ANÁLISE DE SOBRETENSÕES E SOBRECORRENTES TRANSITÓRIAS NA ENERGIZAÇÃO DE BANCOS DE CAPACITORES

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1 ANÁLISE DE SOBRETENSÕES E SOBRECORRENTES TRANSITÓRIAS NA ENERGIZAÇÃO DE BANCOS DE CAPACITORES Alessandro Areal Barros Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientador: João Pedro Lopes Salvador Rio de Janeiro Fevereiro de 2015

2 ANÁLISE DE SOBRETENSÕES E SOBRECORRENTES TRANSITÓRIAS NA ENERGIZAÇÃO DE BANCOS DE CAPACITORES Alessandro Areal Barros PROJETO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA. Examinada por: Prof. João Pedro Lopes Salvador, M.Sc. Prof. Juan Carlos Mateus Sánchez, D.Sc. Prof. Sebastião Ércules Melo de Oliveira, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL FEVEREIRO DE 2015

3 Barros, Alessandro Areal Análise de Sobretensões e Sobrecorrentes Transitórias na Energização de Bancos de Capacitores / Alessandro Areal Barros. Rio de Janeiro: UFRJ / Escola Politécnica, XV, 126 p.: il.; 29,7 cm. Orientador: João Pedro Lopes Salvador Projeto de Graduação UFRJ/ Escola Politécnica/ Departamento de Engenharia Elétrica, Referências Bibliográficas: pp Correção de Fator de Potência 2. Banco de Capacitores 3. Análise Transitória. I. Salvador, João Pedro Lopes. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica. III. Título. iii

4 Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica / UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista. Análise de Sobretensões e Sobrecorrentes Transitórias na Energização de Bancos de Capacitores Alessandro Areal Barros Fevereiro/2015 Orientador: João Pedro Lopes Salvador Curso: Engenharia Elétrica O uso de bancos de capacitores para correção do fator de potência em unidades industriais é uma importante ferramenta para controlar os reativos gerados pelas cargas indutivas que existem em um sistema elétrico. Esta técnica já consolidada mostra-se bastante eficaz na redução dos níveis de correntes que alimentam os circuitos e ajuda a reduzir o pagamento de multas cobradas pelas companhias de distribuição. No momento em que um banco de capacitores entra em operação ocorrem sobretensões e sobrecorrentes transitórias de grande magnitude que, se não forem previamente estudadas, podem gerar problemas no funcionamento de equipamentos próximos ao banco e desestabilizarem toda uma planta elétrica, além da possibilidade de rompimento no isolamento. Este trabalho realiza uma análise do comportamento transitório diante da entrada de cada estágio de um banco de capacitores com a utilização de chaveamento sincronizado e com o uso de resistores e indutores de pré-inserção. A partir de resultados de simulações em programa de transitórios eletromagnéticos (EMTP/ATP), foi determinada a técnica mais eficaz de mitigação de tais efeitos transitórios. iv

5 Abstract of Undergraduate Project presented to POLI / UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Engineer. Transient Overvoltage and Overcurrent Analysis in Capacitor Banks Energization Alessandro Areal Barros February/2015 Advisor: João Pedro Lopes Salvador Course: Electrical Engineering The usage of capacitors for power factor correction in industrial units is an important tool to control the reactive power naturally generated by inductive loads that exist in electrical systems. This well-established technique appears to be quite effective in reducing the levels of currents that feed the circuits and helps reduce the payment of fines billed by the distribution companies. At the moment that a capacitor bank starts its operations, high overvoltages and overcurrents transients occurs and, if they are not well studied, may cause sudden problems in the electrical devices near to the bank. Besides, they can destabilize an electric plant and generate the possibility of insulation breakdown. This work makes an analysis of the transient behavior before the entrance of each stage of a capacitor bank with the use of synchronized switching and pre-insertion resistors and inductors. From simulation results at electromagnetic transient programs (EMTP/ATP) the most effective techniques to mitigate those transients were determined. v

6 AGRADECIMENTOS A Deus, pela vida e por esta oportunidade de evoluir um pouco mais intelectualmente; À espiritualidade amiga pela intuição e sustentação que me deram ao longo desta caminhada; À minha Família por compreender minha ausência em alguns momentos, mas em especial à Luzia, Rogério, Leila e (Dona) Maria por me incentivarem a sempre estudar, desde cedo, buscando assim o conhecimento e algo melhor para minha vida; Ao CEFET/RJ pelos anos maravilhosos que me ensinaram a ser mais independente e buscar meus objetivos, além de ter me proporcionado conviver com pessoas incríveis, mesmo que com alguns este contato não tenha perdurado até os tempos atuais; Aos amigos que não estudam ou não estudaram no Fundão, que mesmo sem sentirem na pele o que é cursar Engenharia na UFRJ souberam também compreender minha ausência em muitos momentos; À Transpetro por me proporcionar a oportunidade de fazer parte do seu corpo de trabalho e me oferecer tantos ensinamentos, tanto intelectuais, como na escola da vida; A todos que trabalham ou trabalharam comigo na Ilha Redonda. Obrigado pelas conversas, pelo incentivo e por me ajudarem a finalizar este curso, sem o apoio de vocês poderia ter desistido no meio do caminho; Aos amigos e colegas que fiz durante a faculdade, que em muitos momentos suavizaram a luta que é trabalhar e estudar, mesmo sem compreender o que é estar nesta situação. Em especial, agradeço aos colegas Felipe Cabral, Jonathan Carvalho e Mayara Cagido por compartilharem comigo parte do seu material de curso, o que tornou esta jornada algo menos impossível ; Aos Professores com que convivi ao longo destes 13 períodos cursando Engenharia Elétrica, academicamente vocês me ensinaram muitas coisas, mesmo que em alguns momentos tenham dificultado desnecessariamente a minha caminhada para conseguir meu diploma. Tenham certeza de que aprendi muito mais do que Engenharia ao conviver com vocês; Aos amigos das artes marciais e do CEIC pelos momentos de descontração e desabafo; vi

