Hipersuperfícies com Curvatura média Constante e índice finito

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1 Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática Curso de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado Hipersuperfícies com Curvatura média Constante e índice finito Hivanna Nascimento Santos Salvador-Bahia Agosto 8

2 Hipersuperfícies com Curvatura Média Constante e Índice Finito Hivanna Nascimento Santos Dissertação apresentada ao colegiado do curso de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática. Banca examinadora: Prof. Dr José Nelson Bastos Barbosa (Orientador). Prof. Dr.Isaac Costa Lázaro. Prof. Dr. Pedro A. Hinojosa.

3 Hivanna Nascimento Santos Hipersuperfícies com Curvatura Média Constante e Índice Finito / Salvador-BA, 8. Orientador: Prof. Dr. José Nelson Bastos Barbosa (UFBA). Dissertação de Mestrado apresentada ao curso de Pós-Graduação em Matemática da UFBA, 5 páginas. Palavras-Chave: Estabilidade e índice, hipersuperfícies com curvatura média constante e operador estabilidade.

4 À minha mãe e às minhas irmãs.

5 Resumo Nosso objetivo principal nesta dissertação é mostrar a não existência de hipersuperfícies não compactas completas com curvatura média constante e índice finito imersas em uma varieade de dimensão ou 5. Como conseqüência, obteremos que uma hipersuperfície completa não compacta com curvatura média constante e índice finito imersa em R n, n ou n5, é mínima. i

6 Sumário Resumo i Introdução 1 1 Preliminares Variedades Conformes Imersões Isométricas Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano Fórmulas da primeira e da segunda variações do comprimento de arco 9.1 Primeira variação do comprimento de arco Segunda variação do comprimento de arco Hipersuperfícies com Curvatura Média Constante e Índice Finito 15 ii

7 Introdução Sejam N uma variedade orientada e ψ : M n N n1 uma imersão de uma variedade diferenciável, compacta, conexa e orientável em N. Escolhemos a orientação de M compatível com a orientação de N. Uma variação de ψ é uma aplicação diferenciável Ψ : ( ɛ, ɛ) M N com campo variacional fη, onde f C (M) e η é um campo normal em M, tal que Ψ t : M N definida por Ψ t (p) Ψ(t, p), p M, é uma imersão. Definimos a função área A : ( ɛ, ɛ) R por A(t) M dm t, onde dm t representa o elemento de área de M na métrica induzida por Ψ t. A primeira fórmula da variação para a área estabelece que A () nhfdm M Como uma conseqüência, hipersuperfícies mínimas são caracterizadas como pontos críticos do funcional área e as hipersuperfícies com curvatura média H constante também podem ser pontos críticos do funcional área, mas restritas a variações que preservam volume, isto é, funções suaves f tais que fdm. M O operador estabilidade deste problema variacional é dado pela segunda fórmula da variação para a área A () M M (f f ( A n)f )dm flfdm onde L : C (M) C (M) dado por L A Ric(N) é chamado de operador estabilidade de M (ou operador de Jacobi) e, A tr(a ) e Ric(N) denotam, respectivamente, o operador laplaciano de M, o quadrado da norma do operador forma da imersão e a curvatura de Ricci da variedade ambiente N na direção η. 1

8 O operador L induz a forma quadrática Q : C (M) R dada por Q(f) flfdm, M que atua no espaço das funções suaves em M. O índice de uma hipersuperfície M, denotado por Ind(M), é definido como a dimensão máxima do subespaço V de C (M) em que Q é negativa definida. Isto é, Ind(M) max{dimv ; V C (M), Q(f) < para todo f V }. Equivalentemente, Ind(M) é o número de autovalores negativos de L contados com multiplicidade. Dizemos que uma hipersuperfície mínima é estável se Q(f) para todo f C (M). Equivalentemente, em termos do índice, estabilidade significa que Ind(M). Em 1985, Fischer-Colbrie estudou em [8 a estrutura conforme de uma superfície mínima M completa, orientada e com índice finito imersa em uma variedade N de dimensão 3 com curvatura escalar não negativa. Ela mostrou que se a curvatura escalar de N é limitada inferiormente por uma constante positiva, então M é compacta. Posteriormente, em 1989, Lopez e Ros estudaram em [11 a estrutura conforme de uma uma superfície completa M com curvatura média constante H e índice finito imersa em uma variedade N de dimensão 3. Eles mostraram que se H e a curvatura escalar S de N satisfazem S 3H δ, para alguma constante δ >, então M é compacta. Como caso particular, eles obtiveram que toda superfície completa, não compacta com curvatura média constante H e índice finito no espaço euclidiano R 3 é mínima, pois como S em R n, então, pelo resultado acima, devemos ter < 3H δ, δ >. Conseqüentemente H. Esta dissertação é baseada no artigo de Xu Cheng [6 e tem como objetivo principal provar o Teorema seguinte, que é uma versão generalizada do resultado de Lopez e Ros em uma variedade de dimensão ou 5. Teorema 3.1. Sejam N n1, n {3, }, uma variedade de dimensão (n 1) e M uma hipersuperfície completa com curvatura média constante H e índice finito imersa em N. Suponha que σ : inf{ric(w) Ric(ν) K(w, ν) w T p M, w 1, p M} > n (5 n)h,

9 3 onde Ric, K e ν denotam, respectivamente, a curvatura de Ricci, a curvatura seccional de N e o campo normal unitário em M. Então M é compacta. Como conseqüência do Teorema 3.1, teremos o resultado seguinte. Teorema 3.3. Sejam N n1, n {3, }, uma variedade completa de dimensão (n 1) com curvatura seccional K τ, τ, e M uma hipersuperfície completa com curvatura média constante H diferente de zero e índice finito imersa em N. Se H satisfaz H > 1 τ, quando 9 n 3 ou H > 7 τ, quando n, então M é compacta. Como casos particulares do Teorema 3.3, teremos os corolários abaixo. Corolário 3.. Seja N uma variedade completa de dimensão ou 5 com curvatura seccional não negativa. Então toda hipersuperfície completa com curvatura média constante diferente de zero e índice finito em N é compacta. Corolário 3.5. Toda hipersuperfície completa com índice finito e curvatura média constante H satisfazendo H > 1 9 (H > 7, respectivamente) no espaço hiperbólico H ( 1) (H 5 ( 1), respectivamente) é compacta. Em [7, Chern mostrou que um gráfico inteiro com curvatura média constante em R n é uma hipersuperfície mínima. Alencar e do Carmo provaram em [1 que uma hipersuperfície completa em R n1 com curvatura média constante, índice finito e crescimento de volume polinomial é uma hipersuperfície mínima. Como gráficos inteiros com curvatura média constante no R n são fortemente estáveis (isto é, indm) e têm crescimento de volume polinomial, então eles generalizaram o Teorema de Chern. Posteriormente, do Carmo e Zhou generalizaram em [ este resultado para o caso de hipersuperfícies com crescimento de volume sub-exponencial. Sem a condição do crescimento do volume, o problema para hipersuperfícies não compactas, completas, com curvatura média constante e índice finito em R n1, n 3, serem mínimas ainda está sem solução. O Teorema seguinte, que é uma conseqüência do Corolário 3., responde a esta questão em R e em R 5. Teorema 3.6. Toda hipersuperfície completa, não compacta com curvatura média constante H e índice finito no espaço euclidiano R ou R 5 é mínima.

