UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ENERGIA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ENERGIA Incorporação do Modelo de Transformadores com Tape em Quadratura em Estudos de Fluxo de Potência Construído no Domínio de Números Complexos Matheus Tavares Barbosa Itajubá, setembro de 2018

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ENERGIA Matheus Tavares Barbosa Incorporação do Modelo de Transformadores com Tape em Quadratura em Estudos de Fluxo de Potência Construído no Domínio de Números Complexos Monografia apresentada ao Instituto de Sistemas Elétricos e Energia, da Universidade Federal de Itajubá, como parte dos requisitos para obtenção do título de Engenheiro Eletricista. Orientador: Prof. Robson Pires Itajubá, setembro de 2018 ii

3 Dedico este trabalho aos meus avós, Neuza e José Helio Tavares, minha mãe, Helen, meus irmãos, e toda minha família. iii

4 Agradecimentos Agradeço a Deus por me transmitir força, foco e fé que me acompanharam ao longo desses anos e que não me permitiram desistir. Agradeço a toda minha família, que com muito carinho e apoio, não mediu esforços para a realização do meu sonho e sempre estiveram ao meu lado. Agradeço a todos os meus amigos que estiveram presentes ao longo destes anos, e que me ajudaram e me deram força. Agradeço a todos professores e funcionários da Universidade Federal de Itajubá, que participaram direta ou indiretamente da minha formação acadêmica. Em especial, agradeço ao Professor Robson C. Pires pela dedicação, disponibilidade e paciência na orientação ao longo deste trabalho, e também ao Professor José Carlos Goulart de Siqueira, que através de todo sua paixão pela engenharia, me motivou desde o início no curso de Engenharia Elétrica. Por fim, agradeço a todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação. iv

5 Resumo São várias as soluções inovadoras propostas para melhorar a qualidade e o desempenho dos sistemas elétricos de potência e industriais em todo o mundo. Cada vez mais os sistemas são permeados por formas diferentes de geração de energia, como por exemplo energias renováveis, a saber a energia solar e eólica entre outras, e por uso intensivo de sistemas de transmissão em corrente contínua, evoluindo para sistemas híbridos. Priorizando a confiabilidade e continuidade da prestação dos serviços de energia elétrica, há de se realizar inúmeras simulações e análises desses sistemas com foco no planejamento da expansão e operação das redes elétricas. Assim sendo, este trabalho tem como objetivo a análise da implementação de Phase-Shifting Transformers em um fluxo de potência construído num sistemas unificado de coordenadas complexo conjugado via algoritmo de Newton- Raphson. Os métodos convencionais foram desenvolvidos no domínio dos números reais, o que pode representar algumas dificuldade de modelagem alguns tipos de dispositivos FACTS, tais como a implementação de dispositivos tipo STATCOM e unidades Voltage- Source-Converter - VSC presentes nas interligações assíncronas nos modos operativos back-to-back e links HVDC. Portanto, este trabalho busca evidenciar a praticidade do modelo desenvolvido no plano complexo em relação ao modelo desenvolvido no domínio real. Palavras chave: Plano complexo. Fluxo de Potência, Phase-Shifting Transformer, Newton-Raphson, v

6 Abstract A number of innovative solutions are proposed to improve the quality and performance of electric industrial and power systems worldwide. Increasingly, systems are permeated by different forms of energy generation, such as renewable energies, namely solar and wind energy, to cite a few, and by the intensive use of direct current transmission systems, evolving into hybrid systems. Prioritizing the reliability and continuity of the power industry services, there will be numerous simulations and analyzes of these systems focused on the planning of the expansion and operation of the electric networks. Thus, this work has the objective of analyzing the implementation of Phase-Shifting Transformers in a power flows analysys constructed in a unified complex conjugated coordinate systems through the Newton-Raphson algorithm. The conventional methods have been developed in the real-number domain, which may represent some difficulty in modeling some types of FACTS devices, such as the implementation of STATCOM-like devices and Voltage- Source-Converter (VSC) units which is presented in the asynchronous interconnections as in the back-to-back operating mode and HVDC links. Therefore, this work seeks to evidence the practicality of the model developed in the complex plane in relation to the model developed in the real domain. Key words: Power Flow, Phase-Shifting Transformer, Newton-Raphson, Complex Domain. vi

7 Lista de Figuras 1.1 PST Aplicado entre Alemanha e França PST Aplicado entre França e Itália PST Aplicado na Belgica PST instalado em Angra dos Reis, RJ Princípio de Funcionamento Funcionamento do PST Parte Ativa Excitação Parte Ativa Série Ligação OLTC PST Modelo da Siemens Gráfico de Contorno de uma Função Real de Variáveis Complexas Diagrama Unifilar - Primeiro Sistema Diagrama Unifilar - Segundo Sistema Perfil de Ângulo e Tensão nas Barras - Primeiro Caso Simulação no Anarede - Primeiro Caso Perfil de Ângulo e Tensão nas Barras - Segundo Caso Simulação no Anarede - Segundo Caso Perfil de Ângulo e Tensão nas Barras - Terceiro Caso Simulação no Anarede - Terceiro Caso Convergência de Módulo e Ângulo - PST Como Defasador Puro Convergência de Módulo e Ângulo - PST Para Controle de Tensão Local Convergência de Módulo e Ângulo - PST Para Controle de Tensão Remota Perfil de Ângulo e Tensão nas Barras - Segundo Sistema Simulação no Anarede - Segundo Sistema Convergência de Módulo e Ângulo vii

8 Lista de Tabelas 4.1 Dados das Impedâncias dos Ramos Tipos de Barras - Defasador Puro Tipos de Barras - PST Para Controle Local Tipos de Barras - PST Para Controle Remoto Tensão Especificada na Barra Slack - Primeiro Caso Injeção de Potência Especificada nas Barras - Primeiro Caso Especificações do PST - Primeiro Caso Tensão nas Barras - Primeiro Caso Tape do PST - Primeiro Caso Injeção de Potência nas Barras - Primeiro Caso Fluxo de Potência nos Ramos - Primeiro Caso Tensão Especificada na Barra Slack - Segundo Caso Módulo de Tensão Especificado na Barra Três - Segundo Caso Injeção de Potência Especificada nas Barras - Segundo Caso Especificações do PST - Segundo Caso Tensão nas Barras - Segundo Caso Tape do PST - Segundo Caso Injeção de Potência nas Barras - Segundo Caso Fluxo de Potência nos Ramos - Segundo Caso Tensão Especificada na Barra Slack - Terceiro Caso Módulo de Tensão Especificado na Barra Três - Terceiro Caso Injeção de Potência Especificada nas Barras - Terceiro Caso Especificações do PST - Terceiro Caso Tensão nas Barras - Terceiro Caso Tape do PST - Terceiro Caso Injeção de Potência nas Barras - Terceiro Caso Fluxo de Potência nos Ramos - Terceiro Caso Tensão Especificada na Barra Slack - Segundo Sistema viii

9 4.29 Módulo de Tensão Especificado na Barra Três - Segundo Sistema Cargas Especificadas nas Barras - Segundo Sistema Geração de Potência Especificada nas Barras - Segundo Sistema Especificações do PST - Segundo Sistema Tensão nas Barras - Segundo Sistema Tape do PST - Segundo Sistema Injeção de Potência nas Barras - Segundo Sistema Fluxo de Potência nos Ramos - Segundo Sistema Variação do Vetor das Variáveis de Estado - Domínio Complexo Variação do Vetor das Variáveis de Estado - Domínio Real Variação do Vetor de Mismatch - Domínio Complexo Variação do Vetor de Mismatch - Domínio Real Variação do Vetor de Atualização - Domínio Complexo Variação do Vetor de Atualização - Domínio Real ix

10 Sumário 1 Introdução Aspectos Estruturais do PST Objetivos Estrutura e Breve Descrição Fundamentação Matemática Diferenciabilidade Complexa Cálculos de Wirtinger Equações para Fluxo de Potência Equações no Domínio Real Derivadas Parciais das Equações do Fluxo de Potência no Domínio Real Equações no Domínio Complexo Cálculo de Wirtinger Aplicado às Equações Fluxo de Potência no Plano Complexo Tipos de Barras Barra Slack ou Barra de Referência Barra PQ Barra PV Barra PQV Equações de Mismatch para o PST Solução Iterativa - Algoritmo de Newton-Raphson Estudo de Caso Definição do Sistema Elétrico Estudado Estruturação do Fluxo de Potência PST como Defasador Puro PST Para Controle de Tensão Local PST Para Controle de Tensão Remota x

11 4.3 Soluções Numéricas Para o Primeiro Sistema Primeiro Caso - PST Como Defasador Puro Segundo Caso - PST Para Controle de Tensão na Barra Três Terceiro Caso - PST Para Controle de Tensão na Barra Quatro Análise de Convergência Para os Casos do Primeiro Sistema Soluções Numéricas Para o Segundo Sistema PST Com Fluxo Inverso e Controle de Tensão Análise de Convergência do Caso do Segundo Sistema Conclusão 56 Referências Bibliográficas 57 xi

12 1 Introdução O constante aumento do consumo de energia elétrica associado às restrições de meio ambiente tem forçado as empresas a usarem os seus sistemas de transmissão com alta eficiência e confiabilidade para garantir a energia requerida no tempo e na quantidade certa, ou seja, demanda de uma flexibilidade operativa cada vez maior. Uma maneira de garantir essa confiabilidade, eficiência, e flexibilidade operativa ao sistema seria o uso de transformadores defasadores, chamados Phase-Shifting Transformers (PST ). A experiência mundial nos últimos anos vista em [1], [2], [3], tem sido focada principalmente na utilização de transformadores defasadores no controle de fluxo de potência em sistemas paralelos. O objetivo é manter estes fluxos dentro dos contratos de acesso e transporte de potência no sistema de transmissão. Neste caso é necessário a aplicação de transformadores com derivações angulares ajustáveis sob carga para que se tenha um ajuste preciso no controle do fluxo de potência. Sendo assim, o objetivo do uso de PSTs é controlar o carregamento de potência ativa numa linha de transmissão. Tal aplicação é uma das soluções para se evitar sobrecargas em linhas de transmissão de energia elétrica quando esta integra uma rede elétrica protagonizada como um mercado de energia elétrica. A opção de compra e venda de blocos de energia elétrica entre dois agentes quaisquer, pode violar os limites operacionais de linhas de transmissão e/ou transformadores de outros agentes que também operam nesse mesmo mercado de energia. Abaixo, seguem algumas imagens retiradas de um catálogo da ABB de modelos de PSTs aplicados em alguns países ao redor do mundo. 12

13 Figura 1.1: PST Aplicado entre Alemanha e França 600 MVA, 400 kv RWE/ Amprion, Cliente Alemanha Um transformador 600 MVA, Entrega 230 kv, ±20 Aumentar e equilibrar o Propósito fluxo de potência entre a Alemanha e a França Ano 2011 Fonte: ABB Figura 1.2: Itália PST Aplicado entre França e 1630 MVA, 400 kv Cliente Terna, Itália Dois transformadores Entrega 1630 MVA, 400 kv, ±18 Aumentar a transferência de energia elétrica da Propósito França para a Itália e aumentar a confiabilidade do sistema Ano 2003 Fonte: ABB 13

14 Figura 1.3: PST Aplicado na Belgica 1400 MVA, 400 kv Cliente Elia, Bélgica Entrega Três transformadores 1400 MVA, 400 kv, ±25 Propósito Otimizar o fluxo de potência e aumentar a confiabilidade do sistema na rede da Bélgica Ano 2007 Fonte: ABB Figura 1.4: PST instalado em Angra dos Reis, RJ Cliente Especificação 240/400 MVA, 138 kv Furnas, Brasil 240/400 MVA, 138/138 kv, ±21.6 Fonte: Furnas 14

15 1.1 Aspectos Estruturais do PST O PST pode ser construído para proporcionar a variação de ângulo de fase discreta, contínua ou uma combinação de ambos. Alguns projetos permitem a variação da magnitude, bem como o controle de fase. Estes transformadores podem ser construídos com muitas configurações de enrolamento, dependendo da tensão nominal, potência de saída, e se o controle da tensão linear também é necessário. Se uma mudança de fase variável é desejada, um On-Load Tap-Changer (OLTC ) é necessário. OLTC s são usados para fornecer várias posições de tape para toda a escala do ângulo desejado [1]. Neste trabalho é utilizado o modelo de PST tanto como defasador puro, onde somente o ângulo é variável, como o PST variando a magnitude de tensão e o ângulo, sendo possível o ajuste de tensão local ou remota e também o ajuste da potência ativa na linha desejada. A seguir, algumas figuras que ilustram um pouco a estrutura, ligações e aspectos do PST. Figura 1.5: Princípio de Funcionamento Fonte: ABB 15

16 Figura 1.6: Funcionamento do PST Fonte: ABB Figura 1.7: Parte Ativa Excitação Fonte: ABB 16

17 Figura 1.8: Parte Ativa Série Fonte: ABB Figura 1.9: Ligação OLTC Fonte: ABB 17

18 Figura 1.10: PST Modelo da Siemens Fonte: Siemens 1.2 Objetivos Para solucionar aplicações em sistema de potência, são desenvolvidos métodos numéricos tipicamente no domínio real. Porém estas soluções no domínio real não são, de certa forma, adequadas para modelagem de fasor de tensão e de corrente, que foram introduzidas por Steinmetz [4], [5]. Para contornar essa dificuldade, algoritmos iterativos e não iterativos realizados no domínio complexo foram desenvolvidos recentemente. Visto que o futuro do sistema elétrico se encaminha para um sistema feito de redes híbridas, permeadas tanto por transmissão em corrente alternada, quanto por transmissão em corrente contínua, além das fontes renováveis de geração de energia, há uma grande necessidade do desenvolvimento de modelos que permitam uma análise mais fácil desse tipo de sistema. Como o sistema de transmissão em corrente contínua se utiliza de conversores, em [6], [7] e [8] vemos que o modelo para esse tipo de tecnologia é feito através de PSTs. Então, este trabalho final de graduação trata justamente de algoritmos utilizando equações no domínio complexo para solução de fluxo de potência utilizando-se de PSTs instalados em linhas de transmissão. Para isso, é feito a implementação e simulação de cenários de compra e venda de blocos de energia entre dois agentes quaisquer para evidenciar a efetividade da solução proposta, analisando o fluxo de potência entre os agentes através do método de 18

19 Newton-Raphson com equações no domínio complexo, e as comparando com as soluções no domínio real, podendo, deste modo, evidenciar as diferenças e vantagens entre os dois domínios. Demonstrando assim que o sistema de resolução no domínio complexo pode ser aplicado em várias outras situações. Esta analise é feita através de resultados obtidos com algoritmo para cálculo de um determinado fluxo de potência, onde foi implementado no software MATLAB, e simulado também, para verificação de resultados, no software Anarede. 1.3 Estrutura e Breve Descrição Este trabalho se inicia com uma breve fundamentação matemática, onde é explicado a diferenciabilidade complexa e os cálculos de Wirtinger. Em seguida, é feita a formulação das equações do fluxo de potência e suas derivadas tanto no domínio real quanto no domínio complexo, assim como a definição dos tipos de barras, e elucidação da solução iterativa do método de Newton-Raphson tanto para o domínio complexo como para o domínio real. Posteriormente, é trazido o estudo de caso, onde são estruturadas e demonstradas as simulações de vários casos para o método proposto. Por fim, é feito a conclusão através dos resultados obtidos e experiências obtidas ao longo do trabalho. 19

20 2 Fundamentação Matemática 2.1 Diferenciabilidade Complexa Uma função complexa é definida como f(z) = u(x, y) + j v(x, y), (1) onde x = (a + jb) e u(a, b), v(a, b) são funções reais, u, v: R 2 R. Funções do tipo (1) são geralmente complexas, mas em casos especiais podem ser reais. A definição da diferenciabilidade complexa requer que as derivadas definidas no limite sejam independentes da direção em que x se aproxima de 0 no plano complexo. f f(x + x) f(x) (x 0 ) = lim x 0 x (2) Isso requer que as equações de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas, i.e., u x = v y, v x = u y. (3) Essas condições são necessárias para f(x) possuir uma diferenciabilidade complexa. Se as derivadas parciais de u(a, b) e v(a, b) são continuas nos seus domínios, então elas são suficientes. Portanto, a função complexa f(x) é chamada de função analítica ou holomórfica [9]. Como por exemplo, seja f(x) = x 2 uma função complexa com x = a + jb. Então, f(x) = x 2 = a 2 b 2 + j2ab = y (4) Onde: u = a 2 b 2 (5) v = 2ab (6) Assim, aplicado a derivação u a = 2a = v b = 2a, ( ) u v b = 2b = a = 2b. (7) 20

21 Estes resultados mostram que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e, portanto, f(x) = y = x 2 é uma função holomórfica. 2.2 Cálculos de Wirtinger Introduzido por Wilhelm Wirtinger em 1927 [10], providencia uma maneira para diferenciar funções não-analíticas de variáveis complexas. Especificamente, esse calculo é aplicado para a função f(x) dado em (1) se u(a, b) e v(a, b) tem derivadas parciais continuas em relação a a e b, assim f x = f a a x + f b b x. (8) Assim, temos que a = x + x, a = 2 b = j x x 2 x + x, (9) 2, b = x x, (10) 2 e fazendo x x tender a zero, fica f x = 1 ( f 2 a j f ). (11) b Note que as condições de Cauchy-Riemann para f( ) ser analítica em x podem ser expressa compactamente usando o gradiente f x = 0, i.e., f(v) é uma função somente de x. Similarmente, se pegarmos a derivada de f( ) em relação a x, fica, f x = f a a x + f b b x. (12) fazendo x x igual a zero, temos f x = 1 ( f 2 a + j f ). (13) b Novamente, as condições de Cauchy-Riemann para f( ) ser analítica em x podem ser expressadas compactamente usando o gradiente como f x função de x. = 0, i.e., f( ) é somente Em outras palavras, o operador gradiente (respectivamente o gradiente conjugado) age como uma derivada parcial em relação a x (respectivamente a x ), tratando 21

22 x (respectivamente x) como uma constante. Formalmente, temos f(x c ) x = f(x, x ) x = 1 x =Const. 2 ( f a j f ), (14) b f(x c ) = f(x, x ) x x = 1 x=const. 2 Como um exemplo, f(x c ) = f(x, x ) = x x = x 2 ( f a + j f ). (15) b = a 2 + b 2, é uma função de variáveis complexas a qual é o quadrado da distância Euclidiana até a origem, com x = a + jb. Então f(x c ) = f(x, x ) = x x = a 2 + b 2 + j(ab ab) = y, sendo u = a 2 + b 2 e v = (ab ab) = 0. Como v = 0, claramente as equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas e, portanto, f(x c ) = f(x, x ) = x x não é uma função analítica ou holomórfica. Para superar essa aparente dificuldade, aplica-se o Calculo de Wirtinger, então f(x c ) x = x f(x c ) x = x, o que sugere a interpretação geométrica mostrada na figura 2.1. Sua análise nos permite inferir que a direção da taxa máxima de mudança da função objetivo é dada pelo gradiente conjugado definido em (15). Observe que sua direção positiva é referida como um problema de maximização, enquanto a direção oposta diz respeito à minimização da função de custo. Figura 2.1: Gráfico de Contorno de uma Função Real de Variáveis Complexas Fonte: Autoria do Orientador Prof. Robson C. Pires 22

23 3 Equações para Fluxo de Potência 3.1 Equações no Domínio Real As equações gerais para o fluxo de potência dado no domínio real, que modelam qualquer tipo de ramificação em uma rede elétrica, são as seguintes: ( 1 ) 2 ( 1 ( 1 P km = a V k g km a k) V V mg km cos(θ km φ km ) a k) V V mb km sen(θ km φ km ) (16) ( 1 ) 2 ( Q km = a V k (b km + b sh 1 ) ( 1 ) km) + a V k V mb km cos(θ km φ km ) a V k V mg km sen(θ km φ km ) (17) ( P mk = (V m) 2 1 ( 1 g mk a k) V V mg mk cos(θ mk + φ km ) a k) V V mb mk sen(θ mk + φ km ) (18) ( Q mk = (V m) 2 (b mk + b sh 1 ( 1 mk) + a k) V V mb mk cos(θ mk + φ km ) a k) V V mg mk sen(θ mk + φ km ) (19) No caso de linhas de transmissão, a = 1 e φ km = 0. Para transformadores em fase, b sh km = 0 e φ km = 0. Para os defasadores puros, b sh km defasadores, b sh km = 0 [11]. = 0 e a = 1. Finalmente, para os As equações gerais do fluxo de potência no domínio real foram obtidas de [11] sendo adaptadas para a relação de transformação ae jφ : 1, onde o tape é no primário, sendo que em [11] usa-se o tape no secundário do transformador. e As potência em um determinado nó são definidas como P k = Q k = N m Ω i P km (20) N m Ω i Q km (21) Onde Ω i em (20-21) é o conjunto de barramentos vizinhos conectados ao nó k, e N é o número total de barras ligadas também ao nó k. 3.2 Derivadas Parciais das Equações do Fluxo de Potência no Domínio Real Aqui, são aplicadas as regras já conhecidas de Cálculo para obtenção das derivadas parciais das equações do fluxo de potência no domínio real. 23

24 Então, aplicando as regras de derivada parcial a (16) temos: ( P km 1 = 2 V k a ( P km 1 = V m ( P km 1 = θ k a V k ( P km 1 = θ m P km a = P km φ km = ) 2 ( ) ( ) 1 1 V k g km V m g km cos(θ km φ km ) V m b km sen(θ km φ km ), (22) a a ) ( ) 1 a V k g km cos(θ km φ km ) a V k b km sen(θ km φ km ), (23) ) ( ) 1 V m g km sin(θ km φ km ) a V k V m b km cos(θ km φ km ), (24) ) ( ) 1 a V k V m g km sin(θ km φ km ) + a V k V m b km cos(θ km φ km ), (25) ( ) ( ) ( ) a 3 V 2 k g km a 2 V k V m g km cos(θ km φ km ) a 2 V k V m b km sen(θ km φ km ), (26) ( ) ( ) 1 1 a V k V m g km sin(θ km φ km ) + a V k V m b km cos(θ km φ km ). (27) Aplicando as regras de derivada parcial a (17) temos: ( Q km 1 = 2V V k k a Q km = V m Q km = θ k Q km = θ m ( Q km 2 ) = a km a 3 Q km = φ km ) 2 ( (b km + b sh 1 ) ( 1 ) km) + V mb a km cos(θ km φ km ) V mg a km sen(θ km φ km ), (28) ( 1 a V k) b km cos(θ km φ km ) ( 1 a V k ( 1 a V k) V mb km sin(θ km φ km ) ( 1 a V k ) g km sen(θ km φ km ), (29) ) V mg km cos(θ km φ km ), (30) ( 1 ( 1 ) a k) V V mb km sin(θ km φ km ) + a V k V mg km cos(θ km φ km ), (31) V 2 k (b km + b sh km) + ( 1 a 2 V k ( 1 a V k) V mb km sin(θ km φ km ) + ( 1 a V k ) V mb km cos(θ km φ km ) ( 1 a 2 V k ) V mg km sen(θ km φ km ), (32) ) V mg km cos(θ km φ km ). (33) As derivadas referentes a (18) e (19) são facilmente obtidas através das aplicações clássicas de derivadas parciais igualmente aplicadas às equações anteriores. 3.3 Equações no Domínio Complexo Nesta seção são apresentadas as equações de um fluxo de potência, através de equações complexas, derivadas diretamente do trabalho de Wirtinger [10], em contraste com a abordagem dada por [12], [13]. A modelagem de fluxo de potência tem base nas equações nodais clássicas apresentadas em [14]. A abordagem do modelo analítico é derivada através das equações gerais do fluxo de potência. A principal razão para esta última opção é o modelo do transformador com posição de tape fora do nominal, incluindo PSTs [15], [16]. As equações de fluxo de potência de variáveis complexas que modelam qualquer tipo de ramificação em uma rede elétrica, ou seja, linhas de transmissão e PSTs são: 24

25 ( y S km = V km k a km a km ) j b sh km V k V k y km a km V m, (34) S mk = V m ( y km j b sh km ) V ykm m V m a V k (35) km e S km = V k S mk = V m ( ykm ) + j b sh km a km a km ( ykm + j bkm) sh Vm Vm V k V k y km a km V m, (36) y km a km V k. (37) No conjunto de equações (34-37), o modelo geral do transformador de derivação com tape fora do nominal é composto por um transformador ideal com relações ae jφ : 1 em série com sua admitância ou impedância [15]. A potência em um determinado nó é definida como N S k = S km (38) m Ω i e N Sk = Skm (39) m Ω i Onde Ω i em (38-39) é o conjunto de barramentos vizinhos conectados ao nó k e N é o número total de barras ligadas ao nó k. 3.4 Cálculo de Wirtinger Aplicado às Equações Fluxo de Potência no Plano Complexo A seguir, é apresentado o conjunto de derivadas parciais de equações complexas utilizadas no método de Newton-Raphson. 25

26 Então, aplicando o calculo de Wirtinger em relação a (34) temos: S km V k ( y = km V k =Const a km a km S km Vk Vk =Const S km V m S km Vm S km a km ) j b sh km Vk y km ( y = V km k j b sh a km a km km V a m, (40) km ), (41) = 0.0, (42) V m =Const ykm = V k, (43) Vm=Const a km ( ) y = V km k V ykm a km =Const a 2 km a k + V k V km a m, (44) 2 km ( ) ykm = V k V a km (a km )2 k. (45) S km a km akm =Const Em relação a (35) temos: S mk V m S mk V m V m =Const Vm=Const = ( y km j b sh km ) V m y km a km V k, (46) = V m ( y km j b sh km), (47) S mk V k = 0.0, (48) V k =Const S mk ykm Vk = V m, (49) Vk =Const a km a km = 0.0, (50) a km =Const S mk S mk a km akm =Const Em relação a (36) temos: S km V k Skm Vk S km V m S km V m V k =Const = Vk =Const V m =Const = V m y km (a km )2 V k. (51) ( = Vk ykm a km a km ( ykm = V k a km a km ) + j b sh km, (52) + j b sh km ) V k y km a km V m, (53) y km, (54) a km = 0.0, (55) Vm=Const 26

27 Skm a km a km =Const Skm a km akm =Const ( = Vk ykm = V k ( a km a2 km y km (a km )2 a km ) V k, (56) ) V k + V k y km (a km )2 V m. (57) E finalmente, em relação a (37) temos: S mk V k Smk Vk S mk V m = V y km m, (58) V k =Const a km = 0.0, (59) Vk =Const ( = Vm ykm + j bkm) sh, (60) V m =Const = ( ) y km + j b sh km Vm y km V k, (61) a km Smk Vm Vm=Const Smk a km Smk a km = V y km m V a km =Const a 2 k, (62) km = 0.0. (63) akm =Const 3.5 Tipos de Barras Barra Slack ou Barra de Referência A tensão na barra slack já é conhecida, uma vez que o valor da magnitude e do ângulo são especificados para a barra de referência so sistema Barra PQ Com a potência ativa e reativa especificadas para o nó PQ, as funções de mismatches complexas são expressas por: M k = S k (P ks + j Q ks ), (64) Mk = Sk (P ks j Q ks ). (65) Da mesma forma, as funções no domínio real são dadas por: P k = P k calc P ks, (66) Q k = Q k calc Q ks. (67) 27

28 Onde P ks e Q ks, são as potências ativas e reativas especificadas no nó k, respectivamente, e P calc k e Q calc k são as potências calculadas em cada processo iterativo Barra PV Como a geração de potência ativa e a magnitude da tensão terminal em uma barra P V são ambas especificadas, ou seja, P ks e V ks, respectivamente, a soma de M k em (64) e Mk em (65) fornece a função residual complexa, M kg, que está relacionada com a restrição de potência ativa da seguinte forma: M kg = M k + M k, = S k + S k 2 P ks. (68) A segunda função residual complexa E kg para um nó gerador k é formada usando a restrição de magnitude de tensão dada por E kg = V k 2 V ks 2, (69) onde V ks é a magnitude de tensão especificada no nó k. Assim V k 2 = V k Vk, então (69) pode ser expressa no domínio complexo como E kg = V k V k V ks 2. (70) Também para o domínio real, com a geração de potência ativa e a magnitude da tensão terminal em uma barra P V especificadas, a equação de restrição no domínio real é dada apenas por (66). Assim, V k, onde k é o nó PV, permanece igual ao valor especificado Barra PQV Este tipo de barramento é referido ao modelo On-Load-Tap-Changer (OLTC ), que pode ser um transformador para regulagem de tensão de barramento local ou próximo, ou um transformador de deslocamento de fase para controlar o fluxo de potência ativa transmitida por uma linha [17], ou ambos. Ele também é adequado para modelar um link DC [7], [8], [6], [18]. Como a demanda de potência ativa e reativa é especificada, as funções de mismatches complexas, conforme declarado em (64) e (65), são empregadas. 28

29 No entanto, vale lembrar que a posição do tape do OLTC nos permite regular a magnitude da tensão e também a potência ativa transmitida na linha. Vamos supor que há um defasador puro que controle apenas a potência ativa na linha, isto leva às a usar além das equações (64) e (65), a seguinte função de mismatch: Ma km = a km a km a s 2, (71) onde a s = 1, caracterizando assim um defasador puro, e M a é a equação de restrição para o módulo de a km, que deve permanecer em 1. Para o domínio real, as funções de mismatches são dadas pelas funções (66) e (67), sendo que a km, onde k é o nó PQV, permanece igual ao valor especificado, no caso, a = 1 para configurar o defasador puro. Supondo agora que a tensão do barramento m é regulada, temos então, além das funções (64) e (65), a seguinte função de mismatch: E m = V m V m V ms 2. (72) Em (72), V ms é o módulo da tensão especificada no nó m, ou seja, a tensão nodal regulada. Quando há apenas o controle de tensão pelo tape, ou seja, o transformador é usado apenas para controle de tensão, e não para controle de potência ativa e tensão, é necessário adicionar a seguinte equação de mismatch: M m = a km a km. (73) Essa equação faz com que a parte imaginária do tape seja igual a zero, sendo o tape apenas real, sem defasamento angular, controlando assim apena o módulo de tensão. E para o domínio real, as equações de mismatches são dadas por (66), (67). Sendo que, V ms permanece no valor especificado, não entrando no processo iterativo, e o valor de a se ajusta conforme a necessidade da tensão especificada. 29

30 3.6 Equações de Mismatch para o PST Além das equações de mismatches das barras, é necessário também a adoção de equações de mismatches para ajustar o fluxo de potência ativa na linha na qual está instalado o PST. Assim, para o domínio dos números complexos, temos que a equação de mismatch é dada por: MP km = S km + Skm 2 P kms. (74) Sendo MP km a equação de restrição para a potência ativa transmitida através do PST, onde P km a potência especificada que deve ser transmitida pelo PST. Para o domínio real, é adicionada a equação de fluxo de potência na linha de transmissão onde se deseja controlar o fluxo de potência ativa, que é dada por: P km = ( ) 1 2 ( ) ( ) 1 1 a V k g km a V k V m g km cos(θ km + φ km ) + a V k V m b km sen(θ km + φ km ). (75) Então, a equação de mismatch no domínio real é dada por P km = P calc km P kms, (76) onde P ks é a potência especificada para a linha de transmissão. 3.7 Solução Iterativa - Algoritmo de Newton-Raphson Sendo x o vetor de variáveis de estado, e M o vetor de mismatches, o objetivo do algoritmo é calcular x de forma que satisfaça M (x) = 0. (77) Segue-se que a linearização de (77) é dada por M ( x (ν 1)) + J(x (ν 1) ) x (ν) = 0 (78) e x (ν) = x (ν 1) [ J (ν 1)] 1 M ( x (ν 1) ), (79) 30

31 ou x (ν) = [ J (ν 1)] 1 M ( x (ν 1) ). (80) Onde J é a matriz Jacobiana. Então, a equação atualizada é dada por x (ν) = x (ν 1) + x (ν). (81) Sendo o critério de convergência assumido dado por x (ν) tol ( 10 4 ). (82) Onde é definido como a norma infinita e ν é o número de iterações. Sendo a barra slack excluída, temos que: Tanto o vetor de mismatch quanto o vetor de variáveis de estado variam de acordo com o sistema a ser modelado. Para o domínio real, umas das formas que o vetor das variáveis de estado pode ser representado é x = [θ 1, θ 2,..., θ N 1, V 1, V 2,..., V N 1, a km1,..., a kml, φ 1,..., φ J ] T, (83) e o vetor mismatch é M (x) = [ P 1, P 2,..., P N 1, Q 1, Q 2,..., Q N 1, P km1,..., P kmj ] T. (84) Para o domínio complexo, temos que o vetor das variáveis de estado é dado por x = x c = [V 1, V 2,..., V N 1, a km1,..., a kml, V 1, V 2,..., V N 1, a km 1,..., a km L ] T, (85) e o vetor mismatch é M (x c ) = [M 1, M 2,..., M N 1, E kg1,..., E kgp, M km1,..., M kmj, M 1, M 2,..., M N 1] T. (86) Onde N é o número de barras, P o número de barras com tensão controlada, L o número de transformadores e J o número de transformadores defasadores. 31

32 4 Estudo de Caso 4.1 Definição do Sistema Elétrico Estudado A definição dos sistemas elétricos a serem estudados foi feita com a intenção de demonstrar da melhor maneira possível o controle de potência realizado em uma linha de transmissão pelo PST. Então, foram escolhidos os seguintes sistemas: Figura 4.1: Diagrama Unifilar - Primeiro Sistema Fonte: Anarede Figura 4.2: Diagrama Unifilar - Segundo Sistema Fonte: Anarede No primeiro sistema, há um gerador, quatro barras e três linhas de transmissão, no qual, duas destas três linhas estão em paralelo, sendo uma equipada com o PST e outra não, há também cargas nas barras dois e quatro. Na linha com o PST, é possível o controle do montante de potência ativa, e, além disso, o PST pode controlar a tensão tanto na barra três, quanto na barra quatro, indicadas na figura. Isso se dá pelo fato de que a tensão pode ser controlada tanto de forma local (barra três), como de forma remota 32

33 (barra quatro). Neste caso, a potência ativa controlada será no sentido da barra dois para a barra três. O segundo sistema é semelhante ao caso 1, onde há quatro barras e três linhas de transmissão, no qual, duas destas três linhas estão em paralelo, sendo uma equipada com o PST e outra não, há também cargas nas barras dois e quatro. Porém, admitindo que na barra quatro haja, além de consumidores, produtores de energia, há então a inserção de um gerador na barra quatro. Então, além de um gerador na barra um, há também um gerador na barra quatro. Para efeito de simulação, foram adotados alguns valores fictícios de impedância para as linhas, esse valores estão mostrados na tabela a seguir, sendo as bases para o sistema: V base = 230 [kv ] e S base = 100 [MV A]. Tabela 4.1: Dados das Impedâncias dos Ramos Ramos Série Shunt k m R X Carga Y/2 pu pu MVAr pu Estruturação do Fluxo de Potência Serão basicamente três tipos de estruturação. A primeira, onde o PST é tratado como defasador puro, controlando assim apenas o montante de potência ativa na linha a qual está inserido, sendo que a potência ativa controlada pode ser tanto no sentido da barra 2 para a barra 3, quanto no sentido da barra 3 para a barra 2. A segunda, onde o PST permite, além do controle de potência ativa na linha, também em ambos os sentidos, o controle de tensão na barra, controlando assim a tensão local na barra três. Já a terceira estruturação trará o PST também controlando a potência ativa e tensão, porém a tensão controlada será a tensão da barra quatro, onde o controle de tensão será feito de forma remota. 33

34 4.2.1 PST como Defasador Puro Para analise de um determinado fluxo de potência, primeiramente deve-se definir os tipo de barra contidos no sistema a ser estudado. Dessa forma, os tipos de barras foram definidos da seguinte maneira: Tabela 4.2: Tipos de Barras - Defasador Puro Barra Tipo 1 Slack 2 PQ 3 PQ 4 PQ Após a definição do tipo de barra, estruturamos assim as equações de mismatches, tanto para o domínio real como para o domínio complexo. Sendo definidas no domínio complexo por M 2 = S 2 (P 2s + j Q 2s ), (87) M2 = S2 (P 2s j Q 2s ), (88) M 3 = S 3 (P 3s + j Q 3s ), (89) M3 = S3 (P 3s j Q 3s ), (90) M 4 = S 4 (P 4s + j Q 4s ), (91) M4 = S4 (P 4s j Q 4s ), (92) MP 23 = S 23 + S23 2 P 23s. (93) Ma 23 = a 23 a 23 a s 2, (94) Com a definição dos vetores das variáveis de estado e dos vetores mismatches, é possível a estruturação da matriz Jacobiana, no domínio real e no domínio complexo, para resolução do método de Newton-Raphson. Neste caso, o vetor de estado para o domínio complexo é dado por x c = [V 2, V 3, V 4, a 23, V 2, V 3, V 4, a 23] T, (95) 34

35 e o vetor de mismatches é M (x c ) = [M 2, M 3, M 4, MP 23, M 2, M 3, M 4, Ma 23 ] T. (96) Sendo assim, a matriz no domínio complexo estruturada da seguinte forma: J = M 2 M 2 M 2 M 2 M 2 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M 3 M 3 M 3 M 3 M 3 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M 4 M 4 M 4 M 4 M 4 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 MP 23 MP 23 MP 23 MP 23 MP 23 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M2 M2 M2 M2 M2 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M3 M3 M3 M3 M3 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M4 M4 M4 M4 M4 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 Ma 23 Ma 23 Ma 23 Ma 23 Ma 23 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M 2 V 3 M 3 V 3 M 4 V 3 MP 23 V3 M2 V3 M3 V3 M4 V3 Ma 23 V 3 M 2 V 4 M 3 V 4 M 4 V 4 MP 23 V4 M2 V4 M3 V4 M4 V4 Ma 23 V 4 M 2 a 23 M 3 a 23 M 4 a 23 MP 23 a 23 M 2 a 23 M 3 a 23 M 4 a 23 Ma 23 a 23. (97) As derivadas parciais contidas na matriz Jacobiana são facilmente obtidas através do calculo de Wirtinger já citado. As equações de mismatches são definidas no domínio real por P 2 = P calc 2 P 2s, (98) Q 2 = Q calc 2 Q 2s, (99) P 3 = P calc 3 P 3s, (100) Q 3 = Q calc 3 Q 3s, (101) P 4 = P calc 4 P 4s, (102) Q 4 = Q calc 4 Q 4s, (103) P 23 = P calc 23 P 23s, (104) Para o domínio real temos que, o vetor de variáveis de estado é dado por x = [θ 2, θ 3, θ 4, V 2, V 3, V 4, φ 23 ] T, (105) 35

36 e o vetor de mismatches é M (x) = [ P 2, P 3, P 4, Q 2, Q 3, Q 4, P 23 ] T, (106) A matriz no domínio real é dada da seguinte forma: J = P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 V 4 φ 23 P 3 P 3 P 3 P 3 P 3 P 3 P 3 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 V 4 φ 23 P 4 P 4 P 4 P 4 P 4 P 4 P 4 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 V 4 φ 23 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 V 4 φ 23 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 V 4 φ 23 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 V 4 φ 23 P 23 P 23 P 23 P 23 P 23 P 23 P 23 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 V 4 φ 23. (107) As derivadas parciais são facilmente obtidas através das regras básicas do calculo diferencial PST Para Controle de Tensão Local Para este caso, os tipos de barras contidos no sistema a ser estudado foram definidos da seguinte maneira: Tabela 4.3: Tipos de Barras - PST Para Controle Local Barra Tipo 1 Slack 2 PQ 3 PQV 4 PQ Assim as equações de mismatches no domínio complexo são definidas por M 2 = S 2 (P 2s + j Q 2s ), (108) M 2 = S 2 (P 2s j Q 2s ), (109) M 3 = S 3 (P 3s + j Q 3s ), (110) 36

37 M 3 = S 3 (P 3s j Q 3s ), (111) M 4 = S 4 (P 4s + j Q 4s ), (112) M 4 = S 4 (P 4s j Q 4s ), (113) MP 23 = S 23 + S 23 2 P 23s, (114) E 3 = V 3 V 3 V 3s 2, (115) Neste caso, o vetor de estado para o domínio complexo é dado por x c = [V 2, V 3, V 4, a 23, V 2, V 3, V 4, a 23] T, (116) e o vetor de mismatches é M (x c ) = [M 2, M 3, M 4, MP 23, M 2, M 3, M 4, E 3 ] T. (117) Assim, a matriz Jacobiana no domínio complexo é estruturada da seguinte forma: J = M 2 M 2 M 2 M 2 M 2 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M 3 M 3 M 3 M 3 M 3 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M 4 M 4 M 4 M 4 M 4 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 MP 23 MP 23 MP 23 MP 23 MP 23 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M2 M2 M2 M2 M2 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M3 M3 M3 M3 M3 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M4 M4 M4 M4 M4 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M 2 V 3 M 3 V 3 M 4 V 3 MP 23 V3 M2 V3 M3 V3 M4 V3 M 2 V 4 M 3 V 4 M 4 V 4 MP 23 V4 M2 V4 M3 V4 M4 V4 M 2 a 23 M 3 a 23 M 4 a 23 MP 23 a 23 M 2 a 23 M 3 a 23 M 4 a 23. (118) E 3 E 3 E 3 E 3 E 3 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 E 3 V 3 E 3 V 4 E 3 a 23 As derivadas parciais contidas na matriz Jacobiana são facilmente obtidas através do calculo de Wirtinger já citados. 37

38 As equações de mismatches são definidas no domínio real por P 2 = P calc 2 P 2s, (119) Q 2 = Q calc 2 Q 2s, (120) P 3 = P calc 3 P 3s, (121) Q 3 = Q calc 3 Q 3s, (122) P 4 = P calc 4 P 4s, (123) Q 4 = Q calc 4 Q 4s, (124) P 23 = P calc 23 P 23s, (125) Sendo o vetor de variáveis de estado dado por x = [θ 2, θ 3, θ 4, V 2, V 4, a 23, φ 23 ] T. (126) Como V 3 neste caso é especificado, logo, não entra no vetor de variáveis de estado. Assim, para ajuste da tensão, a 23 torna-se variável proporcionando o controle de V 3. O vetor de mismatches é dado por M (x) = [ P 2, P 3, P 4, Q 2, Q 3, Q 4, P 23 ] T, (127) da mesma maneira que na barra P Q. Dessa maneira, a matriz no domínio real é dada da seguinte forma: J = P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 4 a 23 φ 23 P 3 P 3 P 3 P 3 P 3 P 3 P 3 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 4 a 23 φ 23 P 4 P 4 P 4 P 4 P 4 P 4 P 4 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 4 a 23 φ 23 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 4 a 23 φ 23 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 4 a 23 φ 23 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 4 a 23 φ 23 P 23 P 23 P 23 P 23 P 23 P 23 P 23 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 4 a 23 φ 23. (128) 38

39 As derivadas parciais são facilmente obtidas através das regras básicas do cálculo diferencial PST Para Controle de Tensão Remota Para este casa, os tipo de barra contidos no sistema a ser estudado foram definidos da seguinte maneira Tabela 4.4: Tipos de Barras - PST Para Controle Remoto Barra Tipo 1 Slack 2 PQ 3 PQ 4 PQV Assim, as equações de mismatches no domínio complexo são definidas por M 2 = S 2 (P 2s + j Q 2s ), (129) M 2 = S 2 (P 2s j Q 2s ), (130) M 3 = S 3 (P 3s + j Q 3s ), (131) M 3 = S 3 (P 3s j Q 3s ), (132) M 4 = S 4 (P 4s + j Q 4s ), (133) M 4 = S 4 (P 4s j Q 4s ), (134) MP 23 = S 23 + S 23 2 P 23s, (135) E 4 = V 4 V 4 V 4s 2, (136) Neste caso, o vetor de estado para o domínio complexo é dado por x c = [V 2, V 3, V 4, a 23, V 2, V 3, V 4, a 23] T, (137) e o vetor de mismatches é M (x c ) = [M 2, M 3, M 4, MP 23, M 2, M 3, M 4, E 4 ] T. (138) 39

40 Assim, a matriz Jacobiana no domínio complexo é estruturada da seguinte forma: J = M 2 M 2 M 2 M 2 M 2 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M 3 M 3 M 3 M 3 M 3 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M 4 M 4 M 4 M 4 M 4 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 MP 23 MP 23 MP 23 MP 23 MP 23 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M2 M2 M2 M2 M2 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M3 M3 M3 M3 M3 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M4 M4 M4 M4 M4 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 E 4 E 4 E 4 E 4 E 4 V 2 V 3 V 4 a 23 V2 M 2 V 3 M 3 V 3 M 4 V 3 MP 23 V3 M2 V3 M3 V3 M4 V3 E 4 V 3 M 2 V 4 M 3 V 4 M 4 V 4 MP 23 V4 M2 V4 M3 V4 M4 V4 E 4 V 4 M 2 a 23 M 3 a 23 M 4 a 23 MP 23 a 23 M 2 a 23 M 3 a 23 M 4 a 23 E 4 a 23. (139) As derivadas parciais contidas na matriz Jacobiana são facilmente obtidas através do calculo de Wirtinger já citados. As equações de mismatches são definidas no domínio real por P 2 = P calc 2 P 2s, (140) Q 2 = Q calc 2 Q 2s, (141) P 3 = P calc 3 P 3s, (142) Q 3 = Q calc 3 Q 3s, (143) P 4 = P calc 4 P 4s, (144) Q 4 = Q calc 4 Q 4s, (145) P 23 = P calc 23 P 23s, (146) Sendo o vetor de variáveis de estado dado por x = [θ 2, θ 3, θ 4, V 2, V 3, a 23, φ 23 ] T, (147) Como V 4 neste caso é especificado, V 4 não entra no vetor de variáveis de estado. Assim, para ajuste da tensão, a 23 torna-se variável proporcionando assim o controle de V 4. 40

41 O vetor de mismatches é dado por M (x) = [ P 2, P 3, P 4, Q 2, Q 3, Q 4, P 23 ] T, (148) da mesma maneira que nas configurações de barra P Q. Dessa maneira, a matriz no domínio real é dada da seguinte forma: J = P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 a 23 φ 23 P 3 P 3 P 3 P 3 P 3 P 3 P 3 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 a 23 φ 23 P 4 P 4 P 4 P 4 P 4 P 4 P 4 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 a 23 φ 23 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 a 23 φ 23 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 Q 3 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 a 23 φ 23 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 Q 4 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 a 23 φ 23 P 23 P 23 P 23 P 23 P 23 P 23 P 23 θ 2 θ 3 θ 4 V 2 V 3 a 23 φ 23. (149) As derivadas parciais são facilmente obtidas através das regras básicas do cálculo diferencial. 4.3 Soluções Numéricas Para o Primeiro Sistema Para o primeiro sistema, serão estudados três casos diferentes. O primeiro, onde o PST é um defasador puro, e controla apenas o fluxo de potência no sentido da barra 2 para a barra 3. O segundo, onde além de controlar o fluxo de potência no sentido de 2 para 3, o PST também controla o módulo da tensão na barra 3. E por fim, um terceiro caso onde além de também controlar o fluxo de potência no sentido de 2 para 3, o PST controla o módulo de tensão na barra 4. Para solução dos casos, foi utilizado o método de Newton-Raphson, já demonstrado ao longo do trabalho. O algoritmo para resolução dos fluxos foi desenvolvido em MATLAB, e os resultados obtidos comparados aos resultados produzidos pelo Anarede. Há uma diferença entre os sinais no ângulo do tape, porém essa diferença se dá pela configuração de tape adotada pelo Anarede. 41

42 4.3.1 Primeiro Caso - PST Como Defasador Puro Neste caso, o PST é um defasador puro e controla apenas o fluxo de potência no sentido da barra 2 para a barra 3. Para simular o funcionamento do PST como defasador puro, foram adotadas as seguintes especificações: Tabela 4.5: Tensão Especificada na Barra Slack - Primeiro Caso Tensão Barra V pu φ Tabela 4.6: Injeção de Potência Especificada nas Barras - Primeiro Caso Injeção de Potência em [pu] Barras Coordenadas Ativa Reativa Tabela 4.7: Especificações do PST - Primeiro Caso PST P a Resultados obtidos através dos algoritmos feito em MATLAB: Tabela 4.8: Tensão nas Barras - Primeiro Caso Tensões Barras Domínio Complexo Domínio Real V pu φ V pu φ Tabela 4.9: Tape do PST - Primeiro Caso Tape do PST Domínio Complexo Domínio Real a 23 φ 23 a 23 φ

43 Tabela 4.10: Injeção de Potência nas Barras - Primeiro Caso Injeção de Potência em [pu] Domínio Complexo Domínio Real Barras Coordenadas Retangular Polar Retangular Polar Ativa Reativa Módulo Ângulo Ativa Reativa Módulo Ângulo Tabela 4.11: Fluxo de Potência nos Ramos - Primeiro Caso Fluxo de Potência em [pu] Domínio Complexo Domínio Real Ramos Coordenadas Retangular Polar Retangular Polar Ativa Reativa Módulo Ângulo Ativa Reativa Módulo Ângulo Figura 4.3: Perfil de Ângulo e Tensão nas Barras - Primeiro Caso Fonte: MatLab 43

44 Simulação feita no Anarede: Figura 4.4: Simulação no Anarede - Primeiro Caso Fonte: Anarede Segundo Caso - PST Para Controle de Tensão na Barra Três Neste caso, além de controlar o fluxo de potência no sentido de 2 para 3, o PST também controla o módulo da tensão na barra 3. Para simular o funcionamento do PST como controlador de tensão na barra três, foram adotadas as seguintes especificações: Tabela 4.12: Tensão Especificada na Barra Slack - Segundo Caso Tensão Barra V pu φ Tabela 4.13: Módulo de Tensão Especificado na Barra Três - Segundo Caso Barra V pu Tabela 4.14: Injeção de Potência Especificada nas Barras - Segundo Caso Injeção de Potência em [pu] Barras Coordenadas Ativa Reativa Tabela 4.15: Especificações do PST - Segundo Caso PST P

45 Resultados obtidos através dos algoritmos feito em MATLAB: Tabela 4.16: Tensão nas Barras - Segundo Caso Tensões Barras Domínio Complexo Domínio Real V pu Ângulo V pu Ângulo Tabela 4.17: Tape do PST - Segundo Caso Tape do PST Domínio Complexo Domínio Real a 23 φ 23 a 23 φ Tabela 4.18: Injeção de Potência nas Barras - Segundo Caso Injeção de Potência em [pu] Domínio Complexo Domínio Real Barras Coordenadas Retangular Polar Retangular Polar Ativa Reativa Módulo Ângulo Ativa Reativa Módulo Ângulo Tabela 4.19: Fluxo de Potência nos Ramos - Segundo Caso Fluxo de Potência em [pu] Domínio Complexo Domínio Real Ramos Coordenadas Retangular Polar Retangular Polar Ativa Reativa Módulo Ângulo Ativa Reativa Módulo Ângulo

46 Figura 4.5: Perfil de Ângulo e Tensão nas Barras - Segundo Caso Fonte: MatLab Simulação feita no Anarede para PST com controle de tensão local: Figura 4.6: Simulação no Anarede - Segundo Caso Fonte: Anarede Terceiro Caso - PST Para Controle de Tensão na Barra Quatro Neste caso, além de também controlar o fluxo de potência no sentido de 2 para 3, o PST controla o módulo de tensão na barra 4. Para simular o funcionamento do PST como controlador de tensão na barra quatro, foram adotadas as seguintes especificações: Tabela 4.20: Tensão Especificada na Barra Slack - Terceiro Caso Tensão Barra V pu φ