ANÁLISE DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA À LUZ DA DIALÉTICA FERRAMENTA-OBJETO

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1 ANÁLISE DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA À LUZ DA DIALÉTICA FERRAMENTA-OBJETO Michele Carvalho de Barros Universidade Tecnológica Federal do Paraná Lilian Akemi Kato Universidade Estadual de Maringá Resumo: Este trabalho consiste em identificar a constituição das etapas da dialética ferramentaobjeto e as mudanças de domínios nas ações dos estudantes de cursos de Engenharias durante o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática. Para isso desenvolvemos uma atividade que versava sobre a dinâmica populacional da cidade Campo Mourão/Pr, com 10 estudantes dos cursos de Engenharias de uma universidade da referida cidade. Os resultados indicam que fases da dialética ferramenta-objeto podem ser identificadas durante o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática. Além disso, tanto as fases quanto a mudança de domínio se fazem presentes na atividade de forma espontânea como parte todo processo. Palavras-chave: Dialética ferramenta-objeto. Modelagem Matemática. Equações Diferenciais Ordinária. Dinâmica Populacional. Considerações iniciais Este trabalho é parte da pesquisa de doutorado da primeira autora cujo objetivo consiste em investigar como a Modelagem Matemática aliada a dialética ferramenta-objeto e as mudanças de domínios, auxiliam na construção do objeto de estudo Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), com estudantes dos cursos de Engenharias. A escolha por este tema justifica-se pelas diversas aplicações que as equações diferenciais apresentam em diversas áreas do conhecimento, como a Física, a Química, a Biologia, a Engenharia, entre outras. Particularmente nos cursos de Engenharias as equações diferenciais constituem-se um conceito fundamental em diversas disciplinas que compõem a matriz curricular, por exemplo, na Engenharia Civil, podemos citar as disciplinas de Mecânica dos fluidos e Hidráulica, que a utilizam como pré-requisito.

2 Nesse sentido, este conceito permite estabelecer relações entre a Ciência e a Matemática que extrapolam a mera apresentação de métodos de soluções possibilitando uma compreensão acerca dos diversos fenômenos que nos cercam. Devlin (1997), em seu discurso na Universidade da Califórnia, afirma que sem a Matemática não podemos compreender as relações que existem no meio em que vivemos. Para ele, Sem matemática, ninguém pode entender o que mantém um avião a jato no ar. Como todos sabemos, grandes objetos de metal não ficam acima do solo, exceto que algo lhes sirva de suporte.... Precisamos de matemática para ver o que mantém o avião nas alturas. Neste caso, o que nos permite ver o invisível é a equação descoberta pelo matemático Daniel Bernoulli no começo do século 18 (pg.36). Ainda, Devlin (1997, p. 34) complementa que é função do matemático mudar a forma como a maioria das pessoas percebem a Matemática, mostrado para elas que a matemática torna o invisível visível. Porém, o que se vê na maioria das salas de aula é um ensino sistematizado da Matemática, focado em resolução de exercícios descontextualizados. Especificamente, a realidade do ensino e aprendizagem das equações diferenciais, ainda está bastante aquém do ponto vista de Devlin (1997). Segundo Dullius, Araujo e Veit (2011), a dificuldade na compreensão dos significados dos conceitos das equações diferenciais e/ou a falta de utilização de problemas relacionados à sua prática profissional, gera um grande desestímulo dos alunos em relação a seu estudo: A maior reclamação dos alunos no histórico desta disciplina é exatamente a questão da não percepção da importância do conteúdo para a sua formação e por isso não gostavam da disciplina e demonstravam muita desmotivação nas aulas (pg. 36). Para Klymchuk et al.(2008), muitos estudantes ao concluírem suas graduações não conseguem aplicar o conhecimento acadêmico para resolver os problemas em situações reais. Para os autores uma forma de minimizar este problema seria a utilização de atividades de Modelagem Matemática. Atualmente vários trabalhos no âmbito da Educação Matemática (SANTOS e GODINHO, 2009, BASSANEZI, 2011, FECCHIO, 2011) vem destacando que a potencialidade da Modelagem Matemática no ensino e aprendizagem dos conceitos das equações diferenciais. A Modelagem Matemática possui um caráter investigativo, no qual o ensino é compartilhado com o aluno e não centrado no professor. A resolução de um problema inicia-se a partir do conhecimento que o aluno já possui, o que favorece o

