MECÂNICA DOS SÓLIDOS

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1 MECÂNICA DOS SÓLIDOS Cláudio Messias da Silva O principal objetivo de um curso básico de mecânica deveria se o de desenvolver no estudante de engenharia a habilidade de analisar um dado problema, de maneira simples e lógica, e aplicar na sua solução alguns princípios básicos e fundamentais, que tenham sido bem entendidos. Esta apostila é indicada para o curso de produção onde o estudo da mecânica dos materiais esta baseado no entendimento de alguns conceitos básicos e no uso de modelos simplificados. Este procedimento torna possível o desenvolvimento de todas as formulas necessárias, de uma maneira lógica e racional, e mostra claramente as condições em que podem ser aplicadas, com segurança, na análise e no projeto de estruturas reais de engenharia e em componentes mecânicos. Os diagramas de corpo livre são freqüentemente usados ao longo de todo o texto, para determinar forças externas e internas. O uso de figuras que mostram claramente as grandezas que aparecem nas equações e suas relações ajuda no entendimento da superposição de carregamentos e resultante, tensões e deformações. INTRODUÇÃO Diagrama de corpo livre: o conteúdo da estática esta baseado em um número surpreendentemente pequeno de conceitos fundamentais e envolve principalmente a aplicação dessas relações básicas a uma variedade de situações. Nessa aplicação, o método de análise é muito importante. Ao resolver um problema é essencial que as leis aplicáveis estejam cuidadosamente entendidas e que esses princípios sejam aplicados literalmente bem, começaremos com uma introdução aos vetores e aplicação dos mesmos, pois serão muito usados neste curso. Com a revisão de vetores realizada em sala de aula, resolvam os exercícios abaixo. os fundamentos para o entendimento básico da estática e de todo conjunto da mecânica. Força Antes de lidar com um conjunto ou sistema de forças e necessário examinar as propriedades de uma única força com algum detalhe. Força é uma quantidade vetorial, porque seu efeito depende da direção e também do módulo da ação. Assim forças podem ser combinadas de acordo com a lei do paralelogramo da adição vetorial. A ação do cabo sob tração no suporte vide figura Determine o ângulo feito pelo vetor V = -10i + 24 j, com o eixo x positivo. 1.2 Uma força é especificada pelo vetor F = 80i 40j + 60k N. Calcule os ângulos feitos por F com os eixos x, y, z. 1.3 Qual o peso em Newtons de uma viga de 75 kg. 1.4 Determine o peso em Newtons de uma mulher cuja massa é 58,9 kg. Sistemas de Forças Estudaremos os efeitos de forças que atuam em estruturas e em equipamentos de engenharia. A experiência adquirida aqui ajudará você no estudo da mecânica e em outros tópicos como analise de tensões, projeto de estruturas e máquinas e escoamento de fluidos, estabelecendo Figura 1 Esta força está representada pelo vetor força P, de módulo P. O efeito dessa ação no suporte depende de P, do ângulo θ e da localização do ponto de aplicação A. A variação de qualquer um desses três parâmetros alterará o efeito sobre o suporte, tal como a força em um dos parafusos que seguram o

2 suporte à base, ou a força interna e a deformação em qualquer ponto do material do suporte. Assim, a completa especificação da ação de uma força deve incluir seu modulo, direção e ponto de aplicação. Desse modo devemos tratá-la como um vetor fixo. Princípio da Transmissibilidade Quando se lida com a mecânica de um corpo rígido, ignoramos deformações no corpo e nos concentramos apenas nos efeitos externos resultantes das forças externas. Em tais casos, a experiência nos mostra que não é necessário restringir a ação de uma força aplicada a um determinado ponto. Por exemplo, a força P atuando na placa rígida na FIGURA 2.2 pode ser aplicada em A ou em B, ou em qualquer ponto em sua linha de ação, e os efeitos externos de P no suporte não se alterarão. Ação e Reação de acordo com a terceira lei de Newton, a ação de uma força é sempre acompanhada por uma reação igual e oposta. É essencial distinguir entre a ação e a reação em um par de forças. Determinando os Componentes de uma Força As dimensões nem sempre são dadas nas direções horizontais e verticais, os ângulos não precisam ser medidos no sentido anti-horário a partir do eixo x, e a origem das coordenadas não precisa estar na linha de ação de uma força. A figura 2 mostra alguns exemplos de decomposição de forças. 3 mostra a linha de ação de F 2 deslocada de O para a extremidade de F 1, ao adicionar-se os vetores força F 1 e F 2, podemos escrever. R = F 1 + F 2 = (F 1x i + F 1y j) + (F 2x i + F 2y j) Onde pode-se concluir R x = F 1x +F 2x =ΣF x R y = F 1y +F 2y =ΣF y Exercícios Figura 3 1) A força F tem um módulo de 500 N. expresse F como um vetor, em termos dos vetores unitários i e j. Identifique os componentes escalares de F em x e y. 2) A inclinação da força F de 5,2 kn é especificada como mostrado na figura. Expresse F como um vetor, em termos dos vetores unitários i e j. Figura 2 Considere duas forças F 1 e F 2 que estão concorrentes em um ponto O. Observando a figura 3) A força F de 1800 N é aplicada na extremidade da viga em I. Expresse F

