Capítulo 02. Princípios ásicos do MATLAB

Transcrição

1 Capítulo 02 Princípios ásicos do MATLAB

2 OBJETIVOS Aprender como números reais e complexos são atribuídos a variáveis, Aprender como atribuir valores a vetores e a matrizes utilizando a atribuição simples, o operador dois-pontos e as funções linspace e logspace. Entender as regras de prioridade para construir expressões matemáticas. Compreender o que são funções nativas e aprender mais sobre elas com os recursos de ajuda do MATLAB Aprender como usar vetores para gerar um gráfico simples com base em uma equação.

3 VOCÊ TEM UM PROBLEMA Objetivo: Estimar o coeficiente de arraste medindo a velocidade final de vários saltadores de massa conhecida. dv dt BUNGEE JUMPING g 0 d v t g c m gm c d c d m v v 2 t 2 g 9,81 m / s

4 VOCÊ TEM UM PROBLEMA No item anterior vimos que a velocidade final pode ser Expressa na forma: v t gm c d Isolando o coeficiente de arrasto, temos: c d mg v 2 t Massa e velocidades terminais para vários saltadores

5 O AMBIENTE MATLAB

6 O AMBIENTE MATLAB O MATLAB usa 3 tipos de janelas principais. Command Window ( Janela de comandos) Usada para entrar comandos e dados. Graphics window(s) (Janela Gráfica) Usada para mostrar gráficos. Edit window (Janela de Edição) Usada para criar e editar arquivos M (programas)

7 Modo de Calculadora A janela de comandos pode ser usada como uma calculadora para escrever comandos linha por linha. >> ans = 39 Sempre que um calculo é feito, o MATLAB atribui o resultado para a variável ans >> ans + 11 ans = 50

8 Variáveis MATLAB A variável ans pode ser útil em cálculos rápidos, mas ela é pouco útil na utilização de programas. MATLAB permite atribuir valores para variáveis definidas pelo usuário. MATLAB pode armazenar valores individuais e matrizes, sendo que esses valores podem ser numéricos ou texto. MATLAB não exige que você pré-inicialize variáveis. Se ela não existe, será criada para você.

9 Escalares Para atribuir um valor para uma variável simplesmente digite o nome da variável, o sinal de = seguido do valor: >> a = 4 a = 4 Observe que a nome da variável deve começar com uma letra. Observe que após a atribuição, o nome e o valor da variável são impressos na tela para confirmar o que foi feito.

10 Escalares Você pode suprimir essa mensagem finalizando a linha de comando com um ponto e vírgula (;). Você pode perguntar ao MATLAB para mostrar valores armazenados em uma variável digitando seu nome: >> a a = 4

11 IMPORTANTÍSSIMO O MATLAB é sensível a maiúsculas e minúsculas. Isto é, a variável a não é o mesmo que a variável A. >> a = 4; a = 4 >> A Undefined function or variable 'A'. Did you mean: >> a

12 Escalares É possível digitar vários comandos na mesma linha separando-os com vírgula ou com ponto e vírgula. >> a=4,a=6;x=1; a = 4

13 Números Complexos É possível atribuir valores complexos às variáveis usando a variável i (ou j) para representar a unidade imaginária. >> x=2+i*4 x = i Existem diversas variáveis pré-definidas, por exemplo: pi >> pi ans =

14 Formato de Exibição Você pode solicitar ao MATLAB para retornar os valores usando vários formatos diferentes usando o comando format. Exemplos >> format short; pi ans = >> format long; pi ans = >> format short eng; pi ans = e+000 >> pi*10000 ans = e+003

15 Arranjos, Vetores e Matrizes Um arranjo é uma coleção de valores representados por um único nome de variável. Podem ser de dois tipos: Arranjos de uma dimensão são chamados vetores. Arranjos bidimensionais são chamados matrizes. Para se inserir arranjos : usa-se colchetes Entradas em uma linha são separadas por espaço. Linhas são separadas por ponto e vírgula

16 Exemplos de vetores >> a = [ ] a = >> b = [2;4;6;8;10] b = Matriz transposta >> b = [ ]

17 Exemplo de matrizes >> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A = Também é possível utilizar a tecla ENTER para separar as linhas. A = [ ]

