ASPECTOS DIDÁCTICOS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

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1 ASPECTOS DIDÁCTICOS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Paulo Carvalho, IEC Universidade do Minho, Dores Ferreira, IEC Universidade do Minho, Ema Mamede, IEC Universidade do Minho, Cláudio Cadeia, IEC Universidade do Minho, Leonel Vieira, IEC Universidade do Minho, Resumo Esta apresentação centra-se numa análise crítica das práticas dos professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico, no contexto de implementação da resolução de problemas. Nesta apresentação discutem-se aspectos da resolução de problemas numa vertente didáctica, identificando deficiências e facilidades dos professores na implementação das aulas. São aqui abordadas tendências nas opções didácticas, tais como critérios de selecção dos problemas e importância atribuída a cada uma das etapas de resolução. Exploram-se ainda alguns desses aspectos que têm vindo a evoluir no decurso de dois anos de formação e que suscitaram alguma reflexão. 1.O Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º CEB O Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico, (PFCM), está a ser desenvolvido desde o ano lectivo de 2005/06 em todo o território nacional. Este programa tem como principais objectivos: Promover um aprofundamento do conhecimento matemático, didáctico e curricular dos professores do 1.º Ciclo de acordo com as actuais orientações curriculares neste âmbito; Favorecer a realização de experiências de desenvolvimento curricular em Matemática através da planificação de aulas, a sua condução e reflexão dos professores envolvidos com o apoio dos seus pares e formadores; Desenvolver uma atitude positiva dos professores relativamente à Matemática promovendo a autoconfiança nas suas capacidades como professores de

2 Matemática incluindo a criação de expectativas elevadas acerca do que os seus alunos podem aprender em Matemática; Criar dinâmicas de trabalho colaborativo entre os professores de cada ciclo e também entre os dois ciclos com vista a um investimento continuado no ensino da Matemática ao nível do grupo de professores da escola/agrupamento, com a identificação de um professor dinamizador da Matemática que promova um desenvolvimento curricular nesta área; Promover o trabalho em rede entre escolas e agrupamentos em articulação com as instituições de formação inicial de professores. Identificar o Dinamizador da Matemática do Agrupamento/Escola que será um consultor para o ensino da Matemática, responsável pela divulgação e promoção dos recursos para o ensino da Matemática, pelo apoio na planificação das propostas curriculares em Matemática e pela partilha e reflexão sobre as práticas do ensino da matemática. Este Programa procura promover a qualidade do ensino e aprendizagem da Matemática, desenvolvendo sessões de formação para professores do 1.º Ciclo. O PFCM pode contemplar dois anos de formação aos docentes. Nestas sessões de formação são abordados aspectos do conhecimento matemático, didáctico e curricular, tendo como objectivo o desenvolvimento de capacidades transversais como a resolução de problemas, o raciocínio matemático e a comunicação matemáticas. Estas sessões contemplam, ainda, o acompanhamento em sala de aula dos formandos, permitindo aos formadores identificar as necessidades de formação dos professores envolvidos. 1.1 Os temas matemáticos abordados Os temas abordados pelo PFCM são os que constam no novo Programa de Matemática: Geometria e Medida, Organização e Tratamento de Dados, Números e Operações. Aborda-se, ainda, a iniciação ao pensamento algébrico, que não aparece explicitamente como tema no 1.º Ciclo, de uma forma estanque, mas fazendo as diversas conexões. Estes temas são desenvolvidos de acordo com as capacidades transversais: comunicação matemática, raciocínio matemático e a resolução de problemas. A comunicação matemática é desenvolvida através da comunicação oral e escrita que é preponderante

