APREÇAMENTO DE OPÇÕES AMERICANAS E DETERMINAÇÃO DA CURVA DE GATILHO ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO

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1 ! "#$ " %'&)(*&)+,.- C)D 5.,.5FE)5.G.+ &4- (IHJ&?,.+ /?<>=)5.KA:.+5MLN&OHJ5F&4E)2*EOHJ&)(IHJ/)G.- D - ;./);.& APREÇAMENTO DE OPÇÕE AMERICANA E DETERMINAÇÃO DA CURVA DE GATILHO ATRAVÉ DA IMULAÇÃO DE MONTE CARLO Javier Gutiérrez Castro (PUC-Rio) javiergc@rdc.puc-rio.br Tara Keshar Nanda Baidya (PUC-Rio) baidya@ind.puc-rio.br A simulação de Monte Carlo nos últimos anos tem se constituído em uma das principais ferramentas que analistas em opções reais e financeiras utilizam para fins de apreçamento, motivado pela flexibilidade que esta apresenta em simular diverssos tipos de opções e preços do ativo subjacente.neste trabalho são realizados testes numéricos para calcular o preço de opções de venda americanas e são comparadas três metodologias: Grant, Vora e Weeks, Ibáñez e Zapatero, e, Ibáñez e Zapatero modificado (aqui proposto). Todas estas metodologias estimam o preço da opção a partir da determinação prévia da curva de gatilho ou fronteira de exercício ótima. Em particular, a primeira metodologia é de ampla difusão, mas carece de certo refinamento no que diz respeito à estimação dos pontos que compõem a curva de gatilho. Ibáñez e Zapatero utilizam o método de aproximações sucessivas de Newton para a estimação destes pontos, e baseado neste conceito, fez-se algumas melhorias nesse algoritmo o que permitiu obter resultados mais próximos do benchmark (método binomial) em diversos testes realizados. Conclui-se que o algoritmo modificado de Ibáñez e Zapatero oferece resultados mais precisos do que a metodologia tradicional de Grant, Vora e Weeks, empregando inclusive, um tempo de processamento computacional muito menor. Palavras-chaves: Opções Americanas, Curva de Gatilho, imulação de Monte Carlo, Opções Reais

2 1. Introdução O apreçamento de opções americanas, via simulação de Monte Carlo, baseia-se no conceito da programação dinâmica, isto é, se utilizam procedimentos recursivos de cálculo (de trás para frente) a partir de simulações dos diferentes caminhos que o preço do ativo subjacente pode tomar ao longo do tempo, até a data de expiração (última data para decidir se exercer ou não a opção). As metodologias elaboradas por Boyle et al. (1997) e Broadie e Glasserman (1997) constituem referências nas pesquisas que posteriormente se desenvolveram nessa área. Um método amplamente difundido pela sua facilidade de aplicação (mas computacionalmente intenso), é o desenvolvido por Grant et al. (1997). O intervalo de tempo para exercer a opção vai de t 0 = 0, até t N =T (tempo de maturidade ou data de expiração), sendo que este prazo é discretizado em N intervalos Este método, em primeiro lugar, determina o preço crítico de exercício ( t i *) para cada instante de tempo t i, onde i {0,1,2,...,N-1}. O preço crítico de exercício t i * (ou ponto fixado) é o preço da ação ou ativo subjacente que faz que o valor de exercer a opção em um determinado tempo t i seja igual ao valor esperado de continuação se manter viva a opção para ser exercida em uma data posterior. O conjunto formado pelos diferentes preços críticos de exercício, em cada t i, constitui a chamada curva de