SINTONIA DE CONTROLADORES RESSONANTES BASEADO EM DADOS APLICADO A FONTES ININTERRUPTAS DE ENERGIA

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1 SINTONIA DE CONTROLADORES RESSONANTES BASEADO EM DADOS APLICADO A FONTES ININTERRUPTAS DE ENERGIA Alessandro N. Schildt, Luís Fernando A. Pereira, Alexandre S. Bazanella UFRGS - Departamento de Engenharia Elétrica Av. Osvaldo Aranha, 13, Centro, Porto Alegre (RS), Brasil s: alessandro.schildt@ufrgs.br, lfpereira@ece.ufrgs.br, bazanela@ece.ufrgs.br Abstract This article discusses a methodology for tuning of resonant controllers, to will be applied to an Uninterruptible Power Supply (UPS). The Virtual Reference Feedback Tuning (VRFT) method is used to identify the optimal controller s parameters. This method is based on the system s input and output data, and not does require a model of the plant. Results from simulations will be presented for the study case of an UPS system with linear load applying a controller synthesized based on the methodology discussed. Keywords Controllers Uninterruptible Power Supply (UPS), Virtual Reference Feedback Tuning (VRFT), Resonant Resumo Este artigo analisa uma metodologia para sintonia de controladores ressonantes, para ser aplicada a uma Fonte Ininterrupta de Energia. O método Virtual Reference Feedback Tuning (V RF T ) é usado para identificar os parâmetros do controlador ótimo. Este método se baseia em dados de entrada e saída do sistema, e não necessita de um modelo da planta. Serão apresentados resultados de simulações obtidos da aplicação de um controlador sintetizado com base na metodologia mostrada para um estudo de caso de um sistema UP S com carga linear. Fontes Ininterruptas de Energia, Virtual Reference Feedback Tuning (V RF T ), Controla- Palavras-chave dores Ressonantes 1 Introdução Fontes Ininterruptas de Energia, ou Uninterruptible Power Supply (U P S), são utilizadas para ocasiões nas quais ocorrem falhas de fornecimento de energia elétrica. Portanto, este é um equipamento que tem por necessidade seguir a referência da rede elétrica convencional das concessionárias de energia elétrica. Foram desenvolvidos controladores dinâmicos para esta aplicação, dos quais podem ser destacados o uso de controladores PID (Wilmann et al., 27) e (Rech and Pinheiro, 2), Ressonante (Pereira et al., 213), Repetitivo (Pereira et al., 211) e Ressonante- Repetitivo (Salton et al., 212). O projeto de controladores dinâmicos traz a ideia da obtenção de uma função matemática para o controlador a partir da existência de um processo ou equipamento, no qual se deseja alcançar determinado comportamento desejado (Campestrini, 21). Este comportamento desejado é dado por critérios de desempenho como: seguimento de referência, rejeição a distúrbios, menor esforço de controle, entre outros. Neste artigo será aplicado como critério o seguimento de referência senoidal com amplitude e frequência iguais aquelas providas pelas redes elétricas de baixa tensão. Para mensurar o desempenho do critério pretendido é plausível determinar uma função custo, de maneira que esta possa ser minimizada. A forma habitual de escrever a função custo é aquela na qual há a diferença do erro quadrático entre a saída determinada em malha fechada e a saída desejada. Esta ideia pressupõe o conceito de controle baseado em modelo de referência. O seguimento de referência senoidal pode ser garantido pelo princípio do modelo interno, o qual é descrito por (Francis and Wonnham, 1976) e (Chen, 29) como sendo a introdução, na malha de controle, do modelo matemático da referência que deseja-se seguir. Para o seguimento de referência senoidal, uma das opções encontradas é o controlador ressonante, baseado no princípio