Primeiro Semestre de de outubro de 2014

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1 EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 205- Primeiro Semestre de de outubro de 204 AS 6 QUESTÕES SÃO OBRIGATÓRIAS. A PROVA TEM DURAÇÃO MÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA. Problema : A estação espacial internacional é um satélite artificial que comporta astronautas e se localiza a uma distância entre 330 e 430 km da superfície da Terra. (Dados: considere π = 3, raio da Terra R = km e aceleração gravitacional na superfície da Terra g = 0 m/s 2 ). a) Se a estação estiver em órbita estacionária (mesma velocidade angular que a Terra), calcule a aceleração centrípeta em unidades de km/h 2 associada ao movimento da estação numa órbita a 400 km de altitude. b) Calcule a aceleração gravitacional (devido ao campo gravitacional Terrestre) da estação espacial em uma órbita a 360 km de altitude. c) Suponha que um dos módulos acoplados à estação espacial possa funcionar como uma espaçonave. Desejando escapar do campo terrestre, a espaçonave ejeta-se em uma trajetória radial. Determine qual deve ser a velocidade da espaçonave, em metros por segundo, ao atingir 200 km de altitude para que ela consiga escapar da região de influência do campo gravitacional da Terra. Problema 2: Considere um recipiente isolado contendo uma parede interna que o separa em dois volumes iguais, conforme a figura abaixo. No lado esquerdo, há n moles de um gás ideal à temperatura T 0 enquanto o lado direito encontra-se em vácuo. Adote como R a constante universal dos gases. Vacuo Figura : Recipiente isolado contendo uma parede divisória que separa em uma metade um gás ideal e na outra metade vácuo. a) Suponha que a parede divisória seja subitamente removida, de modo que o gás sofra uma expansão livre. Determine o trabalho realizado pelo gás e sua variação de entropia nesse processo.

2 b) Considere a energia livre de Helmholtz, definida por F = U T S, sendo U a energia interna, T a temperatura e S a entropia. Determine a variação F da energia livre para a expansão livre do gás e mostre que o decréscimo de F é igual ao trabalho que o sistema executaria em uma expansão reversível equivalente. Problema 3: a) Mostre que o campo magnético produzido por um fio retilíneo (de espessura desprezível) infinito carregando uma corrente I é dado por B = µ 0I 2πs ˆφ onde s é a distância perpendicular ao fio e ˆφ é o vetor unitário ao longo da direção azimutal em torno do fio. b) Considere 3 fios idênticos ao do item a) paralelos entre si. A distância entre dois fios consecutivos é d e eles estão no mesmo plano. Cada fio carrega uma corrente I na direção +ŷ (veja a Fig.2). Calcule as localizações no eixo x dos dois zeros do campo magnético. c) Se o fio do meio é deslocado rigidamente de uma pequena distância z (z d) fora do plano definido pelos fios, enquanto os outros dois são mantidos fixos, descreva qualitativamente o movimento subsequente do fio do meio. Figura 2: Três fios paralelos com corrente I ao longo direção do eixo y. Problema 4: Uma onda eletromagnética plana monocromática, de comprimento de onda no vácuo λ 0 e propagando-se ao longo da direção z, incide perpendicularmente sobre uma lâmina de espessura d, feita de um material opticamente ativo. Tal material possui dois índices de refração diferentes, n + e n, para a luz circularmente polarizada à esquerda e à direita, respectivamente. Isso faz com que o plano de polarização de uma onda incidente, linearmente polarizada, gire continuamente, enquanto tal onda atravessa o meio. a) Se a onda incidente tiver uma polarização linear arbitrária, ela pode ser descrita, na representação complexa, pelo vetor campo elétrico E (+) (r, t) = (E xˆx + E y ŷ) e i(k 0z ω 0 t). 2

3 Escreva a expressão para o vetor campo elétrico dessa mesma onda, quando a mesma for representada como uma superposição de uma onda circularmente polarizada à esquerda e uma onda circularmente polarizada à direita. b) Suponha que (n + n )d = λ 0 /3. Mostre que, se a onda incidente for linearmente polarizada, ela terá seu plano de polarização girado de θ = π/3, no sentido horário, após atravessar a lâmina. c) Suponha, agora, que a onda incidente do item b) tenha amplitude E 0 e que seu plano de polarização faça um ângulo θ = π/3 com a direção x. Escreva as expressões para o vetor campo elétrico da onda, imediatamente antes da mesma incidir sobre a lâmina e imediatamente após a mesma atravessar a lâmina. Problema 5: Considere o problema unidimensional de uma partícula de massa m sujeita a um potencial V (x) = αδ(x), onde α é uma constante positiva e δ(x) é a função delta de Dirac. Seja E a energia da partícula, tal que E < 0 (estado ligado). a) A partir da equação de Schrödinger e impondo continuidade de função de onda, encontre a autofunção de onda normalizada com energia E (por comodidade, defina k 2mE/ ). b) Mostre que este potencial admite uma única solução de estado ligado, encontrando o autovalor de energia deste estado. Problema 6: Seja um oscilador harmônico quântico unidimensional, cuja Hamiltoniana está dada por Definem-se os operadores a e a como H = P2 2m + 2 mω2 X 2. a = ) (ˆX + iˆp 2, a = ) (ˆX iˆp 2 com ˆX = mω X e ˆP = mω P. a) Mostre que [a, a ] = e escreva a Hamiltoniana em termos de a e a. b) Sendo ϕ E um autoestado da Hamiltoniana com autovalor de energia E, ou seja H ϕ E = E ϕ E, mostre que o estado a ϕ E também é autoestado da Hamiltoniana, com autovalor E ω. c) Seja 0 o estado fundamental. Sabendo que todos os autovalores de energia são positivos, encontre o autovalor de energia, E 0, e a autofunção na base X, ϕ 0 (x) x 0, do estado fundamental. (Dica: Faça uso da aplicação do operador a ao estado fundamental.) 3

