PARTE A: Primeiro Semestre de de novembro de 2012 EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO

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1 EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO Primeiro Semestre de de novembro de 0 AS 4 QUESTÕES DA PARTE A SÃO OBRIGATÓRIAS. ESCOLHA, E APENAS, QUESTÕES DA PARTE B. A PROVA TEM DURAÇÃO MÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA. PARTE A: Problema : A Fig. mostra um ciclo termodinâmico de um gás ideal que consiste em cinco processos: AB é isotérmico a 300 K, BC é adiabático com trabalho W = 5,0 J, CD é um processo a pressão constante de 5 atm, DE é isotérmico, e EA é adiabático com uma mudança no energia interna de 8,0 J. Calcule a variação da energia interna do gás ao longo do processo CD. Figura : Questão. Problema : Uma onda eletromagnética plana monocromática, de comprimento de onda no vácuo λ 0 e propagando-se ao longo da direção z, incide perpendicularmente sobre uma lâmina de material birrefringente de espessura d. Esse material possui dois índices de refração diferentes, n x e n y, para a luz linearmente polarizada na direção x e na direção y, respectivamente. (a Suponha que a onda incidente tenha amplitude E 0 e seja linearmente polarizada, com a direção de polarização fazendo um ângulo θ = +π/4 rad com a direção x. Escreva a expressão para o campo elétrico da onda incidente. (b Suponha, agora, que d(n y n x = λ 0 /4. Se a onda incidente for a onda do item anterior, determine o estado de polarização da mesma após atravessar a lâmina. Uma tal lâmina é chamada de placa de um quarto de onda e é um importante dispositivo ótico.

2 Problema 3: Uma carga q está uniformemente distribuída sobre um anel circular de raio r e espessura desprezível. Suponha que o eixo de simetria do anel coincida com o eixo z. (a Determine o campo elétrico gerado pelo anel a uma distância z do centro. (b Mostre que quando z >> r o campo pode ser aproximado por: E(z q ( 3 r ˆk ; 4πε 0 z z onde ˆk é um vetor unitário na direção z. (c Interprete o primeiro termo da série (a saber, q/4πε 0 z. Problema 4: Um disco uniforme de massa M e raio r rola sem deslizar, começando do repouso na altura H + r como na gura pelo plano inclinado, e após atingir a horizontal, realiza um loop de raio R = r, se possível. Dado: I cm = Mr Loop R H+ r Figura : Questão 4. (a Calcule a energia cinética total K H no trecho horizontal e K L no loop, como função da velocidade do centro de massa v CM. (b Calcule a velocidade do centro de massa do disco no ponto mais alto do loop, em função de H, R e g. (c Calcule a velocidade mínima que o disco precisa ter no ponto mais alto do loop para que não descole do mesmo. (d Conclua o problema calculando a altura mínima H min para que o disco faça o loop com segurança.

3 PARTE B: Lembre-se de escolher, e apenas, problemas desta parte. Problema 5: No seu estado fundamental, o tamanho do átomo de hidrogênio pode ser dado pelo raio da camada n =, isto é, a 0 = 4π ε 0 /(µe 0.5Å (µ é a massa reduzida do átomo de hidrogênio e e é a carga do elétron. Mostre que essa dimensão atômica básica pode ser obtida diretamente do príncipio de incerteza. Problema 6: Considere o operador ˆQ i d, no qual φ é a coordenada polar usual em duas dimensões. dφ (a Mostre que ˆQ é hermitiano. (b Encontre suas autofunções e seus autovalores. [Suponha que a autofunção f obedece a propriedade f(φ + π = f(φ] Problema 7: Uma partícula é representada pela função de onda normalizada abaixo: { 5 (a Ψ(x = x se a < x < a; 6a 5 0 se x a ou x a. ( (a Determine a incerteza na posição desta partícula. (b Determine a incerteza no momento desta partícula. (c Os resultados obtidos nos itens (a e (b são compatíveis com o princípio da incerteza? Justique. Problema 8: Um elétron está no seguinte estado de spin: ( i χ = A, onde o estado acima foi escrito na base dos auto-estados de S z. (a Determine a constante de normalização A. (b Se S z for medido neste elétron quais valores poderão ser obtidos com quais probabilidades? Qual é o valor esperado de S z? (c Se S x for medido neste elétron quais valores poderão ser obtidos com quais probabilidades? σ x = ( 0 0 ( 0 i, σ y = i 0 ( 0, σ z = 0 3

4 EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO First Semester de 03 - November 9 th, 0 YOU MUST SOLVE ALL 4 PROBLEMS FROM PART A. CHOOSE, AND ONLY, PROBLEMS FROM PART B. YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM. PART A: Problem : Fig. shows an ideal gas cycle consisting of ve paths: AB is isothermal at 300 K, BC is adiabatic with work W = 5.0 J, CD is performed at a constant pressure of 5 atm, DE is isothermal, and EA is adiabatic with a change in internal energy of 8.0 J. What is the change in internal energy of this ideal gas along path CD? Figure : Problem. Problem : A plane monochromatic electromagnetic wave of wavelength λ 0 in vacuum, propagating along the z direction, impinges perpendicularly on a plate of birefringent material of thickness d. The material possesses two dierent indices of refraction, n x and n y, for linearly polarized light in the x and y directions, respectively. (a Suppose that the incident wave has amplitude E 0 and is linearly polarized at an angle of θ = +π/4 rad with the x direction. Write the expression for its electric-eld vector. (b Suppose now that d(n y n x = λ 0 /4. If the incident wave is the wave of the previous item, determine its polarization state when emerging from the plate. Such a plate is called a quarterwave plate and is an important optical element.

5 Problem 3: A charge q is uniformly distributed over a circular ring of radius r and negligible thickness. Assume its symmetry axis coincides with the z axis. (a Determine the electric eld generated by this ring at a distance z from the center. (b Show that when z >> r the eld can be approximated by: E(z q ( 3 4πε 0 z where ˆk is a unit vector in the z direction. (c Interpret the rst term of the series (to wit, q/4πε 0 z. r z ˆk ; Problem 4: An uniform disc of mass M and radius r rolls without sliding, starting at rest from H + r as shown in the gure, and goes around the loop, of radius R = r, if possible. Its moment of inertia is I cm = Mr. Loop R H+ r Figure : Problem 4. (a Calculate the total kinetic energy K H at the horizontal plane and K L at the loop as a function of the velocity of the center of mass v cm. (b Calculate the velocity of the center of mass of the disc at the highest point of the loop as a function of H, R and g. (c Calculate the minimum velocity of the disc necessary to go around the loop without losing contact. (d Conclude the problem by obtaining the minimum initial height H min so that the disc can safely do the loop.

6 PART B: Remember to choose, and only problems from this part. Problem 5: In its ground state the size of the hydrogen atom can be given by the radius of the n = shell, i.e. a 0 = 4π ε 0 /(µe 0.5Å (µ is the reduced mass of the hydrogen atom and e the charge of the electron. Show that this basic atomic scale can be obtained directly from the uncertainty principle. Problem 6: Consider the operator ˆQ i d, where φ is the usual polar coordinate in two dimensions. dφ (a Show that ˆQ is hermitian. (b Find its eigenfunctions and eigenvalues. [Assume that the eigenfunction f obey the property f(φ + π = f(φ] Problem 7: A particle is represented by the following normalized wave function { 5 (a Ψ(x = x se a < x < a; 6a 5 0 se x a ou x a. (a Determine the uncertainty in the position of this particle. (b Determine the uncertainty in the momentum of this particle. (c Are the results obtained in items (a and (b compatible with the uncertainty principle? Justify. Problem 8: One electron is at the following spin state: ( i χ = A, where the state above was written in a basis of the eigenvalues of S z. (a Determine the normalization constant A. (b If S z is measured for this electron, which values can be obtained and with which probabilities? What is the expected value of S z? (c If S x is measured for this electron, which values can be obtained and with which probabilities? σ x = ( 0 0 ( 0 i, σ y = i 0 ( 0, σ z = 0 3