COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS GEOESTATÍSTICOS UNIVARIADO E BIVARIADO NA ESTIMAÇÃO DA CAPTURA POR UNIDADE DE ESFORÇO: UM ESTUDO DE SIMULAÇÃO

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1 COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS GEOESTATÍSTICOS UNIVARIADO E BIVARIADO NA ESTIMAÇÃO DA CAPTURA POR UNIDADE DE ESFORÇO: UM ESTUDO DE SIMULAÇÃO Júlio César Pereira,3, Alexandra Mello Schmidt, Roseli Aparecida Leandro 3, Miguel Petrere Junior 4 UFSCAR/ Campus Sorocaba, Rodovia João Leme dos Santos, km 0 SP 64 Sorocaba (SP), CEP: , ulio-pereira@ufscar.br UFRJ/Instituto de Matemática, alex@im.ufr.br 3 ESALQ/USP/Departamento de Ciência Exatas, raleandr@esalq.usp.br 4 UNESP/Campus Rio Claro/ Departamento de Ecologia, mpetrere@rc.unesp.br Resumo - Dados de captura e esforço de pesca são utilizados para se obter índices de abundância relativa de um estoque pesqueiro. Recentemente, modelos geoestatísticos vêm sendo utilizados na análise de dados de captura e esforço de pesca. Modelos geoestatísticos multivariados tem sido utilizado em diversas áreas, mas não tem sido aplicados a dados de pesca. Neste artigo foi realizado um estudo de simulação para comparar estimativas de um índice de abundância relativa baseado na captura por unidade de esforço considerando-se o auste de um modelo geoestatístico univariado para a razão entre captura e esforço e um bivariado, em que são modelados conuntamente a captura e o esforço. As estimativas obtidas após o auste dos dois modelos apresentaram resultados muito próximos, indicando que não há vantagem em usar o modelo bivariado na estimação do índice para os cenários analisados. Palavras-chave: captura por unidade de esforço, inferência bayesiana. COMPARISON BETWEEN UNIVARIATE AND BIVARIATE GEOSTATISTICAL MODELS FOR CATCH PER UNIT EFFORT ESTIMATION: A SIMULATION STUDY Abstract - Data on catch and effort are used in order to estimate the relative abundance of a given population. Univariate geostatistical models have been used in catch per unit effort (cpue) data analysis, but the multivaried version of these have not been used in fishing data. In this paper a simulation study was carried out to compare estimates of a relative abundance based on cpue, first considering the fit of a univariate geostatistical model for the ratio between catch and effort and a bivariate model in which catch and effort are simultaneously modeled. Estimates obtained after the adustment of both models presented very close results indicating that there is no clear advantage in using the bivariate model in estimating the index. Key words: catch per unit effort, bayesian inference. Introdução Dos registros de pesca comercial, muitas vezes são obtidos índices de abundância relativa que são utilizados na avaliação de um estoque pesqueiro. Esses dados, em geral, são constituídos por captura, esforço e usualmente, são fornecidos também pontos de referência, em graus de latitude e longitude, indicando os quadratins (sub-regiões delimitadas por paralelos e meridiano onde ocorreram as pescarias (ICCAT 007). Dada uma região habitada por alguma espécie e dividida em quadratins, se estiverem disponíveis dados de esforço e de captura para toda a região, pode-se definir três índices de abundância relativa baseados na captura por unidade de esforço (CPUE). Esses índices foram chamados por Petrere Jr et al. (007) de CPUE, CPUE e CPUE 3. O índice CPUE é dado pela média das razões entre a captura e o esforço nos diferentes quadratins; CPUE é dado pela razão entre o total das capturas e o total do esforço para toda a região e CPUE 3 é dado pela razão entre a soma das capturas ponderadas pelos esforços e a soma dos quadrados dos esforços. Muitos autores têm relatado a autocorrelação espacial nos dados de pesca (MAYNOU 998; RIVOIRARD et al. 000; PETITGAS, 00; JARDIM; RIBEIRO Jr, 005; RUFINO et al. 006; ISBN:

2 STELZENMÜLLER et al. 007). Nesses casos a estatística espacial, em particular a geoestatística, vem sendo empregada com diversas finalidades. Os modelos geoestatísticos multivariados, recentemente, vem sendo aplicados em diversas áreas (SCHMIDT; GELFAND, 003; GELFAND et al. 004; BOGNOLA et al. 007), porém, não tem sido empregados na análise de dados de captura e esforço. Desse modo, não são consideradas as covariâncias cruzadas espaciais entre essas variáveis. Para se obter um índice de abundância geral para uma região habitada por um estoque espacialmente estruturado é necessário ter dados de captura e esforço para todos os quadratins que cobrem o estoque. Porém, quando isso não acontece pode-se estimar o índice de abundância usando somente os dados observados. Ou, como sugerido por Walters (003), se for possível mostrar que existe uma estrutura de correlação espacial nas taxas de captura, pode-se usar métodos geoestatísticos para fazer a interpolação para os quadratins não observados. O autor sugere ainda usar alguma covariável, por exemplo a temperatura da água, para auxiliar no processo de interpolação. Observa-se que o autor sugere também o uso da geoestatística para fazer a interpolação das taxas de captura, ou sea, da razão entre captura e esforço. Uma outra possibilidade, porém, que não tem sido proposta na literatura, é modelar conuntamente a captura e o esforço, usando um modelo geoestatístico bivariado, em que temperatura poderia ser considerada, também como covariável. Austando-se um modelo geoestatístico bivariado, pode-se fazer a interpolação do esforço e da captura, nos locais não observados, para depois calcular um índice de abundância para o estoque. Diante dessas possibilidades, neste trabalho foi realizado um estudo de simulação para comparar dois modelos geoestatísticos, um univariado para a razão entre captura e esforço e outro bivariado (GELFAND et al. 004), que modela conuntamente a captura e o esforço. Após o auste do modelo univariado, dos três índices definidos acima, é possível estimar apenas a CPUE. O principal obetivo deste trabalho foi comparar, em diferentes cenários, através de um estudo de simulação: a) o comportamento das estimativas da CPUE obtidas após o auste dos dois modelos e b) comparar as estimativas da CPUE obtidas após o auste do modelo geoestatístico univariado com as estimativas amostrais que são obtidas apenas com dados observados, sem fazer predições para locais não observados. Material e Métodos O modelo apresentado na eq. (), com o vetor Y( de dimensão p =, Y = loge e Y = logc, foi utilizado para a modelagem conunta da captura e do esforço. () Y ( = X( β + v( + ε (, em que v( segue uma distribuição normal bivariada com vetor de médias 0 e matriz de covariâncias, ε ( é um vetor de ruído branco com distribuição normal, com matriz de covariâncias D, de dimensão, diagonal, tal que D = τ. A componente X ) β (s representa a tendência do processo, em que X(.) é uma matriz contendo as possíveis covariáveis. Dessa maneira, assumiu-se que os vetores de observações nos pontos amostrados Y(s i ), i =,,..., n formam uma realização parcial do processo estocástico { Y ( : s G}, G R e que o vetor aleatório Y(.) segue um processo gaussiano. O modelo utilizado para a estrutura de covariância da componente v( da eq. (), foi o modelo de coregionalização linear proposto por Gelfand et al. (004), v( = Aw(, em que A é uma matriz de posto completo, triangular inferior, w (, =, são independentes, mas não identicamente distribuídos. Dessa maneira, a matriz de covariância cruzada associada a Y( é dada por Σ v(, v( s') = ρ ( s s' ) T, em = que que T = a a, com a sendo a -ésima coluna de A; T tem posto e T = T, T = AA'. Para este modelo, tem-se um alcance associado a cada componente de Y(.) se forem usadas funções de correlação monótonas e isotrópicas. A função de correlação usada foi a exponencial, tanto para o esforço quanto para a captura. O modelo de co-regionalização linear para o processo v( = Aw( pode ser reparametrizado segundo uma abordagem condicional. Gelfand et al. (004) mostram que existe uma equivalência entre o modelo () escrito na forma incondicional e condicional, desde que todos os processos exceto um seam puramente espaciais. Assim, o modelo para duas variáveis, considerando uma covariável, temperatura (temp), escrito na forma condicional é dado por ISBN:

3 () Y ( = β 0 + β temp( + σ w ( Y ( Y ( = β 0 + β temp( + αy ( + σ w ( + τ u Usando a abordagem condicional a verossimilhança pode ser escrita como L Y θ) = L( Y θ ) L( Y Y, ), em que θ é o vetor de parâmetros do modelo, θ = β, σ, )' é o ( θ ISBN: (. ( φ ( β, σ, φ, τ )' vetor de parâmetros referente a primeira equação do modelo () e θ = referente a segunda equação. Na abordagem bayesiana é necessário incorporar a incerteza relativa aos parâmetros de interesse. Assumindo-se independência, a distribuição a priori conunta é dada pelo produto das prioris de cada parâmetro. Aos vetores β e β foram atribuídas prioris normais multivariadas; para os parâmetros de variância utilizou-se prioris gama invertida e para os parâmetros φ e φ da função de correlação foram associadas prioris gama. Trabalhando-se com o modelo na forma condicional dado pela eq. () e assumindo independência a priori, a distribuição conunta a posteriori para os parâmetros é dada por π ( θ y, y ) = π ( θ y) π ( θ y ). Como a distribuição a posteriori não é tratável algebricamente, resumos a posteriori de interesse foram obtidos utilizando-se algoritmos MCMC (GAMERMAN; LOPEZ, 006). O modelo univariado para a razão entre a captura (C) e o esforço (E) é dado por (3) Y ( = X ( β +σ w( + τ u( C em que, Y ( = log (, X é a matriz contendo o efeito das covariáveis, w(.) segue um processo E gaussiano com média 0, variância e função de correlação exponencial e u( ~ N(0,). Aqui considerouse, também uma covariável, temperatura (temp), desta forma a i-ésima linha da matriz Xβ é dada por β + β temp( s ). A função de verossimilhança associada ao modelo (3), pode ser expressa por 0 i n T L( β, φ, σ, τ y) = (π ) σ R + τ I exp [ y Xβ] [ σ R + τ I] [ y Xβ]. Da mesma forma que se fez para o modelo (), foram atribuídas as prioris para os parâmetros do modelo (3). Seguindo a abordagem bayesiana, a distribuição conunta a posteriori é proporcional ao produto da verossimilhança pela priori. Como não é possível obter resumos a posteriori de interesse diretamente da distribuição a posteriori conunta, utilizou-se algoritmos MCMC. A implementação computacional dos modelos foi feita usando o programa WinBUGS (SPIEGELHATER et al., 00). Foram simulados 50 conuntos de dados do logaritmo do esforço (Y ) e do logaritmo da captura (Y ), considerando-se cada um dos diferentes cenários, a saber: a - baixa correlação entre captura e esforço e baixa correlação espacial; b - forte correlação entre captura e esforço e baixa correlação espacial; c - baixa correlação entre captura e esforço e forte correlação espacial; d - forte correlação entre captura e esforço e forte correlação espacial. Em cada cenário foram simulados dados em uma grade regular constituída de 00 pontos (0 x 0). Cada um desses pontos representa um ponto de referência dentro de um quadratim, onde teria ocorrido pesca (ou sea, captura e esforço). Em seguida, para cada realização foi tomada uma amostra de tamanho 85 e outra de tamanho 76. Isto é, considerou-se duas situações, em uma delas 5% dos quadratins não foram amostrados (não houve pesca) e na outra 4%. Para os dois tamanhos de amostras considerados, em cada uma das 50 realizações, foram austados os modelos dados pelas eq. () e eq. (3). A partir da distribuição a posteriori e de propriedades da distribuição normal multivariada, foram obtidas amostras da distribuição preditiva da captura e do esforço (quando se austou o modelo ()) e amostras da distribuição preditiva da razão entre captura e esforço (quando se austou o modelo (3)) para os locais não observados. Para cada um dos conuntos de valores preditos nos locais não observados, untou-se aos valores considerados como amostrados e assim, obteve-se estimativas para o índice CPUE, obtendo-se uma amostra de estimativas para cada modelo austado. Considerou-se, então, uma estimativa pontual dada pela mediana da amostra. Obteve-se assim, para cada uma das 50 realizações, uma estimativa pontual da CPUE obtida após o auste do modelo () e uma obtida após o auste do modelo (3). As estimavas obtidas após o auste dos modelos foram chamadas de estimativas austadas e estimativas obtidas apenas de amostras dos dados simulados foram chamadas de estimativas amostrais.