4 EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 205- First Semester October 24 th, 204 YOU MUST SOLVE ALL 6 PROBLEMS. YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM. Problem : The international spatial station (ISS) is a habitable artificial satellite that hover the planet at a distance between 330 and 430 km from Earth s surface. (Data: consider π = 3, Earth s radius R = km and gravitational acceleration at Earth s surface g = 0 m/s 2 ). a) Consider that the ISS goes in a stationary orbit (same angular velocity that of Earth), determine the centripetal acceleration in units of km/h 2 associated with the station orbit at an altitude of 400 km. b) Calculate the gravitational acceleration (due to Earth s gravitational field) of the spatial station in an orbit at altitude of 360 km. c) Assume that one of the ISS modules can operate as a spacecraft. Aiming to escape from Earth s field, the spacecraft eject itself in a radial trajectory. Determine the velocity, in meters per second, the spacecraft has at an altitude of 200 km to allow it to escape from the region of influence of Earth s gravitational field. Problem 2: Consider an insulated chamber divided by an inner wall into two sides with identical volumes, according to the figure below. In the left side, we confine n moles of an ideal gas at temperature T. In the right side, we keep vacuum. Denote by R the gas universal constant. Vacuum Figure : Insulated chamber divided by an inner wall into two sides with identical volumes, containing an ideal gas at left side and vacuum at right side. a) Suppose the inner wall is suddenly removed, so that the gas undergoes a free expansion. Determine the work performed by the gas and its entropy variation in this process.

5 b) Consider the Helmholtz free energy, defined by F = U T S, being U the internal energy, T the temperature, and S the entropy. Determine the variation F of free energy in the free expansion of the gas and show that the decrease of F is equivalent to the work that the system would perform in an equivalent reversible expansion. Problem 3: a) Show that the magnetic field produced by an infinite straight wire (with negligible thickness) carrying a current I is given by B = µ 0I 2πs ˆφ where s is the perpendicular distance to the wire and ˆφ is the unitary vector at the azimuthal direction around the wire. b) Consider three wires identical to that of item a), parallel to each other. The distance between two consecutive wires is d and they are in the same plane. Each wire carries a current I in the same direction (see Fig.2). Calculate the location in the x axis of the two zeros of the magnetic field. c) If the middle wire is rigidly displaced by a small distance z (z d) outwards of the plane defined by the wires, while the other two wires are held fixed, describe qualitatively the subsequent motion of the middle wire. Figure 2: Three infinite wires carrying a current I in the +ŷ direction. Problem 4: A plane monochromatic electromagnetic wave of wavelength λ 0 in vacuum, propagating along the z direction, impinges perpendicularly on a plate of an optically active material of thickness d. Such material has two different indices of refraction, n + and n, for left and right circularly polarized waves, respectively. As a result, an incident linearly polarized electromagnetic wave has its plane of polarization continuously rotated as the wave propagates through the medium. a) If the incident electromagnetic plane wave is linearly polarized, its electric field can be written, in complex notation, as E (+) (r, t) = (E xˆx + E y ŷ) e i(k 0z ω 0 t). Write down the electric field of this electromagnetic wave as a superposition of left and right circularly polarized waves. 2

6 b) Suppose that (n + n )d = λ 0 /3. Show that the plane of polarization of a linearly polarized incident wave is rotated by an angle θ = π/3 in the clockwise direction after the propagation through the whole plate. c) Consider now that the incident wave described in b) has an electric field amplitude E 0 and is linearly polarized such that its polarization plane makes an angle of θ = π/3 with respect to the x direction. Determine the electric field of this wave immediately before and immediately after the propagation through the plate. Problem 5: Consider the one-dimensional problem of a particle of mass m subjected to a potential V (x) = α δ(x), where α is a positive constant and δ(x) is the Dirac delta function. The particle has energy E with E < 0 (bound state). a) Using Schrödinger s equation and imposing continuity of the wave function, find the normalized eigenfunction with energy E (for simplicity, define k 2mE/ ). b) Show that this potential admits only one bound state solution by obtaining the energy eigenvalue. Problem 6: An one-dimensional quantum oscillator is described by the Hamiltonian The operators a and a are defined as H = P2 2m + 2 mω2 X 2. a = ) (ˆX + iˆp 2, a = ) (ˆX iˆp 2 with ˆX = mω X and ˆP = mω P. a) Show that [a, a ] = and express the Hamiltonian in terms of a and a. b) If ϕ E is an eigenstate of the Hamiltonian with energy eigenvalue E, e.g. H ϕ E = E ϕ E, show that the state a ϕ E is also an eigenstate of the Hamiltonian, with energy eigenvalue given by E ω. c) Let 0 be the ground state. Knowing that all energy eigenvalues are positive, find the energy eigenvalue, E 0, and the eigenfunction in the X basis, ϕ 0 (x) x 0, of the ground state. (Hint: Apply the operator a to the ground state.) 3

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