3 como um vetor, em termos dos vetores unitários i e j. 4) Os dois elementos estruturais, um dos quais está em tração e o outro em compressão, exercem as forças indicadas na junta O. Determine o módulo da resultante R das duas forças e o ângulo θ que R faz com o eixo positivo dos x. 8) Enquanto está empurrando continuamente uma máquina pra cima em um plano inclinado, uma pessoa exerce uma força P de 180 N, como mostrado. Determine os componentes de P, que são paralelo e perpendicular ao plano inclinado. 5) O componente y da força F que uma pessoa exerce no cabo da chave vale 320 N. Determine o componente x e o módulo de F. 6) Determine a resultante R das duas forças mostradas somando os componentes escalares. 9) No projeto de um Robô para colocar a pequena parte cilíndrica em um furo circular praticamente sem folga, o braço do robô deve exercer uma força P de 90 N na peça paralela ao eixo do furo, como mostrado. Determine os componentes da força que a peça exerce no robô nos eixo paralelo e perpendicular ao braço AB. 7) No projeto de um mecanismo de controle é determinado que a barra AB transmita uma força P de 260 N à manivela BC. Determine os componentes escalares x e y de P. 10) Determine a resultante R das duas forças aplicadas no suporte. Escreva R em termos de vetores.

4 11) A força de 600 N aplicada ao suporte em A deve ser substituída por duas forças, F a na direção a-a e F b na direção b-b, que produzem juntas o mesmo efeito sobre o suporte que a força de 600 N. determine F a e F b. 14) O cabo AB evita que a barra AO gire no sentido horário em torno do pivô O. Se a tensão trativa no cabo vale 750 N, determine os componentes n e t dessa força, atuando no ponto A da barra. 12) Deseja-se remover o pino da madeira pela aplicação de uma força ao longo de seu eixo horizontal. Um obstáculo A evita um acesso direto, de modo que duas forças, uma de 1,6 kn e a outra P, são aplicadas por cabos, como mostrado. Calcule o módulo de P necessário para assegurar uma resultante T direcionada ao longo do pino. Determine também o módulo de T. 15) Os cabos de sustentação AB e AC estão presos no topo da torre de transmissão. A força trativa no cabo AC vale 8 kn. Determine a força trativa T necessária no cabo AB, tal que o efeito líquido das duas forças trativas nos cabos seja uma força apontada para baixo no ponto A. Determine o módulo R destas força. 13) Em que ângulo deve uma força de 800 N ser aplicada, para que a resultante R das duas forças tenha um módulo de 2000 N?

