma proposta de ambiente de aprendizagem pautados em resolução de tarefas é uma questão em aberto, que demanda investigações. Os estudantes ingressantes aos cursos de engenharias têm características lapidadas durante a sua rotina de estudos na educação básica, tais como: falta de experiências anteriores com tarefas de caráter investigativo, a expectativa de tarefas de resposta única, concepções equivocadas acerca de alguns conceitos matemático, além de estarem habituados a trabalhar na maioria das vezes de forma individual. Durante a educação básica os estudantes estão acostumados a aulas expositivas, onde os professores da rede se preocupam em cumprir a ementa (proposta curricular) da disciplina. As dificuldades enfrentadas pelos alunos no curso de CDI são notórias e objetos de investigação há algumas décadas. Entretanto, como alertam esses autores (REZENDE, 2003), não podem ser tratadas apenas como dificuldades do aluno, mas do ambiente de ensino e do próprio objeto matemático. Weigand (2014, p. 605, tradução nossa), por exemplo, aponta que o conceito de limite tem sido objeto de reflexões e investigações, pois já se sabe que muitos estudantes apresentam problemas quanto às definições formais do conceito de limite e derivada. Em alguns momentos não são capazes de utilizar da definição adequadamente quando aplicada a um dado contexto, ou não conseguem aplicar o conceito para resolver problemas que necessitem de um nível formal, pois, falta a compreensão dos conceitos. Nessa mesma direção, Przeniolo (2005) analisa conceitos simplistas e, em alguns casos até errôneos, apresentados por alunos ingressantes no curso de CDI sobre o conceito de limite, acarretam inúmeras dificuldades por parte dos alunos no decorrer dessa disciplina. Assim como Weigand (2014), defendem uma revitalização do estudo de sequências nessa disciplina, uma vez que são ferramentas para o desenvolvimento de conceitos contínuos inerentes ao estudo de função, limite, derivada e integral. Para Vallejo, Martínez e Pluvinage (2012), a transição da Educação Básica para o Ensino Superior demanda uma mudança de formas de pensamento e novos modos de expressão, uma transição entre idiomas matemáticos (por eles denominados estratos). Os autores propõem a seguinte lista hierárquica de estratos a serem percorridos pelos estudantes em suas: numérico (domínio dos números inteiros e racionais e uso correto das quatro operações), racional (domínio de razões e proporções), algébrico (uso adequado do sistema matemático de signos da álgebra) e funcional (uso de relações funcionais).

7 Vallejo; Martínez; Pluvinage (2012) apresentam uma análise sobre o estudo de variações diferente da maneira com que os alunos estão acostumados a trabalhar com processos algébricos aplicados a equações e sistemas. Onde os mesmos desenvolvem novas formulações com a utilização de tecnologia. [...] do ponto de vista cognitivo somente o manipulação da álgebra não é suficiente: a introdução ao conceito de cálculo envolve a aquisição de um nova forma de pensamento e linguagem, que introduzem novidades com respeito a álgebra. Você pode aceitar que, para aprender cálculo o estudante deve entrar em um novo estrato, diferente do estrato algébrico: o estrato funcional (Adjiage; Pluvinage, 2008, p.143, tradução nossa) Uma avaliação diagnóstica aplicada pelos autores a estudantes ingressantes em um curso de CDI revelou uma situação muito próxima da que vivenciamos: uma minoria dos estudantes está no estrato funcional, e muitos deles nem mesmo no estrato algébrico. Tal fato reforça a abordagem defendida por Przeniolo (2005) e Weigand (2014), de iniciar o curso de CDI explorando (por meio de episódios de resolução de tarefas) o conceito de sequências numéricas. Assim, na elaboração de tarefas, é importante tomarmos como pressuposto que os alunos do ambiente real de ensino necessário não se encontram no estrato funcional, mas que o mesmo será alcançado durante o trabalho na disciplina de CDI. 4 ANÁLISE DE UM EPISÓDIO DE ENSINO DE CDI PAUTADO EM DE RESOLUÇÃO DE TAREFAS A tarefa a seguir (Figura 1), ilustra o contexto da investigação (recorte das dissertações em andamento do primeiro e do segundo autor, sob orientação do texto), na qual utiliza-se uma abordagem baseada nos trabalhos de Weigand (2014). A análise aqui apresentada é de caráter qualitativa, de cunho interpretativo, e toma como corpus tanto a produção escrita dos estudantes durante a resolução da tarefa, quanto o áudio de algumas das equipes. A tarefa proposta na primeira aula da disciplina de CDI 1, da turma de Engenharia de Materiais ingressante no primeiro semestre de 2016 no câmpus Londrina da UTFPR, sob responsabilidade do terceiro autor, no laboratório de informática. Nesse dia estavam presentes 36 alunos, que organizarem-se em grupos de no máximo três integrantes, por eles definidos. A tarefa foi proposta em um arquivo em formato do Excel, por possivelmente tratar-se de um de um software que os alunos já tivessem algum contato. Figura 1 - Tarefa: O Caso Compunet. A empresa COMPUNET fornece conexões de Internet para seus atuais consumidores. A COMPUNET está interessada na contratação de uma agência de publicidade para desenvolver uma campanha, para aumentar o número de consumidores. A empresa tem três agências de publicidade diferentes para escolher: PROMOHALS, H & G publicidade e SCHLEICH & Co. Cada empresa garante um aumento do lucro para COMPUNET, mas em ritmos diferentes. Seu trabalho é investigar A campanha desenvolvida pela PROMOHALS promete um crescimento nos negócios, conforme mostrado no gráfico. qual agência é melhor para COMPUNET. H & G Adversiting A campanha da Agência de publicidade Schleich & Co promete o crescimento mostrado na tabela