3 para a organização de ideias, para a consolidação do pensamento dos alunos, na partilha e debate de ideias e na apresentação de estratégias e raciocínios matemáticos. Como salienta o National Council of Teachers of Mathematics (2007), (NCTM), os alunos anunciam, organizam, elucidam e solidificam os seus pensamentos através da comunicação matemática. O raciocínio matemático desenvolve-se através de experiências que proporcionem aos alunos oportunidades que estimulem o pensamento e em momentos de partilha e debate na aula. A resolução de problemas pode ser estimulada resolvendo problemas de diferentes tipos em contextos variados e analisando as estratégias utilizadas e os resultados obtidos. 1.2 As sessões Este programa desenvolve-se de uma forma continuada ao longo de todo o ano lectivo, através de sessões conjuntas e de acompanhamento em sala de aula. Os grupos que se encontram no 1.º ano de formação têm 15 sessões conjuntas e 4 aulas com acompanhamento. Os grupos que se encontram no 2.º ano de formação têm também 15 sessões, sendo 10 presenciais e 5 de trabalho autónomo e 5 aulas de acompanhamento em sala. Os conteúdos que apresentamos visam a aprendizagem de novos conceitos e procedimentos e uma atitude positiva face à Matemática (conhecimento matemático); o conhecimento das finalidades e orientações gerais do currículo, e o tipo de abordagens e estratégias a utilizar (conhecimento curricular); uma proximidade com os conteúdos e os objectivos de aprendizagem, a criação de situações de aprendizagem, o tipo de tarefas que apresenta, a selecção de materiais e a utilização de diferentes representações para as ideias matemáticas (conhecimento didáctico). 1.3 As tarefas As tarefas propostas aos formandos envolvem a resolução de problemas, as actividades de investigação e os jogos. Estas diferentes propostas de tarefas visam essencialmente o desenvolvimento do raciocínio e da comunicação, promovem a compreensão dos conceitos matemáticos e estimulam o estabelecimento de conexões entre os conceitos.

4 Há a necessidade de os professores apresentarem aos seus alunos tarefas diversificadas, para que eles compreendam que existe uma variedade de representações para as ideias matemáticas. Estas tarefas devem procurar: promover a autoconfiança e o gosto pela actividade matemática; proporcionar uma aprendizagem baseada na compreensão dos conceitos e no desenvolvimento do raciocínio matemático; desenvolver uma compreensão progressiva da natureza da Matemática através dos hábitos de trabalho; e ainda ajudar a interpretar a aplicabilidade e relevância da Matemática no quotidiano dos alunos e na sociedade. 2. A Resolução de Problemas Em Portugal, a partir dos finais da década de 80, os currículos do Ensino Básico e Secundário começaram a dar primazia e importância à resolução de problemas. Todavia, o que se verifica é que os alunos portugueses ainda apresentam resultados que ficam aquém do que seria de esperar na resolução de problemas, tanto na avaliação conduzida a nível interno (provas de aferição), como em testes internacionais (PISA e TIMSS). Apesar das orientações dos documentos oficiais, poderá continuar a haver um desfasamento entre o currículo prescrito e o currículo em prática, em contexto de sala de aula. Efectivamente é necessário uma lufada de ar fresco que leve a que a importância da resolução de problemas em Matemática seja realçada no dia-a-dia das práticas escolares. Na realidade, e de acordo com Polya (2003), um problema até pode ser simples, contudo, se desafiar a curiosidade e as capacidades criadoras dará a oportunidade a quem o resolver de sentir a tensão durante a resolução - e o prazer de encontrar a solução. A resolução de problemas constitui, em matemática, um contexto universal de aprendizagem e deve, por isso, estar sempre presente, associada ao raciocínio e à comunicação e integrada naturalmente nas diversas actividades (DEB, 2001, p. 68). A definição de problema não é consensual, pelo que apresentamos a que se encontra no Currículo Nacional do Ensino Básico Competências Essenciais: um problema é uma situação não rotineira, que se apresenta como um desafio para o aluno em que, frequentemente, pode usar diferentes estratégias e métodos de resolução (DEB, 2001).