10 Para a estrutura de hipersuperfícies mínimas com índice finito em R n1, Fischer-Colbrie mostrou em [8 que uma superfície mínima, completa, orientada e com índice finito em R 3 é difeomorficamente conforme a uma superfície Riemanniana completa com número finito de pontos removidos. Recentemente, Li e Wang mostraram em [1 que uma hipersuperfície mínima, não compacta, completa e com índice finito em R n1, n 3, tem número finito de fins. Por este resultado e pelo Teorema 3.6, obtemos que toda hipersuperfície não compacta, completa, com curvatura média constante e índice finito em R ou em R 5 tem número finito de fins. Apresentaremos também outra versão do Teorema 3.3, provado em [9 por M.F.Elbert, B.Nelli e H.Rosenberg, que se refere a uma estimativa para o diâmetro de uma variedade. Teorema 3.7. Sejam N uma variedade Riemanniana de dimensão n 1, n {3, }, com curvatura seccional uniformemente limitada inferiormente e M uma variedade completa, estável e com curvatura média constante H imersa em N. Existe uma constante c c(n, H, sec(n)) onde para todo p M, dist(p, M) c qualquer que seja H satisfazendo H > min{, sec(n)}, onde sec(n) denota o ínfimo das curvaturas seccionais de N. O corolário seguinte é uma conseqüência deste Teorema. Corolário 3.8. Seja M n N n1 uma subvariedade completa estável com curvatura média constante H. Se, n {3, }, e H > min{, sec(n)}, então M. No capítulo 1, trataremos de alguns conceitos e resultados relacionados à Geometria Riemanniana. No capítulo, apresentaremos as fórmulas das primeira e segunda variações do comprimento de arco. Finalmente, no capítulo 3, provaremos os teoremas citados aqui na Introdução.

11 Capítulo 1 Preliminares Nosso objetivo neste capítulo é apresentar definições, resultados e estabelecer as notações necessárias à compreensão dos capítulos subseqüentes. 1.1 Variedades Conformes Seja ϕ : M N um difeomorfismo, onde N é uma variedade Riemanniana. Denotemos por,, e a métrica em N, a conexão Riemanniana e o laplaciano relativos a esta métrica, respectivamente. Suponha que existe uma função µ C (M) que satisfaça, para todo p M e todo par de vetores v, w T p M, µ(p) e dϕ p v, dϕ p w µ (p) v, w. Neste caso, dizemos que ϕ é um difeomorfismo conforme, que M e N são variedades conformes e que a função µ é o coeficiente de conformalidade de ϕ. Observemos que dados X X (M) e f C (M), pondo g f ϕ 1, temos para q ϕ(p), ((dϕ X)g)(q) dg q (dϕ p X(p)) (df p dϕ 1 q df p (X(p)) (Xf)(p) (Xf ϕ 1 )(q), dϕ p ) (X(p)) isto é, (dϕ X)g Xf ϕ 1. (1.1) O lema seguinte nos mostra como se relacionam as conexões de M e N. 5

12 Preliminares 6 Lema Se X, Y X (M), então ( dϕ X (dϕ Y ) dϕ X Y 1 ( X(µ )Y Y (µ )X X, Y grad(µ ) ) ). (1.) µ Prova: Seja S(X, Y ) o campo que satisfaz dϕ X (dϕ Y ) dϕ ( X Y S(X, Y )), (1.3) para quaisquer X, Y, Z X (M). Utilizando (1.1) obtemos (dϕ X) dϕ Y, dϕ Z (dϕ X)(µ Y, Z ϕ 1 ) X(µ Y, Z ) ϕ 1, ou seja, (dϕ X) dϕ Y, dϕ Z {X(µ ) Y, Z µ X Y, Z } ϕ 1. (1.) Temos também que dϕ X (dϕ Y ), dϕ Z dϕ ( X Y S(X, Y )), dϕ Z µ X Y S(X, Y ), Z ϕ 1, {µ X Y, Z µ S(X, Y ), Z } ϕ 1. (1.5) Permutando-se Y e Z em (1.5) obtemos dϕ Y, dϕ X (dϕ Z) {µ Y, X Z µ Y, S(X, Z) } ϕ 1. (1.6) Como (dϕ X) dϕ Y, dϕ Z dϕ X (dϕ Y ), dϕ Z dϕ Y, dϕ X (dϕ Z), (1.7) decorre de (1.), (1.5) e (1.6) que (1.3) equivale a Por outro lado, S(X, Y ) dado por obviamente verifica X(µ ) Y, Z µ { S(X, Y ), Z Y, S(X, Z) }. (1.8) S(X, Y ) 1 µ { X(µ )Y Y (µ )X X, Y grad(µ ) } (1.9) S(X, Y ), Z 1 µ { X(µ ) Y, Z Y (µ ) X, Z Z(µ ) X, Y } (1.1) e, conseqüentemente, satisfaz a equação (1.8), o que conclui a demonstração do lema.

