AS 4 QUESTÕES DA PARTE A SÃO OBRIGATÓRIAS. ESCOLHA 2, E APENAS 2, QUESTÕES DA PARTE B. A PROVA TEM DURAÇÃO MÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

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1 EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO Segundo Semestre de de julho de 01 AS 4 QUESTÕES DA PARTE A SÃO OBRIGATÓRIAS. ESCOLHA E APENAS QUESTÕES DA PARTE B. A PROVA TEM DURAÇÃO MÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA. PARTE A: Problema 1: Um condutor esférico de raio R possui em seu centro uma cavidade esférica de raio a como mostra a Fig. 1. No centro desta cavidade há uma carga pontual q a. A uma distância d do centro da esfera condutora há uma segunda carga pontual q b conforme mostra a Fig. 1. Considere que q a q b e d R. a) Calcule o campo elétrico total nas seguintes regiões: i) r < a ii) a < r < R iii) r > R b) Calcule a intensidade das forças que agem em cada um dos objetos condutor q a e q b no limite d R. Figura 1: Questão 1. 1

2 Problema : Um sistema de uma partícula de massa m cujo movimento é unidimensional está sujeito a uma força viscosa da forma F = ρ v (ρ > 0) sendo que sua velocidade no instante inicial em que a força começa a atuar é igual a v 0 e sua posição inicial igual a zero. Determine: a) A velocidade como função do tempo considerando as condições de contorno dadas. b) A posição como função do tempo considerando as condições de contorno dadas. Problema 3: Uma partícula de massa m executa um movimento unidimensional sob a ação de um potencial cuja dependência com a coordenada x é U(x) = a b onde a e b são constantes positivas. x x a) Encontre a força que atua sobre a partícula e faça um esboço do seu gráfico. b) Encontre a posição de equilíbrio para um corpo sob a ação dessa força; c) Escreva a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio e calcule o período natural das oscilações. Problema 4: A luz do sol no limite superior da atmosfera terrestre tem uma intensidade de 1 4kW/m. Supondo que a Terra cujo raio é aproximadamente km se comporte como um disco plano perpendicular aos raios solares e que toda a energia incidente seja absorvida calcule a força exercida sobre a Terra pela radiação. Quando ocorre absorção total a pressão de radiação é dada por I/c onde I é a intensidade da luz. PARTE B: Lembre-se de escolher e apenas problemas desta parte. Problema 5: Considere os seguintes operadores num espaço de Hilbert com dimensão igual a 3 e corpo complexo: L x = ; L y = 1 0 i 0 i 0 i ; L y = i a) Determine os auto-valores e os auto-estados normalizados de L x na base de L z. b) Se o sistema estiver num estado com L z = 1 e L x for medido quais serão os resultados possíveis e suas respectivas probabilidades? 1/ c) Considere o estado ψ = 1/ 1/ na base de L z. Se L z for medido neste estado e for encontrado o valor +1 qual é o estado do sistema após a medida? Se após a medida de L z fosse medido L z quais valores poderiam ter sido encontrados e com quais probabilidades?

3 Seja uma partícula numa caixa de comprimento L isto é sujeita ao potencial unidi- x < L/; V (x) = 0 L/ < x < L/; x > L/; Problema 6: mensional a) Determine a solução normalizada da equação de Schrödinger para esta partícula em todo o espaço supondo que esta se encontre no estado fundamental. b) Repentinamente a caixa se expande simetricamente para o dobro do tamanho original. A expansão é muito rápida de modo que a função de onda da partícula não é perturbada. Mostre que a probabilidade de se achar a partícula no estado fundamental da nova caixa é ( 8 3 π). Problema 7: onde a 0 = me Seja um átomo de Hidrogênio no estado fundamental cuja energia total é E = e é o raio de Bohr com m sendo a massa do elétron e e sua carga. a 0 a) Qual a região do espaço proibida classicamente para o elétron deste átomo? b) Sabendo que a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é dada por r a 0 ψ 1S = e πa 0 calcule a probabilidade quântica de encontrar o elétron nesta região. Problema 8: Considere um oscilador harmônico quântico unidimensional de massa m e frequência angular ω em um auto-estado de ordem n qualquer. a) Usando a representação do operador de posição X em termos dos operadores de destruição e de criação a e a respectivamente calcule o valor esperado do operador H 1 = 4λm ω 3 X 4 onde λ é uma grandeza adimensional para um auto-estado qualquer de ordem n 3