3 estabelecimento de relações matemática, a compreensão e o significado dessas relações (BURAK, 1992). Para Bassanezi (2011, p.24): a modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual. Por utilizar problemas da realidade, a Modelagem Matemática insere o aluno no problema, fazendo com que sua solução não seja apenas mecânica e uma obrigação, mas sim um desafio, uma forma de entender melhor o meio em que vive. Também, é uma oportunidade de verificar onde os conhecimentos acadêmicos podem ser aplicados. Além disso, por estar envolvido na situação proposta, o fato de seus conhecimentos prévios não resolverem totalmente o problema, pode se tornar um motivo para o aluno buscar novos conhecimento. Nesta busca pelo novo, o aluno além de aprender novos conceitos, também pode aprimorar os já existentes. Nesse contexto, no desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática, podem ser empregados conhecimentos dos diferentes campos da Matemática: geométrico, algébrico, aritmético, etc. Sendo necessário, assim, competência para transitar entre esses campos (domínios), o que configura, segundo Régine Douady (apud Almouloud, 2007), numa mudança de domínios, que é essencial no processo da dialética ferramenta-objeto. A dialética ferramenta-objeto consiste em utilizar os conhecimentos antigos dos alunos como ferramentas que servirão de base para o desenvolvimento de novos conhecimentos, denominados objetos. Uma vez desenvolvidos, estes novos conhecimentos serão utilizados como ferramentas para resolver novos problemas num processo cíclico. Segundo Almouloud (2007), esta dialética é um poderoso instrumento de análise de fenômenos de ensino e aprendizagem. Neste trabalho objetivamos identificar a constituição das etapas da dialética ferramenta-objeto durante o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática que versava sobre a dinâmica populacional da cidade de Campo Mourão/PR. A atividade foi realizada com 10 estudantes de 3 cursos de Engenharias de uma universidade da referida cidade. Os alunos foram convidados a estudar sobre o crescimento da população e fazerem previsões. Para tanto, a pesquisadora apresentou e construiu o modelo de Malthus com os alunos, onde estes tiveram o primeiro contato (na atividade) com o objeto de estudo, EDOs.

4 Os resultados evidenciados indicam que fases da dialética ferramenta-objeto mostramse presentes em uma atividade de Modelagem Matemática, surgindo de forma espontânea durante todo o processo. Contudo, como este estudo faz parte de um projeto ainda em desenvolvimento, nem todas as fases foram completadas por esta atividade e nosso objeto de estudo, as equações diferencias ordinárias, foram utilizadas somente como ferramenta para resolver o problema, não adquirindo estatuto de objeto. Concepção de Modelagem Matemática adotada A Modelagem Matemática tem suas raízes oriundas nas aplicações da Matemática praticadas por engenheiros, químicos, matemáticos, entre outros. Neste campo, chamado Matemática Aplicada, surgiram os primeiros conceitos e procedimentos em relação ao que caracteriza uma atividade de Modelagem Matemática (ALMEIDA, SILVA e VERTUAM, 2012). Esta importação da Matemática Aplicada faz com que a Modelagem Matemática no âmbito da Educação Matemática tenha diferentes concepções, seja como alternativa de ensino e aprendizagem, estratégia pedagógica ou método de ensino. Cada uma dessas concepções traz consigo diferentes implicações em relação às práticas pedagógicas das aulas de Matemática norteadas pela modelagem. Considerando que nosso objetivo, nesse estudo, constituiu-se em analisar as ações dos estudantes na construção de um modelo matemático para a dinâmica populacional de Campo Mourão, adotamos neste trabalho a concepção de Modelagem Matemática de Bassanezi (2011), referência principal para o modelo construído. Bassanezi (2012, p.10) entende a Modelagem como o processo de criação de modelos onde estão definidas as estratégias de ação do indivíduo sobre a realidade, mais especificamente, sobre a sua realidade, carregada de interpretações e subjetividades próprias de cada modelador. Para o autor, a modelagem é eficiente se nos conscientizarmos que estamos sempre trabalhando com aproximações da realidade e que sua utilização é adequada se de fato contribuir para o desenvolvimento e compreensão do fenômeno estudado (BASSANEZI, 2011). Segundo Bassanezi (2011), um modelo matemático pode ser construído dentro de uma teoria matemática já conhecida e mesmo assim pode ocorrer que as técnicas e os métodos dessa teoria não sejam suficientes para a obtenção dos resultados desejados. Este tipo de

5 situação constitui-se em grandes motivações para o desenvolvimento de teorias matemáticas já estudadas. Para o autor, este fato pode ser exemplificado com as Equações Diferencias, desde a sua origem até os dias atuais, o que corrobora com as justificativas dessa pesquisa. A dialética ferramenta-objeto As noções da dialética ferramenta-objeto e a mudança (interação) entre os domínios foram introduzidas por Régine Douady na sua tese de doutorado em 1986 (MARANHÃO, 2012). Para Douady uma noção ou conceito pode ter o estatuto de ferramenta ou de objeto, dependendo do uso que está sendo feito dele. Um conceito é uma ferramenta quando intervém na resolução de um problema e é objeto quando é identificado como conteúdo da aprendizagem. Assim, o aspecto ferramenta-objeto pode ser visto da seguinte forma: Assim, digamos que um conceito é ferramenta quando nos interessamos no uso que está sendo feito dele para resolver um problema. Uma mesma ferramenta pode ser adaptada para diferentes problemas. Por objetos, entendemos o objeto cultural colocado num edifício mais amplo, que é o do saber sábio num dado momento reconhecido socialmente. (DOUDAY, 1986, apud ALMOULOUD, 2007, p. 62). Desta forma, o conceito é uma ferramenta quando considera-se seu caráter operatório, contextualizado e personalizado e é objeto quando considera-se seu caráter cultural, descontextualizado, atemporal e social (ALMOULOUD, 2007). Já os aspectos ensinar e aprender tem as seguintes funções: Ensinar, para um professor, é criar as condições que produzirão um saber entre os alunos. E aprender, para o aluno, é se engajar numa atividade intelectual, pela qual se produza a disponibilidade de uma saber com seu duplo estatuto de ferramenta e objeto. (Douady, 1993, apud MARANHÃO, 2012, p. 144) Segundo Douday, a dialética ferramenta-objeto é composta por seis fases: 1) Antigo: o enunciado do problema deve fazer sentido para todos os alunos. Os conceitos matemáticos devem ser utilizados como ferramentas explícitas para resolver, ao menos em partes, os problemas propostos. Nesta etapa, os conhecimentos antigos de saber matemático, funcionam como ferramenta. 2) Pesquisa novo implícito: os alunos encontram dificuldades para resolver completamente o problema, pois o objeto de ensino é a ferramenta adequada para alcançar a solução desejada. Nesta etapa, o professor pode utilizar uma mudança de domínio como ferramenta para auxiliar os alunos a construírem o novo conhecimento.

6 Ressaltamos que os domínios, também chamados de quadros, são os ramos de conhecimentos matemáticos (numérico, algébrico, geométricos, das funções,...) e, por vezes, parte deles. 3) Explicitação-institucionalização local: os alunos descrevem o que obtém em seu trabalho, as dificuldades, os resultados. Nesta etapa, os alunos apresentam várias formas de saber. O objetivo é dar um estatuto de objeto aos conhecimentos que foram utilizados como ferramenta. 4) Institucionalização-estatuto do objeto: os alunos podem formular certos elementos como objetos de conhecimento matemático (conceitos, propriedades ou procedimentos). Segundo Maranhão (2012), diversos ciclos das fases anteriores podem ser necessários antes de se atingir a próxima fase. 5) Familiarização-reutilização numa situação nova: os alunos desenvolvem novos conhecimentos, chegando-se a institucionalização do saber matemático, isto é, definições, enunciados e teoremas. Nesta etapa, o professor deve propor diversas atividades para que o aluno use como ferramenta explícita o conhecimento que foi institucionalizado. Assim, o novo se torna antigo, iniciando-se um novo ciclo da dialética. 6) Complexificação da tarefa ou novo problema: nesta etapa, são propostas situações mais complexas em que os alunos poderão testar e/ou desenvolver os novos conhecimentos adquiridos. Para Douady é necessário que os problemas envolvam, pelo menos, dois domínios, de modo que um sirva de referência para o outro e possibilitem meios de validação pela ação. A elaboração do conhecimento ocorre quando o aluno é capaz de fazer uso dele como ferramenta explícita em diversas situações adaptando-o quando for necessário. Além de ser capaz de reconhecer esta ferramenta nos diversos domínios da Matemática (MARANHÃO, 2012). Desenvolvimento e resultados A atividade que versou sobre a dinâmica populacional da Cidade de Campo Mourão/PR, foi realizada com 3 alunos da Engenharia de Alimentos, 3 da Engenharia Ambiental e 4 da Engenharia Civil, todos cursando o segundo período do seu respectivo curso. Esta escolha se deu por acreditarmos que a interação entre os diferentes cursos favorece discussões que enriquecem a aprendizagem, além do fato destes estarem iniciando os estudos das EDOs.

