A FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA:

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO - PPGE JACQUELINE OLIVEIRA DE MELO GOMES A FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: Um estudo sobre a implantação de novas metodologias nos cursos de Licenciatura de Matemática da Paraíba JOÃO PESSOA PB 2006

2 2 JACQUELINE OLIVEIRA DE MELO GOMES A FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: Um estudo sobre a implantação de novas metodologias nos cursos de Licenciatura de Matemática da Paraíba Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Educação do Centro de Educação da Universidade Federal da Paraíba como requisito à obtenção do grau de Mestre em Educação. Orientador: Prof. Dr. Rômulo Marinho do Rego JOÃO PESSOA PB

3 3 A finalidade de qualquer ação educativa deve ser a produção de conhecimento que aumenta a consciência e a capacidade de iniciativa transformadora dos grupos. Paulo Freire

4 4 JACQUELINE OLIVEIRA DE MELO GOMES A FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: Um estudo sobre a implantação de novas metodologias nos cursos de Licenciatura de Matemática da Paraíba APROVADA EM: DE DE BANCA EXAMINADORA Profº. Dr. Rômulo Marinho do Rego (UFPB) Orientador Profª. Drª. Ana Alice Rodrigues Sobreira (UEPB) Examinadora Profª. Drª. Janine Marta Coelho Rodrigues (UFPB) Examinadora

5 5 Dedico aos meus filhos Leyne, Luciano e Juliana, em especial ao meu filho neto Lucas Vinícius Gomes.

6 6 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente ao meu bom Deus, pois sem ele não tinha conseguido ultrapassar todas as barreiras e dificuldades, por ter me concedido a saúde, o ânimo e a perseverança nos momentos mais difíceis e assim concluir mais esta etapa na busca do conhecimento. Agradeço ao meu esposo Ladislau Rodrigues Gomes, pela força nos momentos de fraqueza, pelo companheirismo durante as longas viagens para João Pessoa e Campina Grande, pela espera e pela compreensão na hora do nervosismo. Agradeço aos meus pais pela confiança que sempre depositaram em mim, pelos valores éticos e morais que sempre ensinaram. Agradeço ao meu orientador, o Professor Dr. Rômulo Marinho do Rêgo, pela atenção e paciência, solidariedade, compreensão e pela grande contribuição para a realização deste trabalho. Agradeço aos professore e coordenadores dos Cursos de Licenciaturas em Matemática da UFPB, UFCG e UEPB que contribuíram participando das entrevistas e respondendo os questionários, aos professores do programa de Pós-Graduação do Centro de Educação (PPGE) da UFPB pelo que muito aprendi. Agradeço aos meus amigos professores da FAMASUL Amaro José Bezerra e Vanda Valéria Rodrigues pelo apoio e ajuda no final do trabalho e ao meu ex-aluno hoje também professor João Ricardo. Agradeço a professora Drª. Rogéria Gaudêncio do Rêgo pela acolhida e sugestões durante a pesquisa.

7 7 RESUMO Esta pesquisa analisou como está se processando a implantação das mudanças curriculares nos Cursos de Licenciaturas em Matemática da Universidade Federal da Paraíba, da Universidade Federal de Campina Grande e da Universidade Estadual da Paraíba quanto à formação para o uso de materiais concretos, jogos, desafios e quebra-cabeças matemáticos. Consistiu no levantamento das ações que estão sendo executadas e/ou implantadas nesta direção, e uma análise das crenças e concepções dos professores mais diretamente envolvidos com este processo. O levantamento foi realizado a partir da aplicação de um questionário aos professores formadores de formadores e o levantamento das concepções dos professores diretamente responsáveis por ações nesta área coordenadores e envolvidos com as atividades aqui estudadas por meio de uma entrevista semi-estruturada, que foi gravada e transcrita. A análise das concepções teve como referência: 1. as tendências relativas a concepções sobre a matemática e as praticas de ensino, explicitadas por Fiorentini, 2. o grau de influencia do ambiente matemático nas instituições voltadas para a formação de bacharéis e 3. o conhecimento e a aceitação das propostas de mudanças. A análise final indica uma predominância entre os coordenadores das concepções formalistas e tecnicistas e entre os professores uma maior identificação com as correntes ativistas e sócio-históricas. Concluímos pela existência de barreiras para a implantação das mudanças curriculares, havendo tendência para a permanência de processos de ensino baseados na transmissão do conhecimento. Foi detectado ainda indicações de uma maior abertura para as mudanças propostas entre os docentes ligados a grupos associados a proposta da Educação Matemática. Palavras-chave : Formação de professores, Ensino de Matemática, Concepções docentes.

8 8 ABSTRACT This work analyzed the way the establishment of syllabus changes is taking place in the Licenciature Courses in Mathematics in the Federal University of Paraiba, Federal University of Campina Grande and the State University of Paraiba as to the training for the use of concrete materials, games, quizzes and puzzles in Mathematics. It consisted of the analysis of the actions that are being conducted and/or established in this direction, and a survey of beliefs and conceptions of the teachers who are more directly involved with this process. The analysis was carried out from the application of a questionnaire for the teachers who are trainers of the trainers and the analysis of the conceptions of the teachers directly responsible for the actions in this área coordinators and those involved with the activities studied hereby by means of a semi-structured interview that was recorded and transcribed. The analysis of the conceptions had as its reference: 1. trends related to the conceptions about Mathematics and the teaching practices stated by Fiorentini, 2. the degree of influence of the mathematical environment on the institutions that graduate bachelors and 3. the knowledge and acceptance of the proposals of changes. The final analysis indicates a predominance among the coordinators of the formalist and tecnicist conceptions, and among the teachers a greater identification with the activist and socio-historic fields. It was concluded that there are barriers for the establishment of syllabus changes, with the trend for the permanence of teaching processes that are based on the imparting of knowledge. We detected indications of a greater opening for proposed changes among the teachers involved with groups associated with the proposal of Mathematics Education. Key-words: Teacher training, Mathematics Teaching, Teaching conceptions.

9 9 SUMÁRIO RESUMO ABSTRACT APRESENTAÇÃO CAPÍTULO I INTRODUÇÃO Problematização Pressuposto Metodológico Metodologia da Pesquisa Instrumento da Pesquisa Sujeitos da Pesquisa Discrição Sumaria dos Cursos Pesquisados Fundamentação Teórica...38 CAPÍTULO II As Bases Históricas e Sociais da Educação Aspecto Histórico da Formação do Professor no Brasil Aspecto Geral Os Cursos de Formação de Professores de Matemática no Brasil O Ensino de Matemática no Brasil Situação atual das licenciaturas em Matemática...64 CAPÍTULO III...69

10 A Formação para o Uso de Materiais Concretos Utilização de Material Concreto, Jogos Desafios e Quebra Cabeças Matemáticas...72 CAPÍTULO IV Projetos Políticos Pedagógicos dos Cursos de Matemática da UFPB, UFCG E UEPB Questionário e Transcrição das Respostas Entrevistas e Transcrição de Cada Respostas Análise dos Resultados Considerações Finais REFERÊNCIAS APÊNDICE A APÊNDICE B ANEXOS

11 11 APRESENTAÇÃO A matemática e o seu ensino são construções sociais e deste modo recebem influências das concepções e crenças disseminadas na sociedade condicionando a maneira de pensar e de agir de professores, alunos, pesquisadores e administradores escolares. Ao mesmo tempo, a maneira de agir e de pensar dos professores em sala de aula, constituem segundo Shöenfeld, (Apud RÊGO et all, p.26, 2006) a principal fonte das concepções e crenças desenvolvidas pelos alunos sobre a ciência e o seu ensino. As concepções, conforme Moron e Brito, constituem a maneira própria de cada indivíduo elaborar, interpretar, representar suas idéias e agir de acordo com as mesmas. É construída a partir das experiências individuais que são influenciadas por uma série de variáveis do ambiente (conhecimentos, valores, experiência prática, componente emocional), (BRITO, p , 2001). Shöenfeld (apud PONTE, 1985) afirma: as concepções não operam individualmente, mas fazem parte de um sistema: Um sistema de concepções é a visão que uma pessoa tem do mundo matemático, a perspectiva com a qual a pessoa aborda a Matemática e as tarefas matemáticas. As concepções da pessoa sobre a Matemática podem determinar de que modo ela decide abordar um problema, que técnicas usará ou evitará, quanto tempo e esforço dedicará ao problema, etc. As concepções estabelecem o contexto dentro do qual se operam os recursos, as heurística e o controlo. Usaremos o termo crença com o significado de ser uma parte do conhecimento sem uma maior elaboração, tendo sido desenvolvida sem levar em conta critérios de racionalidade nem o confronto com a realidade empírica. Tanto as crenças como as concepções contribuem para os indivíduos organizarem suas idéias, e neste sentido, serão por nós consideradas. Desse modo, elas representam neste contexto, o que conhecemos vulgarmente por filosofia de vida na direção da acepção de serem organizadores de idéias.

12 12 Pesquisa conduzida por Thompson (1997) mostrou que crenças, visões e preferências de professores a respeito da matemática e seu ensino tiveram um significativo, embora sutil, papel na formação de seu comportamento pedagógico. Desse modo, na implantação de mudanças nos processos de ensino/aprendizagem de matemática deve-se levar em consideração o sistema de concepções e crenças dos indivíduos diretamente envolvidos, principalmente dos docentes, pois estes, ao influenciar nos seus comportamentos pedagógicos, podem contribuir positivamente ou negativamente para o sucesso das transformações almejadas. Os docentes formadores de professores, ao trabalharem diretamente com futuros profissionais de matemática exercem uma forte influência sobre as crenças e concepções relativas a ciência e o seu ensino, influência esta que se estende quantitativamente e temporalmente. A sua prática docente pode contribuir para reforçar ou ajudar a superar concepções e crenças trazidas pelos alunos ao ingressarem em um curso superior, desenvolvidas em mais de horas aulas na educação básica, sendo destas, aproximadamente de matemática. Ao ingressarem na academia os alunos das licenciaturas em matemática têm uma idéia do que seja esta disciplina, como se aprende os seus conhecimentos e de como devem ser ensinados, idéia esta desenvolvida empiricamente observando e vivenciado a prática dos seus professores da educação básica em sala de aula. Caso este sistema de crenças e concepções não seja devidamente trabalhado ele exercerá influência sobre a sua vida escolar, podendo ainda estender esta influencia para suas ações futuras no que se refere ao conhecimento matemático, sua divulgação e suas aplicações. Frank (apud Ponte, 1998) pesquisando concepções de alunos sobre a matemática e o seu ensino, verificou a predominância entre alunos de 5ª a 8ª séries de 5 (cinco) concepções, segundo eles resultantes do ensino tradicional (transmissão de conhecimentos): 1. A

13 13 matemática como cálculo; 2. Os problemas matemáticos são questões que se resolvem rapidamente em poucos segundos; 3. Em matemática o objetivo é encontrar a resposta certa; 4. O papel do aluno é receber o conhecimento matemático e demonstrar que o adquiriu e 5. O papel do professor é transmitir conhecimentos de matemática e verificar se os alunos os adquiriram. Ponte (1992) pesquisando as concepções de alunos portugueses encontrou a predominância das seguintes concepções: 1. O cálculo é a parte mais acessível e importante da matemática; 2. A matemática consiste na demonstração de proposições; 3. A matemática é o domínio do rigor absoluto, da certeza; 4. A matemática escolar é uma ciência abstrata, pura e auto suficiente e 5. Nada de novo pode ser feita em matemática a não ser pelos gênios. Segundo este autor estas idéias sobre a matemática e o seu ensino podem ser historicamente justificada estando associada ao período onde o ensino era fortemente elitista somente interessando a poucos e podia funcionar como um filtro seletivo. E continua: A visão da Matemática reduzida ao cálculo exprime um domínio da perspectiva do saber como procedimento e será particularmente importante nos níveis de ensino mais elementares. A visão da estrutura axiomática e do rigor das demonstrações traduz o domínio do saber argumentativo e terá particular expressão nos níveis de ensino mais avançados. A Matemática encarada desligada da realidade está estreitamente ligada a uma perspectiva sobre os seus objectivos educativos (Porquê ensinar Matemática?)...., a noção de que a Matemática é só para os gênios está também ligada a uma concepção pedagógica sobre o papel do aluno na aprendizagem. Estas duas últimas concepções estarão ligadas a uma visão mistificadora desta ciência, difundida muitas vezes pelos próprios matemáticos. (PONTE,1992). As pesquisas supracitadas indicam que as práticas docentes dos professores de matemática podem ser influenciadas pelas concepções por eles desenvolvidas enquanto

14 14 alunos da educação básica. Considerando esta componente, os currículos deveriam prever a realização de atividades direcionadas para reforçar aquelas idéias prévias que estiverem na direção das habilidades e competências profissionais a serem desenvolvidas no curso, bem como para superar as que servirem de empecilhos à formação almejada. Caso contrário, estas poderão influenciar o licenciando para investir tempo e esforço na direção daquilo que ele acredita e realizando as atividades por ele consideradas de menor importância meramente para cumprir as exigências curriculares. O sistema de concepções desenvolvido empiricamente no ensino básico pode reforçar as metodologias do ensino e os conteúdos de conhecimentos extemporâneos. Suas superações requerem ações sobre o sistema de crenças e de concepções que lhes fornecem suporte, requerendo mudanças conceituais, que serão tanto mais eficazes quando processadas por meio de um trabalho coletivo. Muito contribuiria para isto, a popularização de uma cultura de base científica voltada para a realização das demandas sociais da nossa população. Uma escola baseada em práticas educativas que visem superar o sistema de idéias que sustentam a lógica perversa da exclusão que hora vivenciamos, requer não somente ferramentas teóricas para compreender a estrutura de poder instalada, como também o desenvolvimento e a disseminação de atitudes voltadas para a mudança. Neste sentido, faz-se necessário transformar a sala de aula em um espaço onde os indivíduos se sintam participantes e sujeitos de um projeto social, pensando e agindo na direção das mudanças almejadas, quebrando estruturas que levem a passividade. Na nossa prática docente constantemente ouvimos professores e alunos da licenciatura perguntando como proceder para transmitir um determinado conteúdo de matemática. Esta questão, assim formulada, pressupõe a idéia de que os conhecimentos matemáticos podem ser apreendidos por recepção, representando uma concepção de aprendizagem preponderante na

15 15 nossa realidade e associada à concepção de que os conhecimentos matemáticos podem ser todos transmitidos, pois, são de natureza principalmente explicita. Segundo Ernest (apud FRADE e BORGES, 2006) dentre as principais mudanças que ocorreram acerca da concepção do conhecimento, está o reconhecimento da distinção entre os conhecimentos explícitos e os conhecimentos tácitos, distinção esta desenvolvida por Michael Polanyl, em 1983, Para Ernest (idem), o conhecimento explícito está mais associado ao 1. conhecimento proposicional; 2, conhecer o que; 3. entendimento conceitual e 4. entendimento relacional; enquanto que o conhecimento tácito estaria mais associado ao 1. conhecimento prático, 2. conhecer como; 3. entendimento procedimental e 4. entendimento instrumental. Observe que há uma relação dicotômica entre os respectivos itens (conhecimento proposicional x conhecimento prático; conhecer o que x conhecer como; entendimento conceitual x entendimento procedimental; entendimento relacional x entendimento instrumental), os primeiros são de natureza principalmente explícita e os segundos de natureza principalmente tácita. E continuam, Frade e Borges (idem), No entendimento de Ernest, um conhecimento matemático explícito é aquele que pode ser adquirido por meio da linguagem proposicional ou de demonstrações, como por exemplo, o teorema de Pitágoras. Enquanto um conhecimento matemático tácito é aquele adquirido por meio da ação ou da experiência e que não pode ser totalmente explicitado por meio da linguagem proposicional. Os conhecimentos principalmente tácitos envolvem os usos da linguagem e simbolismo, métodos, estratégias, procedimentos e valores matemáticos, dentre outros. Os autores destacam ainda que este modelo apesar de não contemplar, por exemplo, os processos psicológicos/cognitivos envolvidos na aprendizagem matemática, ainda assim, pode ser considerado uma sua boa aproximação no sentido de que ele nos ajuda a compreender

16 16 melhor qual é o conhecimento que espera-se, hoje, que os alunos aprendam em um determinado nível de ensino. Coll et all (1996), consideram os seguintes conteúdos de conhecimentos: os fatos e conceitos, os procedimentos e as atitudes, normas e valores. Os fatos constituem a realidade (física ou abstrata) e através de dados nos dão informações sobre a mesma. Os fatos somente terão algum significado se dispusermos de conceitos com os quais possamos interpretá-los. Em (Coll, idem), encontramos o seguinte exemplo: ao afirmarmos que o Brasil foi descoberto em 1500, temos um fato que para ser interpretado por alguém precisa que este tenha uma idéia, ou seja, tenha desenvolvido uma base conceitual onde conste o significado de Brasil, descoberto e 1500 como uma data histórica. Estes constituem os conceitos por meio dos quais atribuímos significado aos fatos. Desse modo, os conceitos são idéias contextualizadas, podendo-se observar que descobrimento do Brasil pode não ter o mesmo significado para um indígena brasileiro e para um europeu. Igualmente em matemática, se afirmamos que os ângulos internos de um triângulo no plano medem dois ângulos retos, devemos saber os conceitos de triângulos, de ângulo, de ângulo interno e de ângulos retos, para que o fato afirmado tenha sentido. Já um procedimento constitui uma série de ações ordenadas e orientadas para a execução de uma determinada tarefa. Por exemplo, o algoritmo da adição de inteiros constitui um procedimento, pois explicita uma série de passos necessários para obtermos uma soma de parcelas. As atitudes, as normas e os valores dizem respeito a nossa maneira de estarmos no mundo e têm componentes cognitivos, afetivos e comportamentais. Desse modo os conceitos, os fatos e os princípios permitem-nos afirmar algo sobre os objetos e processos da realidade (reais ou abstratos) e assim estabelecem formas de reconhecê-los, classificá-los e relacionálos entre si, tornando os fenômenos (maneira como os fatos são percebidos pelos indivíduos) significativos.