8 H & G Adversiting promete um crescimento mensal a uma taxa 10%. Ou seja, o lucro de cada mês é 10% maior que do mês anterior. Fonte: Adaptado de Weigand (2014). Tempo (meses) Clientes (Milhares) Para análise, organizamos as produções dos 16 grupos (G01 a G16) em três agrupamentos considerando as estratégias e os procedimentos adotados em suas resoluções (Tabela 1). Tabela 1 - Agrupamentos das resoluções à tarefa. Estratégia Procedimento Grupos/Alunos A1 Reconhece algum tipo de sequência, classificando-a. A2 Reconhece os termos curto, médio e longo prazo. A3 Resolve com estratégias algébricas e aritméticas a situação proposta. Constrói gráficos/tabelas para identificar os crescimentos e decrescimentos das sequências. Ilustra ou representa os intervalos de tempos dos crescimentos. Ilustra e investiga fórmulas ou expressões para ilustrar a proposta. Fonte: autores. G05, G09, G10, G13, G16. G01, G02, G03, G04, G06, G07, G09, G10, G13, G15. G04, G05, G07, G08, G14, G15, G16. Em A1 temos cinco produções que utilizaram para resolução procedimentos de construção de gráficos/tabelas para identificar os crescimentos e decrescimentos das

9 sequências. A estratégia utilizada pelos grupos foi considerada similar pelos argumentos utilizados: reconhecimento do padrão de formação da sequência e algum tipo de classificação. Em suas produções, os alunos elaboraram argumentos baseados na classificação das sequências conforme o tipo de crescimento presente: linear, exponencial e logarítmica. Como por exemplo, há resposta do G16, A agência H&G Adversiting apresenta uma taxa de crescimento de função exponencial (f(x)= (1.1)^t),... Já a agência Schleich & CO baseia-se em uma função logarítmica (alto crescimento inicial, porém baixo crescimento a longo prazo). No segundo agrupamento, há dez resoluções na qual se apresentam a estratégia de reconhecer os termos a curto, médio e longo prazo, indicando os meses em que cada período de tempo se enquadra. Como exemplo apresentamos a produção de G09 (Figura 2). Figura 2 - Produção escrita do grupo G09A. Fonte: autores. Em A3 temos os grupos que apresentaram estratégias da resolução recorrendo à elaboração de expressões algébricas que descrevessem cada sequência e, a partir da manipulação dessas expressões, buscaram identificar períodos de tempo na qual cada uma das empresas mostrava-se mais vantajosa. Na direção aponta por Stein e Smith (2009, p.105), os dados coletados indicam que essa tarefa, pensada como um segmento da atividade da sala de aula dedicada ao desenvolvimento de uma ideia matemática particular (no caso, o estudo de sequência numéricas), evidenciou nos três agrupamentos analisados alguma compreensão acerca de uma das grandes ideias a serem exploradas na disciplina (função). O ambiente proporcionado por meio dessa tarefa possibilitou que os estudantes façam uso, em suas resoluções, de múltiplas representações (verbal, numérica, gráfica, algébrica), possibilitando que ampliem suas compreensões no estrato funcional (VALLEJO; MARTÍNEZ; PLUVINAGE, 2012). A resolução dessa tarefa não exigiu a manipulação de procedimentos considerados rotineiros e nem pressupôs que estudantes recorram a uma matemática pronta e acabada, podendo ser resolvida por diferentes estratégias e fazendo uso de diferentes procedimentos, mostrando assim estar alinhada aos pressupostos da RME. Ao invés de fornecer explicações ou apresentar definições, no momento de resolução da tarefa o papel do professor foi incentivar os alunos a apresentar e discutir suas ideias. Como possíveis intervenções a serem realizadas, foram elaboradas antes da aplicação da tarefa três questões norteadoras, propostas às equipes quando necessário: (i) Em quais meses H&G tem mais clientes do que as outras duas agências? (ii) Em que mês o crescimento de cliente da H&G publicidade é maior? Em que mês é mais na Schleich&Co?; (iii) Qual empresa de agencia é mais vantajosa? Em que períodos? Além de explorar diferentes representações inerentes ao estudo de sequências (e de funções), os estudantes foram instigados, durante a resolução da tarefa, a explorar aspectos como crescimento e decrescimento e comportamento de curto, médio e longo prazo. Por meio dessa categorização, é possível identificar características que aproximam esse episódio como exitoso, o que nos permitiu concluir que a tarefa foi suficientemente clara para os objetivos que pretendia alcançar (não havendo, portanto, indicações da necessidade de reformulá-la).

