Fluxo em Redes. > Fluxo em Redes 1/19

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1 Fluxo em Redes > Fluxo em Redes 1/19

2 Definição (Fluxo) É dado um grafo direcionado, onde cada aresta e tem capacidade c(e). Dados nós s, t, um fluxo s-t é uma atribuição de valor (fluxo) f (e) para cada aresta e satisfazendo: Para cada aresta e: 0 f (e) c(e) (capacidade) Para cada nó v s, t: e entra v f (e) = e sai v f (e) (conservação) > Fluxo em Redes 2/19

3 Definição (Fluxo) É dado um grafo direcionado, onde cada aresta e tem capacidade c(e). Dados nós s, t, um fluxo s-t é uma atribuição de valor (fluxo) f (e) para cada aresta e satisfazendo: Para cada aresta e: 0 f (e) c(e) (capacidade) Para cada nó v s, t: e entra v f (e) = e sai v f (e) (conservação) > Fluxo em Redes 3/19

4 Definição (Fluxo) É dado um grafo direcionado, onde cada aresta e tem capacidade c(e). Dados nós s, t, um fluxo s-t é uma atribuição de valor (fluxo) f (e) para cada aresta e satisfazendo: Para cada aresta e: 0 f (e) c(e) (capacidade) Para cada nó v s, t: e entra v f (e) = e sai v f (e) (conservação) > Fluxo em Redes 4/19

5 Fluxos Muitas aplicações Survey Design Airline Scheduling Image Segmentation Project Selection Sport Elimination Matching... (Caminho mais curto, etc.) (Livro Network Flows, Ajuha, Magnanti, Orlin) > Fluxo em Redes 5/19

6 Fluxos Perspectiva mais natural de fluxos: Lema (Decomposição de fluxo, informal) Todo fluxo é uma união de fluxos-caminho e fluxos-ciclo > Fluxo em Redes 6/19

7 Fluxos Perspectiva mais natural de fluxos: Lema (Decomposição de fluxo, informal) Todo fluxo é uma união de fluxos-caminho e fluxos-ciclo Ideia de prova: Descasque fluxos-caminho sucessivamente > Fluxo em Redes 6/19

8 > Fluxo em Redes 7/19

9 Fluxos Problema: Dadas as capacidades, qual é a maior quantidade de fluxo que podemos passar de s a t? fluxo máximo > Fluxo em Redes 8/19

10 Fluxos Problema: Dadas as capacidades, qual é a maior quantidade de fluxo que podemos passar de s a t? fluxo máximo Assumimos que s não tem aresta entrando, pra simplificar > Fluxo em Redes 8/19

11 Fluxos Problema: Dadas as capacidades, qual é a maior quantidade de fluxo que podemos passar de s a t? fluxo máximo Assumimos que s não tem aresta entrando, pra simplificar Definição (Valor do fluxo) O valor do fluxo f é o fluxo saindo de s: val(f ) = f (e) e sai s > Fluxo em Redes 8/19

12 > Fluxo em Redes 9/19

13 Fluxo Pergunta: Se saem val(f ) unidades de fluxo de s, quanto chega a t? > Fluxo em Redes 10/19

14 Fluxo Pergunta: Se saem val(f ) unidades de fluxo de s, quanto chega a t? Resp: Chegam val(f ), devido a conservação de fluxo > Fluxo em Redes 10/19

15 Vamos entender melhor como as capacidades limitam os fluxos Definição (Corte) Um corte s-t é um conjunto de nós S que contém s e não contém t A capacidade do corte S é a soma das capacidades das arestas que vão de S para fora de S: cap(s) = c(u, v) (u,v):u S,v / S > Fluxo em Redes 11/19

16 Vamos entender melhor como as capacidades limitam os fluxos Definição (Corte) Um corte s-t é um conjunto de nós S que contém s e não contém t A capacidade do corte S é a soma das capacidades das arestas que vão de S para fora de S: cap(s) = c(u, v) (u,v):u S,v / S > Fluxo em Redes 12/19

17 Vamos entender melhor como as capacidades limitam os fluxos > Fluxo em Redes 13/19

18 Vamos entender melhor como as capacidades limitam os fluxos Definição (Corte) Um corte s-t é um conjunto de nós S que contém s e não contém t A capacidade do corte S é a soma das capacidades das arestas que vão de S para fora de S: cap(s) = c(u, v) (u,v):u S,v / S > Fluxo em Redes 13/19

19 Lema Considere um grafo direcionado com capacidades. Para todo fluxo s-t e todo corte s-t S val(f ) cap(s) > Fluxo em Redes 14/19

20 Prova: Devido a conservação de fluxo todos os nós s tem fluxo de entrada = fluxo de saída, então ( f (e) ) f (e) = f (e) = val(f ) v S e sai v e entra v e sai s > Fluxo em Redes 15/19

21 Prova: Devido a conservação de fluxo todos os nós s tem fluxo de entrada = fluxo de saída, então ( f (e) ) f (e) = f (e) = val(f ) v S e sai v e entra v e sai s Mas ( f (e) v S e sai v e entra v f (e) ) = e saindo de S f (e) e entrando em S Aresta e com as duas pontas em S contribui 0: + e - cancelam Aresta e com as duas pontas fora de S contribui 0 Aresta e saindo de S contribui +f (e) Aresta e entrando em S contribui f (e) f (e) : > Fluxo em Redes 15/19

22 Colocando essas observações juntas temos val(f ) = ( f (e) ) f (e) v S e sai v e entra v = f (e) f (e) e saindo de S e saindo de S = cap(s) f (e) e entrando em S > Fluxo em Redes 16/19

23 Fluxo Em particular, o lema anterior funciona para o fluxo máximo e corte com menor capacidade Corolário O fluxo máximo tem valor à capacidade do corte de menor capacidade > Fluxo em Redes 17/19

24 Fluxo Em particular, o lema anterior funciona para o fluxo máximo e corte com menor capacidade Corolário O fluxo máximo tem valor à capacidade do corte de menor capacidade Na verdade, essa relação é de igualdade Teorema (Max-flow/min-cut) O fluxo máximo tem valor = à capacidade do corte de menor capacidade > Fluxo em Redes 17/19

25 > Fluxo em Redes 18/19

26 Exercícios Exercício 1: Encontre o fluxo máximo no grafo abaixo Exercício 2: Encontre um corte que prova que o fluxo encontrado acima é máximo Exercício 3: Prove que o fluxo que entra em t é val(f ), ou seja f (e) = f (e) e entra t e sai s > Fluxo em Redes 19/19