7 Mais recentemente à Natália pelo apoio, incentivo, compreensão e pelos momentos de relaxamento e felicidade que você têm me proporcionado. E finalmente ao orientador João Salvador por aceitar o desafio de me guiar neste projeto. A todos os que aqui citei, e outros mais com os quais cometi o deslize de não citar, sinceramente: MUITO OBRIGADO! vii

8 Sumário Lista de Figuras... xi Lista de Tabelas... xv 1 Introdução Contextualização no Cenário Brasileiro Objetivo Organização do Trabalho Fundamentos Teóricos Potência de Circuitos Monofásicos CA Representação Temporal Representação Fasorial Conclusão Parcial Potência em Circuitos Trifásicos Equilibrados Correção do Fator de Potência Triângulo de Potências Diagrama Fasorial Elevação no Perfil de Tensão Conexões de Capacitores em Circuitos Trifásicos Estrela Aterrada Estrela Aterrada Dividida Estrela Isolada Estrela Isolada Dividida Delta Transitórios em Circuitos Elétricos Transitório de um Circuito RL Transitório de um Circuito LC Energização Back-to-Back Metodologia Circuito sem Uso de Capacitores Caso Base Modelagem da Rede Modelagem do Barramento de 13,8 kv viii

9 3.1.3 Modelagem dos Transformadores 6201A/B Modelagem do Barramento de 2,4 kv Modelagem das Cargas Simulação para o Caso Base Circuito com Correção do Fator de Potência Caso Chaveamento Síncrono Chaveamento Síncrono Tripolar Caso Chaveamento Síncrono Unipolar Caso Uso de Resistor de Pré-Inserção Caso Uso de Indutor de Pré-Inserção Caso Apresentação e Análise dos Resultados Caso Base Regime Permanente Caso Regime Permanente Regime Transitório Caso Regime Transitório Caso Regime Transitório Caso Regime Transitório Caso Regime Transitório Comparação das Estratégias de Mitigação dos Transitórios Comparação entre os Casos 1 e Comparação entre os Casos 1 e Comparação entre os Casos 1 e Comparação entre os Casos 1 e Comparação entre os Casos 2 e Comparação entre os Casos 2 e Comparação entre os Casos 2 e Comparação entre os Casos 3 e Comparação entre os Casos 3 e Comparação entre os Casos 4 e ix

10 5 Conclusões e Trabalhos Futuros Conclusões Gerais Trabalhos Futuros Referências Bibliográficas Apêndice A Memória de Cálculo de Cabos a) Parâmetros Elétricos dos Cabos Eprotenax Compact b) Parâmetros do Barramento de 13,8 kv c) Parâmetros do Barramento de 2,4 kv Apêndice B Rotinas no Matlab a) Código para Obtenção do Valor Eficaz e de Pico em Regime Permanente b) Código para Obtenção do Valor de Pico do Transitório c) Código para Analisar a Composição Harmônica do Transitório x

11 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1: Circuito monofásico genérico Figura 2.2: Sinais do circuito exemplo Figura 2.3: Parcelas da potência instantânea Figura 2.4: Triângulo de Potências Figura 2.5: Triângulo de potências para correção do FP Figura 2.6: Circuito com injeção de corrente de um capacitor Figura 2.7: Diagrama fasorial para uma correção do fator de potência Figura 2.8: Representação de um sistema com alimentação, carga e banco capacitivo Figura 2.9: Diagrama fasorial com elevação de tensão promovida por um banco capacitivo. 12 Figura 2.10: Configuração estrela aterrada Figura 2.11: Configuração estrela aterrada dividida Figura 2.12: Configuração estrela isolada Figura 2.13: Configuração estrela isolada dividida Figura 2.14: Configuração delta Figura 2.15: Circuito RL Figura 2.16: Circuito LC Figura 2.17: Energização Back-to-Back Figura 2.18: Circuito equivalente da configuração Back-to-Back Figura 3.1: Diagrama unifilar de entrada da Ilha d Água Figura 3.2: Unifilar da parcela do circuito tratada como Caso Base Figura 3.3: Circuito simulado para o caso base Figura 3.4: Circuito simulado para Caso Figura 3.5: Circuito simulado para Caso Figura 3.6: Circuito simulado para Caso Figura 4.1: Tensão e corrente em regime permanente, caso base Figura 4.2: Transitório de tensões após a entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.3: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 1 após entrada do 1º estágio Figura 4.4: Transitório de correntes após a entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.5: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 1 após entrada do 1º estágio. 43 Figura 4.6: Transitório de tensões após a entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.7: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 1 após entrada do 2º estágio Figura 4.8: Transitório de correntes após a entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.9: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 1 após entrada do 2º estágio. 46 Figura 4.10: Transitório de tensões após a entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.11: Transitório de correntes após a entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.12: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 1 após entrada do 3º estágio.. 49 Figura 4.13: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 1 após entrada do 3º estágio Figura 4.14: Transitório de tensões após a entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.15: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 2 após entrada do 1º estágio.. 52 Figura 4.16: Transitório de correntes após a entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.17: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 2 após entrada do 1º estágio xi

12 Figura 4.18: Transitório de tensões após a entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.19: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 2 após entrada do 2º estágio.. 55 Figura 4.20: Transitório de correntes após a entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.21: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 2 após entrada do 2º estágio Figura 4.22: Transitório de tensões após a entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.23: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 2 após entrada do 3º estágio.. 57 Figura 4.24: Transitório de correntes após a entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.25: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 2 após entrada do 3º estágio Figura 4.26: Transitório das tensões após a entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.27: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 3 após a entrada do 1 estágio Figura 4.28 Transitório das correntes após a entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.29: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 3 após a entrada do 1 estágio Figura 4.30 Transitório das tensões após a entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.31: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 3 após a entrada do 2 estágio Figura 4.32 Transitório das correntes após a entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.33: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 3 após a entrada do 2 estágio Figura 4.34 Transitório das tensões após a entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.35: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 3 após a entrada do 3 estágio Figura 4.36 Transitório das correntes após a entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.37: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 3 após a entrada do 3 estágio Figura 4.38: Primeiro transitório de tensões após a entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.39: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso Figura 4.40: Correntes após primeiro transitório da entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.41: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso Figura 4.42: Tensões após segundo transitório da entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.43: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso Figura 4.44: Correntes após segundo transitório da entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.45: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso Figura 4.46: Tensões após primeiro transitório da entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.47: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso Figura 4.48: Correntes após primeiro transitório da entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.49: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso Figura 4.50: Tensões após segundo transitório da entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.51: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso Figura 4.52: Correntes após segundo transitório da entrada do 2 estágio, Caso xii

13 Figura 4.53: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso Figura 4.54: Tensões após primeiro transitório da entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.55: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso Figura 4.56: Correntes após primeiro transitório da entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.57: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso Figura 4.58: Tensões após segundo transitório da entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.59: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso Figura 4.60: Correntes após segundo transitório da entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.61: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso Figura 4.62: Tensões após primeiro transitório da entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.63: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso Figura 4.64: Correntes após primeiro transitório da entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.65: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso Figura 4.66: Tensões após segundo transitório da entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.67: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso Figura 4.68: Correntes após segundo transitório da entrada do 1 estágio, Caso Figura 4.69: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso Figura 4.70: Tensões após primeiro transitório da entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.71: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso Figura 4.72: Correntes após primeiro transitório da entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.73: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso Figura 4.74: Tensões após segundo transitório da entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.75: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso Figura 4.76: Correntes após segundo transitório da entrada do 2 estágio, Caso Figura 4.77: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso Figura 4.78: Tensões após primeiro transitório da entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.79: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso Figura 4.80: Correntes após primeiro transitório da entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.81: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso Figura 4.82: Tensões após segundo transitório da entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.83: Correntes após segundo transitório da entrada do 3 estágio, Caso Figura 4.84: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso Figura 4.85: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso xiii

14 Figura 4.86: Tensões, Caso 1 e Figura 4.87: Correntes, Caso 1 e Figura 4.88: Tensões, Caso 1 e Figura 4.89: Correntes, Caso 1 e Figura 4.90: Tensões, Caso 1 e primeiro transitório do Caso Figura 4.91: Tensões, Caso 1 e segundo transitório do Caso Figura 4.92: Correntes, Caso 1 e primeiro transitório do Caso Figura 4.93: Correntes, Caso 1 e segundo transitório do Caso Figura 4.94: Tensões, Caso 1 e primeiro transitório do Caso Figura 4.95: Tensões, Caso 1 e segundo transitório do Caso Figura 4.96: Correntes, Caso 1 e primeiro transitório do Caso Figura 4.97: Correntes, Caso 1 e segundo transitório do Caso Figura 4.98: Tensões, Caso 2 e Figura 4.99: Correntes, Caso 2 e Figura 4.100: Tensões, Caso 2 e primeiro transitório do Caso Figura 4.101: Tensões, Caso 2 e segundo transitório do Caso Figura 4.102: Correntes, Caso 2 e primeiro transitório do Caso Figura 4.103: Correntes, Caso 2 e segundo transitório do Caso Figura 4.104: Tensões, Caso 2 e primeiro transitório do Caso Figura 4.105: Tensões, Caso 2 e segundo transitório do Caso Figura 4.106: Correntes, Caso 2 e primeiro transitório do Caso Figura 4.107: Correntes, Caso 2 e segundo transitório do Caso Figura 4.108: Tensões, Caso 3 e primeiro transitório do Caso Figura 4.109: Tensões, Caso 3 e segundo transitório do Caso Figura 4.110: Correntes, Caso 3 e primeiro transitório do Caso Figura 4.111: Correntes, Caso 3 e segundo transitório do Caso Figura 4.112: Tensões, Caso 3 e primeiro transitório do Caso Figura 4.113: Tensões, Caso 3 e segundo transitório do Caso Figura 4.114: Correntes, Caso 3 e primeiro transitório do Caso Figura 4.115: Correntes, Caso 3 e segundo transitório do Caso Figura 4.116: Tensões, primeiro transitório do Caso 4 e Figura 4.117: Tensões, segundo transitório do Caso 4 e Figura 4.118: Correntes, primeiro transitório do Caso 4 e Figura 4.119: Correntes, segundo transitório do Caso 4 e Figura A.1: Compilação das páginas 18 e 19 do catálogo da Prysmian xiv

15 LISTA DE TABELAS Tabela 1.1: Faixa de fator de potência atualmente usada pelo PRODIST Tabela 1.2: Faixa de fator de potência determinada pelos Procedimentos de Rede Tabela 3.1: Dados dos motores do caso base Tabela 3.2: Lista de cabos na Ilha d Água Tabela 3.3: Reatância dos cabos da Ilha d Água Tabela 3.4: Fechamento tripolar das chaves Tabela 3.5: Fechamento unipolar das chaves Tabela 4.1: Tensões e correntes de pico e RMS na fase A, caso base Tabela 4.2: Tensões de pico e RMS na fase A, Caso Tabela 4.3: Correntes de pico e RMS na fase A, Caso Tabela 4.4: Evolução do fator de potência da unidade Tabela 4.5: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 1º estágio, Caso Tabela 4.6: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 2 estágio, Caso Tabela 4.7: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 3 estágio, Caso Tabela 4.8: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 1º estágio, Caso Tabela 4.9: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 2º estágio, Caso Tabela 4.10: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 3º estágio, Caso Tabela 4.11: Tensões e correntes transitórias de pico após a entrada do 1 estágio, Caso Tabela 4.12: Tensões e correntes transitórias de pico após a entrada do 2 estágio, Caso Tabela 4.13: Tensões e correntes transitórias de pico após a entrada do 3 estágio, Caso Tabela 4.14: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso Tabela 4.15: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso Tabela 4.16: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso Tabela 4.17: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso Tabela 4.18: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso Tabela 4.19: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso Tabela 4.20: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso Tabela 4.21: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso Tabela 4.22: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso Tabela 4.23: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso Tabela 4.24: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso Tabela 4.25: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso Tabela 4.26: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso Tabela 4.27: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso Tabela 4.28: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso Tabela 4.29: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso Tabela 4.30: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso Tabela 4.31: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso Tabela 4.32: Resumo da descrição de cada caso xv

16 1 Introdução 1.1 Contextualização no Cenário Brasileiro Em 1966, por meio do Decreto n , foram definidas as primeiras regras brasileiras acerca da energia reativa. Naquele primeiro momento foi limitado um fator de potência indutivo médio de 0,90 para consumidores do serviço de transmissão e 0,85 para os demais consumidores [1]. Desde então os decretos n de 1981 e 479 de 1992, as portarias n 085 de 1992 e 613 de 1993, ambas do Departamento Nacional de Água e Energia Elétrica e a resolução n 456 de 2000 da Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) foram publicados promovendo algumas alterações nos níveis de fator de potência aceitáveis no sistema elétrico. Atualmente o Módulo 8 do Procedimento de Distribuição de Energia Elétrica no Sistema Elétrico Nacional (PRODIST), elaborado pela ANEEL, é o documento base para adequação de itens referentes à Qualidade de Energia Elétrica, entre estes o fator de potência. Em sua 4ª revisão, com vigência até 31/12/2014, é regulamentado que o fator de potência para unidades consumidoras ou para conexão entre distribuidoras com tensão inferior a 230 kv deve estar dentro dos níveis apresentados pela Tabela 1.1. Tabela 1.1: Faixa de fator de potência atualmente usada pelo PRODIST. Tensão nominal no ponto de conexão V n 230 kv Faixa de fator de potência 0,92 indutivo a 0,92 capacitivo Unidades consumidoras com tensão igual ou superior a 230 kv deixam de ser regidas pelo PRODIST e devem seguir as determinações dos Procedimentos de Rede elaborados pelo ONS (Operador Nacional do Sistema Elétrico). O Submódulo 3.6 deste documento trata dos requisitos técnicos mínimos para a conexão à rede básica, estipulando que o fator de potência operacional dos pontos de conexão deve estar dentro das faixas apresentadas pela Tabela

17 Tabela 1.2: Faixa de fator de potência determinada pelos Procedimentos de Rede. Tensão nominal no ponto de conexão Faixa de fator de potência V n 345 kv 0,98 indutivo a 1,00 69 kv V n < 345 kv 0,95 indutivo a 1,00 V n < 69 kv 0,92 indutivo a 0,92 capacitivo A legislação regula os níveis de fator de potência aceitáveis para as unidades consumidoras, podendo haver por parte da empresa distribuidora cobrança de multa ou taxação sobre o excesso de energia reativa que se está consumindo. A correção do fator de potência tem como objetivo fazer com que o sistema elétrico opere com maior eficiência energética e utilize de uma maneira melhor a energia que realiza trabalho em relação à energia transmitida. No caso de um baixo fator de potência, maiores correntes irão passar pelo circuito para alimentar uma mesma carga. A consequência direta deste fato é a necessidade de um sistema de transmissão e distribuição mais robusto e a existência de maiores perdas em virtude da circulação de maiores níveis de corrente. Numa instalação são causas para um baixo fator de potência: motores de indução trabalhando em vazio, motores superdimensionados, transformadores operando em vazio ou com carga leve, fornos a arco, equipamentos eletrônicos (em algumas situações), entre outras [2]. Visando um melhor aproveitamento do sistema elétrico e a redução no pagamento de multas por parte dos consumidores, torna-se interessante a injeção de energia reativa próxima à carga de acordo com a variação que esta apresenta ao longo do dia para que se busque estar dentro dos níveis estipulados pelas Tabela 1.1 e Tabela 1.2. Como a maior parte das cargas conectadas ao sistema elétrico são predominantemente indutivas, aumentar o fator de potência significa injetar potência reativa neste. Este aumento do fator de potência pode ser feito de diversas maneiras, entre elas com o uso de motores síncronos sobre-excitados (compensadores síncronos), através do uso de eletrônica de potência (compensadores estáticos) ou de capacitores (bancos de capacitores). A presença de elementos indutivos e capacitivos nos circuitos leva à ocorrência de fenômenos de ressonância que geram sobretensões e sobrecorrentes intensas no circuito, sendo necessário estudar a magnitude destes fenômenos e como eles podem impactar o sistema elétrico em que estão presentes. 2

18 1.2 Objetivo O objetivo deste trabalho é a elaboração de um estudo sobre os transitórios gerados pela energização de bancos de capacitores e quais estratégias podem mitigar seus efeitos. O principal objeto de estudo são os bancos utilizados por unidades consumidoras comerciais ou industriais que buscam fazer a correção do seu fator de potência. Busca-se realizar uma análise qualitativa das sobretensões e sobrecorrentes, bem como do conteúdo harmônico imposto a um alimentador industrial, no curto período de tempo seguinte ao chaveamento dos bancos de capacitores. 1.3 Organização do Trabalho Este trabalho está dividido da seguinte maneira: A Seção 2 apresenta alguns conceitos que são utilizados ao longo do trabalho e permitem a escolha de determinados parâmetros; A Seção 3 apresenta a metodologia que conduz a execução do trabalho, descrevendo o sistema em que foram feitas as análises e realizando a modelagem de seus componentes, além de apresentar os métodos que seriam utilizados para minimizar os transitórios gerados pelo chaveamento do banco de capacitores; A Seção 4 apresenta e realiza comparações entre os resultados das simulações propostas na Seção 3; Na Seção 5 são apresentadas algumas conclusões a que os resultados permitiram chegar, comentadas as limitações e dificuldade encontradas no decorrer do trabalho e feitas algumas propostas de trabalhos futuros relacionados aos temas tratados; O Apêndice A apresenta um memorial de cálculo que levou a determinação de alguns parâmetros utilizados nas simulações; O Apêndice B apresenta os códigos dos programas que permitiram a coleta de dados das simulações realizadas. 3

19 2 Fundamentos Teóricos Tendo em vista a complexidade de alguns pontos e conceitos que são utilizados ao longo deste trabalho, faz-se necessária uma revisão de alguns conceitos que ajudam a compreensão do estudo que será aqui realizado. Para uma melhor compreensão de alguns conceitos matemáticos utilizados (uso de funções senoidais no domínio do tempo, fasores, fasores girantes e transformadas de Laplace e Fourier) podem ser consultadas as referências [3], [4], [5] e [6]; além das referências [4], [7], [8] e [9] para alguns conceitos referentes aos elementos de circuitos e circuitos trifásicos. 2.1 Potência de Circuitos Monofásicos CA Representação Temporal Seja o circuito monofásico em corrente alternada apresentado na Figura 2.1: Figura 2.1: Circuito monofásico genérico. Quando alimentado por uma tensão vv aaaa cossenoidal que fornece uma corrente ii aaaa, a potência instantânea pp iiiiiiii que circula por este circuito é dada pela Equação (2.1): pp iiiiiiii = vv aaaa ii aaaa (2.1) Para uma carga linear, a tensão e a corrente neste circuito são expressas por [10]: vv aaaa = VV MM cos ωωωω ii aaaa = II MM cos(ωωωω φφ) (2.2) 4

20 O termo carga linear é referente a uma classe de cargas que, se alimentadas por uma fonte de tensão senoidal de uma frequência específica, produz somente corrente senoidal de mesma frequência que a fonte de alimentação [11]. Com as definições utilizadas pela Equação (2.2), a Equação (2.1) será: pp iiiiiiii = VV MM II MM cos ωωωω cos(ωωωω φφ) (2.3) As identidades trigonométricas apresentadas por (2.4) permitirão que (2.3) seja reorganizada como será mostrado: Assim: cos(aa + bb) = 1 [cos(aa + bb) + cos(aa bb)] 2 cos(aa + bb) = cos aa cos bb sen aa sen bb 1 pp iiiiiiii = VV MM II MM [cos(ωωωω + ωωωω φφ) + cos(ωωωω ωωωω + φφ)] 2 pp iiiiiiii = VV MMII MM 2 cos(2ωωωω φφ) + VV MMII MM 2 cos(φφ) (2.4) pp iiiiiiii = VV MMII MM 2 [cos(2ωωωω φφ) + cos(φφ)] (2.5) A Equação (2.5) mostra que a potência instantânea tem uma componente oscilatória com o dobro da frequência de oscilação do sinal de alimentação acrescida de uma componente com valor constante. A potência média fornecida à carga é dada por: PP mmmmmm = ωω 2ππ 0 PP mmmmmm = ωω 2ππ 2ππ ωω VV MM II MM 2 PP mmmmmm = VV MMII MM 2 ωω 1 2ππ 2ωω sen 2ππ ωω 2ππ ωω pp iiiiiiiidddd 0 [cos(2ωωωω φφ) + cos(φφ)]dddd sen 0 + ωω 2ππ cos(φφ) 2ππ ωω 0 PP mmmmmm = VV MMII MM 2 cos(φφ) (2.6) Como para um sinal senoidal a relação entre o valor máximo (valor de pico) e o seu valor eficaz é de 2 [12], a Equação (2.6) pode ser reescrita em função da tensão e corrente eficaz: II MM PP mmmmmm = VV MMII MM 2 cos(φφ) = VV MM 2 2 cos(φφ) PP mmmmmm = VV eeee II eeee cos(φφ) (2.7) 5

21 Retornando à (2.5) com o auxílio das relações trigonométricas de (2.4) e da representação utilizada por (2.7) é possível definir novos conceitos: pp iiiiiiii = VV eeee II eeee [cos 2ωωωω cos φφ + sen 2ωωωω sen φφ] + VV eeee II eeee cos(φφ) pp iinnssss = VV eeee II eeee cos 2ωωωω cos φφ + VV eeee II eeee cos φφ + VV eeee II eeee sen 2ωωωω sen φφ (2.8) P ai : potência ativa instantânea P ri : potência reativa instantânea Às parcelas apresentadas em (2.8), o valor médio de P ai será denominado potência ativa (P) e o valor de pico de P ri será denominado potência reativa (Q). Sendo assim: PP = VV eeeeii eeee cos φφ QQ = VV eeee II eeee sen φφ (2.9) Representação Fasorial Como foi dito através das Equações (2.6) e (2.7), a potência média pode ser expressa através dos valores de amplitude ou dos valores eficazes da tensão e da corrente. Neste ponto são definidas duas grandezas. A potência aparente (S) é definida como o produto VV eeee II eeee e o fator de potência (FP) à relação entre a potência ativa e a aparente. Desta maneira: FFFF = PP SS (2.10) 2.1 são: Utilizando a definição de potência ativa apresentada pela Equação (2.9): FFFF = VV eeeeii eeee cos φφ VV eeee II eeee = cos(φφ) (2.11) No domínio da frequência, a tensão e a corrente que circulam no circuito da Figura II AAAA VV AAAA = VV MM 0 = II MM φφ (2.12) Pode-se definir potência complexa (S) entregue a uma carga como o produto da tensão pelo conjugado da corrente [12]: SS = 1 2 VV AAAA II AAAA = 1 2 VV MMII MM φφ (2.13) SS = VV eeee II eeee = VVeeee II eeee φφ (2.14) Ao passar a representação de (2.14) da forma polar para a retangular: Através das definições de (2.9): SS = VV eeee II eeee cos φφ + jjvv eeee II eeee sen φφ (2.15) 6

22 SS = PP + jjjj (2.16) Conclusão Parcial Para diferenciar os termos mostrados em (2.15) são utilizadas unidades de medida diferentes para eles. A potência ativa é medida em watts (W), a potência reativa é medida em volt ampère reativo (VAr) e a potência aparente é medida em volt ampère (VA). Vale ressaltar que a potência fornecida por uma fonte é a aquela definida como potência aparente. Ao separar esta grandeza em duas parcelas apenas se está buscando uma melhor maneira de quantificar a energia que realiza trabalho da restante. A Equação (2.8) ilustra essa separação. Para exemplificar estes conceitos são mostrados nas Figura 2.2 e Figura 2.3 os gráficos dos sinais de um circuito com as seguintes características: ff = 60 HHHH FFFF = cos 1 (20 ) VV(tt) = 5 cos(ωωωω) VV II(tt) = 1,2 cos(ωωωω 20 ) VV (2.17) Figura 2.2: Sinais do circuito exemplo. 7

23 Figura 2.3: Parcelas da potência instantânea. A Figura 2.2 mostra os sinais de tensão, corrente e potência como são apresentados através de (2.2) e (2.3). Já a Figura 2.3 mostra as parcelas da potência instantânea como são apresentadas por (2.8). É possível ver que o sinal representado por um traço e um ponto (potência ativa instantânea) possui duas componentes, uma constante (linha pontilhada) e uma que oscila com o dobro da frequência do sinal de tensão (linha contínua). Também é possível ver que o sinal tracejado (potência reativa instantânea) oscila com o dobro da frequência (linha tracejada). Torna-se possível entender melhor a razão da potência reativa instantânea não realizar trabalho. Ao longo de um ciclo de oscilação, a integral desta parcela é nula, i.e. ela não possui valor médio. Conceitualmente isto significa que a energia que é entregue na parte do ciclo positiva é consumida na parte negativa. 2.2 Potência em Circuitos Trifásicos Equilibrados Seja um circuito trifásico cujas tensões de fase são mostradas na Equação (2.18): VV aaaa (tt) = 2VV aaaa cos ωωωω VV bbbb (tt) = 2VV aaaa cos(ωωωω 120 ) VV cccc (tt) = 2VV aaaa cos(ωωωω ) (2.18) Este circuito alimenta uma carga trifásica equilibrada e ligada em Y cuja impedância é ZZ YY = ZZ φφ. Neste caso, as correntes que circularão por ele serão: 8

24 II aa (tt) = 2II aa cos(ωωωω φφ) II bb (tt) = 2II aa cos(ωωωω φφ 120 ) II cc (tt) = 2II aa cos(ωωωω φφ ) (2.19) A potência instantânea de um circuito deste tipo é a soma das potências instantâneas das três fases, assim: pp iiiiiiii (tt) = VV aaaa (tt)ii aa (tt) + VV bbbb (tt)ii bb (tt) + VV cccc (tt)ii cc (tt) (2.20) O tratamento do resultado dos produtos apresentados na Equação (2.20) é feito de maneira análoga a que foi feita na Seção 0. Com o auxílio das relações trigonométricas apresentadas pela Equação (2.4) e algumas simplificações [12]: pp iiiiiiii (tt) = 3VV aaaa II aa cos φφ (2.21) Em função das tensões de linha, a Equação (2.21) pode ser apresentada como: pp iiiiiiii (tt) = 3VV aaaa II aa cos φφ (2.22) Tratando-se da potência complexa em termos da tensão de fase e de linha: SS = 3VV aaaa II aa = 3VVaaaa II aa φφ (2.23) SS = 3VV aaaa II aa = 3VVaaaa II aa φφ (2.24) Da mesma maneira que para o caso monofásico, SS = PP + jjjj. As parcelas de potência ativa e reativa em função das tensões e correntes de fase e de linha são: PP = 3VV aaaaii aa cos φφ QQ = 3VV aaaa II aa sen φφ PP = 3VV aaaaii aa cos φφ QQ = 3VV aaaa II aa sen φφ (2.25) (2.26) 2.3 Correção do Fator de Potência Triângulo de Potências Como foi definido na Seção 0 por (2.10), as potências ativa e aparente podem ser relacionadas através do fator de potência. É comum representar as grandezas P, Q e S através do triângulo mostrado na Figura 2.4, conhecido como Triângulo de Potências. 9

25 Figura 2.4: Triângulo de Potências. Na Figura 2.4 está representado o triângulo de potências de uma carga qualquer. O sinal positivo ou negativo atribuído à potência reativa (Q) trata da representação de uma carga com perfil indutivo ou capacitivo, respectivamente. Por se tratar o cosseno de uma função par, apenas falar do fator de potência não fornece todas as informações acerca da carga em questão. Por esta razão é comumente tratado que as cargas indutivas têm QQ > 0 e que cargas capacitivas têm QQ < 0. Cargas resistivas apresentam QQ = 0, fazendo com que SS = PP. A correção do fator de potência consiste em reduzir o montante de potência reativa que o sistema provê através da injeção de potência reativa, com o intuito de se chegar a um fator de potência desejado. A determinação da potência reativa a ser injetada é feita através das relações matemáticas e que envolvem o triângulo de potências da Figura 2.5. Figura 2.5: Triângulo de potências para correção do FP. Inicialmente esta instalação tem potência aparente S, potência ativa P e potência reativa Q. Através de (2.11) é possível determinar o fator de potência dela: FFFF = PP SS = cos φφ (2.27) 10

26 Por se tratar de uma instalação com fator de potência indutivo (Q > 0), o uso do capacitor ou banco de capacitores irá reduzir a potência reativa vista pelo sistema, subtraindo Q cap do seu montante. Este valor pode ser determinado ao se fixar o valor de potência reativa desejado após a correção Q corr [13]: QQ cccccc = QQ QQ cccccccc (2.28) Utilizando a relação entre potência ativa e reativa pode-se determinar a potência do banco de capacitores: tg φφ = QQ PP, φφ = cos 1 FFFF (2.29) tg φφ cccccccc = QQ cccccccc PP, φφ cccccccc = cos 1 FFFF cccccccc (2.30) Assim, (2.28) pode ser reescrita como: QQ cccccc = PP(tg φφ tg φφ cccccccc ) (2.31) Diagrama Fasorial A correção do fator de potência também pode ser entendida através da injeção de corrente capacitiva no circuito. Figura 2.6: Circuito com injeção de corrente de um capacitor. No circuito da Figura 2.6 uma carga, representada por um resistor em série com um indutor, consome a corrente I L. Um capacitor é ligado em paralelo a ela e passa a consumir a corrente I C que é 90 adiantada em relação à tensão. Neste momento o sistema passa a fornecer a corrente I. O diagrama fasorial desta situação será como o mostrado na Figura 2.7: 11

27 Figura 2.7: Diagrama fasorial para uma correção do fator de potência. 2.4 Elevação no Perfil de Tensão A instalação de bancos de capacitores também promove uma elevação no perfil de tensão no ponto de conexão. Seja uma carga X L alimentada por uma fonte V S. A impedância equivalente no ponto de conexão da carga é X S. Uma chave S permite a entrada de um banco capacitivo de reatância X C. Sua representação é mostrada na Figura 2.8. Figura 2.8: Representação de um sistema com alimentação, carga e banco capacitivo. Seu diagrama fasorial segue na Figura 2.9: Figura 2.9: Diagrama fasorial com elevação de tensão promovida por um banco capacitivo. 12

28 Através de relações geométricas é possível determinar a variação de tensão ΔV promovida após a chave S ter sido ligada e o circuito ter atingido o regime permanente. Com a chave desligada: Com a chave ligada: VV SS 2 = (VV LL + XX SS II sen φφ) 2 + (XX SS II cos φφ) 2 (2.32) VV SS 2 = (VV LL + XX SS II sen φφ ) 2 + (XX SS II cos φφ ) 2 (2.33) Igualando-se as relações entre os catetos verticais: Para os catetos da base: XX SS II cos φφ = XX SS II cos φφ II cos φφ = II cos φφ II II = FFFF cccccccc FFFF (VV LL + XX SS II sen φφ) 2 = (VV LL + XX SS II sen φφ ) 2 VV = VV LL VV LL VV = XX SS (II sen φφ II sen φφ ) VV = XX SS QQ QQ cccccccc VV SS (2.34) VV = XX SS QQ cccccc VV SS (2.35) 2.5 Conexões de Capacitores em Circuitos Trifásicos Cinco conexões de bancos de capacitores são as mais comuns, a mais indicada para cada circuito dependerá da tensão de operação a que cada célula será submetida, dos tipos de fusíveis existentes na instalação e sua proteção da mesma [14] Estrela Aterrada Este tipo de conexão oferece uma baixa impedância para terra às correntes harmônicas, reduzindo assim os níveis de sobretensão alimentados por estas [2]. As vantagens da ligação estrela aterrada em relação à isolada são: o custo inicial do banco deve ser menor porque não é necessário que o neutro esteja isolado ao nível básico de isolamento do sistema (NBI); os fenômenos transitórios de restrike de tensão (também 13

29 chamados de reacendimento, ocorrendo quando a extinção do arco que se forma dentro dos disjuntores não ocorre eficientemente e após este haver sido extinto acabar se formando novamente e a condução de corrente continuar ocorrendo) nos disjuntores são reduzidos e os esforços mecânicos são menos severos para sua estrutura. As desvantagens em relação à estrela isolada são: maiores correntes de inrush e de terra; possibilidade de ocasionar interferência em sistemas de comunicação e a necessidade de um relé de neutro devido à baixa impedância que esta configuração oferece para correntes de falta [15]. Figura 2.10: Configuração estrela aterrada Estrela Aterrada Dividida As características deste tipo de circuito são semelhantes à da configuração com apenas um grupo, sendo este tipo de arranjo utilizado para bancos de grande capacidade. Suas vantagens e desvantagens também são semelhantes às da ligação estrela aterrada. Os neutros de ambos os grupos divididos devem ser conectados e então ser feita uma conexão direta para o aterramento da instalação [14]. A proteção deste tipo de circuito deve ser capaz de detectar qualquer desbalanço já que a circulação de correntes de sequência zero afetará ambos os lados do grupo. Caso a corrente que passa por cada ramo do grupo venha a exceder a capacidade de uma unidade é possível adicionar mais grupos e tornar o sistema maior [14]. Figura 2.11: Configuração estrela aterrada dividida. 14

30 2.5.3 Estrela Isolada A conexão estrela isolada apresenta a vantagem de não permitir a circulação de correntes de sequência zero, terceiro harmônico ou a passagem de grandes correntes em situações de falhas que envolvam defeitos com a terra. Outra vantagem desta conexão é o fato de haver limitação das correntes de defeito pelas impedâncias das fases não envolvidas no mesmo [2]. Sua desvantagem é a necessidade do neutro ser isolado para a tensão de fase porque em situações de manobra ou troca de células defeituosas o potencial do neutro pode atingir o potencial de fase [14]. Figura 2.12: Configuração estrela isolada Estrela Isolada Dividida As vantagens e desvantagens desta configuração são as mesmas da que não é dividida, sendo utilizada quando se há necessidade de prover uma grande quantidade de potência reativa por grupo, de maneira análoga à que a estrela aterrada dividida está para a estrela aterrada [14]. A configuração dividida é popular por permitir uma fácil detecção de desbalanço no neutro através da conexão de TCs e TPs a eles [14]. Figura 2.13: Configuração estrela isolada dividida. 15

31 2.5.5 Delta A conexão Δ geralmente é utilizada em redes secundárias e apresenta a vantagem de não apresentar sobretensões durante uma situação de falha de algum dos seus ramos, impossibilidade da circulação de correntes de 3 harmônico no seu interior e a capacidade dos fusíveis de cada ramo de interromper correntes de defeitos no sistema [2]. Suas desvantagens estão ligadas à complexidade e custo altos da proteção [2]. Figura 2.14: Configuração delta. 2.6 Transitórios em Circuitos Elétricos Um transitório elétrico é a manifestação aparente de uma súbita mudança nas condições de um circuito, e.g. quando uma chave é aberta ou fechada ou ocorre uma falha no sistema. Normalmente o tempo em que os circuitos ficam submetidos ao regime transitório é insignificante quando comparado ao que passam em regime permanente, mas o comportamento durante este período é de grande importância, já que nele os componentes dos circuitos são submetidos a grandes estresses provenientes de altas correntes ou tensões [5]. Dependendo da condição do circuito (transitório ou regime permanente) algumas características dele serão predominantes. A energia acumulada pela indutância (L) no campo magnético e capacitância (C) no campo elétrico é função da corrente 1 2 LLII2 e da tensão 1 2 CCVV2 instantâneas, respectivamente, enquanto a resistência apenas dissipa a energia acumulada a uma taxa de RRII 2. Quando uma súbita mudança ocorre no circuito, uma redistribuição da energia nele contida ocorre para que se adeque às novas condições. Porém, esta redistribuição não ocorre de maneira instantânea por duas razões: 16

32 Para variar a energia magnética é necessária uma variação da corrente no indutor. A variação da corrente é oposta por uma tensão de magnitude LL dddd dddd. Uma variação instantânea de corrente iria necessitar de uma tensão infinita para tornar isto possível, o que não é realizável na prática. A variação da energia elétrica necessita de uma variação de tensão no capacitor e como para haver uma variação de tensão no capacitor é necessária passar por ele uma corrente CC dddd dddd, uma variação instantânea de tensão iria demandar uma corrente infinita, o que também não é realizável na prática. As subseções seguintes mostrarão alguns modelos de circuitos e seus comportamentos transitórios Transitório de um Circuito RL Seja um circuito RL como o apresentado na Figura 2.15: Figura 2.15: Circuito RL. Através das Leis de Kirchhoff, a partir do momento em que o contato S for fechado: vv(tt) = RRRR(tt) + LL dddd(tt) (2.36) dddd A equação diferencial que representa este circuito é de primeira ordem, desta maneira só será necessário o conhecimento de uma condição de contorno. A tensão que alimenta este circuito pode ter uma forma de onda qualquer, mas neste caso será escolhida uma do tipo senoidal já que é o caso que se pretende estudar. Desta maneira, (2.36) passará a ser: VV mm sen(ωωωω + θθ) = RRRR(tt) + LL dddd(tt) (2.37) dddd 17

33 Segundo Greenwood [5], a fase θ é acrescida à alimentação para permitir o fechamento da chave S a qualquer momento do tempo. corrente será: Após uma simples expansão da soma de senos: VV mm [sen ωωωω cos θθ + sen θθ cos ωωωω] = RRRR(tt) + LL dddd(tt) dddd (2.38) Utilizando a Transformada de Laplace para (2.38): ωω ss VV mm ss 2 cos θθ + + ωω2 ss 2 sen θθ = RRRR(ss) + LL[ssss(ss) ii(0)] (2.39) + ωω2 Como a chave S estava aberta, no momento do seu fechamento ii(0) = 0, assim a II(ss) = VV mm RR + ssss ωω ss ss 2 cos θθ + + ωω2 ss 2 sen θθ (2.40) + ωω2 Utilizando frações parciais e a Transformada Inversa de Laplace em (2.40) é possível chegar a uma expressão para a corrente no domínio do tempo. Para facilitar a maneira de se escrever esta, utiliza-se a constante de tempo do circuito αα = RR LL, assim: VV mm ii(tt) = LL(αα 2 + ωω 2 ) ωω cos θθ ee αααα cos ωωωω + αα sen ωωωω ωω + sen θθ (αα cos ωωωω + ωω sen ωωωω ααee αααα ) VV mm ii(tt) = LL(αα 2 + ωω 2 [(ωω cos θθ αα sen θθ)ee αααα ) (2.41) (ωω cos θθ αα sen θθ) cos ωωωω + (αα cos θθ + ωω sen θθ) sen ωωωω] Em regime permanente o fator de potência do circuito da Figura 2.15 é: RR cos φφ = RR 2 + (ωωωω) 2 (2.42) Em função da constante de tempo α: αα cos φφ = αα 2 + ωω 2 ωω sen φφ = αα 2 + ωω 2 Utilizando (2.43), (2.41) pode ser reescrita como: VV mm (2.43) ii(tt) = RR 2 + (ωωωω) [sen(ωωωω + θθ φφ) sen(θθ φφ) 2 ee αααα ] (2.44) A análise de (2.44) mostra que a resposta transitória do circuito RL é composta por duas parcelas, a primeira que representa o circuito em regime permanente e a segunda que diz 18

34 respeito apenas ao estado transitório, já que para um tempo suficientemente grande a parcela exponencial tenderá para zero. Também é possível notar que no instante inicial (tt = 0) a primeira e a segunda parcela possuem valor nulo, mostrando que a corrente realmente parte de zero. Este tipo de circuito é um modelo simplificado razoável para um disjuntor, sendo o fechamento da chave S equivalente à ocorrência de uma falha [5] Transitório de um Circuito LC Seja um circuito LC como o apresentado na Figura Como neste caso existem duas fontes de armazenamento de energia, a equação que irá representar este circuito quando a chave S for fechada será de segunda ordem. vv(tt) = LL dddd(tt) + vv dddd CC (tt) (2.45) Figura 2.16: Circuito LC. A Equação (2.45) pode ser resolvida em função da corrente no indutor ou da tensão no capacitor: vv(tt) = LL dddd(tt) + 1 dddd CC ii(tt)dddd (2.46) vv(tt) = LLLL dd2 vv CC (tt) dddd 2 + vv CC (tt) Para o cálculo da corrente de energização do capacitor (corrente inrush) é comum que se considere a tensão constante já que a frequência do transitório é muito maior que a do sistema de potência [5]. Assim, para a primeira equação de (2.46) a Transformada de Laplace é: VV ss = LL[ssss(ss) ii(0)] + 1 ssss [II(ss) + qq CC(0)] (2.47) 19