DERIVADA, INTEGRAL... LIMITE NO FINAL: UMA PROPOSTA PARA AULAS DE CÁLCULO

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1 DERIVADA, INTEGRAL... LIMITE NO FINAL: UMA PROPOSTA PARA AULAS DE CÁLCULO André Luis Trevisan UTFPR câmpus Londrina Resumo: Buscamos com este trabalho apresentar e justificar uma opção metodológica para a disciplina de CDI que toma como pressuposto o entendimento dos conceitos de derivadas e integrais e na qual o conceito de limite seja diluído durante o avanço destes. Apresentaremos características da abordagem Educação Matemática Realística (RME), que tem como precursor o matemático naturalizado holandês Hans Freudenthal, e que respalda nossa proposta. Discorreremos a respeito de alguns aspectos relacionados ao CDI, com destaque para trabalhos que sustentam a sequência lógica que propomos para seu ensino. Traremos então justificativas para nossa opção didática, relacionando-a com fatos que demarcaram nossa formação acadêmica e experiência docente. Por fim, exporemos uma proposta de planificação do curso, elencando alguns desafios que vivenciamos quando da sua implantação. Palavras-chave: Educação Matemática. Ensino de Cálculo Diferencial e Integral. Tarefas. Introdução Cálculo Diferencial e Integral (CDI) é uma disciplina presente em um grande número de cursos superiores, sendo base para resolução de problemas que provém das ciências naturais, da engenharia, da biologia, das ciências sociais e da própria Matemática. Entretanto, segundo Barros e Meloni (2005), seu ensino preserva uma estrutura tradicional, e a metodologia usada pela maioria dos professores da disciplina prioriza a aula expositiva, centrada na fala do professor, com conceitos apresentados como verdades inquestionáveis, como algo pronto e acabado. Os estudantes acabam resolvendo mecanicamente das tarefas propostas, sem recorrer à criatividade e ou

2 reflexão, o que os levam a questionar, muitas vezes, a razão da disciplina dentro de sua grade curricular. Conforme aponta Freudenthal (1991), a Matemática é, tradicionalmente, ensinada como um assunto pronto e acabado. São apresentadas definições, regras e algoritmos, de acordo com os quais se espera que eles operem. Para o autor, somente uma pequena minoria aprende Matemática desta maneira. Ao discorrer a respeito das ideias de Freudenthal, Van Den Heuvel-Panhuizen (2000) lembra que, ao invés de ensinar Matemática como algo pronto e acabado, aos estudantes deveria ser dada a oportunidade de desenvolvê-la por meio de um processo de reinvenção guiada. Isso significa que o professor desempenha um papel pró-ativo, criando um ambiente de aprendizagem estimulante. Nessa mesma direção, Palha et al (2013) apontam a necessidade um ambiente de aprendizagem que crie situações em que os estudantes devam explicar e justificar o seu pensamento e refletir sobre suas próprias ideias e as dos outros. Este ambiente de aprendizagem diferente significativamente de aulas centradas no livro didático, uma vez que: (i) os estudantes trabalham a partir de sequências de tarefas não precedidas por explicações e exemplos, ou que sejam meras aplicações de conceitos expostos previamente; (ii) o professor, ao invés de sempre fornecer explicações, incentiva os alunos a apresentar e discutir suas ideias; (iii) os estudantes trabalham sempre que possível em pequenos grupos e participam de discussões matemáticas, mostrando, explicando, justificando suas ideias. Investigar a factibilidade de tais ações, bem como os processos envolvidos na caracterização, na implementação e na avaliação de um ambiente educacional para a disciplina de CDI e suas consequências para a aprendizagem é objetivo de um projeto submetido e aprovado no Edital Universal 14/2014 do CNPq intitulado Investigação de um ambiente educacional para o Cálculo Diferencial e Integral (CDI) em condições reais de ensino, desenvolvido no âmbito do GEPEAM - Grupo de Estudo e Pesquisa sobre Ensino e Aprendizagem da Matemática 1. Dentre as ações do projeto, pretende-se caracterizar esse ambiente educacional, pensar tarefas que o integre e investigar dados oriundos de salas de aulas regulares. 1 Grupo de pesquisa da qual faz parte o autor.