5 No PFCM, para a implementação da resolução de problemas adoptou-se o modelo de Polya que é constituído por quatro fases: a compreensão do problema, o estabelecimento de um plano, a execução desse plano e por último a verificação (Polya, 2003). Ao professor cabe um papel activo e investigativo, com o intuito de transformar as aulas num laboratório de matemática onde os alunos matematizem. Um professor deve ser, ele próprio, um formulador e resolvedor de problemas, pois só assim sente a essência dos problemas matemáticos. Assim, ao professor compete: colocar problemas de acordo com o desenvolvimento cognitivo das crianças e com as suas vivências; fomentar o trabalho de grupo, a apresentação de resultados, discussão e reflexão dos mesmos; questionar as crianças ao longo de resolução de problemas para provocar raciocínio; estimular a curiosidade natural das crianças e o seu espírito investigativo; desenvolver a capacidade reflexiva e espírito crítico dos alunos, bem como a comunicação matemática. 3. A Resolução de Problemas e o PFCM Neste artigo são apresentados alguns aspectos da resolução de problemas na sala de aula, identificando dificuldades e facilidades dos professores durante a integração da resolução de problemas na implementação das aulas. Os professores envolvidos na formação apresentam uma formação inicial díspar, a larga maioria possui um bacharelato e um complemento de formação, outros têm apenas bacharelato e um número mais reduzido apresenta uma licenciatura de formação inicial. Ao longo dos quatro anos de funcionamento, o PFCM já abrangeu todos os concelhos do distrito de Braga, bem como mais de um milhar de professores. Os dados recolhidos e analisados neste trabalho resultam das práticas de alguns dos 170 formandos do PFCM, do distrito de Braga, no ano lectivo de 2007/08 e constituem uma fonte privilegiada do acesso ao real conhecimento matemático e didáctico dos professores do 1.º Ciclo, proporcionando uma identificação mais genuína das suas necessidades. Os dados aqui analisados resultam da observação de aulas e da análise de portefólios dos professores envolvidos na formação. Os registos escritos recolhidos pelos

6 formadores, juntamente com os registos fotográficos permitiram a elaboração de notas de campo de quatro formadores ao longo do ano lectivo de 2007/08. Desta análise resultou a identificação de algumas dificuldades e facilidades dos professores nas suas práticas. Assim, foram notáveis as melhorias nas aulas de muitos dos professores observados, em duas vertentes fundamentais: os aspectos conceptuais e as atitudes. Contudo, foram também identificadas dificuldades de alguns professores em aspectos de concretização das aulas, tais como a gestão do tempo de aula atribuído a cada uma das fases de resolução do problema e a dificuldade em desbloquear situações de impasse. 3.1 Sobre os aspectos conceptuais No início da formação, ao fazermos o acompanhamento em sala de aula, foi possível constatar que muitos professores apresentavam dificuldades conceptuais, na resolução de problemas. Por vezes, os problemas apresentados aos alunos não eram mais do que meros exercícios. Também foi frequente encontrar alunos que quando questionados relativamente ao que entendiam por problema respondiam: Uma coisa que se tem que resolver com contas e dá-se uma resposta. No entanto, ao longo da formação foram-se verificando alterações conceptuais dos professores sobre o que é um problema. Essas novas concepções reflectem-se nos seus alunos, pois passou a ser frequente encontrar alunos para quem um problema é "Alguma coisa que se tem que pensar bem para ter uma resposta". Evidências como esta têm-nos levado a pensar que o PFCM promove claramente uma alteração conceptual dos professores a respeito da resolução de problemas. Verifica-se, nos professores envolvidos, uma clara distinção entre exercício e problema. Foi ainda identificada uma maior abertura à integração da resolução de problemas nas práticas de sala de aula. 3.2 Sobre as atitudes Ao longo da formação, através do acompanhamento na sala de aula, constata-se que há uma mudança acentuada nas práticas. A mudança de atitude dos professores envolvidos no programa de formação face à resolução de problemas envolve a alteração das práticas de sala de aula, substituindo mais frequentemente exercícios rotineiros e