gatilho ou fronteira de exercício ótima. Conhecendo esta curva, o preço da opção é facilmente calculado. Uma metodologia alternativa foi desenvolvida por Ibáñez e Zapatero (2004). Como em Grant et al. (1997), primeiramente se determina a curva de gatilho. A novidade que trazem os autores é a utilização do método de aproximações sucessivas de Newton para atingir os preços críticos de exercício, o qual se mostra ser muito eficiente. Neste artigo se analisa com especial ênfase o algoritmo de Ibáñez e Zapatero (2004). Por outro lado, foram feitos alguns ajustes neste algoritmo para aprimorar a construção da curva de gatilho. Isto permitiu melhorar a precisão dos resultados usando os testes originais propostos pelos autores. Particularmente, o enfoque deste trabalho está na avaliação de opções de venda americanas com uma variável estocástica (o preço do ativo ). ão comparadas três metodologias: Ibáñez e Zapatero (2004), modificado de Ibánez e Zapatero (aqui proposto) e o algoritmo de Grant et al. (1997). O artigo foi organizado assim: a seção 2 descreve o algoritmo de Ibáñez e Zapatero (2004) explicando os conceitos básicos de curva de gatilho e o método de aproximações sucessivas de Newton; a seção 3 aplica o algoritmo descrito na seção anterior, com algumas modificações propostas, a uma série de testes numéricos; a seção 4 realiza idênticos testes aplicando o algoritmo de Grant et al. (1997); a seção 5 compara os resultados obtidos com as diferentes metodologias. A seção seis apresenta as conclusões e considerações finais. 2. Apreçamento de uma opção de venda americana aplicando o algoritmo de Ibáñez e Zapatero 2.1. Definindo as variáveis e parâmetros Denote-se por P t ( t,k) o preço da opção e I( t,k) = K- t o valor intrínseco, onde t é o valor do ativo subjacente, que é uma variável estocástica, e K é o preço de exercício. O algoritmo determina primeiramente a curva de gatilho formada pelos pontos t * nos quais o valor de manter viva a opção (esperar) é igual ao valor intrínseco (exercer), isto é, P t ( t *,K) = I( t *,K), sendo que no momento do exercício I( t,k) = K- o caso de uma opção de venda. Dado um instante inicial t 0 e um instante T até a maturidade da opção, divide-se o horizonte 2

3 Š de tempo T-t 0 em N intervalos, com datas de exercício discretas em {t 1, t 2,...,t N =T}. Em algum instante de tempo, assume-se que o exercício da opção é ótimo se tn *. eja r a taxa livre de risco em curto prazo, e Q a medida de probabilidade martingale. Logo, em alguma data (n {N-1, N-2,...,1}), o preço da opção é calculado por: P (, K) Q tn s s = E [e I(, K) ] * r d * Onde * {+1, +2,...,T} é o chamado tempo ótimo de parada, definido como o primeiro +i no qual +i tn+i *; noutro caso *=. Em outras palavras, é o primeiro instante em que o preço do ativo fica abaixo da curva de gatilho. Assumindo que t segue um Movimento Geométrico Browniano (MGB) sob a medida martingale, da forma: d t / t = dt + dz, onde = r-q é o drift ou tendência neutra ao risco (r é a taxa de juros livre de risco e q taxa de dividendos), é a volatilidade do preço do ativo e dz = t (dt) 1/2 ( t ~ N(0,1)) é o incremento do processo padrão de Wiener. Dado que é uma variável estocástica a ser gerada por imulação de Monte Carlo, é conveniente utilizar um MGB discretizado, da seguinte forma: +Œ t = exp [( 2 /2) t + ( t) 1/2 tn+ Œ t] (2) Onde t é o intervalo de tempo entre e +1. Desta maneira, é possível discretizar a equação sob a mesma medida de probabilidade, resultando na seguinte equação: P ( 1, K) = M A * a a= 1 ( * a )r e (K ) (3) Onde A é o número total de caminhos brownianos, dentre os M simulados a partir de um instante de tempo, nos quais num instante de tempo (o primeiro) +i tem-se +i tn+i * (podem existir caminhos que em nenhum +i aconteça tal situação). Por conseqüência existem A períodos *, identificados por * a (a=1,...,a) correspondentes a um determinado em que a mencionada restrição se satisfaz Descrição do Algoritmo de Ibáñez e Zapatero I. Determinar a fronteira de exercício ótima um período antes da maturidade No instante de tempo t N =T, o preço crítico de exercício tn * é igual ao preço de exercício da opção, representado pela letra K. Por definição, o preço da opção é a diferença entre o preço do ativo t i e o preço de exercício K (opção de compra = ti -K; opção de venda = K- ti ). e no tempo t N =T (último período para decidir o exercício) t i é igual a K, o valor da opção seria zero, portanto, exercer ou não a opção forneceria o mesmo resultado (zero para essa data). Assim, o preço crítico de exercício tn * é igual a K. Portanto, o trabalho se concentra em calcular recursivamente os outros pontos da curva de gatilho. Inicia-se então pelo preço crítico de exercício do período t N-1. Passo 1: Deseja-se achar o ponto t N-1 *. Começa-se com um ponto inicial tn-1 escolhido arbitrariamente. Normalmente, se faz este valor igual ao preço de exercício K. Passo 2: Depois, calcula-se o preço da opção: P (, K) em t N-1, aplicando para isso a t N-1 t N-1 imulação de Monte Carlo conforme a equação (3). Por outro lado, e só no instante t N-1, seria também possível empregar a conhecida fórmula de Black & choles (1973), visto que entre τ * a 3

4 Ž t N-1 e t N existe um só período. Assim, tomando como valor inicial do ativo t N-1 e o preço de exercício K em t N, calcula-se o preço da opção de venda com a exatidão que fornece esta fórmula, sem ser necessário (neste particular caso) realizar as simulações. Passo 3: Para encontrar um novo preço N-1(2) t que se aproxime mais do t N-1 *, é necessário encontrar uma regra eficiente para ir de um ponto de aproximação a outro. Uma forma bastante rápida para convergir ao preço crítico de exercício é utilizar o método de aproximações sucessivas de Newton. Assim: - Para s = 1,2,3,..,*, usa-se a aproximação: onde P ( t N-1 P ( (s+ 1) (s+ 1), K) + P ( ).( - ) = I(, K) (4) t N-1 t N-1 t N-1 t N-1 t N-1 t N-1 P(t, K) N-1 ) =. Reorganizando a equação (4) encontra-se o valor N-1(s+1) t : ( K - P (, K) + P ( ) ) ( 1+ P ( )) + = (5) (s 1) t N-1 t N-1 t N-1 t N-1 t N-1 t N-1 Para resolver a equação (5) deve-se calcular antes P ( ), que é a principal dificuldade na t N-1 aplicação do método de Newton. Dada a convexidade da função preço da opção, à medida que (n {N-1, N-2,...,1})se aproxima mais do preço crítico de exercício tn *, a derivada se inclina mais tendendo ao -1. Ibáñez e Zapatero (2004) sugerem iniciar as iterações com um valor P ( ) =-0.60, e gradativamente realizar incrementos (negativos) a cada iteração até um t N-1 máximo de P ( ) = t N-1 (2) (2) Passo 4: Achado calcula-se o preço da opção P (, K), aplicando a equação (3), ou a t N -1 t N-1 t N-1 equação de Black & choles (lembrado que esta só serve no período t N-1 ). Após, calcula-se (3) uma nova aproximação usando a equação (5). t N -1 Passo 5: Repete-se o procedimento s vezes até convergir ao valor (s-1) t N-1 t N-1 <, para algum número muito pequeno. II. Determinar a fronteira de exercício ótima nos períodos t N-2, t N-1,...,t 0 = t N-1 t N-1, sendo que Repete-se o mesmo procedimento para os pontos t N-2, t N-1,...,t 0 (de maneira recursiva). A cada ponto, sugere-se reiniciar o algoritmo tomando como preço inicial do ativo = (o ponto tn + 1 fixado do período à frente, calculado previamente). Assim, no final encontra-se um conjunto de pontos ={ t 0,,..., t 1 t, N-1 t N = }, que formam a curva de gatilho. T III. Calculando o preço da opção de venda Uma vez traçada a curva de gatilho, para calcular o preço da opção de venda, faz-se: imular uma grande quantidade de caminhos (M) a partir do valor inicial do ativo t 0 = 0. As simulações são feitas em intervalos de tempos discretos {t 1, t 2,...,t N =T}. Para cada caminho simulado, no primeiro instante de tempo em que o valor do ativo seja menor ou igual ao ponto fixado da curva de gatilho, se exercerá a opção, sendo o preço da opção de venda em o valor intrínseco: K-. A seguir, desconta-se este preço com a taxa livre de risco: P m = e -(tn-t0)r.(k- ), onde P m (m {1,2,...,M})representa o preço da opção de venda em t 0 para um caminho simulado dentre as M realizações. É provável 4

5 ª Ÿ ž ««œ š «š que existam caminhos nos quais, em todo momento, os preços fiquem acima da curva de gatilho; para estes casos P m = 0 naturalmente. O preço da opção de venda será a média aritmética de todos os P m s: M P 0 (, K) = 1/M P (6) t 0 m= 1 3. O algoritmo modificado de Ibáñez e Zapatero m Nesta seção são explicadas algumas melhorias feitas no algoritmo de Ibáñez e Zapatero (2004), além de experimentações numéricas que permitirão avaliar a eficiência das propostas Aprimoramento no cálculo da curva de gatilho A primeira melhoria que se pode efetuar no cálculo do ponto é empregar a fórmula de Black & choles (1973) para calcular o preço ex ato da opção de venda nos passos 2 e 4 do algoritmo, dado que existe um único período até a maturidade da opção. Ibáñez e Zapatero (2004) também fazem esta sugestão. A novidade estaria no passo 3, onde deve ser estimado P (t ). Quando existe só um período até a maturidade, o valor da derivada do preço da N-1 opção respeito ao preço do ativo subjacente, tem uma expressão analítica fechada dada por: onde: q(t-t N-1 ) P (t ) = e [N(d1) 1] (7) N-1 ˆ = + + ( ) N(.) = função distribuição normal padrão acumulada. q = taxa de dividendos. r = taxa de desconto livre de risco. K = preço de exercício. = volatilidade do preço do ativo subjacente. Portanto, no período t N-1 é melhor utilizar a expressão analítica de P ( ) algoritmo, o que permitirá ter uma melhor convergência para o ponto. t N-1 t N-1 Para o cálculo dos outros preços críticos, sugere-se aplicar o algoritmo em duas etapas: t N-1 no passo 3 do - Primeira etapa: Determinar uma curva de gatilho simulando uma quantidade não muito grande de caminhos brownianos aleatórios, por exemplo, 5000 (2500 mais seus respectivos valores