supracitado. Atualmente, para o estudo de projeto de controladores dessa natureza se dá ênfase à técnicas baseadas em Desigualdades Matriciais Lineares, ou Linear Matrix Inequalities (LM Is). Estas, por sua vez, possuem alto grau de complexidade de entendimento para serem implementadas de maneira rápida na indústria, mesmo tendo garantia de robustez na determinação dos parâmetros do controlador. A partir disso, a ideia é diminuir a complexidade do problema que o uso de LMIs acarreta, através da substituição do uso destas pela técnica Virtual Reference Feedback Tuning (V RF T ). A técnica é baseada em dados de entrada e saída da planta para identificar os parâmetros do controlador. Além disso, do ponto de vista industrial, a adoção de controladores ressonantes poderá se tornar mais rápida, já que com o uso do V RF T o projetista do equipamento dependerá apenas da captura dos dados de funcionamento da planta para desenvolver o controlador. Este artigo está organizado da seguinte forma: na segunda seção há um relato do funcionamento 226

2 da planta utilizada no trabalho; na terceira seção há uma breve discussão sobre controladores ressonantes; na quarta seção serão abordados aspectos relacionados à obtenção de controladores baseados em dados, bem como a descrição do método V RF T ; na quinta seção são mostradas as especificações utilizadas no experimento; por fim são apresentados resultados simulados, que são analisados posteriormente. 2 Sistema UP S As Fontes Ininterruptas de Energia são sistemas usados para prover energia elétrica confiável e de qualidade para aqueles equipamentos que não podem ter o seu funcionamento suspenso, tais como: servidores, dispositivos de segurança, utensílios hospitalares, entre outros. Com relação a sua estruturação é visto, que independente da topologia da UP S, esta é formada basicamente por três partes: Retificador; Conjunto de baterias; e, Inversor de Frequência. Assim, para o trabalho atual será dada atenção ao inversor de frequência que converte tensão contínua em tensão alternada. Figura 1: Diagrama esquemático do inversor de frequência do sistema UP S. A dinâmica da UP S é determinada pelo filtro de segunda ordem encontrado no estágio de saída do inversor de frequência, que consiste do capacitor C f, do indutor L f, além da modelagem da carga dada por i d que representa distúrbios proveniente de cargas não-lineares e Y que é a admitância da carga que pode ser compreendida em limites mínimo e máximo admissíveis, satisfazendo à equação a seguir: Y min Y Y max (1) onde Y min e Y max são valores determinados a priori. Já com relação a dinâmica dos Insulated Gate Bipolar Transistors (IGBT s) considera-se como uma constante proveniente da modulação P W M, sendo que sua dedução pode ser vista em maiores detalhes em (Carvalho, 213) e que possui como equação: K P W M = V CC 2 V tri (2) no qual V tri é o nível de tensão do sinal portador de comparação e V CC é o nível de tensão do Link CC. Então a modelagem dinâmica como vista em (Pereira et al., 213) pode ser feita através da abordagem clássica de espaço de estados sobre o estágio de saída compreendido pelo filtro LC e pelo modelo da carga, no qual são aplicadas leis de malha e nó, e são obtidas equações relacionadas a tensão e corrente do circuito. Assim, é possível definir as equações (3) e (4), onde x(t) = [x 1 (t) x 2 (t)] T é o vetor de estados, sendo x 1 (t) a corrente no indutor, L f, e x 2 (t) a tensão no capacitor, C f. Além disso, u(t) é o sinal de controle P W M, υ(t) representa distúrbios exógenos e é dado por υ(t) = [i d δv i ] T sendo δv i a variação de tensão no Link CC e z(t) é a saída do sistema, que no caso é a tensão no capacitor C f. ẋ(t) = A(Y )x(t) + Bu(t) + Eυ(t) z(t) = Cx(t) R L f 1 A(Y ) = L f L f 1 Y, B = C f C f C = [ 1 ], E = K P W M L f 1 L f 1 C f, (3) (4) Finalmente, para qualificar o funcionamento deste tipo de sistema existem algumas normas internacionais que definem o desempenho que o equipamento deve ter, dando ênfase a medição da distorção harmônica total e ao período transitório: (IEEE Std 944, 1986) e (IEC 624-3, 1999). 3 Controlador Ressonante O controlador ressonante é um controlador baseado no princípio do modelo interno, isto é, para que seja garantido o seguimento de referência, adiciona-se à malha de controle um sinal com as mesmas características daquele que se deseja seguir. O princípio de funcionamento destes controladores é a inserção na malha de controle de um modo que apresenta ganho infinito na frequência de interesse do sinal a ser seguido. Ao garantir a priori a estabilidade em malha fechada, o erro será nulo naquela frequência, mantendo os sinais com amplitude finita em qualquer ponto da malha de controle, o que leva ao seguimento de referência. 2261

3 Para o domínio contínuo, a função de transferência do controlador ressonante é apresentada na equação (5) (Pereira et al., 213). C(s) = β 1 + β 2 s 2 + ωn 2 + β 3s s 2 + ωn 2 (5) Como o V RF T gera os parâmetros para o controlador discreto deve-se considerar a estrutura do controlador ressonante neste domínio: C(z) = K 2 z 2 + K 1 z + K z 2 2z cos(ω n T a ) + 1 (6) com ω n sendo a frequência do sinal a ser seguido e T a o período de amostragem do sistema. O denominador possui polos conjugados complexos na frequência de interesse, e os zeros são dados pelos ganhos K 2 a K que são determinados pelo método V RF T. Além disso, o controlador é linear nos parâmetros, portanto, pode ser escrito como: C(z, ρ) = C(z) T ρ (7) sendo C(z) um vetor de funções de transferência e ρ o vetor de ganhos do controlador dado na equação (8). Esta forma de representação é necessária na aplicação do método V RF T. ρ = [ K 2 K 1 K ] T (8) 4 Controladores Baseados em Dados Para este tipo de projeto de controlador são utilizados os dados de entrada e saída do processo para estimar os parâmetros do controlador. Além disso, a estimativa é feita de forma direta, sem a necessidade de um passo intermediário para a identificação da planta do processo (Bazanella et al., 211). Na literatura são encontrados alguns algoritmos que podem ser usados para atingir os parâmetros desejados do controlador a partir do uso de dados (Campestrini, 21), dos quais podem ser destacados aqueles que são iterativos: Correlation based Tuning (CbT ), Frequency Domain Tuning (F DT ), Iterative Feedback Tuning (IF T ); além do Virtual Reference Feedback Tuning (V RF T ), que não é iterativo. Aqueles algoritmos iterativos necessitam de experimentos realizados na planta para que o controlador seja atualizado até que se atinja o valor mínimo da função custo. Estes ainda podem chegar a mínimos locais, devido ao fato de que na maioria das vezes a função custo não é convexa e também pelo uso de iterações na obtenção dos parâmetros (Eckhard, 28). Em contrapartida aos métodos iterativos, há o método V RF T que é um método direto por precisar de um, ou no máximo dois experimentos, além de sua função custo ser quadrática, semelhante aquela da equação (9), garantindo resolução através da aplicação do método dos mínimos quadrados. Outro fator importante para disseminação do método é que este não necessita que o processo industrial seja interrompido para a extração dos dados. Dentro deste contexto, no próximo tópico será apresentado este algoritmo. J y (ρ) = Ē[y(t, ρ) y d(t)] 2 (9) 4.1 Virtual Reference Feedback Tuning O V RF T é um método de identificação de parâmetros de controladores discretos que se baseia nos dados obtidos da planta. Como dito anteriormente, este necessita de apenas um conjunto de dados de entrada e saída da planta em uso. Nos trabalhos (Bazanella et al., 211) e (Campi et al., 22) pode ser constatado que a ideia elementar do V RF T é encontrar um vetor ρ que minimize o critério de desempenho apresentado na equação (9). Para isto são obtidos dados de entrada e saída, u(t) e y(t), respectivamente, em malha aberta ou em malha fechada. Como o nome do método diz, este é fundamentado em uma referência virtual, a qual não existe e de fato não é usada para gerar o sinal y(t). Esta referência é definida durante o experimento por: r(t) = T 1 d (z)y(t) (1) onde, y(t) são os dados de saída capturados previamente e T 1 d (z) é a função de transferência inversa do modelo de referência escolhido. A Figura 2 exemplifica esta obtenção da referência virtual, bem como a captura dos dados do sistema, tal que ē(t) é o erro virtual, u(t) e y(t) são os conjuntos de dados da entrada e saída usados no desenvolvimento do V RF T e G(z) representa o processo. Além disso, aquelas linhas tracejadas representam os sinais que não existem e são criados durante o projeto, já aquelas linhas contínuas são sinais reais. + - Figura 2: Sistema usado para determinar a referência virtual e capturar os dados usados. Ainda ao observar a Figura 2, é possível verificar que o erro virtual de seguimento de referência é dado pela equação (11). Sendo assim, os dados 2262

4 para identificação do controlador C(z, ρ) são ē(t) e u(t). ē(t) = r(t) y(t) (11) O critério de desempenho de seguimento de referência abordado na equação (9) acaba não compreendendo os dados usados na identificação do controlador. A partir disso, é necessário descrever uma função custo proposta para o método do V RF T : J V R (ρ) = Ē[u(t) C(z, ρ)ē(t)]2 (12) O maior benefício de utilizar o V RF T é constatado na função custo do critério do V RF T dada em (12), pois ela é quadrática, podendo ser aplicado o método dos Mínimos Quadrados (MQ). Partindo da ideia de aproximar o resultado da expressão [C(z, ρ) ē(t)] de u(t), pode ser determinada a equação do método MQ para o problema proposto no V RF T : ρ = Ē [ Φ T (t)φ(t) ] 1 Ē [ Φ T (t)u(t) ] (13) com Φ(t) = C(z) ē(t), sendo C(z) um vetor de funções de transferência que dita o comportamento do controlador C(z, ρ). Este equacionamento pode ser utilizado somente naqueles casos ideais, os quais não possuem ruído nos dados. Quando da presença de ruído se faz necessário outra formulação Uso de dados com ruído: Estimador de Variáveis Instrumentais O estimador de Variáveis Instrumentais (VI) é um estimador do tipo não polarizado de sistemas. Segundo (Aguirre, 27) sua utilização é necessária nas situações que o resultado determinado pelo estimador MQ é tendencioso devido ao tipo de ruído apresentado nos dados. Este ruído apresentado é colorido, portanto, autocorrelacionado. Para determinar o vetor de instrumento, é proposto em (Campi et al., 22) que se faça uso de uma das seguintes realizações: Utilizar um modelo dinâmico que represente a planta e, em seguida, gerar os dados necessários ao instrumento; ou Realizar um segundo experimento com o mesmo sinal de entrada u(t) e utilizar estes dados na composição do instrumento. A partir disso, a variável instrumental utilizada é descrita pela seguinte equação, ζ(t) = C(z)ē(t) 1 ζ(t) = C(z)(Td (z) (14) 1)y (t) a qual irá depender de um segundo experimento, pois utiliza um conjunto de dados de saída y (t) diferente daquele usado no vetor de regressores Φ(t). Na equação (15) há a função que define o método de variáveis instrumentais, que pode ser considerado um caso específico do mínimos quadrados, já que se substituir ζ(t) por Φ(t) na equação (15) obtém-se a equação (13). ρ V I = Ē [ ζ T (t)φ(t) ] 1 Ē [ ζ T (t)u(t) ] (15) 5 Especificações do experimento 5.1 Dados do processo O inversor de frequência simulado representa um inversor de 5 kva. Para a realização do experimento foram empregados os seguintes parâmetros: Tabela 1: Parâmetros do sistema. Parâmetros Valores L f H R Lf Ω C f F Y,2 S f 216 Hz T a 46, s ω n 376,9911 rad/s K P W M 26,5 V CC 53 V onde f é a frequência de amostragem do sistema. Para a realização dos testes será compreendida apenas a categoria de cargas lineares, pois este estudo tem fim de validar a proposta de seguimento de referência. 5.2 Dados de Entrada e Saída Segundo (Söderström and Stoica, 1989) os principais sinais utilizados para excitar os processos para a aquisição de dados em métodos de identificação de sistemas são: função degrau; PRBS, ou Pseudorandom Binary Sequence; sistemas ARMA; ou soma de senoides. sendo que a escolha é dada pelo tipo de método empregado, além do perfil da planta em uso. Neste caso foi escolhida uma entrada do tipo soma de senoides, pois é um sinal suficientemente excitante. O sinal é caracterizado por: u(t) = m a j sin(ω j t + ϕ j ) (16) j=1 onde a j é a amplitude do sinal, ω j é a frequência de oscilação e ϕ j é o deslocamento de fase. 2263

5 Tensão normalizada Amostras Figura 3: Exemplo de dados de entrada utilizados no experimento. Tensão normalizada Amostras Figura 4: Exemplo de dados de saída e para instrumento do método VI, utilizados no experimento. Para gerar os conjuntos de dados demonstrados nas Figuras 3 e 4 foram utilizadas senoides com as frequências: 3 Hz, 45 Hz, 65 Hz, 75 Hz, 9 Hz, 12 Hz, 15 Hz, 18 Hz, 24 Hz e 3 Hz, com amplitude a = 127 V rms para todas as senoides, além de uma duração para o experimento de 125 ms. Os dados de saída sofreram influência de uma carga linear, além do fato de terem sido corrompidos por ruído do tipo colorido e relação sinal-ruído (SNR) com fator 1. Por fim, tanto os dados de entrada quanto os de saída sofreram um pré-processamento, os quais foram normalizados para que fiquem nos mesmos níveis. zero e três polos, além de um ganho K. Outrossim, o modelo deve apresentar fase com grau zero e magnitude unitária, ou db, na frequência de interesse, pois com isso a saída obtida a partir do modelo de referência sempre apresentará o comportamento imposto na entrada do mesmo. Portanto, o modelo de referência deve ser da forma: K (jω n + z 1 ) T d (jω n ) = (jω n + p 1 ) (jω n + p 2 ) (jω n + p 3 ) (17) Outro fator que deve ser levado em consideração para o projeto do modelo de referência é o comportamento em regime transitório, o qual pode ser definido a partir de uma aproximação a um sistema de segunda ordem, já que o grau relativo adotado é 2. Portanto, da relação conhecida de tempo de estabilização dada por 4 constantes de tempo, t ss2% 4 (18) σ tal que σ é a parte real do polo do sistema de segunda ordem. Assim, é desejado um comportamento que t ss2% seja menor que 2 ciclos de funcionamento do sistema, ou, aproximadamente 32 ms, o qual pode ser observado no envelope de tensão apresentado na norma (IEC 624-3, 1999). Para isso, a parte real dos polos escolhidos deve satisfazer a seguinte equação: σ > 125. Já para determinar o comportamento em regime permanente é necessário que o módulo de T d (jω n ) seja igual à 1. Isto implicará na definição do ganho K e do zero z 1. Escolhidos os polos como sendo aqueles da Tabela 2 para que possam atender ao requisito de regime transitório, faz necessário o uso da equação de módulo do modelo de referência ser igual à 1 para satisfazer o propósito de regime permanente. Então são substituídos os valores conhecidos na equação (17): 1 = K (jω n + z 1 ) (jω n + 36) (jω n + 8) (jω n + 175, 5) (19) (jω n +36) (jω n +8) (jω n +175, 5) = K (jω n +z 1 ) (2) 5.3 Modelo de Referência O modelo de referência é usado para especificar uma resposta ideal para um sistema a partir de uma entrada aplicada (Swarnkar et al., 211). Tendo em vista o modelo de segunda ordem do processo apresentado na equação (4), além da equação do controlador dada em (5) constata-se que, em malha fechada, pode ser atingido um sistema de grau relativo 2. Com isso, o modelo de referência se baseia neste grau relativo, tendo um 9, j8, = K z 1 +K jω n (21) Sendo assim, é possível comparar a parte imaginária de cada lado da equação (21), obtendo a seguinte expressão: K = j8, = K jω n (22) 8, ω n = 2, (23) 2264

6 Fazendo a mesma analogia para a parte real obtém-se a seguinte equação: 9, = K z 1 (24) 9, z 1 = = 41, 58 (25) K Com esta metodologia pode ser definida uma função de transferência com os polos, zero e ganho K dado pela Tabela 2. Tabela 2: Ganho, polos e zero para Modelo de Referência da equação (17). Parâmetros Valores K 2, z 1 41, 58 p 1 36 p 2 8 p 3 175, 5 Por fim, é necessário discretizar a equação (17). Foram utilizados os dados apresentados na Tabela 2, o método Zero-Order Hold (ZOH), além do período de amostragem, T a, mostrado na Tabela 1. O modelo de referência discretizado é dado por: T d (z) =, 2232z2 9, z, 2131 z 3 2, 869z 2 + 2, 743z, 8739 (26) 6 Resultados Simulados Para realizar as simulações foi oportuno utilizar os aplicativos PSIM e MATLAB/SIMULINK integrados através do software SimCoupler. O PSIM foi usado para simular o inversor de frequência, além da carga linear. Já o SIMULINK foi usado para que fosse possível realizar a malha fechada, unindo o inversor de frequência simulado e o controlador ressonante concebido. amarelo. A parametrização do controlador usada no algoritmo do V RF T segue a equação: C(z) = [ z 2 D(z) z D(z) ] T 1 (27) D(z) com D(z) = z 2 2z cos(ω n T a ) + 1. Com isso, ao realizar o experimento com o método do V RF T é possível determinar os parâmetros dados na Tabela 3. A partir das especificações dadas, o controlador obtido tem custo J y =, 114. Tabela 3: Parâmetros do controlador ressonante da equação (6). Parâmetros Valores K 2, 23 K 1, 6 K, 27 Ao analisar na Figura 6 o regime transitório inicial para a proposta de seguimento de referência de 127 V rms, é perceptível que o sistema está consistente com o envelope de tensão dado pelas normas citadas, pelo fato de ter atingido o tempo de estabilização, com máximo de 2% de desequilíbrio, em um ciclo do sistema. Outro ponto a se verificar é a qualidade do sinal de saída gerado, o qual é dado pela Distorção Harmônica Total, ou Total Harmonic Distortion (T HD). Para ambos os casos em que há e não há presença de carga no sistema, o T HD se manteve entre 3% e 4%, estando de acordo com a normatização, que prevê T HD máximo de 5%. Já o regime transitório imposto pela inserção de carga linear no sistema gerou pouco distúrbio no sinal de saída, como pode ser verificado na Figura 6. As normas ainda indicam que para a inserção da carga (linear ou não-linear) máxima que o sistema possa suportar, o desequilíbrio no sinal não deve exceder os dois ciclos de funcionamento. 7 Conclusão Figura 5: Ambiente de Simulação SIMULINK e PSIM. Na Figura 5 o processo é representado pelo bloco laranja e o controlador ressonante pelo bloco O resultado simulado obtido indica que o projeto de controladores dessa natureza através do V RF T pode ser estendido a um processo real, pois atendeu aos requisitos fixados pelas normas (IEEE Std 944, 1986) e (IEC 624-3, 1999). Leva-se em consideração que o sistema simulado não consegue representar com extrema fidelidade os efeitos reais de um inversor chaveado, já que existem ruídos inerentes ao processo que podem não ser representados pelos modelos utilizados. Ainda se faz necessário melhorar a qualidade do sinal obtido medida pelo T HD, para não afetar aparelhos eletrônicos, conectados a saída do sistema, que possam ser mais suscetíveis a presença de harmônicos. 2265

7 Tensão (V RMS ) Sistema em Malha Fechada: Tensão RMS Referência V RMS de saída Critério de 2% Tempo (s) Figura 6: Tensão da saída obtido do inversor de frequência com o uso do controlador da equação (6). Em, aproximadamente, 15 ms e 55 ms há inserção de carga e em, aproximadamente, 35 ms e 75 ms há remoção de carga. Tensão (V) Corrente (A) Sistema em Malha Fechada: Inserção de carga Referência Tensão de saída Corrente de saída Tempo (s) Figura 7: Simulação do inversor de frequência com o uso do controlador da equação (6) e degrau de carga linear máxima. Por fim, deve ser desdobrado o estudo desta formulação de controlador para mais modos de ressonância, para que atenda ao uso de carga nãolinear no sistema. Referências Aguirre, L. A. (27). Introdução à Identificação de Sistemas - Técnicas Lineares e Não-Lineares Aplicadas a Sistemas Reais, 3 edn, Editora UFMG. Bazanella, A. S., Campestrini, L. and Eckhard, D. (211). Data-Driven Controller Design - The H 2 Approach, 1 edn, Springer. Campestrini, L. (21). Contribuições para métodos de controle baseados em dados obtidos em apenas um experimento, PhD thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Campi, M. C., Lecchini, A. and Savaresi, S. M. (22). Virtual reference feedback tuning: a direct method for the design of feedback controllers, Automatica 38: Carvalho, F. M. (213). Método alternativo para sintonia de múltiplos controladores ressonantes aplicados em sistemas ininterruptos de energia (nobreak), Master s thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Chen, C.-T. (29). Linear System Theory And Design, 3 edn, Oxford University Press. Eckhard, D. (28). Projeto de controladores baseado em dados: Convergência dos métodos iterativos, Master s thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Francis, B. A. and Wonnham, W. M. (1976). The internal model principle of control theory, Automatica 12: IEC (1999). Technical report, INTERNA- TIONAL ELECTROTECHNICAL COM- MISSION, Switzerland. IEEE Std 944 (1986). Technical report, AME- RICAN NATIONAL STANDARDS INSTI- TUTE, New York. Pereira, L. F. A., Bonan, G., Vieira, J. F., Coutinho, D. F. and da Silva Junior, J. M. (211). Repetitive controller design for uniterruptible power supplies: An lmi approach, Annual Conference on IEEE Industrial Electronics Society pp Pereira, L. F. A., Bonan, G., Vieira, J. F., Coutinho, D. F. and da Silva Junior, J. M. (213). Multiple resonant controllers for uninterruptible power supplies - a systematic robust control design approach, IEEE Transactions On Industrial Electronics. Rech, C. and Pinheiro, J. (2). Analysis and design of a predictive pid controller for pwm inverters with nonlinear cyclic loads, International Conference on Industry Applications 1: 1 6. Salton, A. T., Flores, J. V., Lorenzini, C., Pereira, L. F. A., Bonan, G., and Coutinho, D. F. (212). Controlador paralelo repetitivoressonante aplicado a fontes ininterruptas de energia (ups), Congresso Brasileiro de Automática 38: Söderström, T. and Stoica, P. (1989). Identification, 1 edn, Prentice Hall. System Swarnkar, P., Jain, S. and Nema, R. K. (211). Effect of adaptation gain in model reference adaptative controlled second order system, ETASR - Engineering, Technology & Applied Science Research 1:

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