5 Momento Além da tendência de mover um corpo na direção de sua aplicação, uma força pode também girar um corpo em relação a um eixo. O eixo pode ser qualquer linha, que não intercepte ou não seja paralela à linha de ação da força. Essa tendência à rotação é conhecida como momento M da força. O momento é também denominado como torque. Momento em Torno de um Ponto A figura 3 mostra um corpo bidimensional submetido a uma força F, atuando em seu plano. Teorema de Varignon Um dos princípios mais úteis da mecânica é o teorema de Varignon, que diz que o momento de uma força em relação a qualquer ponto é igual à soma dos momentos dos componentes dessa força em relação ao mesmo ponto. O Produto Vetorial Em alguns problemas bi e tridimensionais será necessário um enfoque vetorial PR o calculo de momentos. O momento de F em relação ao ponto pode ser calculado pela expressão de produto vetorial M = r x F Onde r é um vetor de posição que vai do ponto de referencia do momento, para qualquer ponto na linha de ação de F. Exemplo Calcule o modulo do momento da força de 600 N em relação ao ponto O da base. Sala de aula. Figura 4 O módulo do momento, ou a tendência da força de girar o corpo em torno do eixo O-O perpendicular ao plano do corpo, é proporcional tanto ao módulo da força quanto ao braço de alavanca d, que é a distância perpendicular do eixo à linha de ação da força. Assim sendo, o módulo do momento é definido como M = Fd O momento é um vetor M perpendicular ao plano do corpo. O sentido de M depende da direção na qual F tende a girar o corpo. A regra da mão direita, figura 3/c é usada para identificar esse sentido. Como se pode observar pela figura existe dois vetores um o vetor distância e o vetor força sendo assim pode-se calcular o M O usando o sistema de coordenadas juntamente com os procedimentos para avaliar produtos vetoriais. M O = r x F = (2i + 4j) x ((600 cos 40º)i (600 sem 40º)j) = N.m K. Exercícios 1) A placa retangular é formada por quadrados de 1 m, como mostrado. Uma força de 75 N é aplicada no ponto A na direção mostrada. Determine o momento dessa força em relação ao ponto B e em relação ao ponto C.

6 2) O setor de controle do acelerador pivota livremente em O. Se uma mola de torção interna exerce um momento de retorno M = 2 N.m sobre o setor, determine a força trativa T necessária no cabo do acelerador para que o momento resultante em torno de O seja zero. Observe que quando T é zero, o setor se apóia no parafuso de ajuste de marcha lenta em R. 5) Calcule o momento da força de 250 N na manopla da chave inglesa em relação ao centro do parafuso. 6) Um pé-de-cabra é usado para remover um prego, como mostrado. Determine o momento da força de 240 N em relação ao ponto O, de contato entre o pé-de-cabra e o pequeno bloco de suporte. 3) O galho inteiro AO tem uma massa de 180 kg, com centro de massa em G. Determine o momento do peso desse galho em relação ao ponto O. 7) Elementos do braço estão mostrados na figura abaixo. A massa do antebraço é de 2,3 kg, com centro de massa em G. Determine o momento combinado em relação ao cotovelo em O dos pesos do antebraço e dos 3,6 kg da esfera homogênea. Qual deve ser a força trativa no bíceps, de modo que o momento total em relação a O seja zero? 4) A força F de módulo 60 N é aplicada à roda dentada. Determine o momento de F em relação ao ponto O.

7 10) Uma força de 200 N é aplicada na extremidade da chave de boca para apertar um parafuso que fixa a roda ao eixo. Para a posição mostrada da chave, determine o momento M produzido por essa força em relação ao centro O da roda. 8) A força P de 30 N é aplicada perpendicular à parte BC da barra dobrada. Determine o momento de P em relação ao ponto B e em relação ao ponto A. 11) Determine o ângulo θ que vai maximizar o momento M o da força de 200 N em relação ao eixo em O. 9) A força exercida pelo amortecedor AB sobre a porta vale 40 N e está direcionada ao longo da linha AB. Essa força tende a manter a porta fechada. Calcule o momento dessa força em relação à dobradiça O. Que força F c normal ao plano da porta, deve ser exercida sobre a porta pelo batente em C de modo que o momento combinado das duas forças em relação a O seja zero? 12) Determine o ângulo θ que vai maximizar o momento M o da força de 200 N em relação ao eixo em O. Calcule também M o.

8 13) Um vento soprando na direção normal ao plano da placa retangular exerce uma pressão uniforme de 175 N/m 2 na direção mostrada na figura. Determine o momento da força resultante em relação ao ponto O. Dê seu resultado como um vetor, usando as coordenadas mostradas. 15) A presilha no topo de um mastro suporta as duas forças mostradas. Determine o módulo de T que não causará momento no ponto O (momento nulo). 14) A força de 120 N é aplicada a uma extremidade da chave curva, como mostrado. Se α = 30º, calcule o momento de F em relação ao centro O do parafuso. Determine o valor de α que maximizaria o momento em relação a O.

