Estabilidade das Construções para Técnicos

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1 EMENTA DA DISCIPLINA DE ESTABILIDADE TECNICO INTEGRADO 1 ELEMENTOS DE FÍSICA E MATEMÁTICA APLICADOS ÀS ESTRUTURAS Grandezas fundamentais: força, momento e sistema binário; Condições de equilíbrio; φ Centro de gravidade e momento de inércia; φ Deformação estrutural: lei de Hooke, diagrama tensão deformação, tensões normais e de corte, tensão normal na flexão. 2 ANÁLISE ESTRUTURAL φ Elementos estruturais: lajes, vigas, pilares, fundações; φ Vínculos: tipos, simbologia; φ Tipos de carregamento: cargas concentradas e distribuídas; φ Reações de apoio: vigas e lajes; φ Esforços seccionais: esforço cortante, esforço normal e momento fletor em uma viga isostática; φ Diagrama de esforços cortante, normal e momento fletor. 3 DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL φ Dimensionamento de lajes à flexão; φ Dimensionamento de vigas à flexão e ao cisalhamento; φ Dimensionamento de pilares curtos e médios; φ Dimensionamento de fundações diretas. 4 DESENHO ESTRUTURAL φ Planta de Fundação; φ Planta de Lajes; φ Detalhamento de Fundação; φ Detalhamento de Pilares; φ Detalhamento de Vigas; φ Detalhamento de Lajes; φ Detalhamento de Escadas e Reservatórios; φ Quantitativos de armaduras e quadros de ferragem.

2 Parte I Conceitos Fundamentais Forças no plano De maneira intuitiva associamos o termo força a qualquer ato de puxar ou empurrar algo. Em geral tal termo representa a ação de um corpo sobre o outro (força de contato). No ambiente da construção civil temos a força de contato que uma viga faz na outra, a força de reação normal que o chão faz na viga além da força peso. Na física newtoniana força é uma grandeza vetorial de forma que ao expressa-la, devemos fazer não apenas com um valor numérico (módulo), mas também por meio de sua direção e sentido. A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que a mesma forma com algum eixo de referência, como indicado na Figura 2.1 abaixo. Por conveniência costuma-se descrever a força por meio de suas componentes em algum sistema de coordenadas. As direções mais comuns são a vertical e horizontal. Na parte direita da Figura 2.1 temos um exemplo da decomposição do vetor A em termos de suas componentes, paralela e perpendicular ao segmento de reta aa. Figura 2.1 Vetor Força (R.C.Hibbeler) O sentido da força indica a orientação do vetor ao longo de uma direção (esquerda, direita, cima, baixo). Na grande maioria das situações reais, um corpo está sujeito a mais de uma força. Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de um corpo. Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo. Em boa parte dos problemas estaremos interessados no vetor força que representa a superposição (soma) de todas as forças (ou parte delas) que atuam em um corpo. Esse vetor se chama vetor resultante que está representado na Figura 2.2 juntamente com um exemplo de Grupos de força e Sistema de forças.

3 Figura 2.2 Da esquerda para direita, grupo de força e Sistema de Forças (R.C.Hibbeler) Momento de uma força Quando se estuda a segunda lei de Newton, verifica-se que uma força resultante aplicada a um corpo produz uma aceleração que é capaz de alterar o seu estado, seja ele de movimento ou de repouso (movimento de translação). Em determinadas condições a aplicação de uma força em um corpo pode determinar um movimento giratório ou de torção. Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da distância d de F em relação ao eixo fixo. Considere uma força F que atua em um corpo rígido fixo no ponto 0, como indicado na Figura 2.3. A força F é representada por um vetor que define seu módulo, direção e sentido. O vetor d é a distância perpendicular de 0 à linha de ação de F. Note que na Figura 2.3 (a) quanto mais na extremidade do punho da chave a força F for aplicada (maior d) maior será a sua eficiência. Note ainda que conforme a direção de aplicação da força o momento provocará rotação em torno de eixos diferentes Figura 2.3 (b) ou não provocará nenhuma rotação Figura 2.3 (c). Figura 2.3 Momento de uma Força (R.C.Hibbeler)

4 Figura 2.3 Momento de uma Força (R.C.Hibbeler) Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo, M 0 = ± F. d Onde: M 0 = momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0 0 = pólo ou centro de rotação d = distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de alavanca ou braço de força Se analisarmos o momento vetorialmente (M 0 = F d) percebemos que M 0 é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido de M 0 é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no sentido anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário. Figura 2.4 Convenção dos Sentidos dos Momentos

5 No SI, como a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m), temos o momento expresso em newtons metros (N.m). 2.1 Momento de um binário Um caso especial ocorre quando um corpo está sujeito a duas forças, F e F, que têm o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formando um binário ou conjugado. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar das duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar. A distância d mostrada na Figura 2.5 chama-se braço binário. Figura 2.5 Momento Binário (R.C.Hibbeler) Exemplo 1: A força F, de módulo 20 N, e os pontos A, B e C estão todos no plano do papel. Os pontos representam as intersecções entre o plano do papel e três eixos perpendiculares a ele. Utilizando a convenção dos sinais dos momentos, calcule o momento escalar de F em relação a A, B e C. Resolução: Em relação a A, a força F dá tendência de rotação no sentido horário. Sendo F = 20 N e b = 3 m, temos:

6 M = -F. b = M = - 60 N m Em relação a B, a força F dá tendência de rotação no sentido anti- -horário. Sendo F = 20 N e b = 2 m, temos: M = +F. b = M = +40 N m Em relação a C, a força F não dá tendência de rotação, pois b = 0: M = F. b = M = 0 Exercícios 1. Considerando positivos os momentos anti-horários, calcule os momentos das forças paralelas F r 1, F r e em relação ao ponto O. 2 F r 3 Dados: F r 1 = 200 N; F r = 250 N; = 50 N. 2 F r 3 2. Calcule o momento resultante em torno de um ponto O para as duas forças aplicadas mostradas na figura abaixo. A barra e as forças estão sobre o plano da página.