antitéticos para efeitos de redução de variância) a cada vez que se utilize a equação (3) nos passos 2 e 4. Variável antitética é uma das principais e mais simples técnicas para reduzir variância, que consiste em gerar duas trajetórias de preços negativamente correlacionadas. Para maior informação sugere-se consultar Frota (2003). Melhora proposta: No passo 3 do algoritmo, Ibánez e Zapatero (2004) não fornecem maiores detalhes de como fazer os acréscimos de P ( ) a cada iteração. Eles sugerem começar com tn um valor P ( ) =-0.60, e depois fazer incrementos (negativos) a cada iteração até um valor t N-1 máximo de P ( ) = Mas, que valores devem ter tais incrementos? t N-1 Nesse sentido, dado que a curva de gatilho a ser calculada nesta etapa é uma primeira tentativa de aproximar os pontos fixados, observou-se através de diversas experimentações numéricas, que uma maneira rápida de achar a convergência é realizando acréscimos de -0,05 (- =-0,05) começando com um valor de P ( ) = -0,60. De acordo com as experimentações tn 5

6 realizadas, na terceira ou quarta iteração já encontra-se o preço crítico de exercício, com um erro =0,01 (erro de convergência descrito no passo 5 do algoritmo, que é do mesmo valor considerado por Ibáñez e Zapatero (2004) nos testes que realizaram). - egunda etapa: Os preços críticos de exercício achados na primeira etapa, servirão de ponto de partida a cada (n={0,1,...,n-2})em um novo cálculo da curva de gatilho. Assim, da Etapa 2 é igual ao da Etapa 1. Desta forma, ao aplicar novamente o algoritmo espera-se obter uma melhor aproximação da curva de gatilho. Para melhorar a precisão, simulam-se caminhos brownianos aleatórios (50000 mais seus respectivos valores antitéticos) a cada vez que se utilize a equação (3) nos passos 2 e 4. Melhora proposta: Nesta etapa, Ibáñez e Zapatero (2004) não falam ao respeito de como fazer os acréscimos em P ( ). Então, visto que os pontos iniciais se encontram muito próximos tn dos preços críticos de exercício, diversos testes práticos efetuados indicam que, começando as iterações com um P ( ) =-0,85 e fazendo posteriormente incrementos (- ) pequenos de -0,01, tn consegue-se uma boa aproximação Experimentos utilizando o algoritmo modificado de Ibáñez e Zapatero Ibáñez e Zapatero (2004) fizeram testes numéricos com os mesmos parâmetros dos realizados por Huang, ubramanyan e Yu (1996), que utilizaram o método binomial com passos, e cujos resultados são usados como benchmark. O algoritmo modificado de Ibánez e Zapatero (2004) também replica esses testes e logo ambas as metodologias são comparadas. No total foram feitos doze testes numéricos, exibidos na Tabela 1. Uma vez obtida a curva de gatilho, para calcular o preço da opção de venda simulam-se caminhos brownianos (50000 com seus valores antitéticos) a partir do preço inicial do ativo 0 = 40. imulam-se estes caminhos 50 vezes (sob a mesma curva de gatilho calculada previamente), e o preço da opção de venda provém da média aritmética do preço da opção obtido a cada vez que se realizaram as simulações de caminhos. K ± T (anos) Verdadeira* Preço 5 datas de exercício 25 datas de exercício Preço Desvio % Desvio Padrão diferença Padrão % diferença ² 35 0,2 0,0833 0,0062 0,0062 0,0003 0,00% 0,0062 0,0002 0,00% 35 0,2 0,5833 0,4328 0,4263 