4 EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO Second Semester de 01 - July 13 th de 01 YOU MUST SOLVE ALL 4 PROBLEMS FROM PART A. CHOOSE AND ONLY PROBLEMS FROM PART B. YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE GOOD EXAM. PART A: Problem 1: A spherical conductor with radius R has at its center a hollow cavity with radius a as show in Fig. 1. At the center of the hollow cavity there is a point charge q a. At a distance d from the center of the conducting sphere there is a second point charge q b as shown in Fig. 1. Consider that q a q b and d R. a) Determine the total electrical field the following regions i) r < a ii) a < r < R iii) r > R b) Determine the intensity of the forces that act in each object conductor q a and q b considering d R. Figure 1: Problem 1. 1

5 Problem : A system with one particle with mass m wich moves unidimensionaly is subjected to a viscous force of the form F = ρ v (ρ > 0). The particle s initial velocity at the exact instant in which this force starts to act is equal to v 0. The particle s initial position is equal to zero. Determine: a) The particle s velocity as a function of time considering the given initial boundary conditions. b) The particle s position as a function of time considering the given initial boundary conditions. c) Write the movement differential equation for small oscilations around the equilirium positions and determine the oscilations natural period. Problem 3: A particle with mass m moves unidimensionaly under the action of a potencial that depends with x as U(x) = a b where a and b are positive constants. x x a) Find the force that acts on the particle and sketch a graphic of this force. b) Find the equilibrium position for a body under the action of this force. Problem 4: Sun light at Earth s atmospheric upper limit has an intesity of 1.4kW/m. Assuming the Earth that has a raius of approximadetely km behaves as a flat disc perpendicular to the solar rays and that all incident energy is absorbed determine Sun s radiantion force on Earth. When total absoption ocurrs the radiation preassure is given by I/c where I is the llight intensity. PART B: Remember to choose and only problems from this part. Problem 5: Consider the following complex Hilbert operators with dimension 3: L x = ; L y = 1 0 i 0 i 0 i ; L y = i a) Determine the L x normilized eingenvalues and eingenstates in the L z base. b) If the system is in a state with L z = 1 and L x is measured what are its expected values and its probabilities? 1/ c) Consider the state ψ = 1/ 1/ in the L z base. If L z is measured in this state and a value +1 is found hat is the system state after the measurement. If after the L z measurement L z is measured what are the expected values and its probabilities?quais probabilidades?

6 Problem 6: Consider a particle inside a box with lenght L i.e confined to a unidimensional potencial: x < L/; V (x) = 0 L/ < x < L/; x > L/; a) Determine the normilized solution for the particle s Schrödinger equation in all space assuming it is at the ground state initially. b) Sundenly the box expands simetrically to the double of its size.the expansion is instantaneous in a way that the particle s wave function is not disturbed. Show that the porbabiity to find the particle at the grounf state in the new box is ( 8 3 π). Problem 7: where a 0 = me Consider the hydrogen atom in its ground state with total energy given by E = e is the Bohr radius m the electron mass and e the electron charge. a) What region of the space is classically forbiden for this atom s electron? b) Knowing that the ground state wave fucntion of the hydrogen atom is given by r a 0 ψ 1S = e πa 0 a 0 determne the quantum probability to find the electron in this region. Problem 8: Consider an unidimensional quantum hamonic oscilator with mass m and angular frequency ω at any n order eigenstate. a) Using the X position operator written in terms of criation and anihilation operators a e a repectively write down the expected values of the operator: H 1 = 4λm ω 3 X 4 where λ is nondimensional for any n order eigenstate. 3