7 3. Uma pequena bola de massa 0,75 Kg está presa a uma das extremidades de uma barra de 1,25 m de comprimento e massa desprezível. A outra extremidade da barra está pendurada em um eixo, conforme a figura abaixo. Quando o pêndulo assim formado faz um ângulo de 30 o a vertical, qual é o módulo do momento exercido pela força gravitacional em relação ao eixo? 4. O comprimento do braço do pedal de uma bicicleta é de 0,152 m e uma força de 111 N é aplicada ao pedal pelo ciclista. Qual o módulo do momento em relação eixo do braço do pedal quando o braço faz um ângulo de (a) 30 o, (b) 90 o e (c) 180 o com a vertical? 3. Centro de Gravidade A definição de centro de gravidade é importante para se entender a estabilidade de um corpo. Analogamente ao centro de massa, que corresponde a uma média ponderada das massas das partículas que formam um determinado corpo, o centro de gravidade é um ponto de aplicação do peso total de um corpo. Entenda-se peso total como sendo a soma vetorial de todas as forças gravitacionais que agem em cada partícula constituinte do corpo. O cálculo do centro de gravidade (x CG ) de um corpo é feito de maneira simples quando consideramos que a aceleração da gravidade que atua em um corpo é constante em todos os pontos do mesmo. Nesta situação o centro de gravidade coincide como o próprio centro de massa (x CM ) com segue a baixo: x CG x. m + x. m x. m N i N N i= 1 = xcm = = N m1 + m mn i= 1 x. m m i i onde x i e m i são a coordenada e massa de cada partícula do corpo. É importante notar que a rigor a aceleração da gravidade varia com a altitude, mas para objetos comuns com essa variação é bem sutil podemos despreza-la.

8 Outra consideração importante a se fazer é que dependendo da simetria do corpo o centro de gravidade coincide com o centro geométrico do corpo. Para corpo com geometrias mais complexas podemos determinar o centro de gravidade do corpo suspendendo o mesmo por pontos diferentes e a cada suspensão são traçadas linhas verticais de forma que a interseção entre essas linhas determina o centro de gravidade (figura 3.1). Figura 3.1 Centro de gravidade de corpos irregulares ( O centro de gravidade é importante também na estabilidade dos corpos. Nos automóvel quanto mais baixo for o seu centro de massa e quanto maior for a área de apoio do carro em relação ao chão, maior é sua estabilidade. Isso permite o carro percorrer curvas com uma determinada inclinação sem que o mesmo tombe. Para que isso ocorra a reta vertical que passa pelo centro de massa do um corpo deve sempre passar pela base de apoio (figura 3.2). Figura 3.1 Centro de gravidade e estabilidade ( Exemplo 1. Uma viga uniforme de comprimento L e massa M repousa sobre dois apoios deparados por uma distância D, localizados em

9 pontos equidistantes do centro de gravidade da viga. Roberto quer ficar em pé na extremidade direita da viga. Qual deve ser a sua massa m para que a viga permaneça em repouso? Na figura a baixo temos o esquema do problema. Vamos considerar a origem do sistema como sendo o ponto C (centro geométrico da viga). Para que a viga permaneça em equilíbrio o centro de massa do sistema deve ficar delimitado pelas bases de apoios. Na situação mais extrema de equilíbrio o centro de massa deve ficar exatamente na vertical que passa pelo apoio da direita (D/2 em relação à origem). Temos então: x x x x R V cg cg = L / 2 ( coordenada do centro de massa de Roberto) = 0 ( coordenada do centro de massa da viga) = D / 2 ( coordenada do centro de gravidade do sistema) = N i i= 1 N i= 1 x. m m D m L = 2 M + m 2 ml = D( M + m) ml Dm = DM DM m = L D i i M (0) + m( L / 2) m L = = M + m M + m 2

10 3.1. Momento de Inércia A primeira lei de Newton afirma que todos os corpos devem permanecer em movimento ou em repouso a menos que uma força altere esse estado do corpo (princípio da inércia). Isto é válido para qual quer corpo, seja ele uma partícula ou um corpo rígido de dimensões não desprezíveis. O princípio da inércia é válido ainda para os corpos em rotação, um corpo que gira em torno de um eixo deve permanecer girando a menos que uma força atue sobre ele, costuma-se chamar essa propriedade de inércia rotacional. Da mesma forma que em um movimento linear a inércia do corpo depende de sua massa, no movimento de rotação ela dependerá da massa e também de como essa massa se distribui no corpo em relação ao eixo de rotação. Um corpo rígido em rotação possui associado a ele uma energia cinética K em razão da velocidade v i de cada partícula de massa m i que forma esse corpo: K 1 = 1 2 m v m v m v = A grande dificuldade de se trabalhar com a equação acima é que para cada partícula temos uma velocidade diferente de forma que é mais conveniente substituir v i =ωr i uma vez que a velocidade angular de cada partícula é mesma, senão o corpo não seria rígido. A grandeza r i representa a distância entre cada partícula e o eixo de rotação do corpo. Portanto: m v i i 2 K = mi ( ωri ) = 1 2 ( m r 2 i i 2 ) ω (Ι): Essa grandeza entre parênteses é o que se define como momento de inércia 2 I = m i r i Note que quanto maior o momento de inércia do corpo maior será sua energia cinética de rotação, ou seja, maior será o trabalho realizado para desacelerar ou acelerar esse corpo caso ele esteja em repouso. É importante notar ainda que um corpo pode ter um número infinito de momentos de inércia já que pode existir um número infinito de eixos de rotação. Desta forma é conveniente conhecer um teorema chamada de Teorema dos eixos paralelos que afirma mostra uma relação entre o momento de inércia em relação ao centro de massa I cm de um corpo de massa m e o

11 momento de inércia I p em relação a um eixo paralelo ao primeiro e a uma distância d do mesmo. I p = I cm + md 2 OBS: Para o cálculo do momento de inércia é necessário o conhecimento do cálculo integral que não é do objetivo do curso. Abaixo segue uma tabela com momentos de inércia de alguns corpos (Figura extraída do livro Física I, Sears e Zemansky 12 a edição). Exemplo 2. Três massas esféricas (A = 200 g, B = 400 g e C = 450 g) são colocadas nos vértices de um triangulo isósceles de lados AB = 30 cm, BC = 40 cm e CA = 50 cm. Determine o momento de inércia em relação ao um eixo imaginário que passa pelo centro da esfera A e seja perpendicular ao plano do desenho. I = m r 2 i i = m I = 0,06 + 0,11 r 2 A A + m r 2 B B + m r 2 C C = 0, ,4.0, ,45.0,5 2 I = 0,17 Kg. m 2

12 Exercícios 1. Um aluno de edificações colocando em prática seus conhecimentos sobre centro de gravidade deseja equilibra um pedaço de madeira uniforme de massa 3,2 kg e 60 cm de comprimento e dois objetos presos às suas extremidades sobre uma base de apoio. O objeto da esquerda tem massa de 1,2 kg e o da outra extremidade tem massa de 3,0 kg. A que distância da extremidade esquerda deve ser posicionado o apoio para que o sistema fique equilibrado horizontalmente? 2. Para melhorar a eficiência de seu número, um malabares percebeu que o seu fabricante da clava piroutte deve deslocar em 3 cm para esquerda o centro de gravidade (CG). O fabricante deve adicionar internamente uma massa de 30 g. Em qual posição deve ser colocada a massa adicional? Dado que a massa original da clava é de 220 g. 3. Uma caixa de massa desprezível está em repouso na extremidade esquerda de uma prancha de 2,0 m e 25,0 kg. A largura da caixa é de 75,0 cm e areia deve ser uniformemente distribuída dentro dela. O centro de gravidade da prancha está a 50,0 cm da extremidade direita. Qual massa de areia deve ser colocada dentro da caixa de modo que a prancha se equilibre horizontalmente sobre o sustentáculo colocado abaixo do seu ponto médio? 4. Uma barra uniforme de 1,5 m e 3 kg possui duas esferas de 0,7 kg presas às suas extremidades. Determine o momento de inércia do sistema em relação a um eixo que passa pelas duas esferas simultaneamente, em relação a um eixo perpendicular que passa apenas por uma delas e em seguida por um eixo perpendicular que passa no centro da barra. 5. Determine o momento de inércia de um aro de bicicleta de 60 cm de diâmetro, massa M = 400 g e 32 raios de m = 6 g, em relação a um eixo perpendicular ao plano do aro que passa no centro do mesmo.

13 6. Qual o momento de inércia necessário para que um volante de um motor transfira 650 J de energia cinética para a caixa de câmbio de um veículo para que sua velocidade angular diminua de 720 rev/min para 650 rev/min. 7. Utilizando o teorema dos eixos paralelos e uma placa retangular uniforme de massa M e arestas de comprimentos a, b e c semelhante à figura (c) da tabela de momentos de inércia de diversos corpos. Determine o momento de inércia desta placa em relação a um eixo que passe por um vértice e seja perpendicular à face ab. 4. Deformação estrutural Por conveniência os corpos têm sido trados de maneira idealizada, corpos indeformáveis. Entretanto, na prática, quando os corpos são submetidos à ação de alguma força essa rigidez dá espaço às dilatações, compressões, torções ou simplesmente deformação. O agente causador de tal deformação é grandeza tensão que representa a distribuição de forças por unidade de área. A deformação na dilatação e compressão pode ser representada pelo cociente da variação do comprimento pelo comprimento original. Existe uma lei que relaciona essas duas grandezas, entretanto sua validade é restrita aos casos onde as tensões e deformações são pequenas. É a chamada Lei de Hooke. Essa lei afirma que a deformação que um corpo sofre é diretamente proporcional a tensão aplicada á ele, a constante de proporcionalidade é conhecida como módulo de elasticidade. Podemos resumir em três equações o que foi dito acima: Tensão ( σ ) Módulo de elasticidade ( E) = Deformação ( ε ) σ = F A ; l l l ε = = l l ( Lei de Hooke); Deve-se ressaltar que neste caso a força aplicada na deformação de dilatação é uma força perpendicular à superfície de seção reta do corpo (tensão normal). Para ilustrar temos o corte transversal de um cubo de área A (figura 4.1) que é tensionado nas suas extremidades de forma a garantir que o cabo não se mova para um lado ou para o outro. É interessante notar que o tratamento dado à deformação de dilatação é semelhante a deformação de compressão, basta pensar que uma é relacionada a