7 Os estudantes foram convidados a participar dessa atividade, que foi realizada em 4 horas aula, em horário extra curso. Toda a atividade foi gradava em áudio e vídeo, além dos registros escritos feito pelos participantes. Inicialmente, a pesquisadora separou os alunos em 2 grupos de 5 cinco alunos. O grupo 1 composto pelos alunos 1 : Bruno, Lucas, Marcos, João e Vitor e o grupo 2 pelos alunos: Gabriel, Isabela, Eduarda, Julia e Rafaela. Cada grupo tinha pelo menos um aluno de cada Engenharia citada anteriormente. Neste trabalho analisaremos o desenvolvimento realizado pelo grupo 2, contundo em discussões em conjunto poderemos citar argumentos do grupo 1, pois estas discussões serviram de base para encaminhamentos futuros. Para introduzir o tema a pesquisadora solicitou que os alunos se apresentassem indicando também suas procedências. Aproveitando o fato de que todos os estudantes vieram de outras cidades, a pesquisadora os questionou acerca de suas impressões da cidade de Campo Mourão. As respostas foram bastante variadas, alguns consideravam a cidade boa, organizada e pacata, outros pequena, desorganizada e violenta: Gabriel: Eu achei a cidade desorganizada. Julia: Eu já achei o contrário. Eu achei uma cidade bonitinha, pacata e organizada, planejadinha, uma cidade pequena com uma cara de cidade maiorzinha. Acho que é tradição do Paraná. Interior do Paraná. (...) Eduarda: Chega final de semana a cidade morre, todo mundo vai para uma cidade que mora do lado, ai você não tem muita coisa pra fazer e você acaba ficando em casa. Vitor: Eu já acho Campo Mourão super agitado. Na minha cidade de domingo não tem restaurante, então acabou a cidade. Fim de semana não tem nada. E quando você vem pra uma cidade tipo Campo Mourão, que é o centro da nossa região, então é agitado, para quem é de cidade pequena. Diante das discussões a pesquisadora questionou os alunos, em especial, os que moravam na região, se eles achavam que a cidade estava crescendo nos últimos anos. Os alunos responderam que sim e que este crescimento vinha acompanhado de muitos problemas por eles observados. Marcos: Surgem problemas sociais. Julia: É porque o crescimento ocorre muito rápido, mas a estrutura não é pensada na mesma velocidade que se cresce. 1 Nomes fictícios adotados pela pesquisadora.

8 (...) XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática Vitor: Acho que um reflexo disso aqui em Campo Mourão é o trânsito. O trânsito deixa em claro como a cidade não está preparada para ser uma grande cidade. Percebendo o interesse pelo assunto a pesquisadora entregou para os alunos uma reportagem 2 que relatava o fato de que a cidade de Campo Mourão era a que mais crescia na região. Os alunos concordaram com as informações da reportagem e após algumas discussões e encaminhamentos acessaram o site do IBGE com a intenção de obterem mais dados sobre esta população. Tabela 1: População do município de Campo Mourão/PR Ano População Fonte: IBGE De posse desses dados os estudantes decidiram verificar se era possível estimar a quantidade de habitantes para os anos de 2014 e Para tanto tentaram estabelecer quais fatores poderiam influenciar no crescimento desta população, como taxa de natalidade e mortalidade, a oferta de emprego, a abertura de vagas nas universidades, etc. Porém, percebendo que não dispunham destes dados, especificamente, compreenderam que a taxa de crescimento anual a partir dos dados da Tabela 1 também fornecia o resultado desses fatores. Diante disso, o grupo 2 traçou duas estratégias de resolução, uma pelas alunas, Isabela, Eduarda, Julia e Rafaela e outra pelo aluno Gabriel, conforme trechos a seguir: Julia: A gente foi pegando, tipo de 91 à 96, acabou sendo descartada porque teve um decréscimo. A gente pegou de 96 à 2000, achamos uma taxa que ele cresceu neste 4 anos, dividimos por 4, achamos a taxa nesta época, neste período. Achamos o do período de 2000 à 2007, achamos uma taxa geral neste 7 anos, dividimos por 7 achamos outra anual. Pegamos 2 Reportagem disponível em itterfeed&utm_medium=twitter