17 17 Quanto às atitudes devemos observar que a maneira dos alunos reagirem às ações pedagógicas constitui uma importante variável com relação à aprendizagem. Por exemplo, se um aluno desenvolve concepções de considerar as cadeiras pedagógicas como sem importância para sua formação, ele tenderá a desenvolver atitudes de realizar as atividades nelas previstas com pouco empenho, prejudicando assim a sua aprendizagem. As atitudes diferem das concepções, representando disposições pessoais dirigidas a fatos da realidade, tais como gostar ou não gostar de estudar matemática, não se envolver devidamente com a resolução de uma determinada situação, ou ainda, dedicar pouco tempo ao estudo de uma determinada disciplina. Desse modo, as atitudes estão associadas aos comportamentos e podem ser através deles detectadas. Sendo idéias, os conceitos podem ser desenvolvidos pelos indivíduos em diferentes níveis. Uma pessoa pode desenvolver a idéia de fração como sendo uma relação de parte e todo, enquanto uma outra pode ter conhecimentos mais avançados e pensar uma fração também como uma divisão indicada. Para uma terceira, a fração pode representar ainda uma razão, como também pensar a fração como um número racional representado em uma reta. Podemos também pensar um conceito quanto a sua aplicação: uma pessoa pode dominar o conceito de função contínua e resolver uma série de exercícios escolares e não ser capaz de associar este conceito a questão do cotidiano Se a temperatura ao meio dia era de 35º e a noite baixou para 28º, o que nos garante ela ter atingido em certo momento deste intervalo, os 30? Cada conteúdo do conhecimento fatos, conceitos, procedimentos e atitudes requer para sua aprendizagem um determinado tipo de ação pedagógica. A transmissão de conhecimentos possibilita para a maioria dos alunos apenas a aprendizagem de fatos quando o aluno já domina os conceitos que lhes fornecem significado. A realização de exercícios padrões permite que o aluno aprenda a realizar um determinado procedimento. Caso o aluno

18 18 não disponha de uma base conceitual que lhe permita a atribuição de significado os fatos e aos procedimentos, o aluno poderá até memorizá-los, mas estes não terão significado nem serão funcionais, ou seja, aplicáveis em outras situações. Os conteúdos dos conhecimentos podem ser analisados dentro da caracterização feita por Ernest (idem) e a tabela abaixo contribui nesta direção. Tabela 1 Natureza dos componentes do conhecimento matemático. Componentes do Conhecimento Matemático Afirmações e proposições (reconhecidas, aceitas) Provas e Raciocínios (usados para justificar as afirmações aceitas) Problemas e Questões (considerados importantes de serem resolvidos) Linguagem e Simbolismo (empregados para permitir a comunicação matemática) Visão metamatemática: prova e definição padrões, alcance e estrutura da matemática Métodos, procedimentos, técnicas, estratégias (utilizados para fazer matemática) Estética e Valores Explícito ou Tácito Principalmente Explícito Principalmente Explícito Principalmente Explícito Principalmente Tácito Principalmente Tácito Principalmente Tácito Principalmente Tácito De acordo com Frade e Borges (2006) a proposta de Ernest sobre a decomposição do conhecimento matemático em componentes principalmente explícitos ou principalmente tácitos possui várias vantagens, entre as quais destacamos as duas primeiras por eles citadas: 1. Os componentes do conhecimento matemático, tal como ele os propôs, desafiam uma crença coletiva, razoavelmente estável, de que o mesmo seja essencialmente explícito. Isto leva-nos a uma reflexão sobre a nossa prática em sala de aula em direção a uma prática mais provocadora das ações dos alunos e a uma busca por meios mais adequados para que eles possam expressar-se sobre seus conhecimentos tácitos. 2. Ao decompor o conhecimento matemático dos alunos em componentes, podemos tratar um conhecimento, até então, bastante amplo e complexo em partes viáveis de serem abordadas, tanto do ponto de vista de sua melhor compreensão quanto do ponto de vista

19 de quais componentes necessitam de uma intervenção pedagógica quando do seu tratamento em sala de aula. Embora, em princípio, esse comentário possa aplicar-se, também, às categorias dos PCNs (conceitos procedimentos e atitudes), o modelo de Ernest é mais abrangente para descrever a aprendizagem matemática, pois dá-nos informações relevantes sobre suas dimensões tácita e explícita. 19 A concepção da matemática trabalhada no ensino básico como sendo um conhecimento de natureza principalmente explícita, ou seja, todo passível de expresso na linguagem e verbalizado e o processo de ensino a ele associado estão ligados ao método de transmissão de conhecimentos utilizado na maioria das nossas salas de aula. Ele tem sido de pouca eficiência para a construção de conceitos e de atitudes que permitam usar e ver a matemática como uma ferramenta para entender e agir sobre a realidade, pois estes, em nível de ensino básico, são de natureza principalmente tácita. Não tem sido suficiente para desenvolver conhecimentos matemáticos que respondam às demandas educativas da realidade contemporânea. Estas dizem respeito ao desenvolvimento dos aspectos cognitivos (formativos), da capacidade de aplicar a matemática ao cotidiano e as outras disciplinas (funcionais) e de contribuir para uma visão de beleza do mundo (estéticas) dos indivíduos e dos grupos sociais a que pertencem conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática PCNs (BRASIL, 1998). Assim, as demandas dizem respeito a uma série de habilidades e de competências de base matemática que não são suficientemente atendidas pelas práticas de ensinos baseadas apenas na transmissão de conhecimentos, levando assim à necessidade de atualizar os docentes de matemática presentemente em sala de aula e a reformular os cursos de formação inicial, não somente com respeito aos conteúdos como também quanto as metodologias empregadas.

20 20 Segundo os PCNs de Matemática de 5ª a 8ª Séries, o ensino hoje dominante nas nossas salas de aula segue a metodologia de ensinar os conceitos, procedimentos, técnicas e exercícios padrões para depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi ensinado. Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com os números do enunciado ou aplicar algo que lhes foi ensinado. Assim,... o professor explora na atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus resultados, definições, técnicas e demonstrações. E associando o ensino tradicional às concepções dos conhecimentos matemáticos como sendo explícitos Conseqüentemente, o saber matemático não se apresenta ao aluno como um sistema de conceitos, que lhe permite resolver um conjunto de problemas, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato e incompreensível. Nesse caso, a concepção de ensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno aprende por reprodução/imitação. (BRASIL,1998) A passagem seguinte sobre a colocação do foco de ensino na resolução de problemas, mostra bem que a concepção que está por trás da proposta dos PCNs de Matemática é a de que seus conhecimentos são tácitos, conforme podemos deduzir dos seguintes princípios: o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da Matemática. (BRASIL,1998)

21 21 Finalmente, as observações seguintes deixam bem claro, o enquadramento das propostas dos PCNs de Matemática dentro das concepções da matemática e do seu ensino como conhecimentos tácitos, segundo Ernest: Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam pôr à prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para obter a solução. Nessa forma de trabalho, o valor da resposta correta cede lugar ao valor do processo de resolução. O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos.(brasil,1998) Estes enquadramento das concepções que regem os PCNs de Matemática como sendo de natureza principalmente tácita também podem ser observado quando recomenda o uso de novas tecnologias, na utilização da história e dos jogos no ensino de matemática, bem como quanto as suas aplicações aos temas transversais e as outras disciplinas. E coerentemente se estende aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio - PCNEM, quando trata da Matemática. Entretanto, a permanência e uso generalizado das metodologias baseadas nas concepções dos conhecimentos matemáticos como sendo de natureza principalmente explícita, ou seja, seguindo as metodologias de transmissão do conhecimento no ensino da matemática não devem ser atribuídos apenas ao peso do sistema de concepções predominante entre os docentes e discentes. Está também associada às condições concretas da prática docente. Ao professor submetido a uma carga excessiva de trabalho semanal em sala de aula em diferentes escolas e atendendo a um grande número de alunos, torna-se mais fácil seguir um livro texto e a partir deste expor a disciplina no quadro, resolver exercícios padrões e realizar avaliações individuais, do que efetuar a implementação de mudanças.

22 22 A própria sala de aula, geralmente repleta de alunos, com uma distribuição física unidirecional professor-aluno, com cadeiras individuais e pouco espaço físico, incentiva à realização de aulas expositivas. As escolas em sua maioria, por outro lado, não dispõe na atual estrutura de meios para incentivar um maior contato aluno-aluno e aluno-professor, bem como para permitir o acesso destes a uma maior variedade de recursos didáticos, aos cursos de atualização para os docentes e administradores escolares. Assim ela tende a manutenção da situação aparentemente de menor custo, mesmo sendo pouco produtiva quanto à aprendizagem. Esta economia está presente de maneira generalizada no nosso sistema escolar. Entretanto se examinarmos os custos sociais da massificação de uma formação matemática deficiente, bem como o custo que representa para o indivíduo as reprovações e os abandonos, inclusive o reconhecimento da diminuição das chances de participação de todos à riqueza de bens materiais e culturais da sociedade contemporânea, chegaremos a conclusão da necessidade de mobilizar meios da sociedade custear uma educação de qualidade, mobilizando-se para a implementação dos meios para tal fim. Esta percepção já se faz presente na nossa sociedade, embora ainda não seja majoritária. Com efeito, vivenciamos nos últimos quinze anos uma efervescência quanto a propostas de mudanças educacionais, propostas estas que, no nosso entendimento, não têm conseguido chegar à sala de aula com a rapidez e o grau de profundidade que deveriam ter. Nesta direção, na área de ensino de matemática foram lançadas várias propostas, as principais tendo como documentos norteadores os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, (BRASIL, 1998) as Diretrizes do Ensino Básico (BRASIL, 2002) e as Diretrizes dos Cursos de Licenciatura (BRASIL, 1999). São baseadas nos resultados de pesquisas científicas recentes, na busca de solução dos problemas do nosso sistema educacional e na procura de atender as demandas educativas sobre os saberes de base matemática da sociedade

23 23 contemporânea, bem como na procura de uma educação voltada para a formação do cidadão. Estas propostas recomendam, ao lado da introdução de novos conteúdos de conhecimentos, abordagens alternativas à metodologia de ensino baseada na transmissão de conhecimentos e melhor adequadas à realidade de nossos jovens, todas tendo como fundamentos uma maior integração entre teoria e prática. Entre as metodologias recomendadas temos a de resolução de problemas, do uso de jogos, desafios e quebra-cabeças, do emprego da história e do uso de novas tecnologias em sala de aula, incluindo calculadoras e computadores. Todas estas metodologias, bem como as tradicionais, hoje são bem fundamentadas em teorias cognitivas do desenvolvimento, existindo um grande acervo de resultados de pesquisas acerca de seus alcances e de suas limitações. A proposta dos PCNs de Matemática (BRASIL, 1998) supera a visão da matemática como formada de conhecimentos de natureza principalmente explicita, sendo baseada no aprender realizando atividades associadas a situações problemas. Nesta direção preconiza o uso da metodologia da resolução de situações problemas, a partir das quais se construíram as habilidades e as competências profissionais. As críticas sobre os parâmetros se concentram quanto à demanda de conhecimentos que os docentes necessitam dominar para sua aplicação. Requer a sua implantação que o professor de matemática tenha conhecimentos, além dos saberes específicos da matemática, de uma gama imensa saberes associados aos diversos temas transversais, além de um aprofundamento no que se refere às aplicações dos conteúdos e a fatos da historia da matemática. Entretanto, mesmo com esta limitação, representa um imenso avanço, não somente para uma formação mais voltada para as necessidades contemporâneas, incluindo o mercado de trabalho, como também uma fundamentação para o exercício de uma cidadania crítica. Qualquer proposta de mudança deve, no nosso ponto de vista, ter como referência os parâmetros nacionais, considerando o seu alcance e as suas limitações.

24 24 Outro documento central contendo proposta de mudanças sobre o ensino de matemática é o da Sociedade Brasileira de Educação Matemática SBEM: o Documento Base da Sociedade Brasileira de Educação Matemática: subsídios para a discussão de propostas para os cursos de licenciatura em matemática, no Seminário Nacional de Licenciaturas em Matemática. Salvador/abril/2003. Neste documento a SBEM propõe a superação da atual situação de ensino de matemática caracterizado pela: 1. predominância da visão de Matemática como disciplina neutra, objetiva, abstrata, a-histórica e universal, sem relação com os entornos sócio-culturais em que ela é produzida, praticada e significada; 2. concepção de professor como transmissor oral, claro e ordenado dos conteúdos matemáticos veiculados pelos livros textos e outras fontes de informação; 3. concepção de aprendizagem como um processo que envolve, meramente, a atenção, a memorização, a fixação de conteúdos e o treino procedimental no tratamento da linguagem matemática através de exercícios mecânicos e repetitivos; 3. concepção de aluno como agente passivo e individual no processo de aprendizagem, concebido como processo acumulativo de apropriação de informações previamente selecionadas, hierarquizadas, ordenadas e apresentadas pelo professor; 4. crença generalizada de que as idéias prévias dos alunos constituem erros que devem ser eliminados por meio de instrução adequada; 5. adoção de uma concepção mecanicista de avaliação, baseada na crença de que existe correspondência absoluta entre o que o aluno demonstra em provas e o conhecimento matemático que possui; 6. predominância de uma prática de organização curricular em que os objetivos, os conteúdos, a metodologia e a avaliação aparecem desarticulados e independentes; 7. ênfase nos aspectos instrumentais e procedimentais da matemática, procurando tornar os alunos hábeis no manejo mecânico de algoritmos; 8. uso privilegiado de exercícios e problemas tipo em detrimento de situaçõesproblema e investigações matemáticas, colocando em jogo apenas um repertório de regras e procedimentos memorizados; Podemos observar que a análise da SBEM sobre a atual situação do processo de ensino/aprendizagem da matemática também nos permitem caracterizar a concepção predominante sobre os conhecimentos matemáticos trabalhados no básico como de natureza explicita, a partir dos itens 1, 2, 3, 4, 6, 8 e 9, quando cotejados com a caracterização proposta no Quadro 1 por Ernest.

25 Por outro lado, a proposta da SBEM sobre a formação inicial dos docentes de matemática, defende um projeto de formação inicial de professores que: contemple uma visão histórica e social da Matemática, numa perspectiva construtivista e problematizadora das idéias matemáticas, privilegiando os processos e não apenas os conhecimentos matemáticos formais; 2. assuma uma concepção epistemológica e sociohistoricamente contextualizada do processo de produção de saberes que conduza a uma proposição metodológica e didática que adote as perspectivas de mudança conceitual e de mudança contextual, como opção para enfrentar os obstáculos epistemológicos constituídos pelas concepções (conhecimentos, crenças, atitudes) prévias dos estudantes; e 3. experimente e modele situações semelhantes àquelas que os futuros professores terão que gerir. E continua:... Isso significa que os cursos sejam desenvolvidos de modo a que os futuros professores: a. possam explorar, conjecturar, experimentar e comprovar suas habilidades, de tal forma que cheguem a estar realmente inseridos no processo de "fazer Matemática"; b. percebam as relações entre os diferentes ramos da Matemática e desta com outras disciplinas; c. construam modelos matemáticos para representar os problemas e suas soluções; d. utilizem diferentes representações semióticas para uma mesma noção matemática, usando e transitando por representações simbólicas, gráficas, numéricas etc. e. Em resumo, pode-se destacar que os princípios básicos subjacentes a um currículo para a formação de professores, com vistas a garantir a alfabetização matemática de todos os cidadãos deve: f. conceber a Matemática como una ciência viva, aberta, com ampla participação nas sociedades contemporâneas; g. provocar nos futuros docentes mudanças conceituais e contextuais relativamente à matemática que eles aprenderam no passado, ao longo de sua escolaridade e ao modo de como essa "aprendizagem" foi produzida; h. analisar, de forma articulada, os conteúdos matemáticos e sua didática. i. reconhecer o caráter de obstáculo epistemológico que possuem algumas das concepções prévias dos futuros professores, cristalizadas como produto de sua experiência anterior como estudantes de matemática; j. proporcionar oportunidades para experienciar vivencialmente processos de autoconstrução da

26 compreensão matemática, enfatizando os processos próprios da construção matemática e de seus produtos.(sbem,2004) 26 Esta caracterização dos objetivos a serem alcançados com as mudanças nos processos de formação inicial dos docentes pode ser caracterizada como uma formação voltada para os conhecimentos matemáticos de natureza tácita, conforme itens 1, 2 e 3, e depois explicitadas em a, c, d, f, i, e j. Nas propostas das mudanças encabeçadas pelos PCNs de Matemática e pela SBEM destaca-se a necessidade de adotar formas de ensino que permitam responder as demandas de uma sociedade de informações, submetida a constantes mudanças e a uma educação inclusiva nada melhor que utilizar jogos, desafios e quebra-cabeças matemáticos, bem como materiais concretos, pois, estes estão associados a processos de pensamentos quase sempre voltados para situações problemas abertas, requerendo para sua solução procedimentos corriqueiros. Permitem também trabalhar o lúdico, explorar regras que podem ser modificadas via consenso, trabalho cooperativo de grupo, elaboração e verificação de conjeturas, espaço para registros e comunicação, desenvolvimento de atitudes de ver a matemática como associada às situações problemas do cotidiano, entre outros. Entre as teorias psicológicas que defendem o uso de atividades utilizando jogos, desafios e quebra-cabeças no ensino da matemática como um recurso para favorecer o aprendizado, bem como a utilização de materiais concretos, destaca-se a teoria genética de Jean Piaget (1974). Segundo as suas pesquisas, as crianças passam por etapas de desenvolvimento caracterizadas por processos cognitivos que requerem a sua participação ativa na realização de atividades, inicialmente envolvendo objetos concretos e depois, raciocínios abstratos. Estes seriam elaborados no início a partir de reflexões sobre ações e coordenações de ações com os objetos concretos. Neste sentido, para Piaget, a construção de conceitos matemáticos requer uma participação ativa da criança, partindo do concreto para o

27 27 abstrato, primeiro interagindo com o meio, aqui incluindo materiais manipuláveis e depois construindo esquemas mentais de ação. A partir da observação e manipulação destes objetos, da troca de idéias aluno/aluno e professor/aluno e dos processos de abstrações, inicialmente empírica e depois reflexiva, é que o indivíduo desenvolve o conhecimento matemático. Isto faz com que aos poucos os alunos vão organizando internamente este conhecimento e a mediação de professores e colegas muito contribui para a sua organização e aplicações na resolução de situações problemas. Deste modo, as situações de conflitos criadas a partir do uso de material concreto, incluindo jogos, desafios e quebra-cabeças, em sua maioria apresentam aspectos intuitivos para grande parte dos alunos, influenciando diretamente sua aprendizagem, nesta situação com maior chance de ser significativa. Uma tendência que se observa no nosso sistema de ensino é uma maior abertura para a utilização de materiais concretos por parte de professores das séries iniciais do ensino fundamental. Uma parcela dos docentes acredita que o uso de metodologias utilizando jogos e material concreto representa uma saída para a atual crise de ensino. Entretanto, esta aceitação parece diminuir bastante entre os docentes das séries mais avançadas, mesmo havendo pesquisas indicando que o aluno apresenta ganho cognitivo quando realiza atividades intuitivas utilizando materiais concretos, independentemente da sua idade, desde que realize atividades adequadas ao seu grau de amadurecimento. Se observarmos os tipos de atividades que levariam o professor de matemática a desenvolver habilidades na direção do domínio das competências profissionais necessárias para o uso das metodologias alternativas a partir de jogos, desafios matemáticos e de materiais concretos, veremos que as mesmas se distribuem em diferentes momentos. Podem ser encontradas no seu dia a dia, no processo de escolarização básico, na formação docente inicial, na prática docente ou na sua formação contínua. Entretanto, cabe aos cursos de

28 28 formação inicial desenvolver as habilidades e competências necessárias para o uso de metodologias que trabalhem atividades envolvendo os jogos, desafios, quebra-cabeças e materiais concretos. Após esta formação inicial, estes saberes seriam lapidados no exercício da profissão e atualizados em cursos de formação continuada. No nosso trabalho pesquisamos como são desenvolvidas, nos cursos de licenciaturas em matemática de instituições superior de ensino da Paraíba, a introdução de atividades visando preparar o licenciando para a utilização novas metodologias, incluindo as que utilizam materiais concretos, de jogos, desafios e quebra-cabeças matemáticos em sala de aula. Atividades utilizando estes recursos adequadamente levam ao desenvolvimento de conhecimentos matemáticos de natureza tácita, representando um espaço privilegiado para o desenvolvimento de imagens, intuições e idéias. Desse modo verificaremos como estão sendo implantadas as propostas de mudanças curriculares sugeridas por documentos oficiais, enfatizando as que são direcionadas para implantação de conhecimentos matemáticos na educação básica de natureza principalmente tácita. O delineamento desta pesquisa foi estruturado em capítulos assim definidos: Capítulo I Neste capítulo introduzimos o nosso objeto de estudo, justificamos o porquê da utilização do material concreto nas aulas de matemática, fazemos uma retrospectiva histórica do ensino da matemática e, finalmente, explicitamos os objetivos gerais e específicos, a metodologia utilizada neste estudo e os instrumentos de pesquisa. Capítulo II Apresentamos aspectos históricos da formação de professores no Brasil, caracterizando de modo geral e especifico a formação do professor de matemática, fizemos um levantamento do estado da arte buscando mostrar as idéias de vários teóricos sobre a utilização de materiais concretos no ensino de matemática. Capítulo III Realizamos a justificativa teórica da nossa pesquisa por meio da teoria de Jean Piaget, sobre a construção do conhecimento..

29 Capítulo IV Finalmente apresentamos os resultados e a análise dos dados obtidos na pesquisa, acompanhados das considerações finais. 29

30 30 CAPÍTULO I 1.1. PROBLEMATIZAÇÃO Enquanto professora de Matemática na Faculdade de Formação de Professores da Mata Sul FAMASUL PE, participamos de discussões sobre as propostas curriculares para os Cursos de Formação de Professores, em especial do professor de Matemática. Observamos que estas explicitam as competências e habilidades necessárias para desenvolver um profissional apto para um ensino de Matemática. No entanto, o que temos presenciado em sala de aula é uma realidade bem diferenciada daquela proposta, com poucas diretrizes executadas, permanecendo o processo de ensino/aprendizagem da matemática trabalhado de forma abstrata, mecânica e desarticulada. Há necessidade de maiores investimentos na formação inicial e continuada do professor, devendo para isto, serem levantadas reflexões e discussões sobre metodologias, recursos didáticos e novas formas que possam favorecer a construção do conhecimento matemático, reforçando a formação inicial e contínua, atingindo todos os docentes em exercício. Causa-nos temor à percepção destas mudanças pelos professores formadores de formadores. Será que as propostas de mudanças curriculares sugeridas nos Parâmetros Curriculares Nacionais, nas Diretrizes Curriculares do Ensino Médio e nas Diretrizes dos

31 31 Cursos de Formação de Professores estão chegando às salas de aula das nossas licenciaturas? Em caso positivo, em que nível? Como os professores dos cursos de licenciatura estão processando e trabalhando as propostas de mudanças? Adotam as mudanças e efetuam as críticas e as adequações necessárias? Como os coordenadores de curso, na qualidade de administradores e responsáveis pela execução curricular estão implantando as propostas de modificações? Para tentar responder a estas questões, escolhemos um tema proposto nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática e incorporado pelas Diretrizes Curriculares dos Cursos de Licenciatura: trata-se de levantar e analisar a introdução de novas metodologias de ensino baseadas no uso de jogos, desafios e quebra-cabeças matemáticos, bem como de material concreto no ensino de matemática. A questão que buscamos responder é: como está sendo abordado o uso de jogos, desafios e quebra-cabeças matemáticos, bem como de materiais concretos nos Cursos de Licenciaturas em Matemática? Como estão sendo consideradas as propostas oficiais contemporâneas? Nesta direção, a realização de atividades por meio de jogos, desafios, quebra-cabeças e materiais concretos de matemática constituem espaços ímpares para o desenvolvimento de conhecimentos tácitos, estando ligada ao lúdico e as situações problemas abertas. Estas metodologias, ao lado da resolução de problemas realizada dentro de um processo de redescoberta, constituem fortes recursos para a construção de saberes de base matemática, que sejam formativos e funcionais. Assim, levantamos e analisamos está se processando a formação do Professor de Matemática quanto ao uso de materiais concretos, jogos, desafios e quebra-cabeças matemáticos nos cursos de Graduação em Licenciatura Matemática nas Universidades Públicas do Estado da Paraíba, ou seja, nos Cursos de Licenciatura do Centro de Ciências

32 32 Exatas e da Natureza da UFPB, no do Centro de Ciências e Tecnologia da UFCG e no do Centro de Ciências e Tecnologia da UEPB. Para atingir tal objetivo explicitamos as diferentes teorias sobre o uso destes recursos em sala de aula; efetuamos um levantamento entre os professores das licenciaturas pesquisadas que usam estes recursos em sala de aula, e estes em conjunto com os coordenadores de cursos foram entrevistados. Os dados obtidos com as entrevistas foram analisados e as conclusões obtidas explicitadas PRESSUPOSTOS METODOLÓGICOS METODOLOGIA DA PESQUISA Nossa pesquisa constituiu uma análise dos cursos de Graduação em Licenciatura de Matemática das Instituições Públicas de Ensino Superior da Paraíba, quanto ao processo do ensino de atividades direcionadas para a preparação do futuro professor sobre o uso de materiais concretos, jogos, quebra-cabeças e desafios matemáticos. Iniciamos com levantamento bibliográfico (pesquisa documental), seguida, de pesquisa qualitativa onde foram aplicados questionários, efetuadas entrevistas e analisados o seu resultado. Optamos em fazer uma pesquisa qualitativa por ser esta a forma mais coerente de se perceber a essência de um fenômeno social, ou seja, a maneira prática e organizada de apresentação dos fatos que determinam o objeto pesquisado. Richardson (1999, p.79) argumenta que a vontade de quantificar as pesquisas sociais tem elevado o número de trabalhos que se esvaziam de elementos qualitativos. Entretanto, como no fenômeno que estamos estudando não ocorrem domínios quantificáveis para se perceber a sua natureza, não tem sentido a utilização deste tipo de pesquisa. Segundo o mesmo autor, uma análise qualitativa permite uma posição abrangente ou restritamente particular do objeto.

33 33 Descrever a complexidade de determinado problema, analisar a interação de certas variáveis, compreender e classificar processos dinâmicos vividos por grupos sociais, contribuir no processo de mudança de determinado grupo e possibilitar, em maior nível de profundidade o entendimento das particularidades do comportamento dos indivíduos. (RICHARDSON, 1999, p.79). Este tipo de pesquisa nos fornece amplas condições de utilizar procedimentos metodológicos que viabilizam alguns aspectos técnicos empregados durante os estudos, como, por exemplo, técnicas de observação e entrevistas, devido à forma como esses instrumentos permitem na complexidade de um problema. (...) A observação, quando adequadamente conduzida, pode revelar inesperados e surpreendentes resultados que, possivelmente, não seriam examinados em estudos que utilizassem técnicas diretivas. (RICHARDSON, 1999, p.82) O método qualitativo também nos possibilita organizar uma série de informações minuciosas que nos permitem analisar categorias já levantadas por pesquisadores, como também classificar ou revisar categorias existentes. Portanto, a análise qualitativa requer do pesquisador trato especial nos modos das observações e habilidades quanto ao uso ou criação das categorias. Na pesquisa bibliográfica Consultamos uma série de documentos oficiais tais como: os Parâmetros Curriculares Nacionais em Matemática PCNs; os Parâmetros Curriculares Nacionais em Matemática do Ensino Médio PCNEM; as Diretrizes Curriculares que norteiam os cursos de Licenciaturas em Matemática, os Projetos Políticos Pedagógicos PPP dos cursos de Matemática pesquisados, bem como livros, revistas e artigos que viabilizem levantar o estado da arte sobre o uso de material concreto do ensino de Matemática. Entre estes, destacamos as sugestões da Sociedade Brasileira de Educação Matemática SBEM,