GUIA DO PROFESSOR. Caro professor, caso tenha algum questionamento de qualquer natureza, não hesite em nos contactar pelo

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1 Página 1 GUIA DO PROFESSOR Caro professor, caso tenha algum questionamento de qualquer natureza, não hesite em nos contactar pelo conteudosdigitais@im.uff.br DESCRIÇÃO Nesta atividade apresentamos um software interativo que permite visualizar e manipular vários tipos de poliedros (os platônicos, os arquimedianos, os prismas, as pirâmides, etc). Várias operações geométricas estão disponíveis: cálculo de um sólido dual, cortes por seções, planificação, truncamento e estrelamento. O software também informa o número de vértices, arestas e faces de cada poliedro e sua característica de Euler. OBJETIVOS Exercitar visualização espacial; identificar, comparar e analisar atributos geométricos e topológicos dos poliedros e, ao mesmo tempo, desenvolver o vocabulário necessário para descrever estes atributos; investigar, formular e argumentar sobre as propriedades resultantes das operações geométricas aplicadas aos poliedros. QUANDO USAR? Sugerimos que a atividade seja usada quando da apresentação da teoria dos poliedros em geometria espacial. COMO USAR? Decidir como usar o computador é uma questão que depende de alguns fatores: número de alunos na turma, número de computadores disponíveis no laboratório de informática e tempo disponível em sala de aula. Em virtude disto, vamos sugerir três estratégias de uso desta atividade: 1. Como um exercício extraclasse. Nesta modalidade, você pode propor a atividade para seus alunos como um dever de casa (valendo um ponto extra), para ser realizado fora do tempo de sala de aula, isto é, em um horário livre no laboratório da escola ou na própria casa do aluno, caso ele possua um computador. Você pode definir um prazo pré-determinado para a realização da atividade (por exemplo, uma semana). Achamos que não é preciso que você explique o funcionamento do

2 Página 2 software da atividade, pois incluímos uma animação ilustrando todos os seus recursos. Naturalmente, no decorrer do prazo do dever de casa, você poderá tirar dúvidas eventuais de seus alunos. Para tornar o trabalho mais orientado e focado, recomendamos fortemente que o dever de casa seja conduzido através de algumas questões que os alunos deverão estudar com o auxílio do software da atividade. O formulário de acompanhamento do aluno, apresentado mais embaixo, sugere vários exercícios. Este formulário também será útil como instrumento para uma discussão posterior em sala de aula (quando da devolução do formulário) e fornecerá subsídios para uma possível avaliação. 2. Em sala de aula com um projetor multimídia (datashow) Se você tiver acesso a um projetor multimídia (datashow) ou a um computador ligado na TV, você poderá usar o software desta atividade em sala de aula para, por exemplo, ao invés de desenhar os poliedros no quadro, exibi-los e manipulá-los através do computador. Se houver tempo, mesmo alguns exercícios do formulário de acompanhamento do aluno poderão ser resolvidos em sala de aula sob sua orientação. 3. Como uma atividade de laboratório sob a supervisão do professor. A grande vantagem desta modalidade é que você poderá acompanhar de perto como os seus alunos estão interagindo com o computador. Principalmente nas modalidades 1 e 3, recomendamos fortemente que o aluno preencha algum tipo de questionário de acompanhamento, para avaliação posterior. Sugerimos o seguinte modelo (sinta-se livre para modificá-lo de acordo com suas necessidades): pdp-aluno.rtf. Este formulário de acompanhamento do aluno também estará acessível na página principal da atividade através do seguinte ícone: As respostas dos questionamentos propostos neste formulário não estão incluídas com a atividade, mas elas podem ser solicitadas através do conteudosdigitais@im.uff.br.. OBSERVAÇÕES METODOLÓGICAS Relatos de experiências (comprovados em nossos testes) mostram que os alunos têm forte resistência em preencher o formulário de acompanhamento. Mais ainda: estes relatos mostram que, frequentemente, os alunos conseguem argumentar corretamente de forma verbal, mas enfrentam dificuldades ao fazer o registro escrito de suas ideias. Mesmo com as reclamações e resistência dos alunos, nossa sugestão é que você, professor, insista no preenchimento do formulário. Afinal, por vários motivos, é muito importante que o aluno adquira a habilidade de redigir corretamente um texto matemático que possa ser compreendido por outras pessoas. OBSERVAÇÕES TÉCNICAS

3 Página 3 A atividade pode ser acessada usando um navegador (Firefox 2+ ou Internet Explorer 7+), através do link (endereço alternativo: Se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da sua escola instale a atividade para acesso offline, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet. A atividade pode ser executada em qualquer sistema operacional: Windows, Linux e Mac OS. Porém, para executá-lo, é preciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalação da linguagem JAVA pode ser feita seguindo as orientações disponíveis no seguinte link /pt_br/. Atenção: se você estiver usando a atividade offline através de uma cópia local em seu computador, é importante que os arquivos não estejam em um diretório cujo nome contenha acentos ou espaços. Importante: algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web Plugin que não é compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável pelo laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no link /pt_br/. Acessibilidade: a partir da Versão 2 do Firefox e da Versão 8 do Internet Explorer, é possível usar as combinações de teclas indicadas na tabela abaixo para ampliar ou reduzir uma página da internet, o que permite configurar estes navegadores para uma leitura mais agradável. Combinação de Teclas Efeito Ampliar Reduzir Voltar para a configuração inicial Vantagens deste esquema: (1) além de áreas de texto, este sistema de teclas amplia também figuras e aplicativos FLASH e (2) o sistema funciona para qualquer página da internet, mesmo para aquelas sem uma programação nativa de acessibilidade. DICAS 1. O formulário de acompanhamento do aluno apresentado na atividade possui muitos exercícios, com vários níveis de dificuldade. Aplicá-los todos de uma vez pode cansar o aluno. Sugerimos que você faça uma seleção ou divisão do conteúdo. 2. Para incluir um desenho gerado pelo software da atividade no Microsoft Word, você pode proceder como se segue: (a) pressione a tecla PRINT SCRN (isto irá capturar a tela do seu computador) (b) abra o programa Paint do Windows e, então, mantendo a tecla CTRL pressionada, pressione a tecla v (isto irá colar o desenho da tela no Paint), (c) recorte o desenho do poliedro no Paint (existe uma ferramenta que faz isto), (d) salve a figura e inclua-a no Microsoft Word. 3. Para imprimir a planificação do poliedro sendo exibido pelo software da atividade, clique no link Clique aqui! disponível logo abaixo da janela principal do software. Um arquivo PDF será carregado. Basta então imprimi-lo.

4 Página 4 4. Para imprimir o que está sendo exibido pelo software da atividade (incluindo o plano de corte ou modificações geradas pela aba Modelar ), clique na área do desenho do software (para que ela ganhe o foco) e, então, mantendo a tecla CTRL pressionada, pressione a tecla p. Uma janela aparecerá solicitando permissão para a impressão. Ative a opção que diz permitir sempre ( always allow ), confirme e pronto! DISCUSSÃO APÓS A REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE Sugerimos fortemente que seja feita uma discussão com os alunos após a realização da tarefa. Se você optou por levá-los ao laboratório, isto pode ser feito no próprio laboratório, logo após o término da atividade. Se você optou por um exercício extraclasse, a discussão pode ser feita quando da devolução do questionário. Esta discussão pode incluir as diferentes estratégias de solução dos exercícios adotada por cada aluno, a comparação das respostas dos alunos, as dificuldades encontradas na realização dos exercícios, a ênfase em propriedades e resultados importantes, as informações suplementares, etc. AVALIAÇÃO Como instrumento de avaliação, sugerimos que você peça para os alunos elaborarem um relatório descrevendo as perguntas e respostas apresentadas na discussão em sala de aula. Nesse relatório, o professor poderá avaliar as capacidades de compreensão, argumentação e organização do aluno. Recomendamos que o questionário preenchido durante a realização da atividade seja anexado ao relatório. REFERÊNCIAS Bakó, M. Different Projecting Methods in Teaching Spatial Geometry. European Research in Mathematics Education III, Thematic Group 7, Université Paul Sabatier, Tolouse, Paris, Boissonnat, J.-D.; Yvinec, M. Algorithmic Geometry. Cambridge University Press, Cromwell, P. R. Polyhedra. One The Most Charming Chapters of Geometry. Cambridge University Press, Cundy, H. M.; Rollet, A. P. Mathematical Models. Second Edition. Oxford Univeristy Press, Eppstein, D. Nineteen Proofs of Euler's Formula: V E + F = 2. Information and Computer Sciences, University of California, Irvine, Gailiunas, P.; Sharp, J. Duality of Polyhedra. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, vol. 36, no. 6, pp , Gómez, E. Slicing a Cube. Mathematics Teacher, vol. 102, n. 6, pp , Grünbaum, B. Are Your Polyhedra The Same as My Polyhedra?. Em Aronov, B.; Basu, S.; Pach, J.; Sharir, M. (editores). Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift. Springer-Verlag, pp , Grünbaum, B.; Shephard, G. C. Is Selfduality Involutory?. The American Mathematical Monthly, vol. 95, n. 8, pp , Grünbaum, B.; Shephard, G. C. A New Look at Euler's Theorem for Polyhedra. The American

5 Página 5 Mathematical Monthly, vol. 101, n. 2, pp , Grünbaum, B.; Shephard G. Duality of Polyhedra. Em Senechal, M; Fleck, G. (editores). Shaping Space A Polyhedral Approach. Birkhäuser, Kappraff, J. Connections. The Geometric Bridge Between Art and Science. Second Edition. World Scientific, Kepler, J. Harmonices Mundi. Lincii Austriæ, sumptibus Godofredi Tampachii excudebat Ioannes Plancvs, Disponível gratuitamente em formato eletrônico na Biblioteca Digital da Carnegie-Mellon University. Lima, E. L. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Lima, E. L. et alii. A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Pegg, Junior, E. T. A Complete List of Fair Dice. Master Thesis, Department of Mathematics, University of Colorado at Colorado Springs, Richeson, D. S. Euler's Gem. The Polyhedron Formula and The Birth of Topology. Princeton University Press, Wagner, E. V A + F = 2. Existe o Poliedro?. Revista do Professor de Matemática, n. 47, pp. 5-11, Weisstein, E. W. MathWorld A Wolfram Web Resource Wenninger, M. J. Dual Models. Cambridge University Press, [Clique aqui para voltar para a página principal!] Dúvidas? Sugestões? Nós damos suporte! Contacte-nos pelo conteudosdigitais@im.uff.br.

6 Anexo Formulário de Acompanhamento do Aluno

7 Atividade: uma pletora de poliedros Aluno(a): Turma: Professor(a): Parte 01 (exercício de visualização) No software, você encontrará a categoria dos Cosmogramas de Leonardo, que são modelos dos sólidos platônicos com as faces esburacadas e colocados um dentro do outro. Tente identificar a ordem em que cada sólido platônico aparece um dentro do outro em cada cosmograma, preenchendo a tabela abaixo. Lembre-se que, no software, você pode usar o botão direito do mouse para ampliar ou reduzir o tamanho da figura. Número do Cosmograma Poliedro 1 (mais externo) Poliedro 2 Poliedro 3 Poliedro 4 Poliedro 5 (mais interno) Parte 02 (exercício de visualização) As ilustrações abaixo foram extraídas da obra Underweysung der messung / mit dem zirckel un richtscheyt / in Linien ebenen und gantzen corporen (em português, Instruções para a medida / com régua e compasso / das linhas, planos e corpos sólidos ) do artista alemão Albretch Dürer ( ). Elas são planificações de sólidos arquimedianos. Tente identificar o poliedro de cada planificação. Parte 03 (exercício de contagem/fórmula de Euler) Usando o software, se necessário, conte o número de vértices, arestas e faces das pirâmides indicadas abaixo, anotando os resultados na tabela. Lembre-se que, no software, você pode usar o botão esquerdo do mouse para girar a figura. Pirâmide Com Base Número de Vértices (V) Número de arestas (A) Número de Faces (F) Valor de V A + F Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal Heptagonal Polígono de n Lados Parte 04 (exercício de contagem/fórmula de Euler) Usando o software, se necessário, conte o número de vértices, arestas e faces dos prismas indicados abaixo, anotando os resultados na tabela. Lembre-se que, no software, você pode usar o botão esquerdo do mouse para girar a figura. Prisma Com Base Número de Vértices (V) Número de arestas (A) Número de Faces (F) Valor de V A + F Triangular Quadrangular 1

8 Pentagonal Hexagonal Heptagonal Polígono de n Lados Parte 05 (exercício de contagem/fórmula de Euler) Usando o software, se necessário, conte o número de vértices, arestas e faces dos antiprismas indicados abaixo, anotando os resultados na tabela. Lembre-se que, no software, você pode usar o botão esquerdo do mouse para girar a figura. Antiprisma Com Base Número de Vértices (V) Número de arestas (A) Número de Faces (F) Valor de V A + F Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal Heptagonal Polígono de n Lados Parte 06 (exercício de contagem/fórmula de Euler) Usando o software, conte o número de vértices, arestas e faces dos sólidos platônicos. Anote os resultados na tabela abaixo. Dica: você pode usar os recursos de exibição de faces e de marcação de vértices para auxiliar na contagem. Para contar o número de faces mais facilmente, você pode planificar o sólido usando a operação da aba Montar. Poliedro Regular Número de Vértices (V) Número de arestas (A) Número de Faces (F) Valor de V A + F Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro Parte 07 (exercício de contagem/fórmula de Euler) A operação geométrica de truncar e preencher, disponível na aba Modelar, faz o seguinte: (1) ela corta um pedaço do poliedro em cada vértice removendo as faces laterais de uma pirâmide cujo vértice é o vértice original do poliedro e, em seguida, (2) ela acrescenta faces para tapar os buracos que foram formados em (1). a) Familiarize-se com esta operação geométrica no software. Note como o valor do parâmetro (controle deslizante) muda a altura da pirâmide que é removida de cada vértice. Em especial, tente truncar e preencher o icosaedro e, ajustando o valor do parâmetro (controle deslizante), tente obter o poliedro que se assemelha à bola de futebol. b) Quantos vértices, arestas e faces possui o poliedro resultante da operação de truncar e preencher (considere o valor do parâmetro igual a 0,2) aplicada ao tetraedro? E se a operação fosse aplicada ao cubo? E aos demais sólidos platônicos? É possível obter estes números sem contar um a um os vértices, arestas e faces? Tente montar uma estratégia! c) Quantos vértices, arestas e faces tem o poliedro resultante da operação de truncar e preencher (considere o valor do parâmetro igual a 0,2) aplicada ao sólido arquimediano icosaedro truncado (poliedro que se assemelha a bola de futebol)? d) Os poliedros resultantes da operação de truncar e preencher (considere o valor do parâmetro igual a 0,2) aplicada aos sólidos platônicos satisfazem a relação de Euler V A + F = 2? Por quê? e) Aplicando a operação de truncar e preencher a um tetraedro regular, é possível obter um octaedro regular? Em caso afirmativo, qual é o valor do parâmetro? Parte 08 (exercício de contagem/fórmula de Euler) A operação geométrica de estrelar, disponível na aba Modelar, faz o seguinte: (1) ela constrói pirâmides cujas bases são as faces originais do poliedro e, em seguida, (2) ela remove estas bases. a) Familiarize-se com esta operação geométrica no software. Note como o valor do parâmetro (controle deslizante) muda a altura da pirâmide. O que acontece quando o valor do parâmetro é negativo? b) Quantos vértices, arestas e faces possui um estrelamento do tetraedro? E do cubo? E dos demais sólidos platônicos? É possível obter estes números sem contar um a um os vértices, arestas e faces? Tente montar uma estratégia! c) Quantos vértices, arestas e faces tem um estrelamento do sólido arquimediano icosaedro truncado (poliedro que se assemelha a bola de futebol)? d) Os estrelamentos dos sólidos platônicos satisfazem a relação de Euler V A + F = 2? Por quê? e) Fazendo um estrelamento no tetraedro regular, é possível obter um poliedro cujos vértices são vértices de um cubo? 2

9 f) Verdadeiro ou falso? O estrelamento de um poliedro convexo sempre é um poliedro convexo. Justifique a sua resposta! g) Verdadeiro ou falso? O estrelamento de um poliedro convexo nunca é um poliedro convexo. Justifique a sua resposta! Parte 09 (exercício de contagem/fórmula de Euler/toróides) Usando o software, conte o número de vértices, arestas e faces dos toróides com 1 buraco. Anote os resultados na tabela abaixo. Dica: você pode usar os recursos de exibição de faces e de marcação de vértices para auxiliar na contagem. Para contar o número de faces mais facilmente, você pode planificar o sólido usando a operação da aba Montar. Toróide Número de Vértices (V) Número de arestas (A) Número de Faces (F) Valor de V A + F Com 1 Buraco Triangular Com 1 Buraco Quadrado Com 1 Buraco Pentagonal Com 1 Buraco Hexagonal Com 1 Buraco Heptagonal Parte 10 (exercício de contagem/fórmula de Euler/toróides/poliedros com alças) Na categoria Toróides do software, existem sete poliedros com alças. Eles foram construídos da seguinte maneira: (a) A partir de um prisma reto de base heptagonal (V = 14, A = 21, F = 9), foi realizado um truncamento que (1) cortou um pedaço do poliedro em cada vértice removendo as faces laterais de uma pirâmide cujo vértice é o vértice original do poliedro e, em seguida, (2) acrescentou triângulos azuis para tapar os buracos que foram formados em (1). O prisma truncado resultante tem então V = 3 14 = 42 vértices, A = = 63 arestas e F = = 23 faces. (b) Para cada alça, foram criados primeiro dois buracos removendo-se um par de triângulos azuis que, depois, foram tapados com a colagem de uma alça vermelha. Conte o número de vértices, arestas e faces dos poliedros com alças. Anote os resultados na tabela abaixo. Dica: ao invés de fazer uma contagem de cada elemento um a um, tente decobrir, a partir do número de vértices, arestas e faces do prisma heptagonal truncado, o que muda quando um par de triângulos azuis é removido e uma alça vermelha é colada. Poliedro Número de Vértices (V) Número de arestas (A) Número de Faces (F) Valor de V A + F Com 1 Alça Com 2 Alças Com 3 Alças Com 4 Alças Com 5 Alças Com 6 Alças Com 7 Alças Parte 11 (exercício de contagem/fórmula de Euler/toróides/poliedros com alças) No software, se você der primeiro um clique no fundo branco na área onde o poliedro é exibido e, então, pressionar a tecla 9, você verá uma mensagem que informa o número de vértices, arestas e faces e a característica de Euler do poliedro. Usando este recurso, preencha a tabela abaixo. O que os toróides com 1 buraco, o poliedro com 1 alça, o gatinho e o dromedário (estes dois últimos disponíveis na categoria Animais ) têm em comum? Poliedro Número de Vértices (V) Número de arestas (A) Número de Faces (F) Valor de V A + F Animal: Cavalo Animal: Coelho Animal: Gatinho Animal: Dromedário Toróide com 1 buraco quadrado Toróide com 2 buracos quadrados Toróide com 3 buracos quadrados Se o cavalo e o coelho fossem feitos de borracha e você injetasse ar neles, que formato eles assumiriam? E o gatinho e o 3

10 dromedário? Parte 12 (exercício de classificação) a) Determine todos os Sólidos de Johnson cujas faces são triângulos equiláteros. b) Deltaedros regulares convexos são poliedros convexos cujas faces são triângulos equiláteros congruentes. É possível mostrar que existem apenas 8 deles. Identifique-os no software! c) Existem infinitos deltaedros regulares não convexos? Justifique a sua resposta! Parte 13 (exercício de classificação) Todas as faces do Sólido de Johnson Dipirâmide Pentagonal (J13) são triângulos equiláteros congruentes. Ainda assim, este poliedro não é um sólido platônico regular. Por quê? Parte 14 (seções planas do cubo) A aba Cortar dá acesso a operação de cortes por planos do poliedro. Após ativar a operação, você pode usar os controles deslizantes (sliders) para ajustar a posição do plano. Ajustes mais finos podem ser conseguidos digitando-se diretamente um valor no campo de entrada ao lado do controle deslizante (lembre-se de apertar a tecla ENTER para efetivar o valor). Na tabela a seguir, você deve indicar valores (mesmo aproximados) para os quais a seção plana do poliedro é o polígono que se pede. Indique, com suas próprias palavras ou com um desenho, que tipo de configuração você está tentando montar (plano azul paralelo a uma face, vetor e apontando para alguma direção específica, pontos médios, etc.). Seção Plana do Cubo Quadrado Translação Ângulo 1 Ângulo 2 Descrição/Desenho/Justificativa Retângulo (que não é um quadrado) Losango Trapézio Isósceles Trapézio Escaleno Paralelogramo (que não é um retângulo) Triângulo Escaleno Triângulo Isósceles Triângulo Equilátero Pentágono Hexágono Regular Se você sabe geometria analítica espacial, os seguintes recursos podem ser úteis: clique no fundo branco na área onde o poliedro é exibido e, então, pressione a tecla 4. O sistema de eixos coordenados aparecerá. Se você pressionar a tecla 4 novamente, o sistema desaparecerá. Caso os números dos vértices não estejam sendo exibidos, pressione a tecla 1. Eles aparecerão. Em seguida, pressione a tecla 2. As coordenadas dos vértices (ou aproximações destas coordenadas) aparecerão. Se você pressionar a tecla 2 várias vezes, aproximações com diferentes casas decimais serão exibidas. O plano de corte tem a 4

11 seguinte equação: cos(ϕ) cos(λ) x + cos(ϕ) sen(λ) y + sen(ϕ) z = d, onde ϕ é o valor do controle Ângulo 1, λ é o valor do controle Ângulo 2 e d é o valor do controle Translação. Os ângulos ϕ e λ representam, respectivamente, a latitude e a longitude da extremidade e do vetor normal ao plano. Parte 15 (seções planas do tetraedro regular) A aba Cortar dá acesso a operação de cortes por planos do poliedro. Após ativar a operação, você pode usar os controles deslizantes (sliders) para ajustar a posição do plano. Ajustes mais finos podem ser conseguidos digitando-se diretamente um valor no campo de entrada ao lado do controle deslizante (lembre-se de apertar a tecla ENTER para efetivar o valor). Na tabela a seguir, você deve indicar valores (mesmo aproximados) para os quais a seção plana do poliedro é o polígono que se pede. Indique, com suas próprias palavras ou com um desenho, que tipo de configuração você está tentando montar (plano azul paralelo a uma face, vetor e apontando para alguma direção específica, pontos médios, etc.). Seção Plana do Tetraedro Regular Triângulo Equilátero Translação Ângulo 1 Ângulo 2 Descrição/Desenho/Justificativa Triângulo Isósceles Triângulo Escaleno Quadrado Retângulo Se você sabe geometria analítica espacial, os seguintes recursos podem ser úteis: clique no fundo branco na área onde o poliedro é exibido e, então, pressione a tecla 4. O sistema de eixos coordenados aparecerá. Se você pressionar a tecla 4 novamente, o sistema desaparecerá. Caso os números dos vértices não estejam sendo exibidos, pressione a tecla 1. Eles aparecerão. Em seguida, pressione a tecla 2. As coordenadas dos vértices (ou aproximações destas coordenadas) aparecerão. Se você pressionar a tecla 2 várias vezes, aproximações com diferentes casas decimais serão exibidas. O plano de corte tem a seguinte equação: cos(ϕ) cos(λ) x + cos(ϕ) sen(λ) y + sen(ϕ) z = d, onde ϕ é o valor do controle Ângulo 1, λ é o valor do controle Ângulo 2 e d é o valor do controle Translação. Os ângulos ϕ e λ representam, respectivamente, a latitude e a longitude da extremidade e do vetor normal ao plano Parte 16 (seções planas do octaedro regular) A aba Cortar dá acesso a operação de cortes por planos do poliedro. Após ativar a operação, você pode usar os controles deslizantes (sliders) para ajustar a posição do plano. Ajustes mais finos podem ser conseguidos digitando-se diretamente um valor no campo de entrada ao lado do controle deslizante (lembre-se de apertar a tecla ENTER para efetivar o valor). Na tabela a seguir, você deve indicar valores (mesmo aproximados) para os quais a seção plana do poliedro é o polígono que se pede. Indique, com suas próprias palavras ou com um desenho, que tipo de configuração você está tentando montar (plano azul paralelo a uma face, vetor e apontando para alguma direção específica, pontos médios, etc.). Seção Plana do Octaedro Regular Quadrado Translação Ângulo 1 Ângulo 2 Descrição/Desenho/Justificativa Losango Hexágono Regular Se você sabe geometria analítica espacial, os seguintes recursos podem ser úteis: clique no fundo branco na área onde o 5

12 poliedro é exibido e, então, pressione a tecla 4. O sistema de eixos coordenados aparecerá. Se você pressionar a tecla 4 novamente, o sistema desaparecerá. Caso os números dos vértices não estejam sendo exibidos, pressione a tecla 1. Eles aparecerão. Em seguida, pressione a tecla 2. As coordenadas dos vértices (ou aproximações destas coordenadas) aparecerão. Se você pressionar a tecla 2 várias vezes, aproximações com diferentes casas decimais serão exibidas. O plano de corte tem a seguinte equação: cos(ϕ) cos(λ) x + cos(ϕ) sen(λ) y + sen(ϕ) z = d, onde ϕ é o valor do controle Ângulo 1, λ é o valor do controle Ângulo 2 e d é o valor do controle Translação. Os ângulos ϕ e λ representam, respectivamente, a latitude e a longitude da extremidade e do vetor normal ao plano 6