A DESCOBERTA DE PADRÕES NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL: UMA EXPERIÊNCIA COM PROFESSORES DO 1º CICLO 1

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1 A DESCOBERTA DE PADRÕES NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL: UMA EXPERIÊNCIA COM PROFESSORES DO 1º CICLO 1 Teresa Pimentel ESE de Viana do Castelo teresapimentel@ese.ipvc.pt Isabel Vale ESE de Viana do Castelo isabel.vale@ese.ipvc.pt Resumo Nesta apresentação colocaremos em destaque uma experiência didáctica no âmbito de um programa de formação continua em matemática para professores do primeiro ciclo do ensino básico realçando o desenvolvimento do sentido do número e de estratégias de cálculo mental com base na descoberta de padrões numéricos. Mostraremos alguns episódios de sala de aula em que ressalta o modo escolhido por estes professores para transferir para a sua sala de aula o trabalho realizado nas sessões de formação de modo a promover estas capacidades nos seus alunos. INTRODUÇÃO Esta comunicação aborda uma experiência de ensino visando o desenvolvimento do cálculo mental e do sentido do número em estudantes do 1º ciclo do ensino básico com base na descoberta de padrões numéricos. O nosso interesse neste tema justifica-se pelo nosso envolvimento pessoal em dois projectos: (a) um programa de formação contínua em matemática para professores do 1º ciclo, estabelecido em Portugal em 2005 por iniciativa ministerial e implementado em cada região por instituições de ensino superior, com a finalidade principal de melhorar as aprendizagens matemáticas dos alunos; e (b) um projecto intitulado Matemática e Padrões no ensino básico: perspectivas e experiências curriculares de alunos e professores, que pretende estudar o valor de uma abordagem curricular centrada na exploração de padrões no desenvolvimento do conhecimento matemático de alunos do ensino básico e no desenvolvimento profissional de professores. Nos primeiros anos da escolaridade básica, a matemática é tradicionalmente encarada numa perspectiva procedimental com forte predominância no cálculo. No nosso trabalho com professores realçamos a compreensão, a descoberta de padrões aliada à resolução de problemas e a comunicação. Já que defendemos que a fluência de cálculo deve ser essencialmente mental, os alunos devem desenvolver a capacidade de ver padrões, reconhecer estruturas numéricas, lidar com as propriedades nos números e operações e fazer generalizações. DA ARITMÉTICA AO PENSAMENTO ALGÉBRICO Tradicionalmente, o estudo da álgebra sempre esteve fora das atribuições dos professores do 1º ciclo. Contudo, nos últimos anos tem sido recomendada a sua introdução nos currículos escolares desde os primeiros anos (NCTM, 1989, 2000; ME, 2001; ME-DGIDC, 2007).

2 O que é o pensamento algébrico nos níveis elementares? Mason (1996) considera que: A álgebra como uma forma disciplinada de pensamento emergiu quando as pessoas se aperceberam do facto de que podiam operar sobre objectos (números, formas, expressões) e podiam operar sobre essas operações. Assim, quando alguém for capaz de pensar como combinar operações aritméticas, já começou a fazer álgebra, porque está a operar sobre operações de objectos (p.74). Kieran (2004) apresenta a seguinte definição de pensamento algébrico nos primeiros anos de escolaridade: O pensamento algébrico nos primeiros anos envolve o desenvolvimento de modos de pensar através de actividades para as quais o simbolismo da álgebra pode ser usado como ferramenta mas que não são exclusivas da álgebra e que podem ser abordadas sem qualquer uso de simbolismo algébrico, tais como, analisar relações entre quantidades, detectar a estrutura, estudar a mudança, generalizar, resolver problemas, modelar, justificar, provar e predizer (p. 149). Em consonância com esta autora, Cai & Moyer (2008) definem o pensamento algébrico nos primeiros anos como uma extensão da aritmética e da fluência de cálculo típicas dos primeiros anos de escolaridade à consideração mais profunda da estrutura matemática subjacente (p.170). O desenvolvimento do pensamento algébrico nos primeiros anos requer assim o desenvolvimento de modos de pensamento que resultam, entre outros, de detectar a estrutura, estudar a mudança, generalizar e justificar. Se os professores e os alunos trabalharem de forma integrada o pensamento aritmético e algébrico nos primeiros anos, a aritmética e a álgebra passarão a ser vistas como interligadas. E, deste modo, o estudo da álgebra nos anos subsequentes terá mais probabilidades de vir a ser facilitado por ser uma extensão natural da matemática dos primeiros anos. Esta visão alternativa da aritmética como uma parte da álgebra, na qual os números são tratados como instâncias de exemplos mais gerais (Schliemann, Carraher & Brizuela, 2007), destaca o facto de as ideias aritméticas, conceitos e técnicas terem um carácter potencialmente algébrico no sentido de que são generalizáveis. Neste enquadramento, ganha particular relevância o conceito de sentido do número. A aquisição do sentido do número envolve a compreensão do número e das operações e o seu uso para fazer juízos matemáticos e para desenvolver estratégias úteis para lidar com números e operações (McIntosh, Reys & Reys, 1992). Usiskin (1999) argumenta que é produtivo e sensato trabalhar a álgebra no 1º ciclo e que, mesmo sem se aperceberem, os professores ensinam e os alunos aprendem álgebra. Para justificar a sua tese, o autor define álgebra como uma linguagem com cinco aspectos fundamentais: incógnitas; fórmulas; padrões generalizáveis; representantes; e relações. Focamos aqui o terceiro ponto por ser o mais importante neste estudo. Por exemplo, multiplicar um número por 19 é o mesmo que multiplicá-lo por 20 e em seguida subtrair o número. Este é um caso especial da propriedade distributiva, cuja descrição algébrica é 19n = 20n n. Esta descrição gera uma analogia com a aritmética. Por exemplo, para resolver o problema de determinação da quantia gasta ao comprar 19 cadernos a 4 euros cada, podemos resolvê-lo através do cálculo mental, fazendo 19x4 = 20x4 4. Outro exemplo é descobrir que adicionar um número a si próprio é o mesmo que achar o seu dobro. Esta visão é consistente com a ideia de álgebra como aritmética generalizada (Kaput & Blanton, 2001). Uma das estratégias defendidas por estes autores para algebrizar o currículo de aritmética é a de ver a álgebra como a generalização e formalização de padrões, através de (a) generalizar as operações aritméticas, as suas propriedades e, nalguns casos, raciocinar acerca de relações mais gerais e suas formas (e.g. comutatividade, relações inversas); e (b)

3 construir generalizações acerca de propriedades numéricas ou relações particulares (e.g. a soma de ímpares é par). Outra ideia interessante neste domínio é a de quase-variáveis (Fujii & Stephens 2001; 2008). Este conceito relaciona-se com variáveis implícitas usadas pelos alunos em contextos aritméticos. Por exemplo, quando uma aluno descobre que a subtracção 32 5 pode ser realizada adicionando primeiro 5 a 32 e depois subtraindo 10; e seja qual for o número, subtrair 5 é o mesmo que adicionar 5 e depois subtrair 10. Esta estratégia de cálculo mental traduz de facto uma propriedade, a generalização de um procedimento aritmético. Assim, este trabalho com quase-variáveis representa uma ponte adequada entre a aritmética e a álgebra. Do que foi exposto depreende-se que o cálculo mental desenvolve o pensamento flexível, promove o sentido do número e encoraja a criatividade e um trabalho eficiente com números, e reciprocamente, um sentido do número mais apurado conduz por sua vez ao desenvolvimento de outras estratégias de cálculo mental. Verifica-se assim uma relação dialéctica entre estes dois aspectos. Um dos processos de criação e refinamento dessas estratégias é a identificação de padrões numéricos, tornando-se estes por sua vez a base da emergência do pensamento algébrico através da sua generalização. A EXPERIÊNCIA DIDÁCTICA Defendemos que é possível trabalhar a aritmética generalizada desde muito cedo, mas os professores devem estar conscientes da importância dos aspectos relacionados de modo a torná-los explícitos e valorizá-los no trabalho com os alunos. No que respeita ao cálculo mental, temos visto muitos alunos do 3º e mesmo do 4º ano que, para calcular , contam um a um pelos dedos. Deste modo, trabalhámos com os professores uma proposta didáctica que consiste, entre outros aspectos, na descoberta de padrões numéricos em tabelas. Numa primeira fase, utilizamos uma tabela dos 100 que é dada aos alunos. Numa fase posterior, as tabelas são construídas pelos próprios alunos com base em dados numéricos obtidos por contagens. Aos professores que frequentam este programa de formação as tarefas são apresentadas do mesmo modo que se espera que eles venham a utilizar com os seus alunos. Descrevemos de seguida os aspectos principais da exploração matemática que se pretende realizar com estes dois tipos de tarefas. Tarefa A A tabela dos 100 é uma matriz de 10x10 exibindo os cem primeiros números naturais em linha. A tabela deve ser analisada durante alguns minutos para procura, e em seguida comunicação, de descobertas iniciais próprias. Posteriormente, e aproveitando as descobertas surgidas, o professor deve chamar a atenção dos alunos para o facto de adicionar um, dois, três, observando o movimento nas células da tabela que corresponde a essas adições. O movimento oposto é identificado com a subtracção. Em seguida podem descobrir o padrão, quer visual quer numérico, de adicionar 10. Em vez de contar um a um pelas células, podem descer directamente na mesma coluna para a linha seguinte. Um movimento semelhante permite adicionar 20. São de realçar sempre os movimentos opostos que correspondem a subtrair 10, 20, etc. Outras estratégias visitadas envolvem adicionar e subtrair 11 e 9. Os alunos devem observar que 11 = , e identificar na tabela os movimentos correspondentes. O movimento oposto, subtrair 11, corresponde a subtrair 10 e depois subtrair mais 1. O caso de adicionar 9 é idêntico, consistindo em reparar que 9 = O movimento oposto subtrai 9 subtraindo 10 e em seguida adicionando 1.

4 -10-9= =+10+1 Estas são estratégias muito elementares que contudo necessitam de ser abordadas explicitamente. Defendemos que há bons modelos para apoiar o trabalho com números e operações, como por exemplo a recta numérica, mas é difícil usá-la para apoiar, por exemplo, o cálculo 58+27, se os alunos não conseguirem calcular mentalmente Por este motivo, os professores devem começar por conhecer e aplicar estratégias básicas de cálculo mental e a tabela dos 100 é claramente um bom recurso para o fazer. Defendemos também que é necessária uma certa prática de rotina para melhor interiorização destas estratégias. Sugerimos assim que os professores gastem dez minutos no princípio de cada aula de matemática com este trabalho. Tarefa B Usa-se um dado para marcar o número de partida e outro dado para estabelecer o salto. Por exemplo, se no primeiro dado sair 2 e no segundo sair 4, as crianças devem começar, à vez, a contar a partir do 2 e de 4 em 4. O trabalho pode ser feito com toda a turma. Faz-se depois o registo dos números saídos na busca de padrões. Quando tiver sido detectada uma repetição no algarismo das unidades podem escrever-se os números obtidos do seguinte modo: Assim, os próprios alunos constroem uma tabela com os dados obtidos que pode ser analisada do ponto de vista da descoberta de padrões. Os dados foram recolhidos em algumas turmas através de observação, reflexão acerca das aulas e análise do trabalho escrito de alunos.

5 ALGUNS EPISÓDIOS DE SALA DE AULA Apresentaremos alguns episódios recolhidos em aulas observadas que podem iluminar o processo de transferência da formação para o trabalho na sala de aula, interligando a teoria com a prática. Tarefa A Uma professora, com os seus alunos do 1º ano, começou a aula por fazer alguns exercícios de cálculo mental antes de passar à tarefa principal. Esses exercícios eram intencionalmente repetitivos, por exemplo: 6+2; 16+2; 26+2; 36+2; ; 14+3; 24+3; ; 15+4; 25+4; E de seguida, com o suporte da tabela dos 100, trabalhou as somas: 12+10; 15+10; 18+10; 24+10; 37+10; 42+10; A professora procurou em ambos os casos que os alunos reconhecessem os padrões para adicionar 2, 3, 4 e, finalmente, 10, realçando os movimentos. Particularmente no caso da soma de 10 unidades, mostrou concretamente que os 10 saltinhos de casa em casa a partir, por exemplo, do 26, conduziam ao número 36 que está localizado na mesma coluna na linha imediatamente abaixo, levando os alunos a concluir que, para adicionar 10, poderiam deslocar-se directamente para essa casa de baixo. Aproveitou também para relacionar com a operação inversa: Prof: Vamos somar 10 a 26. Olhem: 27, 28, 29, Dez saltos. Alunos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Prof: Onde fomos parar? Alunos: Abaixo. Prof: abaixo. Parámos na casinha de baixo. E agora, vamos ver: 38 mais 10? É contigo, Aluno 1. A1: 48. Prof: 48. E 48 menos 10, Aluno 2? A2: 38. Prof: Como é que chegaste lá? A2: Andei para trás. A professora continuou com outros casos do mesmo género, familiarizando os alunos com este processo de adicionar 10 e também com o processo inverso de subtrair 10. Já próximo do fim do ano a professora decidiu que tinha chegado a altura de testar a capacidade de cálculo mental dos alunos. Quando chegámos, cada aluno tinha um computador na sua frente, uma tabela dos 100 de cerca de 20x15 cm 2, plastificada, que poderiam utilizar para responder às questões que quiséssemos colocar-lhes com números até 100. Para não os atrapalhar, pois não conhecia exactamente o seu grau de competência, começámos por colocar a questão Ouviu-se da parte da turma um uf! desdenhoso que queria exprimir a facilidade da questão. Continuámos então com questões mais complexas, uma a cada aluno, seguindo a ordem dos lugares. Pudemos verificar que apenas um número reduzido de alunos não respondeu à primeira e, quando lhes pedimos para explicar a resposta, fizeram-no de forma correcta, alguns usando a imagem criada com a professora de que podiam descer pelas escadas de um em um ou então ir de elevador para o andar de baixo saltando de uma vez 10 degraus - ou dois andares (10+10), etc. Nós: [Para o Aluno 1] 27 mais 11? A1: 38. Nós: Boa! Como fizeste? Explica-nos. A1: Estava no 27, desci um andar e caminhei uma unidade à direita para o 38.

6 Houve muitas crianças que disseram que não precisavam do computador porque o melhor computador era a cabeça, e guardaram a tabela: Tarefa B Nós: [Para o Aluno 3] Para ti. Esta é difícil! Prof: Ele arrumou o computador. Nós: Ah, estou a ver! Então diz-me: 29+20? A3: 29 mais 20, 49. Nós: Muito bem. Como fizeste? A3: Fiz 29 mais 10 que é 39, depois mais 10 é 49. Noutra turma, esta do 2º e 3º ano, a professora optou pelo jogo dos dados para realizar contagens de dois em dois, três em três, quatro em quatro, etc. Os alunos começaram por contar à vez, a partir do número saído no primeiro dado e segundo o salto indicado pelo segundo dado, até percorrer a turma inteira. As primeiras experiências foram apenas de contagem e foram realizadas oralmente. Numa segunda fase, fizeram o registo em linha dos números saídos. A professora pediu então para descobrirem algum padrão nessa sequência de números. Um aluno realçou a repetição dos algarismos das unidades ao fim de alguns passos. Esta experiência foi feita com vários números de partida, mesmo para além do dado, e vários saltos. A professora sugeriu então que, quando surgisse um número em que houvesse repetição do algarismo das unidades, este fosse colocado debaixo do primeiro numa segunda linha. Todos os alunos fizeram nos seus cadernos este registo. Nas imagens seguintes pode observar-se o registo no quadro da mesma situação, neste caso começando no 15 e saltando de três em três. Outro padrão observado, para além da repetição do algarismo das unidades de dez em dez números, é que os números pertencem à tabuada do três, ou seja, são múltiplos de três. A professora então assinalou algumas casas da tabela entretanto construída e pediu aos alunos para as preencherem com o número respectivo, incentivando a descoberta de outro padrão: De linha para linha há um salto de 30 unidades. Descobriram assim, sem precisar de preencher totalmente a tabela, algumas casas distantes. Houve ainda lugar à justificação de algumas descobertas, na sequência do questionamento feito pela professora: Prof: Porque é que os números são todos múltiplos de 3? A1: Porque contamos de três em três.

7 Prof: Só? A2: E começámos no 15, que também é da tabuada do 3. E, noutro caso: Prof: Porque é que saltam de linha para linha de 30 em 30? A3: Porque há dez números em cada linha que saltam de três em três. A4: E 3x10 é 30! Estes dois exemplos ilustram as ideias que se desenvolveram inicialmente sobre a relação dialéctica entre o sentido do número e estratégias de cálculo mental, onde é realçada a importância da descoberta de padrões numéricos e da sua explicitação na construção de regras que os alunos vão descobrindo e refinando. Por outro lado, mais uma vez se verifica que os professores estão no ponto de viragem entre a estrutura matemática e o desenvolvimento da criança. Ao decidir em que ideias incidir, puxando e apoiando os alunos individualmente, cada um ao seu ritmo, ou ainda com ideias gerais para o grupo, questionando-os de forma intencional e orientada, estão a contribuir para que os alunos façam matemática. Nos episódios descritos, as professoras ajudaram a criar a base da emergência do pensamento algébrico através da generalização de padrões numéricos detectados pelos alunos, e no último caso descrito abrangendo a fase da justificação, o que permitiu transformar as conjecturas feitas em propriedades matemáticas. DISCUSSÃO E CONCLUSÕES As professoras comentaram na reflexão sobre as aulas que os alunos se mantinham muito entusiasmados com este trabalho, gostavam muito de matemática e pediam sempre mais tarefas matemáticas desafiantes mesmo quando a professora queria mudar de tema. Estes aspectos foram também objecto de observação. As professoras realçam, no entanto, que a evolução visível na aprendizagem matemática dos seus alunos não é obtida gratuitamente. É resultado de um trabalho duro e diário com as seguintes características: (a) Foca-se na descoberta de padrões numéricos. Ambas afirmaram ter gasto bastante tempo nas aulas de matemática com tarefas de descoberta e generalização de padrões; (b) Exige a verbalização e a aplicação das descobertas feitas. Ambas salientam as vantagens da comunicação oral, afirmando que a exigência de verbalização contribui para uma melhor compreensão quer da parte do aluno que expõe quer dos colegas; e (c) apoia-se na valorização explicita deste trabalho pelo professor, o que estimula os alunos a investir e desenvolver as suas competências neste domínio. De facto, ambas as professoras realçaram que dão muita importância à exploração de exercícios de cálculo mental, transmitindo aos alunos esse gosto e apreensão da importância. De notar ainda um facto importante: a tabela dos cem, na turma do 1º ano, é um recurso transitório que a professora pretende e espera que venha a ser progressivamente abandonado pelos alunos à medida que interiorizam, através da descoberta de padrões, diversas estratégias de cálculo mental, como aliás se observou que acontecia já com alguns alunos. A evidência recolhida permitiu concluir, particularmente nos alunos do 1º ano, que estes se envolvem entusiasticamente em tarefas matemáticas desafiantes desde muito cedo (5-6 anos) e tiveram um grande desenvolvimento do seu cálculo mental. A descoberta e generalização de padrões numéricos, para além de gerar estratégias de

8 cálculo mental que podem ser uma ferramenta de cálculo poderosa, evidencia a estrutura numérica e as relações e propriedades de números e operações, promovendo assim o pensamento algébrico dos alunos mesmo em níveis de escolaridade iniciais. Deste modo, acreditamos que estamos a contribuir para tornar a matemática elementar mais profunda e consistente. REFERÊNCIAS Cai, J. & Moyer, J. (2008). Developing Algebraic Thinking in Earlier Grades: Some Insights from International Comparative Studies. In Carole Greenes & Rheta Rubenstein (Eds.), Algebra and Algebraic Thinking in School Mathematics Seventieth Yearbook (pp ). Reston: NCTM. Fujii, T. & Stephens, M. (2001). Fostering an Understanding of Algebraic Generalization through Number Expressions: The Role of Quasi-variable. Proceedings of 12th ICMI Study Conference, The Future of the Teaching and Learning of Algebra. Melbourne, Australia. Fujii, T. & Stephens, M. (2008). Using Number Sentences to Introduce the Idea of Variable. Em Carole Greenes & Rheta Rubenstein (Eds.), Algebra and Algebraic Thinking in School Mathematics Seventieth Yearbook (pp ). Reston: NCTM. Kaput, J. & Blanton, M. (2001). Algebrafying the Elementary Mathematics Experience. Part I: Transforming Task Structure. Proceedings of the ICMI-Algebra Conference. Melbourne, Australia, Dec Retirado em 1 de Outubro, 2008 de ementary%20mathematicspart%20i.pdf Kieran, C. (2004). Algebraic Thinking in the Early Grades: What is it?. Mathematics Educator, Vol.8, No.1, McIntosh, A., Reys, B. & Reys, R. (1992). A Proposed Framework for Examining Basic Number Sense. For the Learning of Mathematics 12, 3. FLM Publishing Association, White Rock, British Columbia, Canada. Mason, J. (1996). Expressing Generality and Roots of Algebra. In N. Bednarz, C. Kieran & L. Lee (Eds.), Approaches to Algebra (pp.65-86). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Ministério da Educação (ME) - DGIDC (2007). Programa de matemática do Ensino Básico. Retirado em 7 de Janeiro, 2008 de Ministério da Educação (2001). Currículo nacional para o ensino básico. Competências essenciais. Lisboa: ME-DEB. Ministério da Educação (2005). Programa de Formação Contínua em Matemática para professores do primeiro ciclo do ensino básico. Retirado em 27 de Fevereiro, 2007 de National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston: NCTM. Schliemann, A., Carraher, D. & Brizuela, B. (2007). Bringing out the algebraic character of arithmetic. From children s ideas to classroom practice. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. Usiskin, Z. (1999). Doing Algebra in Grades K-4. In Barbara Moses (Ed.), Algebraic thinking, grades K-12 Readings from NCTM s School-Based Journals and Other Publications. Reston: NCTM.

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