13 Preliminares 7 1. Imersões Isométricas Seja f : M M uma imersão de uma variedade diferenciável de dimensão n em uma variedade Riemanniana M de dimensão nm. A métrica Riemanniana de M induz de maneira natural uma métrica em M dada por v 1, v df p v 1, df p v, v 1, v T p M. Neste caso, diz-se que f é uma imersão isométrica de M em M. Para cada p M, a métrica de M decompõe T f(p) M na soma direta T f(p) M df p (T p M) (df p T p M). Indica-se por T M o fibrado normal de f e por (X (M)) o conjunto das seções de (T M). Se X, Y X (U), então a conexão Riemanniana de M é dada por X Y ( X Y ) T, onde X e Y são extensões locais de dfx e dfy a M. Dado qualquer ξ (X (U)) a segunda forma fundamental de f em p, segundo o vetor ξ, associada à aplicação bilinear e simétrica B : T U T U (T U),dada por B(X, Y ) X Y X Y, X, Y X (M) é definida por H ξ (X, Y ) B(X, Y ), ξ. Denota-se por A ξ : T p M T p M a aplicação linear auto-adjunta associada à segunda forma fundamental de f na direção de ξ, isto é, A ξ (X), Y H ξ (X, Y ) B(X, Y ), ξ, X, Y T p M. A equação R(X, Y )Z, T R(X, Y )Z, T B(X, Z), B(Y, T ) B(X, T ), B(Y, Z), X, Y, Z, T X (M), denominada Equação de Gauss, relaciona as curvaturas R e R de M e M, respectivamente. 1.3 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano Dada f D(M), o gradiente de f é o campo de vetores f : M T M, p (p, (p))

14 Preliminares 8 definido por f, X X(f), X X (M). Dado X X (M), o divergente de X é a função divx : M R dada por divx(p) tr(y (p) ( Y X)(p)), onde tr representa o traço da aplicação linear Y (p) ( Y X)(p). O operador linear : D(M) D(M) definido por div( f) é chamado o operador Laplaciano de M. Sejam f X (M) e p M. Definimos o hessiano de f no ponto p como a aplicação bilinear Hessf : T p M T p M R dada por Hessf(X, Y ) X f, Y.

15 Capítulo Fórmulas da primeira e da segunda variações do comprimento de arco.1 Primeira variação do comprimento de arco Seja s : I J M, I, J R, uma superfície parametrizada. Dizemos que um campo de vetores V ao longo de s é uma correspondência que associa cada (t, ɛ) I J a um vetor tangente V (t, ɛ) T s(t,ɛ) M, que é diferenciável no seguinte sentido: se f D(M), então a aplicação (t, ɛ) V (t, ɛ) f é diferenciável. Seja s ɛ : I M a curva parametrizada definida por s ɛ (t) s(t, ɛ). Dizemos que s (t, ɛ) s ɛ(t) é um campo de vetores ao longo de s. De modo análogo, define-se o campo s ɛ. Se V ɛ é o campo ao longo de s ɛ definido por V ɛ (t) V (ɛ, t), então definimos a derivada covariante por DV (t, ɛ) DV ɛ DV (t). De modo análogo, define-se s. Lema.1. (de simetria) Se M é uma variedade diferenciável com uma conexão simétrica e s : I J M é uma superfície parametrizada, então D s u D u Prova: Sejam x : U M um sistema de coordenadas e { 1,..., n } uma base associada. Então x 1 s(t, ɛ) (x 1 (t, ɛ),..., x n (t, ɛ)). s. 9

16 Preliminares 1 Portanto, D ɛ ( ) s D ɛ (s ɛ(t)) ( xi ) D ɛ i i i x i ɛ i x i s t (ɛ) i x i ɛ i x i i,j x j ɛ i i i x i ɛ i i,j x i x j ɛ i j. e D ( ) s ɛ D (s t(ɛ)) ( ) D x j j j j j x j ɛ j x j ɛ s ɛ (t) j x j ɛ j x j ɛ i,j x i ɛ j i j x j ɛ ɛ j i,j x j ɛ x i j i. Pela simetria da conexão, i j j i. Logo, D s u D u s, o que prova o lema. Seja w : [α, β M uma curva diferenciável em uma variedade Riemanniana M de dimensão n. Uma variação de w é uma aplicação contínua v : [α, β ( ɛ, ɛ ) M, para todo ɛ >, tal que: v(t, ) w(t), t [α, β. Se v fixa pontos finais, isto é, se v satisfaz w(α) v(α, ɛ) e w(β) v(β, ɛ) para todo ɛ ( ɛ, ɛ ), então v é uma variação própria ( ou uma homotopia de w). Dizemos que v é uma variação suave de w se v é diferenciável em

17 Preliminares 11 [α, β ( ɛ, ɛ ). Se para todo ɛ ( ɛ, ɛ ) a aplicação w ɛ : [α, β M dada por w ɛ (t) v(t, ɛ) é uma geodésica, então v é uma variação geodésica de w. Então, D D ɛ D D ɛ ( R, ). ɛ e D ɛ D ɛ (lema de simetria). Teorema.. (Fórmula da primeira variação do comprimento de arco) Sejam w : [α, β M uma curva diferenciável e v uma variação diferenciável de w. Para cada ɛ ( ɛ, ɛ ), seja β L(ɛ) (t, ɛ) dt o comprimento de w ɛ. Então L é diferenciável e α L ɛ ɛ, β α β α ( ) ɛ, D. Em particular, se w é parametrizada pelo comprimento de arco, isto é, w 1, e Y (t) ( )(t, ), então ( β Prova: Temos que L ɛ ) dl dɛ () Y, w α β ɛ α dt ( β α ɛ, β 1 1 D α ɛ β D α ɛ, dt { β α ɛ, β β ɛ, α β α ) 1 dt α, dt Y, Dw dt. ɛ, D ɛ, D ( ( ) ) }. dt

18 Preliminares 1. Segunda variação do comprimento de arco Teorema.3. (Fórmula da segunda variação do comprimento de arco). Sejam w e L como no Teorema., com w 1. Então para a segunda derivada de L, temos d L dɛ () D β, w ɛ ɛ ɛ α { β DY α R(w, Y )w, Y w, DY Dw, D ɛ } dt. dɛ Prova: Para a segunda derivada de L, começamos pela integração por partes na prova do Teorema.. Se ɛ, obtemos d L dɛ ɛ β α β α β α D α ɛ, dt D ɛ ɛ, dt { D D ɛ ɛ, D { D D ɛ ɛ, D ( ) D ɛ β β α ( ɛ, D ɛ ɛ, D ɛ ɛ, ɛ 1 ) } dt. } dt dt d L dɛ () β α { D D ɛ ɛ, ɛ DY } DY dt, w dt. Mas, Logo, D D ɛ ɛ, D D ɛ ɛ, ( R, ) ɛ ɛ, D ɛ ɛ, D ɛ ɛ, R (, ɛ ),. ɛ

19 Preliminares 13 d L dɛ () { β D Dw, w α ɛ ɛ, D } dt ɛ dɛ ɛ { β R(w, Y )w, Y DY α w, DY } dt D β { β, w DY } ɛ ɛ dt α ɛ α { β R(w, Y )w, Y w, DY Dw α, D } dt. ɛ dɛ Teorema.. Seja γ : [α, β M, γ 1 uma geodésica. Para toda variação v de γ, seja Y Y Y γ γ. Então β L () Y γ e L () D Y ɛ, γ β α β α { Em particular, se v é uma homotopia de γ, então DY L () α R(γ, Y )γ, Y } dt. e L () β α { DY R(γ, Y )γ, Y } dt. Prova: Temos que Y Y Y, γ γ. Assim, DY D (Y Y, γ γ ) DY DY D ( Y, γ γ ) Y, γ γ Y, γ Dγ. Como Y, γ, então DY DY DY, γ γ. Assim, DY DY DY DY DY,, γ γ, γ.

20 Preliminares 1 Mas DY γ. Logo, DY DY DY, γ. Portanto, β L () Y, γ β α α Y, Dγ dt. Como γ, então L () Y, γ β α. Calculemos L (). L () D β { β }, γ DY ɛ ɛ α R(γ, Y )γ, Y dt ɛ α { β γ, DY Dγ α, D } ɛ ɛ D β { β, γ DY Y ɛ α γ, DY } dt ɛ α { β R(γ, Y )γ, Y γ, DY } dt α D β { β }, γ DY Y ɛ R(γ, Y )γ, Y dt. ɛ Em particular, se v é uma homotopia de γ, então α α L () e L () β α { DY R(γ, Y )γ, Y } dt.

21 Capítulo 3 Hipersuperfícies com Curvatura Média Constante e Índice Finito Nosso objetivo neste capítulo é apresentar a prova do teorema principal e a prova dos seus casos particulares. Teorema 3.1. Sejam N n1 (n 3, ) uma variedade de dimensão (n 1) e M uma hipersuperfície completa com curvatura média constante H e índice finito imersa em N. Suponha que σ : inf{ric(w) Ric(ν) K(w, ν) w T p M, w 1, p M} > n (5 n)h, onde ν denota o campo unitário normal em M. Então M é compacta. Para a demonstração do Teorema 3.1, precisamos do Lema seguinte. Lema 3.. Sejam N uma variedade de dimensão (n1) e M uma hipersuperfície imersa em N com curvatura média constante H. Então, para todo referencial ortonormal local e i, i 1,..., n de M, A nhh 11 h 1i n (5 n)h, (3.1) tal que A (h ij ), h ij Ae i, e j, i, j 1,..., n. i1 Prova: Defina a aplicação linear sem traço φ (b ij : T p M T p M) por φx, Y AX, Y 15

22 Preliminares 16 H X, Y, X, Y T p M, p M. Como ( b ii, temos que b 11 i1 i b ii ). Logo, φ b ij b 11 i,j1 b ii i ( ) b 11 1 b ii n 1 i ( ) n b 11 b 1i, n 1 i i i b 1i b 1i ou seja, Como ( b 11 i b 1i ) (n 1) φ n n 1 e b 11 n φ. A φ nh, b ii h ii H, b ij h ij, i j, i, j 1,..., n, então

23 Preliminares 17 A nhh 11 h 1i ( φ nh ) nh nhb 11 i1 ( h 11 i b 1i ) ( φ nh ) nh nhb ( ) 11 (H b 11 ) i b 1i ( φ nh ) nh nhb 11 H Hb 11 b 11 i b 1i ( φ nh ) (n 1)H ( (n )Hb 11 b 11 i b 1i ( φ nh ) (n 1)H n 1 (n )H φ n 1 n n φ φ n 1 n φ nh nh H (n ) n 1 φ n H n φ (n 1) φ (n 1)H n (n ) n 1 φ H n φ n φ n φ n (n ) n 1H (n 1)H φ n (n ) n 1H (n ) (n 1)H n (5 n)h ( φ (n ) ) n 1H n (5 n)h n n (5 n)h. Prova do Teorema 3.1: Suponha, por contradição, que M não é compacta. Como M tem índice finito, pela Proposição 1 em [8, existem uma função positiva u em M e algum subconjunto compacto Ω de M tal que, em M \ Ω, Lu, ou seja, u ( A Ric(ν))u. (3.) )

24 Preliminares 18 Seja a métrica original em M. Para essa métrica, temos a métrica conforme d s u em M. No que segue, denotaremos por, K, Ric a conexão, a curvatura e a curvatura de Ricci na métrica d s, respectivamente. Afirmamos que existe uma geodésica minimizante γ(s) : [, ) M \Ω na métrica d s, onde o parâmetro s é o comprimento de arco na métrica. De fato, escolhamos uma exaustão de M B Ri (p) (R i, i ), tal que cada B R (p) denota a bola geodésica de M na métrica, de raio R centrada em p M. Então, para cada i existe um segmento de geodésica γ i (s) que realiza a distância de p à fronteira B R (p) na métrica d s, tal que s é o comprimento de arco de γ i na métrica. Pela teoria das equações diferenciais ordinárias, existe uma geodésica limitante γ(s), s [, ), parametrizada pelo comprimento de arco na métrica, tal que γ i converge para γ em todo conjunto compacto de [, ). Portanto, γ é uma geodésica minimizante na métrica d s. Observe que γ é propriamente mergulhada. Logo, γ [s, ), para algum s >, estará fora de Ω. Mudando o ponto inicial, se necessário, podemos escolher γ [s, ) como afirmamos. Agora, temos uma geodésica minimizante γ(s) : [, ) M\Ω na métrica d s que possui comprimento infinito na métrica. A seguir, provaremos que toda geodésica minimizante em M\Ω na métrica d s tem comprimento uniformemente limitado na métrica. Assim, violaremos o fato que o comprimento de γ é infinito na métrica d s e completaremos a prova por contradição. No que segue, assumiremos que c(s) (o s l) é qualquer geodésica minimizante em M \ Ω na métrica d s, tal que s é o comprimento de arco na métrica. Escolhemos um referencial ortonormal e i, i 1,..., n de M ao longo de c tal que e 1 d. Logo, ẽ i u 1 e i são ortonormais na métrica d s e ẽ 1 d d s. Afirmamos agora que para n < 5 e qualquer função suave f ao longo de c com f() f(l), l ( ) df l f (Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν)) 5 n ( ) n f (5 n)h. (3.3) Antes de apresentarmos a prova de (3.3), daremos uma prévia da demonstração. Consideraremos a propriedade minimizante de c na métrica d s. Sob a métrica d s, a segunda variação