18 Exemplo de matrizes Finalmente, a mesma matriz pode ser construída concatenando ( juntando) os vetores que representam cada coluna. >>A = [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] ] A =

19 Comando who O comando who irá mostrar uma lista de todas as variáveis correntes. >> who Your variables are: A a ans b x

20 Comando who - Detalhes >> whos Name Size Bytes Class Attributes A 1x1 8 double a 1x5 40 double ans 5x1 40 double b 5x1 40 double x 1x1 16 double complex

21 Acessando elementos Elementos individuais de uma matrizes podem ser lidos ou definidos individualmente usando o índice de localização de linha e coluna. >> b= [2;4;6;8;10] b = >> b(4) ans = 8

22 Acessando elementos >> A = [[1 2 3]' [4 5 6]' [7 8 9]'] A = >> A(2,3) ans = 8 >> A(3,3) ans = 9 >> A(4,3) Index exceeds matrix dimensions.

23 Criação de Matrizes - funções Existem algumas funções que auxiliam a criação de matrizes: zeros(r,c) cria uma matrizes de r linhas e c colunas contendo apenas zeros zeros(n) cria uma matrizes de n linhas e n colunas contend zeros ones(r,c) cria uma matrizes de r linhas e c colunas contendo apenas 1 s ones(n) cria uma matrizes de n linhas e n colunas contendo apenas 1 s.

24 Exercícios em Sala 01) Determine o tamanho das seguintes matrizes. Verifique suas respostas criando as matrizes no MATLAB e utilizando o comando whos se necessário. Observe que as últimas matrizes podem depender das definições de matrizes definidas anteriormente neste exercício. a. u [ ] b. v [ 1;20;3] c. w [1 0 9;2 2 0;1 2 3] d. x [ u ' v] e. y(3,3) 7 f. z [ zeros 4,1 ones 4,1 zeros 1,4 '] g. v 4 x 2,1 02) Qual o valor de w 2,1? 03) Qual o valor de x 2,1? 04) Qual o valor de y 2,1? 05) Qual o valor de v 3 após a execução da declaração (g)?

25 Operador : (dois pontos) O operador dois-pontos (:) é útil em vários contextos. Se dois-pontos são usados para separar dois números, o MATLAB gera um conjunto de números entre eles usando um incremento unitário. >> t = 1:5 t =

26 Operador : ( dois pontos) Se dois-pontos são usados para separar três números, o MATLAB gera um conjunto de números entre o primeiro e o terceiro utilizando um incremento igual ao segundo número. >> t = 1:0.5:3 t = >> t = 1:0.7:3 t =

27 Operador : ( dois pontos) O Incremento também pode ser negativo >> t = 10:-1:5 t = Qual o resultado do comando abaixo: >> t=10:-1:15

28 Operador : ( dois pontos) O operador : também serve para selecionarmos elementos de arranjos A = >> A(2,:) ans = 2 5 8

29 Operador : ( dois pontos) O operador : também serve para selecionarmos elementos de arranjos >> t = >> t(2:4) ans = 9 8 7

30 Comandos linspace O comando é utilizado para criação de um vetor linha com um número específico de pontos entre dois extremos. linspace(x1, x2, n) Irá criar um vetor de n pontos entre x1 e x2 >>linspace(0, 1, 6) ans = Se o n é omitido, são criados 100 pontos. Para gerar um vetor coluna podemos usar: >> linspace(0,1,6)'

31 Comandos logspace O comando é utilizado para criação de um vetor linha de pontos logaritmicamente espaçados. logspace(x1, x2, n) que gera n pontos logaritmicamente espaçados entre >>logspace(-1, 2, 4) ans = e 10 x x >> logspace(1,2,4) ans = Se o n é omitido, são criados 50 pontos.