14 puxar e a outra a empurrar, respectivamente. Desta forma para muitos materiais o módulo de elasticidade, também chamado de módulo de Young, é o mesmo tanto para a tensão de deformação quanto para a tensão de compressão, com exceção dos materiais que são formados por dois ou mais componentes diferentes (materiais compósitos). Figura 4.1 Corpo sujeito a uma tensão normal Existe ainda a chamada tensão e deformação de cisalhamento, que para pequenos valores da força também obedece a lei de Hook. Neste caso a costante de proporcionalidade é conhecida por módulo de cisalhamento (S). Diferentemente da tensão normal a força aplicada ao corpo é tangencial às superfícies das extremidades opostas do objeto conforme figura 4.2. A deformação é dada pela razão entre o deslocamento x e a dimensão transversal h. Figura 4.2 Corpo sujeito a uma tensão de cisalhamento

15 Matematicamente temos tensão e deformação de cisalhamento da seguinte forma: Módulo de cisalhamento( S) = σ = F A ; ε = x h Tensão ( σ ) Deformação ( ε ) ( Lei de Hooke); É importante notar que esta relação de proporcionalidade que existe entre tensão e deformação deixa de existir depois de um limite. A figura 4.3 abaixo indica os limites de tal relação por meio do diagrama tensão versus deformação. Do início da curva até o ponto P temos a região onde é válida a lei de Hooke, ou seja, o ponto P representa o limite de proporcionalidade válido para essas duas grandezas. A partir do ponto P, se a tensão continuar a ser aplicada tal a lei deixe de ser válida. Até o ponto B qualquer tipo de deformação sofrida pelo material pode ser reversível se a tensão for removida gradualmente. O Ponto B é o chamado limite de elasticidade. Se aumentarmos a tensão do ponto B até o ponto Y a deformação aumentará, entretanto o material não retornará mais ao seu tamanho original e apresentará uma deformação permanente. Entre os pontos B e D o material apresenta um comportamento chamado de escoamento plástico. A deformação plástica é aquela que é irreversível. O ponto U representa a máxima tensão atingida pelo material, ou limite de resistência. O ponto R corresponde à tensão que o material sofre ruptura, também chamado de limite de ruptura. Figura 4.3 Diagrama Tensão versus deformação

16 Exemplo 1: Um cabo de aço de um guindaste têm 6 metros de comprimento com seção reta de 0,35 cm 2. O cabo está sustentando uma carga de 670 kg. Determine a tensão e a deformação no cabo. Considere o módulo de Young do aço 20 x Pa. σ = F A m. g = = A 0, σ = 1,91.10 Pa 4 l σ 1,91.10 ε = = = l Υ ε = 9, Exercícios 1. Para um determinado experimento um cabo de aço circular de 2,5 m não pode se distender além de 0,35 cm quando sujeito a uma tensão de 430 N. Qual o menor diâmetro do cabo para que ele atenda o experimento?considere o módulo de Young do aço 20 x Pa. 2. Uma corda de Nylon usada em escaladas tem o módulo de Young de 6,8 x 10 8 Pa. Um escalador de 75 kg que fique pendurado em uma corda de 50 m e de diâmetro igual a 70 mm provocará uma dilatação de quantos centímetros? 3. Dois objetos de massas m A = 8 kg e m B = 12 kg são presos no teto de uma casa. O objeto A é preso por um cabo de aço de 0,6 m de comprimento fixo no teto. O objeto B por sua vez é preso ao objeto A por um cabo semelhante que prende o objeto A ao teto. Considere que o cabo possui seção reta de 3 mm e que o o módulo de Young do aço 20 x Pa. Determine a deformação e o alongamento do cabo. 4. Determine a tensão de cisalhamento resultante quando uma força de módulo N é aplicada, paralelamente a um dos quatro lados de uma placa quadrada de cobre. Considere o lado da placa de 12 cm, a espessura igual a 0,6 cm e o módulo de Cisalhamento do cobre 4,4 x Pa. Em seguida determine qual foi o deslocamento x.

17 5. Equilíbrio Em geral o estudo da física se inicia pelo movimento, no intuito de se entender o deslocamento, a velocidade e aceleração dos corpos como consequência de forças aplicadas aos mesmos. Outra parte da física já tem o interesse em garantir que esses corpos permaneçam em repouso. Para que isso ocorra as forças que atuam em um corpo, devem obedecer a certas condições que chamamos de condições de equilíbrio. Condições essas que garantem que a sala que você estuda ou a casa que você mora não desmorone. 5.1 Equilíbrio de um ponto material Ponto material é uma pequena porção de matéria, com dimensões desprezíveis, que pode ser considerada como um ponto no espaço. Um corpo modelado desta forma encontra-se em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que atuam sobre ele for nula. Podemos ainda dizer que essa é a primeira condição de equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em repouso ou move-se ao longo de uma reta com velocidade constante. Para exprimir algebricamente a primeira condição de equilíbrio de um ponto material, temos: Onde: F ; F x x y R ; R y ; F z ; R z ΣF = 0 ΣF x ΣF y ΣF z = R = R = R x y z = 0; = 0; = 0; são as forças atuantes nas direções x, y e z; são as resultantes das forças atuantes nas direções x, y e z; A representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto material, bem como a decomposição dessas forças nos eixos x e y podem ser representadas por um diagrama de corpo livre, como indica a figura 3.1 (a) e (b) respectivamente.

18 Figura 4.1 Forças atuantes em um ponto material. (R.C.Hibbeler) Exemplo 2: Verificar se as forças que atuam na ponta da lança, figura abaixo, estão em equilíbrio. Figura xx - Equilíbrio de ponto material (adaptado Hibbeler) 1º - Para que a ponta da lança esteja em equilíbrio é necessário que o somatório de todas as forças que agem na sua ponta seja nulo, ou seja: ΣF ΣF x F x y = R x = R y = 0; = 0; 2º - Verificação do somatório das forças no eixo X: ΣF x ΣF x ΣF x ΣF x = 0; 3 = sen30º 1727 sen45º ,2 = 0 5 = ,5 1221, ,7 = 0 = 0 em equilíbrio em X; 3º - Verificação do somatório das forças no eixo Y: ΣF y ΣF y ΣF y ΣF y = 0; 4 = cos 30º cos 45º = 0 5 = , ,2 = 0 = 0 em equilíbrio em Y;

19 Exercícios 1. Em cada uma das extremidades de um fio considerado ideal, que passa por duas pequenas polias também suposta ideal, está suspenso um corpo de massa igual a m. Um terceiro corpo de massa m é suspenso do ponto médio M do fio e baixado até a posição de equilíbrio. Determine, em função de l (ver figura), quanto desceu o terceiro corpo. 2. Na figura, um corpo de peso 120 N encontra-se em equilíbrio, suspenso por um conjunto de três fios ideais A, B e C. Calcule as intensidades das trações T A, T B e T C, respectivamente nos fios A, B e C. Considere ainda sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8. 3. Calcule a intensidade da tração no cordel, que mantém em equilíbrio um ornamento de peso 80 N como indica a figura:

20 4. Uma pedra de 664 N de peso encontra-se em repouso, suspensa por três cordas leves A, B e C, como representa a figura. Calcule as intensidades das trações nessas cordas (T A, T b e T c ). Use: sen 30 = 0,50; cos 30 = 0,87; sen 53 = 0,80; cos 53 = 0, Equilíbrio de um corpo rígido Para que um corpo, cujas dimensões não são desprezíveis, esteja em equilíbrio quando submetido a diferentes forças, devemos ter ainda uma segunda condição de equilíbrio. Devemos garantir que as forças não provoquem tendência à rotação, ou seja, o somatório dos momentos das forças externas que atuam no corpo deve ser igual a zero. Obviamente tendo sido atendida a primeira condição. Uma vez que a segunda condição de equilíbrio é atendida, o somatório dos momentos das forças que atuam sobre o corpo é zero, ou seja, o corpo não gira. Algebricamente temos: ΣM ΣM ΣM x y z = 0; = 0; = 0; Logo, têm-se as seis equações fundamentais da estática, que devem ser satisfeitas para que um corpo esteja em equilíbrio estático. As equações da coluna da esquerda se referem à translação do corpo e as da esquerda à rotação. ΣF x ΣF y ΣF z = 0; = 0; = 0; ΣM ΣM ΣM x y z = 0; = 0; = 0;

21 Exemplo: Uma barra cilíndrica homogênea, de peso 200 N e 10,0 m de comprimento, encontra-se em equilíbrio, apoiada nos suportes A e B, como representa a figura. a) Calcule as intensidades R A e R B das reações dos apoios A e B sobre a barra. Solução: a) Representando as forças que atuam na barra, temos: Em relação a A: M RA + M P + M RB = 0 -(R A 0) (200 5,0) + R B 8,0 = 0 R B = 125 N Como R A + R B = P: R A = 200 R A = 75 N Exercícios 5. Sobre duas estacas A e B, distantes 2,0 m uma da outra, apóia uma viga prismática e homogênea de comprimento 6,0 m e massa 72 kg. Um pedreiro de massa 60 kg encontra-se em repouso na posição indicada, a 50 cm da estaca A. a. Calcule as intensidades das forças que a viga recebe das estacas (g = 10 m/s 2 ).

22 b. O pedreiro começa a caminhar lentamente para a direita. Qual o máximo afastamento dele em relação ao ponto de apoio da viga na estaca B sem que ela tombe? 6. Uma barra homogênea de comprimento l = 1,0 m está em equilíbrio na posição horizontal, sustentada por uma única corda fixada no ponto C, como mostra a figura. Em suas extremidades A e B estão pendentes duas massas, m 1 = 100 g e m 2 = 150 g. Considerando a massa da barra 100 g e a aceleração da gravidade local g = 10 m/s2, determine: a. A tensão na corda fixa à barra no ponto C; b. A distância do ponto C até o ponto A. 7. Uma barra rígida e homogênea, de peso 20 N e 2,0 m de comprimento, articula-se no eixo lubrificado O. Nela, está suspensa uma carga C, de peso 100 N, a 1,5 m do eixo O. A força vertical F mantém o sistema em equilíbrio. Calcule a intensidade: a) da força F b) da força que a barra recebe do eixo. 8. Suponha que, para arrancar um mourão fincado no chão, um homem, puxando-o diretamente com as mãos, tivesse de exercer nele uma força de intensidade N, no mínimo. Usando uma viga amarrada no mourão e apoiada em uma tora, como sugere a figura, determine a mínima intensidade da força que o homem precisa exercer na viga para arrancar o mourão. Para simplificar, desconsidere o peso da viga e

23 suponha que a força total exercida nela pelo homem esteja aplicada no ponto médio entre suas mãos. Suponha que, para arrancar um mourão fincado no chão, um homem, puxando-o diretamente com as mãos, tivesse de exercer nele uma força de intensidade 1800 N, no mínimo. Usando uma viga amarrada no mourão e apoiada em uma tora, como sugere a figura, determine a mínima intensidade da força que o homem precisa exercer na viga para arrancar o mourão. Para simplificar, desconsidere o peso da viga e suponha que a força total exercida nela pelo homem esteja aplicada no ponto médio entre suas mãos. 9. Duas pessoas transportam uma prancha de madeira uniforme com 3 m de comprimento e peso de 160 N. Se uma das pessoas aplica em uma extremidade uma força de baixo para cima de 60 N, em qual ponto a outra pessoa deve suspender a prancha? 10. Uma barra uniforme de 350 N e 1,5 m é suspensa horizontalmente por dois cabos verticais presos em cada extremidade. O cabo A pode suportar uma tensão máxima de 500 N e o cabo B pode suportar até 400 N. Você deseja colocar um pequeno peso sobre essa barra. a. Qual é o peso máximo que você pode colocar sem romper qualquer um dos dois cabos? b. Em que ponto você deve colocar esse peso?