7 enfadonhos por problemas estimulantes e motivadores. É notório o empenho crescente por parte dos professores em colocar aos seus alunos problemas que desenvolvam o seu raciocínio, como o que a seguir se apresenta. "O Nico resolveu guardar os seus berlindes da seguinte maneira: pôs um berlinde na 1.ª caixa, dois na 2.ª caixa, quatro na 3.ª, sete na 4.ª e preparavase para encher a 5.ª quando o seu irmão Quico que o observava, exclamou: "Já sei quantos vais pôr nessa!". O que é que o Quico descobriu?" Figura 1: Resolução de um aluno A integração da resolução de problemas nas práticas de sala de aula tem vindo a promover uma maior abertura do professor à diversidade de estratégias apresentadas pelos alunos, procurando partilhá-las e discuti-las no grupo turma. Um exemplo destes aspectos de mudança é aqui apresentado, durante a resolução do problema que se segue na sala de aula. "O João e o André estão a observar animais numa cerca com coelhos e galinhas. Para saberem quantos animais estão na cerca, o João contou as patas e o André as cabeças. Os dois amigos contaram 7 cabeças e 22 patas. Quantos coelhos e galinhas estão na cerca?" Na sala de aula surgiram estratégias de resolução diversificadas (ver Figura 2). O professor da turma encarou esta diversidade de uma forma muito próxima àquela que os formadores do PFCM adoptam, no trabalho com os seus formandos, durante a resolução de problemas. Figura 2: Resolução de problemas por diferentes alunos da mesma turma Na formação, a partilha e exploração em grande grupo das diferentes estratégias de resolução é uma prática corrente dos formandos. Analogamente, os formandos são

8 estimulados a promover nos seus alunos a partilha de resoluções. Assim, após terem resolvido o problema individualmente, a pares ou em grupo, os alunos apresentam para o resto da turma a solução encontrada e as estratégias utilizadas. Em seguida, o professor e os alunos levantam questões acerca da forma como resolveram o problema, debatendo os aspectos positivos e os negativos. A Figura 3 ilustra bem a preparação de transparências e a resolução no quadro do problema, para discutirem com os colegas da turma as suas estratégias de resolução. Figura 3: Resolução do mesmo problema por alunos de várias turmas Alguns professores têm ainda vindo a registar alterações nas suas práticas de sala de aula estimulando a partilha de estratégias de resolução e aproveitando para discutir com os seus alunos estratégias inovadoras, permitindo assim que estes enriqueçam o seu leque de estratégias de resolução. A Figura 4 apresenta a resolução de um problema que envolve a multiplicação no sentido combinatório, em que os alunos elaboraram as suas resoluções e, no final, o professor apresenta uma nova estratégia de resolução utilizando uma tabela de dupla entrada, solicitando a ajuda dos alunos para a preencher. Figura 4: Apresentação pelo professor de uma estratégia inovadora 8. Reflexões finais Esta alteração nas práticas de sala de aula é marcada pela crescente valorização das produções dos alunos, pela promoção da capacidade de argumentação e do raciocínio dos alunos, e ainda pela valorização da comunicação matemática. As tecnologias de informação e comunicação têm sido um meio privilegiado na apresentação das soluções dos problemas desenvolvendo a comunicação matemática entre os alunos e entre os