9 a de 2007 à 2010 e achamos outra anual. Somamos estas médias anuais, que a gente achou em cada período desse, e teve uma média de 2,80, 2,7 no meu. E a gente programou isso em 4 anos futuros, de 2010 até 2014, com média de crescimento de 2,7, ai deu 96 mil e 97. É muita gente. Já o aluno Gabriel apesar de utilizar um procedimento matemático análogo ao das alunas, optou por considerar somente os dados entre os anos de 2007 e 2010, conforme explicado em sua fala a seguir: Gabriel: É, assim, fazendo a análise eu descartei até o ano de 2000, eu peguei os dados partindo de 2007, porque de 91 até 2000, 2007 na verdade, o número da população vai ser praticamente o mesmo vai de e vai pra Daí de 2007 até 2010 eu somei fiz a média, e tirei a porcentagem, chegando a uma média de crescimento populacional de 1,88% ao ano. Apesar dos alunos do grupo 2 discutirem suas propostas para resolverem o problema, tanto Gabriel, quanto as alunas mantiveram suas formas de resolução, sem que um convencesse o outro a mudar de ideia. Os trechos dos diálogos indicam a ocorrência da primeira fase da dialética: o antigo, uma vez que os alunos utilizaram seus conhecimentos prévios para solucionar o problema. Os conceitos de regra de três e o cálculo de porcentagem foram utilizados para estimarem o crescimento populacional em cada período. Já o cálculo da média aritmética simples possibilitou obter a média anual de crescimento para tal período. No entanto, durante as discussões alguns alunos elucidaram outras formas de resolver o problema, como por exemplo, utilizar a derivada ou a diferencial. Porém devido a falta de domínio destas ferramentas matemáticas, eles não conseguiram argumentação suficiente para convencer os demais membros do grupo a utilizarem estas estratégias. Sendo assim, podemos inferir que estes conhecimentos não estão bem fundamentados para estes alunos, pois apesar de os indicarem, nenhum deles mobilizou-se a tentar resolver o problema usando derivada ou diferencial. Depois que apresentaram suas resoluções a pesquisadora perguntou aos alunos se haveria outras formas de resolver o problema. Diante a resposta positiva, os alunos foram questionados sobre quais outras formas poderiam ter sido utilizada. Com a intenção de promover uma nova forma de visualização da situação, a pesquisadora apresentou os dados em forma de um gráfico feito com o auxílio do software GeoGebra (Figura 1), promovendo assim uma mudança de domínio.

10 Figura 1: Gráfico do crescimento da população de Campo Mourão A pesquisadora explicou que para fazer o gráfico criou uma nova tabela, na qual colocou o ano de 1991 como ano 0, de 1996 como 5, assim por diante. A partir da visualização do gráfico, os alunos perceberam que poderiam construir uma função para representar o crescimento da população, a pesquisadora os questionou sobre quais tipo de funções eles poderiam utilizar, recebendo as seguintes respostas: Julia: Crescimento em função do tempo. Pesquisadora: Ou população em função do tempo.... Então poderia ser feito uma função, que tipo de função? Marcos: Diferencial. Isabela: Exponencial. Eduarda: Uma função de segundo grau? Pesquisadora: Sim. Neste momento, na fala principalmente de Marcos, percebemos indícios da segunda fase da dialética, o novo implícito, ou seja, os alunos percebem que existem outras formas de resolver o problema, que seria utilizando a diferencial ou uma função exponencial, porém seus conhecimentos antigos, não são suficientes para conseguir estabelecer relações entre estas funções e os dados do problema. Ressaltamos que a terceira fase da dialética: a explicitação, permeia todo estes diálogos entre pesquisadora e alunos, desde a exposição das opiniões do grupo, até o final da atividade. Nesta fase, a pesquisadora assume o papel de mediadora, promovendo as discussões entre os alunos, levando-os a situarem seus conhecimentos em relação aos conhecimentos dos demais, promovendo assim seu progresso.

11 A pesquisadora continuou as discussões com os alunos, mostrando alguns modelos lineares, e suas previsões. Explicando que os modelos fornecem estimativas para a situação estudada. Neste momento, a pesquisadora questiona se os alunos já ouviram falar de modelos populacionais, e eles comentam que sim, que a professora de Equações Diferenciais comentou sobre estes modelos, porém eles não viram como utilizar. A pesquisadora, então fala do modelo de Malthus, o qual os alunos já conheciam o princípio básico das aulas de Geografia do Ensino Médio. Pesquisadora: Alguém conhece a teoria de Malthus? Vários alunos: Sim. Pesquisadora: O que foi que vocês viram? Julia: Que a população cresce em proporção geométrica, uma PG eu lembro de alguma coisa assim, e os alimentos iam crescer em P.A. A pesquisadora contou a história da teoria de Malthus para os alunos e construiu com eles o Modelo de Malthus discreto. Para isso foi necessário uma mudança do domínio da língua natural (teoria de Malthus) para o algébrico (equações). Assim, considerando P(t 1) P(t), o modelo discreto de Malthus é dado por P( t 1) P( t) P( t). Dado a P(t) população inicial P(0) P0, a solução da equação acima é obtida por recorrência da expressão Pt 1 (1 ) Pt, cuja a solução é dada por P (1 ) t t P0. P(0) P0 Em seguida, utilizando as noções de limite e derivada, a pesquisadora construiu o Modelo de Malthus contínuo, considerando que P(t t) P(t) P(t) t, obtemos: dp Pt () dt P(0) P0. dp P( t t) P( t) lim, com dt t 0 t Os alunos participaram ativamente na construção dos modelos, sendo eles que auxiliaram a pesquisadora em todos os momentos desta construção. Porém, para determinar o modelo contínuo foi necessário resolver a equação dp P(t). Apesar dos estudantes dt reconhecerem que a equação representava uma equação diferencial, não sabiam como resolvê-la. Para encontrar a solução a pesquisadora relembrou os estudantes que a

12 derivada dp dt XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática, por definição também pode ser considerada como o quociente das diferenciais dp e dt, por tanto era possível separar as variáveis e resolver o problema integrando ambos os lados da equação, chegando a seguinte solução, P() t P e t 0. Este procedimento poderia ter dado início a quarta fase da dialética ferramenta objeto: Institucionalização-estatuto do objeto. Porém, apesar da pesquisadora explicar uma forma de resolver uma EDO, ela não chegou a dar estatuto de objeto à este conceito, pois para isso seria necessário mais discussões e esclarecimentos sobre o assunto, além da aplicação de outras atividades envolvendo o conceito de EDOs. Pois conforme Maranhão (2012), diversos ciclos das fases anteriores (1-4) podem ser necessários antes de se atingir a próxima fase. Desta forma nosso objeto de estudo, as EDOs, foi utilizado somente como ferramenta para resolver a atividade de Modelagem Matemática. Em seguida a pesquisadora estabeleceu a relação entre as constantes e obtendo, ln(1 ). E como aplicação do Modelo de Malthus, mostrou para os alunos um exemplo para a dinâmica populacional brasileira. Em seguida, solicitou que eles aplicassem o modelo para o estudo da população de Campo Mourão (Figura 2). Após encontrarem o modelo, os alunos do grupo 1 e o Gabriel observaram que tanto suas projeções iniciais quanto a encontrada no modelo de Malthus estavam bem próximas. Isso fez com que as alunas do grupo 2 voltassem à analisar suas projeções iniciais, encontrando o erro cometido: Figura 2: Protocolo da atividade de um aluno do grupo 2 Julia: Eu já sei o que a gente fez errado no nosso lá. A gente dividiu por 7 pelo número de anos, mais os três anos que a gente somou, quando a gente soma estas três a gente tinha que dividir por três de novo, ia dar 2,8 ou 2,7 dividido por 3. Ia dar bem aproximado com este aqui. Eduarda: Agora a gente sabe no que errou. O Quadro 1 mostra um resumo as fases da dialética e as mudanças de domínios obtidos nesta atividade.

13 Fases da dialética XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática Quadro 1: Fases da dialética na atividade de Modelagem Matemática Tarefas da Atividade de Modelagem Mudança de domínios O Antigo Pesquisa Novo Implícito Explicitação institucionalização local Institucionalização estatuto do objeto Utilizar os conhecimentos prévios para determinar uma média de crescimento anual. Discussões sobre os resultados da atividade de Modelagem e de outras possibilidades para resolver a atividade. Discussões sobre os resultados obtidos. Construção do Modelo de Malthus discreto e contínuo. Não ocorreu. Não houve. Do Numérico (dados) para geométrico (gráfico). Da Língua natural (Teoria de Malthus) para algébrico (modelo de Malthus). Considerações finais O objetivo desse trabalho foi identificar as etapas da dialética ferramenta-objeto nas ações dos estudantes durante o desenvolvimento de um atividade de Modelagem Matemática. Dos resultados apresentados podemos inferir que as fases da dialética ferramentaobjeto e as mudanças de domínios podem ser contempladas em uma atividade de Modelagem. Estas fases aparecem naturalmente, em função do próprio desenvolvimento da atividade. Por exemplo, as discussões em grupos, que é uma característica da Modelagem Matemática, foi um critério fundamental para as fases da explicitação e novo implícito, pois devido a estas discussões os alunos puderam validar seus conhecimentos, além de perceberem a possibilidade de utilizarem um conceito que ainda não dominavam, no caso as equações diferenciais. Estas discussões instigaram os alunos a querer encontrar alguma forma de solucionar a situação proposta, isso levou-os a utilizar de todos os conhecimentos que possuíam, constituindo a primeira etapa da dialética. Ressaltamos ainda, que o fato dos alunos assumirem parte da responsabilidade de resolver o problema, fez com que eles se sentissem mais seguros. Além disso, por trabalharem

14 com uma situação real, tiveram a oportunidade deles mesmo verificarem seus erros, retomando os cálculos inicias e modificando-os, o que normalmente não acontece em uma resolução de exercício. Esta transição entre o antigo e o novo, possibilitada pela Modelagem Matemática, auxilia no aprimoramento os conceitos utilizados, favorecendo o estabelecimento de relações matemáticas, a compreensão e o significado dessas relações. Permitindo, assim que o conceito transite dentro de seus dois aspectos: de ferramenta e de objeto. A não institucionalização do objeto de estudo foi uma opção das autoras, pois para isso seria necessário a aplicação de mais atividades, o que será realizado em estudos futuros com outros alunos. Neste sentido, inferimos que a teoria da dialética ferramenta-objeto e a Modelagem Matemática, podem potencializar o ensino e a aprendizagem das Equações Diferenciais Ordinárias. Referências bibliográficas ALMEIDA, L.W., SILVA K.P., VERTUAN, R.E.. Modelagem Matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, ALMOULOUD, S. A.. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Ed. UFPR, BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 3ª edição. 3ª reimpressão. São Paulo: Contexto, Temas e Modelos. Campinas: Edição do Autor, Disponível em: < Acesso em: 23 de abril, BURAK, D. Modelagem matemática: ações e interações no processo de ensinoaprendizagem. Tese de Doutorado. Campinas: Unicamp, DEVLIN, K, Tornando o invisível visível (1997). Cálculo, ano 3, n o 36, p DULLIUS, M. M., SOLANO A., Ives, VEIT, E. A.. Ensino e Aprendizagem de Equações Diferenciais com Abordagem Gráfica, Numérica e Analítica: uma experiência em cursos de Engenharia Boletim de Educação Matemática [On-line] 2011, Disponível em:< Acesso em 19 de abril de FECCHIO, R. A Modelagem Matemática e a interdisciplinaridade na introdução do conceito de equações diferenciais em cursos de Engenharia f. Tese (Doutorado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2011.

15 KLYMCHUK, S.; ZVERKOVA, T.; GRUENWALD, N.; SAUERBIER, G., Increasing engineering students awareness to environment through innovative teaching of mathematical modelling. Teaching Mathematics and its Applications, Volume 27, n o 3, p , MARANHÃO M. C. S. A., Dialética ferramenta-objeto. In Machado, S. D. A. (Org.). Educação Matemática: uma (nova) introdução. 3ª ed. São Paulo: EDUC, SANTOS, B. S.; GODINHO, D. Um modelo para despoluição de lagoas. Disponível em:< Acesso em: 19 de abril de 2014.