25 Preliminares 19 do comprimento de arco (3.5) implicará a desigualdade (3.6) envolvendo a curvatura de Ricci na métrica d s. Daí, transformaremos a desigualdade (3.6) (na métrica d s ) na desigualdade (3.13) (na métrica ) usando as leis de transformação para a mudança conforme da métrica. Depois, pela equação de Jacobi e pela equação de Gauss, obteremos a desigualdade (3.16) envolvendo as curvaturas do espaço ambiente e a segunda forma fundamental. Finalmente, obteremos (3.3) trocando a função teste ϕ por fu 1 e usando o lema 3.. Agora provaremos (3.3). Como c é uma geodésica minimizante na métrica d s, ela satisfaz d d s d d s, (3.) l ( ) dϕ l d s ϕ K(ẽ1, ẽ i )d s, i,..., n, (3.5) d s para qualquer função suave ϕ ao longo de c com ϕ() ϕ( l), tal que l é o comprimento de c na métrica d s. De (3.5), segue-se que Calculemos Ric(ẽ 1 ). Como d d s 1 d u, então l (n 1) d d d s d s ( ) dϕ l d s ϕ Ric(ẽ1 )d s. (3.6) d s 1 d 1 d u u 1 u 1 d d u 1 d ( ) u 1 d u 1 1 u 1 ( ) du d u u ( 1 1 du u u u d d 1 u d ) d 1 u d d d. Assim, Logo, 1 u d d d 1 1 u u du d. d d log u d. (3.7)

26 Preliminares Da relação entre as conexões na métrica e na métrica conforme d s, temos d d d d 1 { d u (u ) d ( d, d ) } gradu d d 1 (.u du ) d u 1 u u log u d d 1 ) ( u du d u u log u d log u d d d log u. (3.8) Igualando a equação (3.7) e a equação (3.8), obtemos Daí, Logo, ( d ) d d d log u d log u d log u ( log u) logu d log u ( ) d d log u log u d log u d log u.. (3.9) Pela fórmula da transformação da curvatura para a mudança conforme da métrica [1, temos d(log u) Ric(ẽ 1 ) Ric(ẽ 1 ) (n )Hess(log u)(ẽ 1, ẽ 1 ) (n ) d s [ (log u) (n ) log u d, (3.1) d s tal que Hess e. denotam o hessiano e o comprimento do vetor tangente na métrica em M, respectivamente. Mas, Logo, por (3.9), Hess(log u)(ẽ 1, ẽ 1 ) d grad log u, d d s d s ( d u grad log u, d ( ( ) d u log u d d log u Hess(log u)(ẽ 1, ẽ 1 ) u d log u log u grad log u, d ). d log u ) d. (3.11)

27 Preliminares 1 Assim, Ric(ẽ 1 ) u d Ric(e log u 1 ) (n ) log u d log u u d(log u) (n ) (log u) (n ) log u. Logo, (3.1) torna-se ( ) d Ric(ẽ 1 ) u [Ric(e log u 1 ) (n ) Substituindo (3.1) em (3.6), temos (log u). (3.1) ( ) dϕ (n 1) u 1 ( d u [Ric(e 1 log u 1 ) (n ) ) ϕ u 1 [ (log u)ϕ. (3.13) Mas (log u) trhess(log u) ei grad log u, e i e i grad log u, e i ( ) ei (u) e i e i (e i e i (u))u (e i (u)) u u u u u u u u. u Assim, Da equação (3.), obtemos u u (log u) log u. ou seja, u u A Ric(ν),

28 Preliminares (log u) log u A Ric(ν). Daí, (log u) A Ric(ν) log u. (3.1) Pela equação (3.1) e pela equação de Gauss Ric(e 1 ) Ric(e 1 ) K(e 1, ν) nhh 11 temos ( ) [ d log u Ric(e 1 ) (n ) (log u) u Ric(e 1 ) K(e 1, ν) nhh 11 ( ) d u [ (n log u ) [ A Ric(ν) log u. (3.15) Substituindo (3.15) em (3.13), temos j1 h 1j, j1 h 1j ( ) dϕ (n 1) u 1 u [ 1 Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) A ϕ u [nhh 1 11 ϕ j1 h 1j ( d u [ (n 1 log u ) ) ϕ u 1 [ log u ϕ. (3.16) Trocando ϕ por fu 1 pra tirar u do denominador, temos dϕ d(fu1 ) df u 1 1 du fu 1 e ( ) dϕ ( ) df u df u 1 ( df 1 du fu 1 ) u f df du 1 f 1 f u 1 ( ) du u 1. ( ) du

29 Preliminares 3 Sejam e Então, (3.16) torna-se ( ) df a (n 1) uu 1, (n 1) l ( ) du b f u 1 u 1 c (n 1) f df du u 1. a b c Sejam e Daí, u [ 1 Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) A f u u [nhh 1 11 f u u [ (n 1 ) e d (n 1) (n 1) j1 g (n 1) f df h 1j ( d log u ( ) df, f ( d log u ) log u f u. ) d log u. Integremos d e g f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) A f [nhh 11 ( ) d f log u por partes. j1 h 1j ( d f [ (n log u ) ( ) d Sejam U f log u e dv. Então du f df e v Daí, ) f [ log u. (3.17) ( d log u ).

30 Preliminares Como f() f(l), então Mas Logo (3.17) equivale a Assim, ( ) ( ) d f logu d log u f f ( d log u f log u ( ) df (n 1) (n 1) ) f df l f df d log u. ( ) d f log u. d log u. ( ) d f log u l ( ) d f log u (n 1) f df d log u (n ) f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) l f [ A nhh 11 ( ) 5 n l f ( d log u j1 ) h 1j f df d log u (n 3) f df d log u f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) l f [ A nhh 11. (3.18) j1 h 1j (n 1)(5 n) (5 n) ( ) df ( ) 5 n l ( ) d log u f (n 3) f df d log u f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) l f [ A nhh 11, j1 h 1j ou seja,

31 Preliminares 5 n 6n 5 5 n ( ) df ( ) 5 n l ( ) d log u f (n 3) f df d log u f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) l f [ A nhh 11, j1 h 1j isto é, n 6n 9 5 n ( ) df ( ) 5 n l ( ) d log u f (n 3) f df d log u f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) l f [ A nhh 11, j1 h 1j por conseguinte, [( ) (n l ( ) 3) df 5 n (5 n) 1 ( ) 5 n l ( ) d log u f (n 3) f df d log u f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) l f [ A nhh 11. j1 h 1j Logo, l ( ) df (5 n) (n 3) (5 n) 1 (n 3) f df ( ) df d log u ( ) 5 n l f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) f [ A nhh 11. j1 h 1j ( ) d log u f

32 Preliminares 6 ( ) 5 n Seja ϑ >, n 3,. Logo, l ( ) df (5 n) (n 3) ϑ (n 3) ϑ ϑf ( d log u ( ) df df d log u ϑf ) f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) f [ A nhh 11. j1 h 1j Portanto, l ( ) df (5 n) ( (n 3) ϑ df ϑf d log u ) f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) f [ A nhh 11. (3.19) j1 h 1j Portanto, pelo lema 3., l ( ) df (5 n) f [ Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) ( ) n f (5 n)h, como afirmamos. Afirmamos que o comprimento l de c na métrica é uniformemente limitado superiormente. De fato, por hipótese Ric(e 1 ) Ric(ν) K(e 1, ν) σ. Logo, l ( ) df l (5 n) (σ n (5 n)h ) f.

33 Preliminares 7 Sejam D (5 n) e B (σ n (5 n)h ). Daí, Bf ( ) df D. Integremos Sejam U df ( ) df por partes. df e dv. Então du d f e v f. Assim, ( ) df df f l f d f. Como f() f(l), então ( ) df l f d f. Logo, isto é, Bf ( ) df D, ( ) d f D Bf f. Agora, escolhemos f sen ( πs ), s l. Daí, l df ( πs ) π cos l l

34 Preliminares 8 e d f ( πs ) ( π ) sen. l l Logo, [ sen ( πs ) ( π l l ) ( πs ) D Bsen sen l ( πs ). l Assim, ou seja, Portanto, isto é, [ ( πs ) ( ) sen π ( πs ) D Bsen, l l l ( [B Dπ πs ) sen. l l [B Dπ, l l Dπ B Logo, como afirmamos. l (5 n) 1 π σ n (5 n)h π 5 n σ n (5 n)h Assim, toda geodésica minimizante em M Ω na métrica d s tem comprimento uniformemente limitado na métrica. Contradição. Portanto, M é compacta.

35 Preliminares 9 Teorema 3.3. Sejam N n1 (n 3, ) uma variedade completa de dimensão (n 1) com curvatura seccional K τ, τ, e M uma hipersuperfície completa com curvatura média constante H diferente de zero e índice finito imersa em N. Se H satisfaz H > 1 τ, quando 9 n 3 ou H > 7 τ, quando n, então M é compacta. Prova: Sejam w T p M, w 1 e {w, e 1,..., e n }, {ν, f 1,..., f n } bases ortonormais de T p M, onde ν (T p M). Então Ric(w) Ric(v) K(w, ν) K(w, e i ) K(ν, f i ) K(w, ν) i1 i1 nτ nτ ( τ) (n 1)τ. Assim, por hipótese, temos que se n 3, e se n, inf{ric(w) Ric(ν) K(w, ν)} 5τ > H 9 H 3 (5 3) H Portanto, se n 3 ou n, obtemos inf{ric(w) Ric(ν) K(w, ν)} 7τ > H (5 ) H. inf{ric(w) Ric(ν) K(w, ν)} n (5 n) H. Logo, pelo Teorema 3.1, M é compacta. Como casos particulares do Teorema 3.3, temos:

36 Preliminares 3 Corolário 3.. Seja N uma variedade completa de dimensão ou 5 com curvatura seccional não negativa. Então toda hipersuperfície completa M com curvatura média constante diferente de zero e índice finito em N é compacta. Prova: Com efeito, como K, escolhendo τ, temos que H satisfaz H > e portanto satisfaz às hipóteses do Teorema 3.3. Logo, M é compacta. Corolário 3.5. Toda hipersuperfície M completa com índice finito e curvatura média constante H satisfazendo H > 1 9 (H > 7 respectivamente) no espaço hiperbólico H ( 1) (H 5 ( 1) respectivamente é compacta. Prova: De fato, como neste caso K 1, escolhendo τ 1, temos que H satisfaz H > 1 9, quando n 3 ou H > 7, quando n e portanto satisfaz às hipóteses do Teorema 3.3. Logo, M é compacta. O Teorema seguinte é uma conseqüência do Corolário 3.. Teorema 3.6. Toda hipersuperfície completa M, não compacta com curvatura média constante H e índice finito no espaço euclidiano R ou R 5 é mínima. Prova: De fato, como M é completa, com curvatura média constante, índice finito e curvatura seccional não negativa (pois K em R n ) segue do Corolário 3. que H. Apresentamos agora a prova de M.F.Elbert, B.Nelli e H.Rosenberg [9 para o Teorema 3.3, que é muito similar à demonstração do Teorema 3.1. Teorema 3.7. Sejam N uma variedade Riemanniana de dimensão n 1 (n 3, ) com curvatura seccional uniformemente limitada inferiormente e M uma variedade completa, estável e com curvatura média constante H imersa em N. Existe uma constante c c(n, H, sec(n)) tal que para todo p M, dist(p, M) c qualquer que seja H satisfazendo H > min{, sec(n )}, tal que sec(n) denota o ínfimo das curvaturas seccionais de N. Prova: Denotemos por a métrica em M induzida pela imersão em N e seja d s u k a métrica conforme em M, com 5(n 1) k, n 3,. Consideremos p M e seja n n 1

37 Preliminares 31 r > tal que a bola intrínseca B r de M na métrica, de raio r centrada em p M. esteja contida no interior de M. Sejam γ B r uma geodésica minimizante na métrica d s ligando p a B r e a o comprimento de γ na métrica. Então a r e é suficiente provar que existe uma constante c(n, H, sec(n)) tal que a c. Sejam R e R os tensores curvatura de M nas métricas e d s, respectivamente. Escolhamos uma base ortonormal {ẽ 1 γ s, ẽ,..., ẽ n } para a métrica d s, tal que ẽ,..., ẽ n são paralelos ao longo de γ e seja ẽ n1 η. A base {e 1 γ s uk ẽ 1, e u k ẽ,..., e n u k ẽ n } é ortonormal para a métrica. Denotemos por R 11 e R 11 as curvaturas de Ricci na direção de e 1 para as métricas e d s, respectivamente. Seja R o tensor curvatura da variedade ambiente N e escrevamos Ric(η) R n1. Como d d s 1 d, por cálculos análogos aos da prova do Teorema 3.1, obtemos u k R 11 u k { R 11 k(n ) d logu u k { k R n1,n1 k u u } k( φ nh ) } (3.) Da equação de Gauss, temos que R ijij R ijij h ii h jj h ij, (3.1) onde h ij < B(e i, e j ), N >. Como φ A HI e Ae i h ii e i, então φ(e i ) Ae i HIe i h ii e i He i (h ii H)e i. Mas φ ij h ij Hδ ij. Logo, φ ii hii H, ou seja, h ii φ ii H. Assim, Tomando i 1 e j,..., n, obtemos R ijij R ijij (φ ii H)(φ jj H) (φ ii Hδ ij ).

38 Preliminares 3 Mas R 1j1j j j (φ jj ). Logo, j1 j R 1j1j (φ 11 H) (φ jj H) (φ 1j Hδ 1j ) j j ( ) R 1j1j (φ 11 H) φ jj φ 11 (n 1)H j1 j (φ 1j ). R 11 R 1j1j (φ 11 H)( φ 11 (n 1)H) j (φ 1j ) j R 1j1j (φ 11 ) (n 1)Hφ 11 (n 1)H j Hφ 11 (φ 1j ) j R 1j1j (φ 11 ) (n )Hφ 11 (n 1)H j (φ 1j ). (3.) j Substituindo a equação (3.) na equação (3.), temos Como [ R 11 u k R 1j1j (φ 11 ) (n )Hφ 11 (n 1)H (φ 1j ) j j u [ k k(n )(log u) ss k φ knh [ u k k R n1,n1 k u u [ u k R 1j1j k R n1,n1 (kn n 1)H (n )Hφ 11 j u [k φ k (φ 11 ) (φ 1j ) j [ u k k(n )(log u) ss k u. (3.3) u r (n 1) ( ) dϕ r d s R 11 ϕ, (3.)

39 Preliminares 33 então substituindo a equação (3.3) na desigualdade (3.), obtemos (n 1) (ϕ s ) u k ϕ u k [ j R 1j1j k R n1,n1 ϕ u k [ (kn n 1)H (n )Hφ 11 ϕ u k [k φ (φ 11 ) ϕ u k k(n )(log u) ss (φ 1j ) j ϕ u k k u u. (3.5) Por cálculos análogos aos da prova do Teorema 3.1, trocamos ϕ por ϕu k para tirar u k do denominador e denotamos por e m (n 1) n k(n 1) q k (n 1) Assim, a desigualdade (3.5) é equivalente a (ϕ s ), ϕϕ s u s u 1 ϕ (u s ) u. m n q Integrando por partes, temos ϕ [ j R 1j1j k R n1,n1 ϕ [ (kn n 1)H (n )Hφ 11 ϕ [k φ (φ 11 ) (φ 1j ) j ϕ [ k(n )(log u) ss k u u. (3.6) ϕ (log u) ss ϕϕ s u s u.

40 Preliminares 3 Como ϕ (u s ) u substituindo na desigualdade (3.6), obtemos ϕ (log u) s ϕ 1 k (k log u) s 1 ϕ (log u k ) k s, (n 1) Mas, u u s. Assim, (ϕ s ) k(n 3) k ϕϕ s u s u 1 ϕ u u (n 1) ϕ (log u k ) s ϕ [k R n1,n1 R 1j1j j ϕ [ (kn n 1)H (n )Hφ 11 ϕ [k φ (φ 11 ) (φ 1j ). (3.7) j Logo, ϕ u u 1 k ϕ u s u ϕ k ( us u ) 1 ϕ (k log u) k s 1 ϕ (log u k ) k s. k Então, a desigualdade (3.7) torna-se ϕ u u 1 k ϕ (log u k ) s.

41 Preliminares 35 (n 1) (ϕ s ) k(n 3) [ 1 k (n 1) ϕϕ s u s u 1 ϕ [k R n1,n1 ϕ (log u k ) s R 1j1j j ϕ [ (kn n 1)H (n )Hφ 11 ϕ [k φ (φ 11 ). (3.8) Agora usamos que a b ab, com a (n )H e b φ 11. Daí, ou seja, Substituindo na desigualdade (3.8), obtemos (n ) H φ 11 (n )Hφ 11, j (n )Hφ 11 ( n n )H φ 11. φ 1j (n 1) (ϕ s ) k(n 3) [ 1 k k(n 3) [ 1 k (n 1) ϕϕ s u s u 1 ϕ [k R n1,n1 ϕ (log u k ) s R 1j1j j ϕ [ (kn n 1)H ( n n )H [ ϕ φ 11 φ 11 k φ φ 1j (n 1) ϕϕ s u s u 1 ϕ [k R n1,n1 ϕ (log u k ) s j R 1j1j (kn n 5n 5)H j ϕ [k φ 5 φ 11 j φ 1j. (3.9)

42 Preliminares 36 Vamos provar que o último termo da desigualdade (3.9) é maior ou igual a zero. Por cálculos análogos aos da prova do lema 3., temos φ n (n 1) φ 11 φ 1j. (3.3) j Como k Assim, 5(n 1) n e usando a desigualdade (3.3), obtemos k φ n k (n 1) φ 11 k j φ 1j. k φ 5 (φ 11) (φ 1j ) j 5(n 1) n 5 (φ 11) n (n 1) (φ 11) (φ 1j ) j 5 (φ 11) 5(n 1) (φ 1j ) n j 5 (φ 11) (φ 1j ) 5(n 1) n 3n 5 n. j (φ 1j ) j j φ 1j 5(n 1) n (φ 1j ) j (φ 1j ) j Logo, a desigualdade (3.9) é equivalente a (n 1) (ϕ s ) (n 3) ϕϕ s (log u k ) s [ 1 (n 1) a ϕ (log u k ) k s a ϕ [k R n1,n1 R 1j1j j ϕ [ (kn n 5n 5)H. (3.31)

43 Preliminares 37 Usamos agora que a b ab, com e a ( ) 1 1 (n 1) ϕ(log u k ) s k para obtermos b (n 3) ( ) 1 1 (n 1) ϕs k ( ) ( ) 1 1 (n 1) ϕ (log u k ) s (n 3) 1 (n 1) ϕ s k k (n 3)ϕϕ s (log u k ) s, ou seja, (n 3) ( ) 1 ϕϕ s (log u k (n 1) a ) s ϕ s ϕϕ s (log u k ) s k ( ) 1 (n 3) 1 (n 1) a ϕ k s Da última desigualdade junto com a desigualdade (3.31), temos (n 1) ( ) 1 (ϕ s ) (n 3) 1 (n 1) a ϕ k s ϕ [ (kn n 5n 5)H ϕ [k R n1,n1 R 1j1j. (3.3) j

44 Preliminares 38 Seja Observamos que A é positiva, pois como k < ( ) 1 (n 3) 1 (n 1) A (n 1) k ( ) 1 (n 3) k(n 1) (n 1) k (n 3) k (n 1) k(n 1) (n 3)k ( k(n 1))(n 1) k(n 1) (n 3) k (n 1) k(n 1) k(n 1) nk 8k (n 1) k(n 1) [k( n) (n 1). k(n 1) (n 1) n 1 n, então e k(n ) (n 1), ou seja, k( n) (n 1). k(n 1) <, ou seja, k(n 1) > Fazendo uma escolha conveniente da constante positiva B, podemos reescrever a desigualdade (3.3) como Queremos escolher B tal que A ϕ s B B (kn n 5n 5)H ( ϕ. (3.33) k R n1,n1 ) R 1j1j. Quando a curvatura da variedade ambiente é não-negativa, escolhemos B (kn n 5n 5)H, que é positiva se H. Neste caso, H > e podemos escolher ρ. Caso contrário, como j K(e i, e j ) R(e i, e j, e i, e j ) e i e j, e i e j 1, então K(e i, e j ) (n 1)inf{curvaturas seccionais de N} j

45 Preliminares 39 e como então R n1,n1 n.inf{curvaturas seccionais de N}, k R n1,n1 j R 1j1j (kn n 1)inf{curvaturas seccionais de N} (kn n 1)sec(N), e escolhemos B (kn n 5n 5)H (kn n 1)sec(N). Se H > (kn n 1) (kn n 5n 5) sec(n), então B é positiva. Usando as restriçoes em k, 5(n 1) k, n 3,, obtemos (kn n 1) n n 1 (kn n 5n 5) <. De fato, para n 3 temos que 5 k <. Logo, 6 pois 9 < 5 6 pois 7 1 < k < 3. 3k 3k 1 < 3k < 1k k > 9, k <. E para n, temos que k < 3. Logo, k 3 k 1 < k 3 < 16k k > 7 1, Neste caso, H > sec(n ) e podemos escolher ρ sec(n ). Por cálculos análogos aos da prova do Teorema 3.1, Escolhendo ϕ sen(πsa 1 ), s [, a, temos (ϕ ss A Bϕ)ϕ. ou seja, [B (Aπ), a a Aπ B.

46 Preliminares Como queremos provar que a c, seja c Assim, Aπ B. c π k( n) (n 1) ( k(n 1))[(kn n 5n 5)H (kn n 1)min{, sec((n))}.

47 Preliminares 1 O corolário seguinte é um caso particular do Teorema 3.7. Corolário 3.8. Seja M n N n1 uma subvariedade completa estável com curvatura média constante H. Se n 3, e H > min{, sec(n)}, então M. Prova: Assuma que tal M existe. Na prova do Teorema 3.7, mostramos que o raio de um disco intrínseco de M que não toca em M é menor ou igual a c. Portanto, quando M, o diâmetro de M é menor ou igual a c e então M é compacta. Como M é estável, existe uma função positiva f em M tal que L(f). Assim, L(f) ( φ nh R n1,n1 )(f). Seja p um mínimo da função f. Daí, em p temos: f(p) ( φ (p) nh R n1,n1 (p))(f(p)). (3.3) Como H > min{, sec(n)}, então ( φ nh R n1,n1 ) é estritamente positivo em M. Portanto, a desigualdade (3.3) nos dá uma contradição. Logo, M.

48 Referências Bibliográficas [1 H. Alencar e M. do Carmo, Hypersurfaces of constant mean curvature with finite index and volume of polynomial growth, Arch. Math. 65 (1995), [ L. J. Alías, On the stability index of minimal and constant mean curvature hypersurfaces in spheres, Revista de la Unión Matemática Argentina 7 (6), [3 M. P. do Carmo, Geometria Riemanniana, IMPA, Brasil (1988). [ M. Do Carmo e D. Zhou, Eigenvalue estimate on complete noncompact Riemannian manifol and applications, Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), [5 I. Chavel, Riemannian Geometry: a modern introduction, Cambridge University Press, New York, (1993). [6 X. Cheng, On constant mean curvature hypersurfaces with finite index, Arch. Math. 86 (6), [7 S. S. Chern, On the curvatures of a piece of hypersurface in Euclidean space, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 9 (1965), [8 D. Fischer-Colbrie, On complete minimal surfaces with finite Morse index in threemanifol, Invent. Math. 8 (1985),

49 Preliminares 3 [9 M. F. Elbert, B. Nelli e H. Rosenberg, Stable constant mean curvature hypersurfaces, Proceedings of the American Mathematical Society 135 (7), [1 P. Li e J. P. Wang, Minimal hypersurfaces with finite index, Math. Res. Lett. 9 (), [11 F. Lopez e A. Ros, Complete minimal surfaces with index one and stable constant mean curvature surfaces, Comm. Math. Helvetici 6 (1989), 3-3. [1 R. Schoen e S. T. Yau, Lectures on differential geometry. In: Conference Proeedings and Lecture Notes in Geometry and Topology, I. Cambridge, MA 199.