32 Caracteres (Strings) & Reticências Conteúdo alfanumérico (string) é envolto por apóstrofe(') >> f = Gilberto '; >> s = Tenani Unindo duas strings >> x = [f s] x = Gilberto Tenani Podemos usar reticências (...) para continuar linhas muito longas >> a = [ ] a =

33 Caracteres (Strings) & Reticências Não podemos usar reticências para continuar uma string. Mas podemos juntar pedações de strings usando reticências >> texto = [ Qualquer idiota pode fazer uma regra,'... ' e qualquer idiota a seguirá'] texto = Qualquer idiota pode fazer uma regra, e qualquer idiota a seguirá

34 Operações Matemáticas Operações matemáticas em MATLAB podem ser realizadas com escalares ou matrizes. O operadores mais comuns são: ^ Potenciação 4^2 = 8 - Negação -8 = -8 * / Multiplicação e Divisão 2*pi = pi/4 = \ Divisão à esquerda + - Adição e Subtração 6\2 = = = -2

35 Ordem das operações A ordem das operações é definida primeiro pelo parênteses, e então pela ordem padrão: y = -4 ^ 2 resulta y = -16 desde que a potenciação acontece primeiro, mas y = (-4) ^ 2 resulta y = 16

36 Números Complexos Todas as operações vistas até agora podem ser feitas com números complexos. >> x = 2+i*4; (ou 2+4i, ou 2+j*4, ou 2+4j) >> y = 16; >> 3 * x ans = i >> x+y ans = i >> x' ans = i

37 Adição e Subtração de Arranjos >> A=[8 5 4]; B= [10 2 7]; >> C = A + B C = >> A =[5-3 8; ]; B =[10 7 4; ]; >> C = A + B C = >> C - 8 ans =

38 Multiplicação de Arranjos (*) Se A e B são duas matrizes, a operação A*B tem sentido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. O resultado é uma matriz que possui o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B. >> A = [1 4 3; 2 6 1; 5 2 8]; >> B = [5 4; 1 3; 2 6]; >> A*B ans = >> B*A Error using * Inner matrix dimensions must agree.

39 Multiplicação de Arranjos (^) Se A for uma matriz quadrada podemos usar o símbolo ^ para multiplicar A por ela mesmo um certo número de vezes. Para que essa operação tenha sentido é necessário que A seja uma matriz quadrada. >> A = [1 2; -2 3]; >> A^2 ans =

40 Multiplicação de Arranjos (^) Se A for uma matriz quadrada podemos usar o símbolo ^ para multiplicar A por ela mesmo um certo número de vezes. Para que essa operação tenha sentido é necessário que A seja uma matriz quadrada. >> A = [1 2; -2 3]; >> A^3 ans = >> A*A*A ans =

41 Multiplicação de Arranjos (*) Dois vetores podem ser multiplicados um pelo outro somente se possuírem o mesmo número de elementos e se um dos vetores for um arranjo linha e o outro vetor um arranjo coluna. O resultado é um arranjo 1x1, ou seja, um escalar. Por isso esse produto também é chamado de produto escalar. >> L = [2 5 1] L = >> C = [3; 1; 4] C = >> L*C ans = 15

42 Multiplicação de Arranjos (*) O MATLAB possui uma função nativa dot(a,b) que calcula o produto escalar de dois vetores independente de serem linha ou coluna. >> C*L ans = >> dot(c,l) ans = 15

43 Operações elemento por elemento Quando usamos * e ^ em arranjos, as operações matemáticas seguem rigorosamente as regras da álgebra linear. As vezes, nós queremos realizar um cálculo item por item em uma matriz ou vetor. MATLAB define.* e.^ (observe os pontos) como uma multiplicação ou potenciação elemento por elemento. ( Ambas as matrizes devem ser de mesma dimensão ou uma delas deve ser 1x1)

44 Operações elemento por elemento >> A = [2 6 3; 5 8 4]; >> B = [1 4 10;3 2 7]; >> A.*B ans = >> A.^3 ans = >> A*B Error using * Inner matrix dimensions must agree.