24 Parte II - Análise Estrutural Cargas Atuantes nas Estruturas Cargas Externas Uma estrutura pode estar sujeita à ação de diferentes tipos de carga, tais como pressão do vento, reação de um pilar ou viga, as rodas de um veículo, o peso de mercadorias, etc. Estas cargas podem ser classificadas quanto à ocorrência em relação ao tempo e quanto às leis de distribuição. Quanto à ocorrência em relação ao tempo: Cargas Permanentes: Atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo e são devidas ao seu peso próprio, dos revestimentos e materiais que a estrutura suporta. Tratam-se de cargas com posição e valor conhecidos e invariáveis. Figura 4.1 Exemplo de carga permanente Cargas Acidentais: São aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por ventos, empuxo de terra ou água, impactos laterais, frenagem ou aceleração de veículos, sobrecargas em edifícios, peso de materiais que preencherão a estrutura no caso de reservatórios de água e silos, efeitos de terremotos, peso de neve acumulada (regiões frias), etc. Estas cargas são previstas pelas Normas em vigor. Figura 4.2 Exemplo de carga acidental

25 4.1 Quanto às leis de distribuição: Cargas concentradas: São cargas distribuídas aplicadas a uma parcela reduzida da estrutura, podendo-se afirmar que são áreas tão pequenas em presença da dimensão da estrutura que podem ser consideradas pontualmente (ex.: a carga de um pilar de transição em uma viga, a roda de um automóvel, etc.). Cargas distribuídas: variáveis. Podem ser classificadas em uniformemente distribuídas e uniformemente Uniformemente distribuídas: São cargas constantes ao longo ou em trechos da estrutura (ex.: peso próprio, peso de uma parede sobre uma viga, pressão do vento em uma mesma altura da edificação, etc.). Figura 4.3 Exemplo de carga uniformemente distribuída Uniformemente variáveis: São cargas triangulares (ex.: carga em paredes de reservatório de líquido, carga de grãos a granel, empuxo de terra ou água, vento ao longo da altura da edificação, etc.). Figura 4.4 Exemplo de uniformemente variável

26 Aparelhos de Apoios A função básica dos vínculos ou apoios é de restringir o grau de liberdade das estruturas por meio de reações nas direções dos movimentos impedidos, ou seja, restringir as tendências de movimento de uma estrutura. Os vínculos têm a função física de ligar elementos que compõem a estrutura, além da função estática de transmitir as cargas ou forças. Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de movimentos impedidos. Para estruturas planas existem três tipos de vínculos: Vínculos de Primeira Ordem (apoio simples): São aqueles que impedem deslocamento somente em uma direção, produzindo reações equivalentes a uma força com linha de ação conhecida. Apenas uma reação será a incógnita. Figura 5.1 Aparelho de Apoio do 1º Gênero (R.C.Hibbeler) O deslocamento na direção y é impedido, logo, nesta direção, tem-se uma reação de apoio V (vertical).

27 Vínculos de Segunda Ordem (articulação plana): São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em todas as direções, mas não podem restringir a rotação em torno da conexão. Portanto, a reação produzida equivale a uma força com direção conhecida, envolvendo duas incógnitas, geralmente representadas pelas componentes x e y da reação. Figura 5.2 Aparelho de Apoio do 2º Gênero (R.C.Hibbeler) Os deslocamentos nas direções x e y são impedidos, logo, nestas direções, têm-se duas reações de apoio H (horizontal) e V (vertical). 5.1 Vínculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio fixo): São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, imobilizando-o completamente. Figura 5.3 Aparelho de Apoio do 3º Gênero (R.C.Hibbeler)

28 Os deslocamentos nas direções x, y e a rotação em z são impedidos, logo, nestas direções, têm-se três reações de apoio H (horizontal), V (vertical) e M (momento). Observação: Os vínculos podem ser chamados de 1ª, 2ª e 3ª ordem ou classe ou gênero ou tipo. Classificação da estrutura quanto à vinculação: Isostática: Em uma estrutura isostática o número de incógnitas é igual ao número de equações, ou seja, bastam as equações fundamentais da estática para determinar as suas reações de apoio. Hipostática: Nas estruturas hipostática os apoios são em menor número que o necessário para restringir todos os movimentos possíveis da estrutura. Ou Hiperstática: Estrutura hiperestática tem número de vínculos maior que o necessário. O número de reações de apoio excede o das equações fundamentais da estática. Estudo das Vigas Isostáticas Reações de Apoio Uma estrutura para estar em equilíbrio deve atender as equações de equilíbrio estático vistas anteriormente, este equilíbrio e garantido pelos aparelhos de apoios da estrutura. De maneira que as forças que equilibrarão o sistema provem dos mesmos, ou seja, as reações de apoio. O cálculo dessas reações é entendido de maneira mais fácil através do exemplo a seguir:

29 Determinação das reações nos apoios de uma viga isostática: o 1º CASO - 1 Carga concentrada horizontal e 1 carga concentrada vertical. Esquema Estrutural 1º Passo Dar nome as apoios, isso evita confundir a posição das reações que por ventura aparecerão. 2º Passo Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações.

30 Onde, VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 3º Passo Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, ( +) (- ). Σ F x = 0 ( + ) 2 HB = 0 HB = 2kN; Desta forma, determinamos a reação horizontal no apoio B que garante que a viga não se deslocará na horizontal. 4º Passo Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical (eixo Y). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (+ ) (- ). Σ F Y = 0 ( + ) 4 + VA + VB = 0 VA + VB = 4kN; 5º Passo Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode determinar os valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de equilíbrio. Escolhe-se um dos apoios como ponto de referência de momento e verificamos quais forças e reações que tendem a promover rotação neste apoio. Neste exemplo escolheremos o apoio B como referência. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário,. Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte forma: Σ M B = 0 VA = 0 8VA 24 = 0 8VA = 24

31 6º Passo Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e determinamos o valor de VB. VA + VB = 4kN 3 + VB = 4 VB = 4 3 VB = 1kN Se analisarmos a estrutura, observaremos que os resultados são compatíveis com a figura, uma vez que a força vertical, 4kN, está mais próxima do apoio A, sua reação deverá ser maior, pois está sendo mais solicitado que o apoio B. O resultado final é apresentado abaixo. o 2º CASO - Várias cargas concentradas na direção vertical. Esquema Estrutural

32 1º Passo Dar nome as apoios, isso evita confundir a posição das reações que por ventura aparecerão. 2º Passo Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações. Onde, VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 3º Passo Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, ( +) (- ). Σ F x = 0 ( + ) HB = 0 Como pode ser visto na figura, não existe solicitação no eixo X, desta forma, sem solicitação não haverá reação do apoio do 2º gênero na direção correspondente.

33 4º Passo Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical (eixo Y). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (+ ) (- ). Σ F Y = 0 ( + ) VA + VB = 0 VA + VB = 12kN; 5º Passo Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode determinar os valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de equilíbrio. Escolhe-se um dos apoios como ponto de referência de momento e verificamos quais forças e reações tendem a promover rotação neste apoio. Neste exemplo escolheremos o apoio B como referência. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário,. forma: Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte Σ M B = 0 VA = 0 8VA = 0 8VA = VA = 8 VA = 6kN 6º Passo Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e determinamos o valor de VB. VA + VB = 12kN 6 + VB = 12 VB = 12 6 VB = 6kN

34 o 3º CASO - Carga de momento aplicado com carga horizontal. Esquema Estrutural Solução: Σ F x = HB = 3kN 0 ( + ) Σ = 0 ( + ) HB + 3 = 0 ( ) F Y VA + VB = 0 Calculo de VB 0,67 + VB = 0 VB = 0,67kN ( ) Σ M B = 0 VA = 0 6VA = 4 4 VA = 6 VA = 0,67kN VA = 0,67kN ( )

35 o 4º CASO - Carga uniformemente distribuída. Esquema Estrutural 1º Passo Dar nome as apoios, isso evita confundir a posição das reações que por ventura aparecerão. 2º Passo Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações.

36 Onde, VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 3º Passo Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, ( +) (- ). Σ F x = 0 ( + ) HB = 0 Como pode ser visto na figura, não existe solicitação no eixo X, desta frma, sem solicitação não haverá reação do apoio do 2º gênero na direção correspondente. 4º Passo Cálculo da carga resultante do carregamento distribuído. Neste momento, reduz a carga distribuída a uma carga concentrada equivalente, chamada carga resultante e é determinada pelo cálculo da área do carregamento e será aplicada no centro de gravidade da figura formada pelo carregamento. Como segue: 5º Passo Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical (eixo Y). Faz-se a soma algébrica da a carga resultante e das reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (+ ) (- ). Σ F Y = 0 ( + ) 24 + VA + VB = 0 VA + VB = 24kN;

37 6º Passo Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode determinar os valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de equilíbrio. Escolhe-se um dos apoios como ponto de referência de momento e verificamos quais forças e reações tendem a promover rotação neste apoio. Neste exemplo escolheremos o apoio B como referência. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário,. forma: Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte Σ M B = 0 VA = 0 6VA 72 = 0 6VA = VA = 6 VA = 12kN 7º Passo Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e determinamos o valor de VB. VA + VB = 24kN 12 + VB = 24 VB = VB = 12kN

38 o 5º CASO Apoio do Terceiro Gênero - Cargas Concentrada e Carga horizontal. Esquema Estrutural 1º Passo Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, um engaste. Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo ponto, como abaixo: Onde, VA = Reação vertical do apoio A; HA = Reação horizontal do apoio A; MA = Reação de momento do apoio A; 2º Passo Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X).

39 Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, ( +) (- ). Σ F x = 0 ( + ) HA 3 = 0 HA = 3kN 3º Passo Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical (eixo Y). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (+ ) (- ). Σ F Y = 0 ( + ) VA = 0 VA = 12kN; 5º Passo Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de momento que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que estamos procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário,. Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte forma: Σ M A = 0 MA = 0 MA = MA = 48kN. m

40 o 6º CASO Apoio do Terceiro Gênero - Carga Uniformemente Distribuída e Carga Horizontal. Esquema Estrutural 1º Passo Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, um engaste. Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo ponto, como abaixo: Onde, VA = Reação vertical do apoio A; HA = Reação horizontal do apoio A; MA = Reação de momento do apoio A; 2º Passo Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, ( +) (- ). Σ F x = 0 HA 3 = 0 HA = 3kN ( + )

41 3º Passo Cálculo da carga resultante do carregamento distribuído. Neste momento, reduz-se a carga distribuída a uma carga concentrada equivalente, chamada carga resultante e é determinada pelo cálculo da área do carregamento e será aplicada no centro de gravidade da figura formada pelo carregamento. Como segue: 4º Passo Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical (eixo Y). Faz-se a soma algébrica da a carga resultante e das reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (+ ) (- ). Σ F Y = 0 ( + ) 12 + VA = 0 VA = 12kN; 5º Passo Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de momento que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que estamos procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário,. Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte forma: Σ M A = 0 MA ,5 = 0 MA = 18 MA = 18kN. m

42 o 7º CASO Apoio do Terceiro Gênero - Carga de Momento Aplicado E Carga Horizontal. Esquema Estrutural 1º Passo Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, um engaste. Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo ponto, como abaixo: Onde, VA = Reação vertical do apoio A; HA = Reação horizontal do apoio A; MA = Reação de momento do apoio A; 2º Passo Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, ( +) (- ). Σ F x = 0 HA 3 = 0 HA = 3kN ( + )

43 3º Passo Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical (eixo Y). Faz-se a soma algébrica da a carga resultante e das reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (+ ) (- ). Σ F Y = 0 VA = 0 ( + ) 4º Passo Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de momento que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que estamos procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário,. Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte forma: Σ M A = 0 MA + 4 = 0 MA = 4kN. m Como apresentado, para toda determinação das reações de apoio, sempre serão utilizadas as equações de equilíbrio estático. O procedimento adotado segue esse padrão, o entendimento desta etapa da análise estrutural é de fundamental importância para o desenvolvimento dos diagramas de esforços internos, assunto que será abordado com maior detalhe no futuro.

44 Exercícios Propostos. Calcule as reações de apoio das estruturas isostáticas abaixo. a) Estudo das Vigas Geber???????? b) c) d) e)

45 f) g) h) Esforços internos Vimos, anteriormente, como um sistema de forças encontra seu equilíbrio, através das reações de apoio, quando solicitado por carregamentos que as provocam. Agora vamos conhecer os efeitos que essas cargas e reações imprimem em cada seção da estrutura solicitada. Em uma seção qualquer, para se manter o equilíbrio, as forças atuantes no lado esquerdo devem ser iguais às forças atuantes no lado direito, Figura XX. Figura XX Esforços internos Uma seção S de uma estrutura em equilíbrio está submetida a um par de forças F e F e um par de momentos M e M aplicados no seu centro de gravidade, resultantes dos esforços atuantes à direita e à esquerda da seção.

46 Decompondo a força resultante e o momento em duas componentes, uma perpendicular e a outra paralela à seção, teremos: Assim, têm-se os seguintes esforços solicitantes: N = força normal (força perpendicular à seção S); Q = esforço cortante (força pertencente à seção S); T = momento torçor (momento perpendicular à seção S); M = momento fletor (momento pertencente à seção S). Esforço Normal (N): é a soma algébrica de todas as componentes, na direção normal à seção, de todas as forças atuantes de um dos lados da seção. Por convenção, o esforço normal é positivo quando determina tração e negativo quando determina compressão. Esforço Cortante (Q): é a soma vetorial das componentes sobre o plano da seção das forças situadas de um mesmo lado da seção. Por convenção, as projeções que se orientarem no sentido dos eixos serão positivas e nos sentidos opostos, negativas.

47 Momento Fletor (M): é a soma vetorial das componentes dos momentos atuantes sobre a seção, situados de um mesmo lado da seção em relação ao seu centro de gravidade. No caso de momento fletor, o sinal positivo ou negativo é irrelevante, importante é determinar o seu módulo e verificar onde ocorre compressão e tração Método das seções Imagine-se uma estrutura qualquer com forças aplicadas; considerando que as partes do corpo têm de estar em equilíbrio quando o corpo o está, e fazendo-se um corte imaginário perpendicular ao eixo da viga, qualquer parte da viga poderá ser considerada como um corpo livre. Cada um dos segmentos da viga está em equilíbrio, cujas condições exigem a existência de um sistema de forças na seção de corte da viga. Em geral, na seção de uma viga, são necessários uma força vertical, uma horizontal e um momento para manter a parte da viga em equilíbrio. A representação gráfica dos esforços internos em qualquer ponto da viga, representados em função de uma distância x a partir de uma das extremidades da mesma, se dá através dos chamados diagramas de estado ou diagramas de esforços internos. Por meio desses diagramas é possível a determinação dos valores máximos absolutos do esforço cortante, do momento fletor e do esforço normal.

48 5. Vigas Biapoiadas e Diagramas de Esforços Internos o 1º CASO - 1 Carga concentrada horizontal e 1 carga concentrada vertical. Diagrama de Esforços Diagrama de Esforço Normal (DEN) Diagrama de Esforço Cortante (DEC) Diagrama de Momento Fletor (DMF)

49 o 2º CASO - Várias cargas concentradas na direção vertical. Diagrama de Esforço Normal (DEN) Diagrama de Esforço Cortante (DEC) Diagrama de Momento Fletor (DMF) o 3º CASO - Carga de momento aplicado com carga horizontal.

50 Diagrama de Esforço Normal (DEN) Diagrama de Esforço Cortante (DEC) Diagrama de Momento Fletor (DMF) o 4º CASO - Carga uniformemente distribuída. Diagrama de Esforço Normal (DEN) Diagrama de Esforço Cortante (DEC)

51 Diagrama de Momento Fletor (DMF) o 5º CASO Apoio do Terceiro Gênero - Cargas Concentrada e Carga horizontal. Diagrama de Esforço Normal (DEN) Diagrama de Esforço Cortante (DEC) Diagrama de Momento Fletor (DMF)

52 o 6º CASO Apoio do Terceiro Gênero - Carga Uniformemente Distribuída e Carga Horizontal. Diagrama de Esforço Normal (DEN) Diagrama de Esforço Cortante (DEC) Diagrama de Momento Fletor (DMF) o 7º CASO Apoio do Terceiro Gênero - Carga de Momento Aplicado E Carga Horizontal.