3 Ao pensar as tarefas que integrem o ambiente, numa perspectiva de oferecer aos estudantes a oportunidade de (re)inventar conceitos de CDI, como propõe Freudenthal (1973, 1991), é útil buscar, na história, indícios do modo como esses conceitos foram originalmente inventados. A história mostra-nos o desenvolvimento CDI em uma ordem completamente diferente daquela que aparece nos livros didáticos. Esses conceitos não se desenvolveram linearmente. Na verdade, como aponta Machado (2012, p.7), os conceitos de derivada e integral foram os primeiros a serem trabalhados e proporcionaram, na medida em que eram estudados e aplicados, o avanço no entendimento de noções de funções e de infinitésimos, sendo que esses últimos viriam a ser substituídos pelo atual conceito de limite. Para Freudenthal, essa inversão da história para a apresentação de um tópico matemático em um livro é uma inversão anti-didática. Doormam e Van Maanen (2008) lembram que tal inversão tem suas origens do ponto de vista da elegância e da eficiência, porém tem consequências didáticas preocupantes. Além disso, não se pode ignorar que, historicamente, conceitos matemáticos são muitas vezes talvez até mesmo frequentemente utilizados intuitivamente por longos períodos de tempo antes que possam ser descritos com precisão (DIJKSTERHUIS, 1980 apud DOORMAM; VAN MAANEN, 2008, p.7). Freudenthal (1991) aponta que o ensino de CDI deveria ser precedido pela exploração qualitativa, intuitiva e informal de ideias como taxa de variação e áreas sob curvas, por meio de abordagens gráficas e numéricas, que seriam gradativamente refinadas. Tal abordagem deveria ter como objetivo possibilitar que os estudantes compreendessem e interpretassem tais ideias, oferecendo a eles a oportunidade de reinventar conceitos, ao invés de apenas reproduzir algoritmos. É razoável então pensar que no ensino dessa disciplina não deveríamos inverter completamente essa ordem... de fato, mostra-se pertinente adotar uma sequência dos assuntos para as aulas dessa disciplina que busque manter alguma similaridade com o seu desenvolvimento histórico e filosófico. Buscamos com este trabalho apresentar e justificar essa nossa opção metodológica para a disciplina de CDI. Apresentamos características da abordagem Educação Matemática Realística (RME), que tem como precursor o matemático naturalizado holandês Hans Freudenthal, e que respalda nossa

4 proposta. XIII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática Discorreremos a respeito de alguns aspectos relacionados ao CDI, com destaque para trabalhos que sustentam a sequência lógica que propomos para seu ensino. Traremos então justificativas para nossa opção didática, relacionando-a com fatos que demarcaram nossa formação acadêmica (TREVISAN, 2013) e experiência docente. Por fim, exporemos uma proposta de planificação do curso, elencando alguns desafios que vivenciamos quando da sua implantação. Objetivos Como objetivo geral, pretendemos compartilhar com os participantes uma proposta para aulas de CDI que toma como pressuposto as ideias de Freudenthal, fomentando um espaço de discussão e reflexão acerca do ensino dessa disciplina. Como objetivos específicos, destacamos: Apresentar características da RME e ideias de Freudenthal; Discutir implicações dessa abordagem para o ensino de CDI; Discutir características de tarefas que compõe um ambiente para ensino de CDI; Discutir possibilidades de avaliação nesse ambiente, frente à opção didática em tela. Metodologia Inicialmente pretendemos fomentar alguma discussão acerca das concepções dos participantes a respeito do ensino de CDI e, no caso daqueles que já atuam em sala de aula, o modo como organizam suas aulas dessa disciplina. A partir desse diagnóstico, teremos alguns parâmetros para nortear a sequência no trabalho, em especial no que diz respeito à apresentação das ideias de Freudenthal e suas implicações no ensino de CDI. Na sequência, buscaremos oportunizar aos participantes experiências similares às desenvolvidas em nossas salas de aulas regulares na disciplina de CDI. Inicialmente, em equipes, resolverão uma sequência de tarefas, elencando possibilidades de resolução. Em seguida, será aberto um espaço para socialização da produção dos

5 participantes, bem como possíveis encaminhamentos para tarefa em salas de aulas regulares. Por fim, proporemos a organização de diferentes mapas curriculares para disciplina de CDI, que tomem como pressuposto o entendimento dos conceitos de derivadas e integrais e na qual o conceito de limite seja diluído durante o avanço destes (conforme sugerido por Machado (2012), e em conformidade com os pressupostos da RME). Por mapas curriculares estamos tomando ferramentas gráficas constituídas pelos conceitos de uma disciplina e podem ser construídos em diferentes níveis de currículo, embasadas na ideia de mapa conceitual (LEME, IGLIORI, 2015, p. 75). Referências BARROS, R. M.; MELONI, L. G. P. O uso de metáforas para auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de cálculo diferencial e integral. In: XXXIII Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia, 2005, Campina Grande - PA. Anais... Campina Grande, 2005, p Disponível em < Acesso em 23 jul DOORMAN, M.; VAN MAANEN, J. A historical perspective on teaching and learning calculus. Australian Senior Mathematics Teacher, v. 22, n.2, p. 4 14, Disponível em < Acesso em 23 jul FREUDENTHAL, H. Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, Revisiting Mathematics Education. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, LEME, J. M. do C.; IGLIORI, S. B. C. Mapas Curriculares: uma nova ferramenta para análise de conteúdos de disciplinas. In: 3º Fórum Nacional sobre currículos de Matemática: investigações, políticas e práticas curriculares, 2015, Ilha Solteira SP. Anais... Ilha Solteira: Unesp, Disponível em < Acesso em 23 jul MACHADO, P. A. P. Uma abordagem para disciplina de Cálculo A. In: III EIEMAT Escola de Inverno de Educação Matemática, 2012, Santa Maria RS. Anais... Santa Maria: UFSM, 2012, p Disponível em

6 < Acesso em 23 jul PALHA, S.; DEKKERA, R.: GRAVEMEIJER, K.; VAN HOUT-WOLTERSA, B. Developing shift problems to foster geometrical proof and understanding. The Journal of Mathematical Behavior Springer, v. 32, p , TREVISAN, A.L. Prova em fases e um repensar da prática avaliativa em Matemática Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Universidade Estadual de Londrina, Londrina, VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, M. V. D. Mathematics education in the Netherlands: a guided tour. Freudenthal Institute CD-ROM for ICME9. Utrecht: Utrecht University, 2000.