9 Binário O momento produzido por duas forças nãocolineares, iguais e opostas é chamado de binário. Binários têm determinadas propriedades particulares e têm aplicações importantes em mecânica. Considere a ação de duas forças iguais e opostas F e F, distando d, como mostrado na figura 4: Figura 6 Pelo método da álgebra vetorial Podemos expressar o momento devido a um binário usando álgebra vetorial. O momento combinado das forças que formam o binário da figura 4 b, em relação ao ponto O é M= r A x F + r B x (-F) = (r A r B ) x F Onde r A e r B são vetores de posição, que partem do ponto O para pontos arbitrários A e B sobre as linhas de ação de F e F, respectivamente. Dado que r A e r = r, podemos expressar M como: M = r x F Substituição de uma força por uma força e um binário, onde a força dada F, atua no ponto A, é substituída por uma força igual F em um ponto B qualquer e pelo binário anti-horário M = Fd, vide figura 5. Figura 7 Exemplo 2/6 sala de aula Exercícios Figura 5 1) Calcule o momento combinado das duas forças de 180 N em relação ao ponto O e em relação ao ponto A. Essas duas forças não podem ser combinadas em uma única força, porque sua soma em todas as direções é zero. Seu único efeito é produzir uma tendência à rotação. O momento combinado das duas forças em relação a um eixo normal ao seu plano é o binário M. esse momento tem módulo. M = Fd

10 2) Substitua a força de 4 kn atuando no ponto A por um sistema força - binário em O. 3) O sistema força binário indicado está aplicado a um pequeno eixo no centro de uma placa retangular. Substitua esse sistema por uma força única e especifique a coordenada do ponto no eixo y pelo qual passa a linha de ação dessa força resultante. 6) Cada hélice de um navio de duas hélices desenvolve um empuxo na velocidade máxima de 300 kn. Ao manobrar-se o navio, uma hélice está girando a toda velocidade para frente e a outra a toda velocidade no sentido reverso. Que empuxo P deve cada rebocador exercer no navio para contrabalançar o efeito de giro causado pelas hélices do navio? 4) A vista de topo de uma porta giratória esta mostrada. Duas pessoas se aproximam simultaneamente da porta e exercem forças de módulo igual, como mostrado. Se o momento resultante em relação ao eixo de rotação da porta em O vale 25 N.m, determine o módulo da força F. 7) No projeto do gancho de um guindaste, a ação da força F aplicada na seção critica do gancho é uma força trativa direta e um binário em B. se o módulo do binário e 4000 N.m, determine o módulo de F. 5) Durante um teste no solo, tanto com o rotor principal quanto com o rotor da cauda em operação uniforme, uma força aerodinâmica de 400 N é exercida sobre o rotor da cauda em P, como mostrado. Determine o sistema força binário equivalente no ponto O.

11 8) O sistema consistindo na barra AO, duas polias idênticas e uma fita fina, esta submetido a duas forças trativas de 180 N, como mostrado na figura. Determine o sistema força binário equivalente no ponto O. 11) Substitua o binário e a força mostrada por uma única força F aplicada no ponto D. Localize D determinando a distância b. 9) Uma chave de roda é usada para apertar um parafuso de cabeça quadrada. Se forças de 250 N forem aplicadas à chave, como mostrado, determine o módulo F das forças iguais exercida nos quatro pontos de contato na cabeça de 25 mm do parafuso, de modo que seu efeito externo no parafuso seja equivalente ao das duas forças de 250 N. Considere que as forças são perpendiculares aos lados planos da cabeça do parafuso. 12) Quando faz uma curva para a esquerda, um motorista exerce duas forças de 6 N em um volante, como mostrado. Determine o momento associado com essas forças. 10) Uma força de 400 N, fazendo um ângulo θ = 20º, é aplicada à barra esbelta soldada. Determine o sistema força binário autuando na solda no ponto A, e no ponto O.

12 13) Como parte de um teste, os dois motores de um avião são acelerados e as inclinações das hélices são ajustadas de modo a resultar em um empuxo par frente e para trás, como mostrado. Que força F deve ser exercida pelo chão em cada uma das duas rodas principais freadas em A e B, para se opor ao efeito dos dois empuxos? 15) Uma força F de 50 N é exercida sobre a alavanca do freio de mão de um automóvel, na posição x = 250 mm. Substitua a força por um sistema forçabinário equivalente no ponto O. 14) A chave de boca está submetida a uma força de 200 N e à força P, como mostrado na figura abaixo. Se o sistema equivalente às duas forças é a força R atuando em O e o binário dado pelo vetor M = 20 kn.m, determine as expressões vetoriais para P e R.