9 alunos e professor. É ainda de salientar uma crescente preocupação dos professores em discutir com os alunos as soluções incorrectas, embora esta discussão ocorra quase sempre entre professor e o aluno que cometeu o erro. Contudo, foram encontrados alguns casos de professores que estimularam a apresentação em grupo turma de soluções que estão incorrectas, de forma a detectar-se onde se cometeu o erro e a promover uma vez mais a partilha e a discussão entre todos os elementos da turma. Todas estas mudanças progressivas de atitude dos professores nas suas aulas têm vindo a marcar alterações de fundo do papel do professor na implementação das suas práticas. Assiste-se aqui a uma alteração do papel do professor enquanto agente fortemente directivo do discurso e trabalho na sala de aula, dando lugar a um cada vez mais acentuado destaque da participação do aluno. Apesar de terem sido registados progressos nas práticas dos professores, foram também detectadas algumas dificuldades na integração da resolução de problemas nas suas aulas. Os professores revelaram algumas dificuldades em gerir o tempo da aula, ao longo do desenvolvimento de uma actividade de resolução de problemas. A gestão da fase de apresentação e discussão dos resultados e de partilha de estratégias de resolução, apesar de ser reconhecidamente importante pelo professor, nem sempre se traduz no equilíbrio desejado quando toca à concretização. Muitos professores continuam a ter dificuldade na gestão do tempo atribuído à fase de apresentação e discussão dos resultados. Uma outra fragilidade encontrada diz respeito ao desbloquear de situações de impasse que frequentemente surgem ao longo da resolução de problemas na sala de aula. Para muitos professores paira a dúvida sobre as questões orientadoras a colocar aos alunos, no sentido de os ajudar a ultrapassar as dificuldades surgidas. Os efeitos do Programa de Formação Contínua em Matemática traduzem-se essencialmente numa mudança de atitude nas práticas de sala de aula. Assim, verifica-se uma maior preocupação na apresentação e discussão de diferentes estratégias de resolução dos problemas abordados, dando aos alunos a oportunidade de eleger a estratégia mais intuitiva. Verifica-se ainda uma maior valorização da comunicação matemática na sala de aula, criando oportunidades para os alunos interactuarem entre pares e verbalizarem os seus raciocínios. Das práticas dos professores aqui analisados é

10 ainda notória a atribuição de maior destaque à participação do aluno, assumindo o professor um papel menos directivo. Mudar as práticas de sala de aula é um desafio exigente e que demora o seu tempo a ser interiorizado e implementado. Os professores têm respondido bem a esse desafio, no entanto, há alguns aspectos que poderão ser melhorados. Um desses aspectos prende-se com a dificuldade em gerir o tempo ao longo do desenvolvimento de uma actividade de resolução de problemas. Durante a resolução revelam também algumas dificuldades em desbloquear situações de impasse, que facilmente podem surgir com dúvidas a respeito da escolha das questões orientadoras a serem colocadas aos alunos. Ainda durante a resolução, os professores manifestam problemas de gestão na fase de apresentação e discussão dos resultados, e partilha de estratégias. A respeito deste último aspecto, parece ser evidente que o professor faz ainda uma fraca exploração das estratégias erradas dos alunos, sentindo dificuldade em utilizar o erro como catalisador da aprendizagem da Matemática. Assim, consideramos que o trabalho que temos vindo a desenvolver junto dos professores envolvidos no Programa de Formação Contínua em Matemática está muito longe de estar concluído. Salientamos, no entanto, a necessidade dos professores aprofundarem o conhecimento matemático, promovendo a segurança dos professores nas suas práticas de sala de aula; o conhecimento curricular, para facilitar a articulação de saberes; o conhecimento didáctico, como veículo integrador da diversidade de estratégias de resolução de problemas. Referências Bibliográficas DEB (2001). Currículo Nacional do Ensino Básico Competências Essenciais. Lisboa: Departamento da Educação Básica Ministério da Educação. National Council of Teachers of Mathematics (2007). Princípios e Normas para a Matemática Escolar. (Tradução portuguesa do original em inglês de 2000). Lisboa: Associação de Professores de Matemática. PISA 2006 Competências Científicas dos Alunos Portugueses retirado da World Wide Web em 22 de Janeiro de Polya, G. (2003). Como resolver problemas. Lisboa: Gradiva Serrazina, M. L. (Coord.) (2008) Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º e 2.º Ciclos do ensino básico. Lisboa: DGIDC. Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) retirado da world wide web em 22 de Janeiro de 2009.