10 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste artigo, dialogamos com alguma literatura que define tarefas matemáticas e propusemos sua utilização como parte integrante de um ambiente de ensino para aulas de CDI em condições reais de ensino. Foi apresentada uma proposta de tarefa resolvida por estudantes ingressantes no curso de CDI 1, conduzida por meio de um processo de reinvenção guiada. Nesse episódio, desenvolvido na primeira aula da disciplina, os alunos foram estimulados a buscar soluções não pensando em aplicar certo conteúdo matemático eventualmente já visto na Educação Básica, mas sim que os levasse a buscar ferramentas para a formulação de conjecturas e busca de uma solução. Entendemos que a situação aqui analisar é uma proposta factível para salas de aulas regulares de CDI, que, ao mesmo tempo, leva em conta aspectos apontados pelas pesquisas (uma vez que a formulação da tarefa busca atender princípios apontados por diversos autores), agrega o uso de recursos tecnológicos (planilha do Excel, por exemplo), e difere significativamente de uma aula expositiva tradicional. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ADJIAGE R.; PLUVINAGE, F. A numerical landscape. In PETROSELLI, Calvin L. (Ed.), Science Education Issues and Developments. New-York: Nova Publishers, BORSSOI, A. K.; SILVA, K. P. A. da; FERREUZZI, E. C. Tarefas desencadeadas em aulas com Modelagem Matemática. XII Encontro Nacional de Educação Matemática, São Paulo/SP, 2016, Anais... XII Encontro Nacional de Educação Matemática, São Paulo, 2016, p FONSECA, M. O. S.; TREVISAN, A. L. Caracterização e Encaminhamento de Tarefas Matemáticas em Aulas de Cálculo Diferencial e Integral. XII Encontro Nacional de Educação Matemática, São Paulo/SP, 2016, Anais... XII Encontro Nacional de Educação Matemática. LITHNER, J. A research framework for creative and imitative reasoning. Educational Studies in Mathematics, v.67, n.3, p , MOREIRA, Adelson F. Ambientes de Aprendizagem no Ensino de Ciência e Tecnologia. Belo Horizonte: CEFET-MG, PALHA, S. A. G. Shift-Problem Lessons: Fostering Mathematical Reasoning in Regular Classrooms. Research Institute of Child Development and Education, University of Amsterdam, The Netherlands, v. 32, p , PALHA, S.; DEKKERA, R.: GRAVEMEIJER, K.; VAN HOUT-WOLTERSA, B. Developing shift problems to foster geometrical proof and understanding. The Journal of Mathematical Behavior. Springer, v. 32, p , PALHA, S.; DEKKERA, R.: GRAVEMEIJER, K. The effect of shift-problem lessons in the mathematics classroom. Internacional Journal os Science and Mathematics Education. Ministry of Science and Technology, Taiwan, v. 13, p , 2015.

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12 LEARNING EVIRONMENT IN DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS IN SHIFT PROBLEMS LESSONS Abstract: In this paper we propose a characterization of a differential and integral calculus learning environment called shift problem lessons, at the same time, take into account issues raised by research, meet routine demands of the classroom and are aligned with the didacticpedagogic organization of the educational institution in which we operate. Therefore, we dialogue with literature featuring mathematical tasks and characteristics indicated by some studies that discuss the teaching of Differential and Integral Calculus. Here are some elements that characterize our real learning environment, and analyze an episode involving the use of a task that explores the concept of numerical sequences. Keywords: Mathematics Education, Differential Calculus and Integral Education, Mathematics Tasks, Shift problem lessons.