45 Operações elemento por elemento >> X=[-2:2:10] X = >> Y=X.^2-4*X Y = >> Z = cos(x) Z =

46 Operações elemento por elemento >> Z = [1:2:15] Z = >> Y = (Z.^3+5*Z)./(4*Z.^2-10) Y =

47 Vetorização >> D = [1 4 9; ; ] D = >> R = sqrt(d) R =

48 gm gc t c d m Nossa equação d v t tanh >> t=[0:2:20]'; >> g=9.81; m = 68.1; cd = 0.25; >> v= sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t) v =

49 Funções Nativas Para Arranjos Existem várias funções nativas que você pode usar para cálculos envolvendo arranjos. >> A = [ ] A = >> mean(a) ans = 5 Se A é um vetor, mean(a)retorna o valor médio dos elementos do vetor.

50 Funções Nativas Para Arranjos

51 Funções Nativas Para Arranjos

52 Pedindo Ajuda Existem várias funções nativas que você pode usar para criar e manipular dados. O comando help pode fornecer informação a respeito de uma função específica ou uma classe help elmat irá listatodas as funções elementares que trabalham com matrizes. help elfun listará todas funções matemáticas elementares, incluindo trigonometria, exponencial, complexos e outras. Você pode usar o comando lookfor para procurer nos arquivos de ajuda ocorrências de texto e pode ser útil se você não sabe o nome de uma função.

53 Gráficos MATLAB tem um grande arsenal de funções nativas que manipulam gráficos. Duas dessas funções são plot (para gráficos 2-D ) e plot3 (para gráficos 3-D). Em adição, você pode fazer anotações no gráfico usando comandos como title, xlabel, ylabel, e legend.

54 Exemplo >> t=[0:2:20]'; >> g=9.81; m = 68.1; cd = 0.25; >> v= sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t); >> plot(t,v)

55 Exemplo de anotações >> grid on; >> title ('Gráfico de v por t'); >> xlabel('valores de x'); >> ylabel('valores de y'); Gráfico de v por t Valores de y Valores de x

56 Comando plot Caso o usuário decida plotar cada ponto com um símbolo pode incluir um especificador delimitado por aspas simples no comando plot. >> t=[0:2:20]'; g=9.81; m = 68.1; cd = 0.25; >> v= sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t); >> plot(t,v,'o')

57 Comando plot Também é possível controlar a largura da linha, cor, tipo de marcador >> plot(t,v,'--dc', 'LineWidth',2,'MarkerSize',10,... 'MarkerEdgeColor', 'k', 'MarkerFaceColor','m');

58 Comando plot CORES Azul b Verde g Vermelho r Ciano c Magenta m Amarelo y Preto K Branco w Símbolos Ponto. Círculo o Símbolo X x Mais + Estrela * Quadrado s Diamante d Tipos de linha Sólida - Pontilhada : Traço-ponto -. Tracejada --

59 Comando plot O MATLAB permite exibir mais de um conjunto de dados no mesmo gráfico. plot(t,v, t,2*v,'o');

60 Comando plot Os gráficos anteriores são apagados toda vez que um novo comando plot é executado. O comando hold on é usado para manter o gráfico anterior. O comando hold off retorna ao modo padrão. >> plot(t,v) >> hold on >> plot (t,v,'o');

61 Comando subplot(m,n,p) Permite dividir a janela do gráfico em subjanelas. Divide a janela do gráfico em uma matriz mxn e Outro gráfico seleciona o p-ésimo gráfico como corrente. 60 >> subplot(1,2,1) >> subplot(1,2,1); >> plot(t,v); >> axis square; >> title 'gráfico 01'; 10 >> subplot(1,2,2); >> plot(t,v,'o'); >> title ('Outro gráfico'); gráfico

62 Comando plot3(x,y,z) Permite gerar gráficos tridimensionais. >> t=0:pi/50:10*pi; >> plot3(sin(t),cos(t),t); >> grid on;

63 VOCÊ TEM UM PROBLEMA No item anterior vimos que a velocidade final pode ser Expressa na forma: v t gm c d Isolando o coeficiente de arrasto, temos: c d mg v 2 t Massa e velocidades terminais para vários saltadores

64 VOCÊ TEM UM PROBLEMA >> m=[ ]; >> vt=[ ]; >> g=9.81; >> cd = g*m./vt.^2 c d mg v 2 t cd = >> cd_medio = mean(cd) cd_medio = >> cd_minimo=min(cd) cd_minimo = >> cd_max = max(cd) cd_max =