0,0035 1,50% 0,4315 0,0038 0,30% 40 0,2 0,0833 0,8522 0,8487 0,0023 0,41% 0,8512 0,0019 0,12% 40 0,2 0,5833 1,9904 1,9654 0,0046 1,26% 1,9851 0,0050 0,27% 45 0,2 0,0833 5,0000 4,9659 0,0011 0,68% 4,9927 0,0002 0,15% 45 0,2 0,5833 5,2670 5,2076 0,0053 1,13% 5,2562 0,0058 0,21% 35 0,4 0,0833 0,2466 0,2465 0,0027 0,04% 0,2467 0,0026 0,04% 35 0,4 0,5833 2,1549 2,1408 0,0075 0,65% 2,1528 0,0089 0,10% 40 0,4 0,0833 1,7681 1,7654 0,0040 0,15% 1,7676 0,0046 0,03% 40 0,4 0,5833 4,3526 4,3243 0,0093 0,65% 4,3477 0,0084 0,11% 45 0,4 0,0833 5,2868 5,2791 0,0054 0,15% 5,2853 0,0045 0,03% 45 0,4 0,5833 7,3830 7,3406 0,0090 0,57% 7,3748 0,0094 0,11% Variáveis Comuns: MAPE 0,5997% MAPE 0,1211% 0 = 40; r = 0,0488; = 0 RME 2,6196% RME 0,4991% * Os preços verdadeiros da opção de venda americana em cada teste numérico (12 em total) são os obtidos por Huang, ubramanyan, e Yu (1996) usando um modelo binomial com passos. 6

7 ³ Tabela 1 Preços de Opções de aplicando o algoritmo modificado de Ibáñez e Zapatero O Número de Datas de Exercício se refere à quantidade de intervalos discretos em que o espaço de tempo compreendido entre t 0 =0 e t N = T foi subdividido. Foram consideradas 5 e 25 datas de exercício para efeitos de comparar com os resultados obtidos por Ibáñez e Zapatero (2004), os quais fizeram os testes com só essas datas. A coluna % diferença mede a porcentagem, em valor absoluto, em que o preço da opção de venda calculado pelas simulações se distancia do valor verdadeiro. ua fórmula é: Preço Verdadeira /( Verdadeira). O MAPE é uma medida estatística do erro para o conjunto de testes. No total foram realizados 12 testes numéricos. Em cada teste a % de diferença varia. Portanto, uma maneira de consolidar uma medida de erro, para um conjunto de testes realizados sob determinados parâmetros comuns e datas de exercício, é por meio desta medida. Numericamente, o MAPE é a média aritmética da coluna % diferença (explicada no parágrafo anterior). O RME é outra medida estatística do erro de um conjunto de testes, que para o caso de testes sua fórmula seria: ÇÉÈËÊUÌ Ä Á»>¹)Å)Æ Á Âyà Á Âyà º¹¼»)½¾)½¹À»>¾ 12. Em outras palavras, é a raiz quadrada do erro médio quadrático. = µ = 1 Quanto menor fosse a porcentagem nestas medidas de erro indicará que um determinado tipo de experimento oferece uma melhor aproximação para os benchmarks Resultados dos testes feitos em Ibánez e Zapatero Ibánez e Zapatero (2004), para os mesmos testes numéricos da Tabela 1, obtiveram resultados que derivam nas medidas de erro mostradas na Tabela 2. 5 datas de exercício 25 datas de exercício Algortimo utilizado MAPE RME MAPE RME Ibánez e Zapatero (I & Z)* 1,0818% 2,7295% 0,6151% 0,9567% Modificado I & Z (Experiência 3)** 0,5997% 2,6196% 0,1211% 0,4991% Fonte: * Elaboração própria a partir dos resultados obtidos por I&Z. ** Resultados provenientes da Tabela 1. Tabela 2 Medidas de erro: Ibáñez e Zapatero (I&Z) versus Modificado I & Z Observa-se na Tabela 2, que o algoritmo modificado I&Z gera menores erros em ambas as datas de exercício. Desta maneira, verifica-se que as modificações realizadas no algoritmo de Ibáñez e Zapatero (2004) foram apropriadas. 4. Método de Grant, Vora e Weeks Em Nascimento (2005) se apresenta de forma bastante ampla esta metodologia, inclusive com diversas experimentações numéricas. Irão-se resumir brevemente os passos do algoritmo, que é muito similar ao apresentado por Ibáñez e Zapatero (2004). a) Discretiza-se a vida útil da opção em N=T/ t partes, onde t é o tamanho de cada intervalo, e adota-se a condição terminal T *=K. b) No instante T- t, adota-se como aproximação de T-Í t um valor igual ou próximo de T *. Em seguida, utiliza-se a simulação de Monte Carlo para se obter diferentes valores de T e, 7

8 þ Î ÎÏ ÐÐUÑ8Ò Ó ÔYÒAÕ\Ö ÔÒA Ó ÐÔYÒA ØFÙYÚ6Ú.ÛYÜYÚ8ÛYÝYÞ ßYà ÞfÙYÚ6áUß âyùyã äkþ â å'æmç?æiè é?ê ëìuí9æ îïjð*æyë ñ9è ï9ò?í9ó~ô~ï?õ?í?î ò9ê ö~ ï?é9ïø~ï9ù?è æyê çoú æmé9è ë~óuô~ï9û>ñ?è ïoüˆæúnïæyøií?ønú æmçjú ëmù?ê ê ò?ë~ò9æ conseqüentemente, de P T. O valor de P T é calculado através da média das simulações executadas. c) Verifica-se se a condição de valor ótimo, K- * T-ý t = e -rý t E T-ý t[p T (* T, K) ], é satisfeita. Caso a condição seja satisfeita, inicia-se o próximo passo. Caso contrário, incrementa-se T-ý t de um valor - e repete-se o passo anterior. d) Repete-se o segundo e o terceiro passos para os instantes anteriores, até a condição de parada em t 0. Para calcular o preço da opção de venda devem-se simular caminhos em todos os instantes posteriores ao momento avaliado, e aplicando a equação (3), obtém-se esse valor (Ibáñez e Zapatero (2004) fizeram igual). e) Uma vez obtida a curva de gatilho, o preço da opção de venda é obtido da forma que foi descrito no item III da parte Testes Numéricos com o algoritmo de Grant, Vora e Weeks Para testar a metodologia de Grant et al. (1997) consideraram-se novamente os testes numéricos mostrados na Tabela 1. K T (anos) Verdadeira* Preço 5 datas de exercício 25 datas de exercício Desvio % Preço Padrão diferença Desvio Padrão % diferença ÿ 35 0,2 0,0833 0,0062 0,0062 0,0002 0,00% 0,0061 0,0002 1,61% 35 0,2 0,5833 0,4328 0,4270 0,0031 1,34% 0,4300 0,0032 0,65% 40 0,2 0,0833 0,8522 0,8485 0,0024 0,43% 0,8499 0,0022 0,27% 40 0,2 0,5833 1,9904 1,9643 0,0056 1,31% 1,9841 0,0040 0,32% 45 0,2 0,0833 5,0000 4,9654 0,0009 0,69% 4,9927 0,0001 0,15% 45 0,2 0,5833 5,2670 5,2077 0,0066 1,13% 5,2559 0,0063 0,21% 35 0,4 0,0833 0,2466 0,2463 0,0026 0,12% 0,2457 0,0026 0,36% 35 0,4 0,5833 2,1549 2,1382 0,0084 0,77% 2,1496 0,0091 0,25% 40 0,4 0,0833 1,7681 1,7645 0,0049 0,20% 1,7651 0,0038 0,17% 40 0,4 0,5833 4,3526 4,3240 0,0066 0,66% 4,3457 0,0086 0,16% 45 0,4 0,0833 5,2868 5,2781 0,0055 0,16% 5,2781 0,0055 0,16% 45 0,4 0,5833 7,3830 7,3415 0,0089 0,56% 7,3733 0,0079 0,13% Variáveis Comuns: MAPE 0,6156% MAPE 0,3698% 0 = 40; r = 0,0488; = 0 RME 2,6379% RME 0,6355% * Os preços verdadeiros da opção de venda americana em cada teste numérico (12 em total) são os obtidos por Huang, ubramanyan, e Yu (1996) usando um modelo binomial com passos. Tabela 3 Preços de Opções de aplicando o algoritmo de Grant, Vora e Weeks 5. Análise dos resultados e comparações das metodologias testadas O Gráfico 1 apresenta um resumo das medidas de erro nos três algoritmos testados, sendo que o tempo até a maturidade foi dividido 25 datas de exercício, o que foi demonstrado ser uma quantidade razoável para conseguir uma boa precisão nos resultados. Observa-se que o algoritmo modificado I&Z oferece as menores medidas de erro. 8

9 FÙYÚ6Ú.ÛYÜYÚ8ÛYÝYÞ ßYà ÞfÙYÚ6áUß âyùyã äkþ â å'æmç?æiè é?ê ëìuí9æ îïjð*æyë ñ9è ï9ò?í9ó~ô~ï?õ?í?î ò9ê ö~ ï?é9ïø~ï9ù?è æyê çoú æmé9è ë~óuô~ï9û>ñ?è ïoüˆæúnïæyøií?ønú æmçjú ëmù?ê ê ò?ë~ò9æ Medidas de Erro para os Algoritmos Estudados 1,20% 1,00% 0,96% 0,80% 0,60% 0,62% 0,50% 0,64% MAPE RME 0,40% 0,37% 0,20% 0,12% 0,00% Ibáñez e Zapatero (I & Z) Modificado I & Z Grant Vora e Weeks Gráfico 1 Medidas de Erro nos três algoritmos abordados No que diz respeito ao tempo de processamento computacional (ver Gráfico 2) o algoritmo de Grant, Vora e Weeks apresenta o pior desempenho, muito distante dos outros algoritmos. 6. Conclusões e Considerações Finais O número de datas de exercício é um parâmetro que influência de maneira relevante a precisão Tempo Computacional GVW I & Z I & Z Modificado egundos Nro. Datas de Exercício Gráfico 2 Tempo computacional em função do número de datas de exercício dos resultados. É lógico que ao aumentar as datas de exercício os resultados fiquem mais próximos dos verdadeiros, já que representa melhor o comportamento real de uma opção americana, na qual o exercício dá-se em tempo contínuo e não por intervalos de tempo discretos. O método de Monte Carlo não pode simular em tempo contínuo, portanto, quanto mais intervalos discretos sejam considerandos a aproximação será melhor. A proposta feita para melhorar a convergência para os preços críticos de exercício (curva de gatilho) no algoritmo de Ibáñez e Zapatero, demonstrou ser bastante eficiente, permitindo melhorar os resultados obtidos por esses autores. Também se obtiveram erros menores do que o algoritmo de Grant et al. (1997). Todos estes algoritmos têm em comum a necessidade de determinar previamente a curva de gatilho. O que varia é como as aproximações para os 9

10 FÙYÚ6Ú.ÛYÜYÚ8ÛYÝYÞ ßYà ÞfÙYÚ6áUß âyùyã äkþ â å'æmç?æiè é?ê ëìuí9æ îïjð*æyë ñ9è ï9ò?í9ó~ô~ï?õ?í?î ò9ê ö~ ï?é9ïø~ï9ù?è æyê çoú æmé9è ë~óuô~ï9û>ñ?è ïoüˆæúnïæyøií?ønú æmçjú ëmù?ê ê ò?ë~ò9æ preços críticos de exercício são realizadas. Com relação ao tempo computacional, a metodologia a metodologia de Grant et al. (1997) consome um tempo muito maior do que as outras metodologias estudadas, não sendo prática sua utilização em problemas complexos. Referências BLACK, F. & CHOLE M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy n.81, p , BOYLE, P. & BROADIE, M. & GLAERMAN, P. Monte Carlo Methods for ecurity Pricing. Journal of Economic Dynamics and Control Vol.21, n.8-9, p , BROADIE, M. & GLAERMAN, P. Pricing American-tyle ecurities Using imulation. Journal of Economic Dynamics and Control Vol.21, n.8-9, p , FROTA, A. E. F. Avaliação de Opções Americanas Tradicionais e Complexas. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro, GRANT, D. & VORA G. & WEEK D.E. Path-Dependent Options: Extending the Monte Carlo imulation Approach. Management cience Vol.43, n.11, p , HUANG, J.; UBRAHMANYAM M. G.; & YU G. G. Pricing and Hedging American Options; A Recursive Integration Method. Review of Financial tudies Vol.9, p , IBÁÑEZ, A. & ZAPATERO F. Monte Carlo Valuation of American Options Through Computation of the Optimal Exercise Frontier. Journal of Financial and Quantitative Analysis Vol.39, n.2, p , NACIMENTO, A. F. Avaliação de Investimentos em Tecnologia da Informação: uma Perspectiva de Opções Reais. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro,