CLASSIFICAÇÃO DAS DEFINIÇÕES E SUAS IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA RESUMO ABSTRACT

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1 CLASSIFICAÇÃO DAS DEFINIÇÕES E SUAS IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA Francisco Regis Vieira Alves, IFCE, fregis@ifce.edu.br Hermínio Borges Neto, UFC, herminio@multimeios.com.br RESUMO A natureza de uma definição matemática não pode ser desconsiderada no contexto do ensino, entretanto, o que é mesmo uma definição matemática? Qual o papel e tipos de definições que deparamos no ensino? Para responder algumas destas perguntas, neste trabalho apresentamos os resultados de um estudo envolvendo análise de conteúdo (BARDIN, 1979). Os conteúdos são referentes aos livros publicados pela Sociedade Brasileira de Matemática, destinados à formação do professor e propomos uma melhor hierarquização da classificação de Duval (1995). Palavras chaves: Definições Matemáticas, Ensino, Classificação. ABSTRACT The nature of a mathematical definition can not be ignored in the context of education; however, what is even a mathematical definition? What is the role and types of settings that are faced in teaching? To answer some of these questions, in this paper we presents the results of a study involving content analysis (BARDIN, 1979). The contents are related to books published by the Brazilian Mathematical Society, intended for teacher training and propose an improved hierarchical classification of Duval (1995). Keywords: Mathematical definition, Teaching, Classification. 1 Classificação das definições Duval (1995, p ) fornece os critérios de aceitação de uma proposição como definição e também os tipos ou categorias de definições. Logo de início, o autor salienta que uma definição possui como função permitir identificar os objetos reais, ou simplesmente possíveis, sem nenhum risco de confusão entre outros (DUVAL, 1995, p. 295). Notamos, entretanto, que a identificação e diferenciação entre dois objetos matemáticos distintos, caracterizados por duas definições matemáticas formais, não constitui uma fácil tarefa em Matemática. Em muitos casos, para que possamos identificar e fornecer definições a objetos que não permita a confusão deste objeto com os demais levamos em consideração: (i) elementos de natureza semântica que descrevem a organização de uma língua; (ii) elementos de natureza conceitual vinculado a um corpus teórico e regras de inferência condicionadas segundo a ordem de derivabilidade dedutiva. Duval (1995, p. 295) explica que existem quatro tipos de definições que imprimem

2 processos cognitivos totalmente diferentes e precisam ser cuidadosamente distinguidos. Assim, o autor fala de definições do tipo proposições primitivas; definições do tipo proposições construtivas; definições do tipo concepto-lexicais e definições características.. Reparemos, todavia, que o autor não contempla o viés filosófico do ato de definir. As definições do tipo proposições primitivas são as que respondem a uma exigência que, em relação a um corpus de proposições reconhecidas como verdadeiras, obtemos proposições que, colocadas como proposições primeiras, se tornam suficientes para derivar dedutivamente todas as proposições deste corpus (DUVAL, 1995, p. 296). Esta classe de definições responde a um critério de anterioridade. Já as definições do tipo proposições construtivas, são as que permitem determinar um objeto por meio de uma combinação de propriedades de modo que aquele que possui outra propriedade não inclusa nesta combinação e que não existe nenhum objeto possível verificando a mesma combinação, que possua a referida propriedade. As definições construtivas não se revelam de uma simples atividade de descrição dos objetos existentes e conhecidos, ou de um simples controle do sentido dos termos empregados. Elas exigem, do contrario, a investigação de casos possíveis podendo não possuir nenhuma relação com a família de exemplos que permitem induzir uma definição. Seu teste de aceitabilidade é a resistência ao contra-exemplo (DUVAL, 1995, p. 297). Duval (1995, p. 299) caracteriza as definições do tipo concepto-lexicais como as que respondem à exigência de descrever um objeto de maneira que ele se encontre situado com respeito a um conjunto de objetos diferentes que possuem com este um aspecto comum. Seu critério de aceitação é a comparabilidade em termos de semelhanças e diferenças. Por fim, as definições características são as definições que entre as propriedades que compõem a descrição de um objeto, selecionam as que permitem identificá-lo com mais eficiência possível. Esta classe de definições responde a um critério de contraste com outros objetos semelhantes ou por um critério por um critério de alta freqüência da propriedade considerada. Seu teste de aceitabilidade é a rapidez do tratamento em meio de situações onde este objeto deve ser reconhecido. No próximo segmento apresentamos o material analisado e os procedimentos desenvolvidos neste estudo. Acentuamos que o objeto de nossa investigação constitui um dos elementos do trinômio professor saber aluno, uma vez que um elemento importante de apresentação deste saber diz respeito ao papel das definições formais. 2 Métodos e procedimentos Este estudo, com ênfase na interpretação qualitativa dos dados, foi desenvolvido com base em técnicas de análise de conteúdo (BARDIN, 1979). Primeiro, no quadro1, 2

3 indicamos as obras didáticas escolhidas. Vale comentar que as obras intituladas A Matemática do Ensino Médio, detêm uma grande importância no contexto da formação de professores de Matemática no Brasil, no que diz respeito aos conteúdos da escola básica. O livro de Análise Real de Elon Lages Lima apresenta os fundamentos da Matemática que deveria ser um conhecimento standard do futuro professor e, por fim, o livro Os Elementos, apresenta uma abordagem axiomática e, de modo geral, é trabalhado no locus acadêmico de modo formal e axiomático. O aspecto que se sobressai diz respeito à estruturação de apresentação do mesmo. Tabela 1: Obras didáticas analisadas Livros analisados Autores Editora Os Elementos Tradução de Irineu Bicudo UNESP A Matemática do Ensino Médio v. 1, 2 e 3 Elon Lages Lima et al. IMPA Curso de Análise v.1 Elon Lages Lima IMPA Fonte: Elaboração dos autores. Segundo, as categorias de análise foram baseadas na classificação de definições (DUVAL, 1995) que empregaremos no sentido de identificar/diferenciar nos livros supracitados certos conceitos. A escolha das categorias de análise descritas foi baseada a partir das formulações referente às definições matemáticas discutidas na seção anterior. A importância de nossa escolha se referenda em duas hipóteses: 1ª) O tipo ou a natureza da definição condiciona a mediação do professor; 2ª) A natureza da definição pode proporcionar maior ou menor dificuldade com relação ao seu entendimento no contexto do ensino. No próximo segmento, identificaremos os exemplos encontrados. 3 Exemplos de definições encontradas nos livros Com base nessa classificação, Duval (1995) postula alguns pressupostos que condicionam implicações e aplicações para o ensino de Matemática em qualquer nível. Seja ele o contexto escolar ou o acadêmico. Mas antes de nos determos nesta questão, vamos fornecer alguns exemplos concernentes à classificação da seção anterior. As definições do tipo proposições primitivas, possivelmente, dizem respeito aos exemplos mais imediatos de fornecermos. Por exemplo, quando consultamos os Elementos, no início do Livro I, traduzido por Irineu Bicufo, encontramos: (a) Ponto é aquilo de que nada é parte; (b) Linha é comprimento sem largura; (c) As extremidades de uma linha são pontos. 3

4 Reparemos que dois objetos são definidos, o que Euclides chamou de ponto e linha. Notamos que a existência de ambas as entidades conceituais é admitida de modo peremptório. No caso das definições do tipo proposições construtivas, podemos lembrar as definições de sequências de números reais, denotadas por ( x n ) n N, neste caso, as sequências de números reais podem ser finitas ou infinitas. Assim, uma sequência de números reais finita possui uma combinação de propriedades, como, por exemplo, descreve uma função xn : N R. x, x, x,..., x n e Simbolicamente, elas diferem apenas quando empregamos ( ) (,,,...,,...) n x x x x. Ademais, quando introduzimos estas definições, distinguimos ainda ( x, x, x,..., x ) { x, x, x,..., x } n n termos da sequência elementos do conjunto Assim, qualquer outro objeto que chamamos de sequência infinita, será diferente de uma sequência finita. Ademais, recordemos que no caso das progressões aritméticas ou geométricas, encontradas em Lima et al (1999, p. 120), divisamos propriedades mínimas que distinguem uma P.A de uma P.G. Neste caso, o gráfico de uma P.A. é visto como a restrição de uma função afim em IN, enquanto que na P.G. temos uma restrição de uma função afim em IN. As definições do tipo concepto-lexicais envolvem a identificação de objetos por meio de diferenças específicas. Assim, recordamos que na definição do conjunto dos números naturais N, definimos a função sucessora s : N N. Lima (2010, p. 34) descreve uma propriedade desta função ao estabelecer que N s( N ) consta de um só elemento. Deste modo, quando comparamos os objetos particulares 0 e 1, de imediato, sabemos que sua principal característica comum é o fato de serem números naturais, todavia, o 0 não é sucessor de nenhum elemento em N, enquanto que 1 é o sucessor de um único elemento em N. Assim, caracterizamos o objeto 0 segundo uma definição concepto-lexical. Para exemplificar definições do tipo as definições características, podemos tomar o caráter de monotonicidade de funções em uma variável real. Por exemplo, existem funções crescentes, decrescentes, não-crescentes e não-decrescentes. Na figura 1, salientamos propriedades particulares do comportamento gráfico destas categorias de funções. Na figura 1-I, por exemplo, o objeto particular representado no gráfico adquire um valor com respeito a qualquer outro desta classe que é descrito em termos lógicos, como: x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ). Por outro lado, no caso da figura 1-II temos que x1 < x2 f ( x1 ) > f ( x2). 4

5 Em contraste com os demais casos em que temos que dados x1, x2 Dom( f ( x)) se x1 < x2 f ( x1 ) f ( x2 )(fig. 1-III) e, por fim, x1 < x2 f ( x1 ) f ( x2) (fig. 1-IV). Tais definições podem ser encontradas em Lima et al (1999, p. 23) e o caráter da monotonicidade é acentuado somente pelos gráficos que distinguimos abaixo na figura 1. Sublinhamos que o traçado dos gráficos é condicionados pelas condições lógicas de cada definição. Figura 1 As definições características são identificadas por propriedades perceptivas marcantes. Uma propriedade importante da categoria de definições características refere-se ao fato de que um objeto particular apresenta as propriedades de todos os outros objetos da mesma classe. Por exemplo, identificamos rapidamente as matrizes M n n que possuem inversa, entretanto, a definição de matriz inversa não se aplica a certa classe de matrizes, por exemplo, no caso de M 3 3 Assim, neste caso, pode-se verificar que = (LIMA et al, 1999, p. 135) M 3 3 = 0 (matriz nula). Assim, a noção de contra-exemplo também apresenta um papel importante (WAGNER & EDUARDO, 2006), tanto no caso de definições descritas por proposições construtivas, como definições características. Reparemos que todas as definições que apresentamos até o momento dizem respeito às propriedades de objetos, todavia, encontramos em Lima (2011) operações definidas sobre objetos previamente definidos. Por exemplo, consideremos as matrizes A, B e C, de modo que existam os produtos indicados por ( AB ) e A( BC ) estejam 5

6 = AB C. definidos, assim, garantimos que está bem definida a associatividade A( BC ) ( ) Neste caso, nos referimos sobre operações matemáticas executadas sobre os objetos que admitimos existirem que nomeamos de matrizes (WAGNER & EDUARDO, 2011). Neste sentido, cabe uma hierarquização mais detalhada da classificação fornecida por Duval (1995), uma vez que podemos definir em Matemática com respeito: (i) a um objeto particular; (ii) a uma classe de objetos; (iii) com respeito à operações executáveis sobre objetos que já existem. 4 Considerações finais O trinômio professor saber aluno envolve elementos cuja natureza intrínseca dificulta sua identificação. Neste texto, indicamos um desses elementos relacionado a natureza e classificação das definições matemáticas. Assim, com base na escolhas de alguns livros e diante dos limitados exemplos fornecidos em Duval (1995), buscamos identificar e descrever alguns exemplos de definições do tipo: proposição primitiva; proposição construtiva, concepto-lexicais e definições características. Duval (1995, p. 301) sublinha que algumas destes tipos de definições possuem caracteres comuns, sob o ponto de vista de acessibilidade ao objeto definido. De modo sistemático, descrevemos de modo sistemático na tabela 1 os resultados obtidos e que implicam uma maior atenção com vistas ao ensino. Observemos ainda que Duval (1995) fornece tal classificação a partir de uma perspectiva específica cognitivista e desconsidera a dimensão filosófica e epistemológica das definições matemáticas (BUFFET, 2003). Destacamos que os aspectos colocados em evidencia na mesma, uma vez que podem constituir elementos importantes e de conhecimento do professor ao decurso de sua mediação didática. Apesar de identificarmos, a partir da análise das formulações proposta por Duval (1995), interseções e propriedades comuns nas categorias descritas, sua contribuição reside no fato de que, a vigilância do professor carece de vigor, no que diz respeito às características intrínsecas a cada conceito matemático. Certamente que Duval não é o pioneiro em tal tentativa, a pesar de que, sua abordagem desconsidera o viés filosófico (BUFFET, 2003; POINCARÉ, 1899, 1904) envolvido de modo visceral às questões aqui discutidas. Outrossim, é necessário distinguir operações que realizamos sobre um objeto particular de outras operações que descrevemos e que encerram o potencial de prever o comportamento estrutural de objetos matemáticos. Neste sentido, a descrição de Duval (1995) mostra-se alvissareira e proporciona a 6

7 adoção de uma mediação adequada de ensino, com vistas à aprendizagem inicial de alguns dos conceitos discutidos neste texto. Para concluir, exibimos na tabela 2, os dados que nos permitem comparar/distinguir, no rol dos conceitos matemáticos, definições matemáticas formais, de acordo com sua natureza epistemológica, axiológica e ontológica. Tabela 2 Classificação de definições Tipos de definições Critérios e características Relações conceituais Proposições primitivas Proposições construtivas Concepto-lexicais Critério de anterioridade em relação a um corpus teórico. Critério de resistência aos contra-exemplos. Critério de comparabilidade em relação a outros objetos. Características Critério de aceitabilidade e tratamento. Fonte: Elaboração dos autores. Dizem respeito a um objeto ou a uma classe de objetos matemáticos. Dizem respeito a um objeto particular. Dizem respeito a um objeto ou a uma classe de objetos matemáticos. Dizem respeito a um objeto particular. A classificação de Duval (1995) fornece ao docente fortes indícios importantes que não podem ser no ensino de Matemática, entretanto, nossas indicações pertinentes à análises de livros exigem a obtenção de dados empíricos obtidos em sala de aula. Por outro lado, tal temática envolverá ações desenvolvidas em futuras investigações. 5 Referências Buffet, Cécile. Ouvrier. Construction de definitions/construction de concept: vers une situation fondamentale pour la construction de définition en mathématriques (thése de doctorat). Grenoble: Université Joseph Fourier, 2003, 345p. Castro, Franciana, C. (2011). O trabalho do professor de Matemática: a confluência da experiência profissional com a formação acadêmica (tese de doutorado em Educação Matemática), São Paulo: Pontifícia Universidade Católica, 287p. Cezar, Paulo. (2011, 01 janeiro). Sistemas Lineares. Acesso em: 05/01/2012. Disponível em: Duval, Raymond. (1995). Sémiosis et Pensée Humaine. Paris: Peter Lang Edition. Lima, Elon, L. (2011, 01 janeiro). Matrizes. Acesso em: 03/01/2012. Disponível em: Lima, Elon. Lages. (2001). Exame de textos: Análise de livros de Matemática para o Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. 7

8 Lima, Elon. Lages. et al. (1999). Exame de textos: Análise de livros de Matemática para o Ensino Médio. vol 1, 2, e 3. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. Ouvrier- Buffet, Cécile. (2003). Construction définition/construction de concept : vers une situation fondamentale pour la construction de définition mathématiques (thèse de doctorat). Grenoble : Université Joseph Fourier. 316p. Poincaré, Henri. La logique et l intuition dans la science mathématique, L enseignement Mathématique, v. 1, 1899, p Poincaré. Henri. Les definitions générales en mathematiques, In: L enseignement Mathematique, v.6, 1904, p Vagner, Eduardo. (2006, 01 janeiro). Aplicações de Geometria Analítica. Acesso em: 24/12/2011. Disponível em: Vagner, Eduardo. (2011, 10 janeiro). Geometria Analítica. Acesso em: 26/12/