4 As comparações das estimativas obtidas após o auste dos modelos () e (3), e também das estimativas amostrais, foram feitas pelo erro quadrático médio (EQM). Resultados e Discussão A Tabela mostra que para o cenário d, as estimativas austadas usando o modelo univariado, com tamanho de amostra 85, são melhores que as amostrais, isto é, apresentam o menor EQM. Tabela. Erro Quadrático Médio das estimativas austada e amostral da CPUE para cada um dos cenários, usando os modelos bivariado e univariado, com tamanho de amostra 85 Austada Cenário Univariado Bivariado Amostral a 35, ,504 3,6330 b 475, ,489 46,4459 c 5,845 5,85 3,503 d 45,6568 4,753 83,965 Comparando os EQM's das estimativas da CPUE, obtidas após o auste modelo univariado cua variável resposta é o logaritmo da razão entre captura e esforço C/E (modelo (3)), com os EQM's das estimativas obtidas após o auste do modelo bivariado dado pelas eq. (), observa-se na Tabela que apesar dos EQM's do modelo () serem menores para os 4 cenários, as diferenças entre os EQM's das estimativas obtidas após o auste dos dois modelos são muito pequenas. Comparando ainda as estimativas amostrais com as estimativas austadas, obtidas após o auste do modelo (3), nota-se que para o tamanho de amostra 85, como á foi mencionado, as estimativas austadas são melhores para o cenário d. No entanto, com tamanho de amostra 76, nota-se na Tabela que não há vantagem em usar estimativas austadas para a CPUE. Ou sea, os EQM's das estimativas austadas são maiores que os EQM's das estimativas amostrais. Na Tabela são apresentados os EQMs das estimativas austadas, com tamanho de amostra 76, usando os modelos univariado e bivariado. Observa-se que, apesar das as estimativas obtidas após o auste dos dois modelos apresentarem maiores EQMs quando comparadas com a Tabela, elas ainda apresentam EQM's muito próximos entre si em cada cenário. Tabela. Erro Quadrático Médio das estimativas austadas e amostrais da CPUE para cada um dos cenários, usando os modelos bivariado e univariado, com 4 pontos deixados para predição Austada Cenário Univariado Bivariado Amostral a 53,63 53, ,856 b 83, , ,63 c 4,8095 5,90 7,045 d 397,830 3, ,0567 O fato do auste do modelo univariado produzir estimativas melhores do que as estimativas amostrais no cenário d, com tamanho de amostra 85, pode ser devido a forte correlação espacial presente nos dados simulados nesse cenário, a qual é considerada na obtenção das estimativas austadas. Os resultados indicam que para esse cenário é vantaoso usar estimativas austadas. Além disso, ao usar estimativas austadas, intervalos de credibilidade para a CPUE podem ser obtidos diretamente das amostras a posteriori das estimativas da CPUE, tem-se assim uma descrição da incerteza. As estimativas obtidas após o auste dos modelos () e (3) foram muito próximas porque ambas as estimativas são obtidas na primeira situação por 85 pares de esforço e captura observados que são comuns, sendo somente 5 valores diferentes que são preditos pelos dois modelos. No entanto, os 5 valores preditos pelo modelo () não tornam as estimativas da CPUE obtidas após o auste desse modelo melhores que as estimativas obtidas após o auste do modelo (3). Talvez as estimativas obtidas após o auste do modelo () não seam melhores pelo fato de que com esse modelo se faça predição de duas variáveis, esforço e captura, enquanto que com o modelo (3) se faz a predição de apenas uma variável. Dessa forma, tem-se a incerteza associada à predição do esforço e também da captura no caso do modelo ISBN:

5 (), enquanto que no caso do modelo (3), tem-se a incerteza na predição de apenas uma variável (razão entre captura e esforço). Usando o tamanho de amostra 76, para o auste do modelo (3), o número de pontos deixados para predição, 4, é grande o suficiente para que as predições feitas não seam tão boas. Dessa forma as estimativas austadas não são melhores que as amostrais. Usar estimativas austadas pode ser útil para obter estimativas mais precisas da CPUE, porém é preciso cautela, principalmente quando se tem muitos pontos não observados, a má predição nos locais não observados pode levar a estimativas piores nesses casos. As estimativas obtidas após o auste dos modelos univariado e bivariado apresentaram valores muito próximos para tamanho de amostra 85 e apesar das estimativas após o auste dos dois modelos apresentarem maior dispersão quando se usa tamanho de amostra 76, elas continuam próximas entre si. Essa é uma indicação de que não há vantagem em usar o modelo bivariado em relação ao univariado, quando o obetivo é obter uma estimativa da CPUE. Conclusão O estudo de simulação realizado permitiu verificar que: a) As estimativas austadas usando o modelo (3), são melhores que as estimativas amostrais, no cenário d, quando 5% das observações foram deixadas para predição. b) Deixando mais pontos para predição, 4%, não há vantagem em usar estimativas austadas em relação às estimativas amostrais para a CPUE. c) As estimativas da CPUE obtidas após o auste dos modelos () e (3), em geral, apresentaram valores muito próximos, indicando que não há grande vantagem em usar o modelo () em relação ao modelo (3), quando o obetivo é a estimação da CPUE. Referências BOGNOLA, I.; RIBEIRO Jr, P.; SILVA, E.; LINGNAU, C.; HIGA, A. Modelagem uni e bivariada da variabilidade espacial de rendimento de pinus taeda L. Floresta, 38: Comissão Internacional para a Conservação dos Atuns do Atlântico. Banco de dados. Disponível em: < Acesso em: 7 abril 007. GAMERMAN. D. and Lopes. H. F. Markov Chain Monte Carlo: Stochastic Simulation for Bayesian Inference. Chapman & Hall, London, 006. GELFAND, A. E.; SCHMIDT, A. M.; BANERJEE, S.; SIRMANS, C. F. Nonstationary Multivariate Process Modeling through Spatially Varying Coregionalization (with discussion). Test, v. 3, p JARDIM, E.; RIBEIRO Jr, P. J. Geoestatistical assessement of sampling designs for Portuguese botton trawl surveys. Fisheries Research. v. 85, p MAYNOU, F. The application of geostatistics in mapping and assessment of demersal resources. Nephrops norvegicus (L.) in the northwestern Mediterranean: a case study. Scienta Marina. v. 6, p PETITGAS, P. Geostatistics in fisheries survey design and stock assessment: models, variances and applications. Fish and Fisheries. v., p PETRERE Jr, M.; GIACOMINI, H. C.; De MARCO Jr. P. Catch-per-unit effort: which estimator is best? Submitted to the Brazilian Journal of Biology RIVOIRARD, J.; SIMMONDS, E. J.; FOOTE, K. G.; FERNANDES, P. G.; BEZ, N. Geostatistics for estimating fish abundance. Blackwell Science, Oxford RUFINO, M.; STELZENMULLER, V.; MAYNOU, F.; ZAUKE, P. Assessing the performance of linear geostatistical tools applied to artificial fisheries data. Fisheries Research. v. 8, p SCHMIDT, A. M.; GELFAND, A. E. A bayesian coregionalization approach for multivariate pollutant data. Journal of Geophysics Research Atmospheres. v. 08(D4), p SPIEGELHATER, D. J.; THOMAS, A.; BEST, N. G. WinBugs version.4 user manual. Techinical Report. Medical Resourch Council Biostatistics, Cambridge. 00. STELZENMÜLLER, V.; MAYNOU, F.; MARTÍN, P. Spatial assessment of benefits of a coastal Mediterranean Marine protected area. Biological conservation. v. 36, p WALTERS, C. Folly and fantasy in the analysis of spatial catch rate data. Canadian Journal of Fisheries and Aquatic Sciences. v. 60, p ISBN: