Análise de Sensibilidade em Modelo Gaussiano Assimétrico Espacialmente Referenciado

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÁTICA RAQUEL VAZ GUEDES PEREIRA Análise de Sensibilidade em Modelo Gaussiano Assimétrico Espacialmente Referenciado Prof a. Alexandra Mello Schmidt, Ph.D. Orientador Rio de Janeiro, outubro de 015

2 nálise de Sensibilidade em ModeloGaussiano AssimétricoEspacialmente Referenciado Raquel Vaz Guedes Pereira Projeto Final de Curso submetido ao Departamento de Métodos Estatísticos do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Bacharel em Estatística. Apresentado por: Raquel Vaz Guedes Pereira Aprovado por: Prof a. Alexandra Mello Schmidt, Ph.D. Prof. Dani Gamerman, Ph.D. Prof. Thais Cristina Oliveira da Fonseca, Ph.D. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL outubro de 015

3 Agradecimentos Quero agradecer primeiramente a Deus. Agradeço à minha orientadora, Alexandra, que me acompanhou e orientou não só na confecção deste trabalho mas em todo o meu percurso no DME. Agradeço por ela ter me motivado a estudar, e seguir estudando, e generosamente me fornecido os meios adequados para construir o meu conhecimento. Agradeço a todos os professores do DME, em especial aos que me deram aula, pela dedicação e qualidade demonstradas. Agradeço a todos os funcionários da UFRJ e em especial aos do IM. Agradeço às minhas lhas Júlia, Isabel e Rafaela e, aos meus pais, agradeço pela vida e educação que me deram. aqui. Agradeço à minha amiga Sandra pois sem ela tenho certeza que não chegaria i

4 RESUMO Análise de Sensibilidade em Modelo Gaussiano Assimétrico Espacialmente Referenciado Raquel Vaz Guedes Pereira outubro/015 Orientador: Alexandra Mello Schmidt, Ph.D. IM - UFRJ Em diversas áreas do conhecimento nos deparamos com variáveis assimétricas espacialmente referenciadas que podem sugerir uma estrutura de correlação espacial. E, pode ser objetivo a modelagem tanto da assimetria quanto da estrutura de correlação. Neste sentido este trabalho investiga a capacidade do modelo gaussiano assimétrico espacial proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) recuperar os parâmetros utilizados para gerar as observações. Para tanto foram utilizadas 90 amostras de dados articialmente gerados segundo o modelo assimétrico proposto, divididas em 3 grupos: 30 amostras com 30 localizações, 30 com 60 e 30 com 10. Para o processo de inferência e predição foi utilizada a abordagem bayesiana com 3 especi- cações distintas da distribuição a priori do vetor paramétrico. Para a o parâmetro de variância foi utilizada a Gama Inversa e a half Cauchy (Gelman, 006). Como não é possível fazer nenhuma sumarização da distribuição à posteriori de forma analítica, recorreu-se ao método de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC) para obter uma amostra à posteriori dos parâmetros do modelo. Utilizou-se o amostrador de Gibbs com passos de Metropolis-Hastings e Slice Sampling e, para tanto, foram calculadas as distribuições condicionais completas a posteriori (DCCP). Concluiu-se que o modelo proposto é adequado na inferência. Porém, vericou-se que a escolha da distribuição a priori assumida para o vetor paramétrico é crítica e, na comparação das 3 especicações, vericou-se que a half Cauchy da forma proposta por Gelman (006) permite a recuperação dos verdadeiros valores dos parâmetros sendo a menos informativa. ii

5 Palavras chaves: modelo espacialmente referenciado, distribuição normal assimétrica, estimação bayesiana, Monte Carlo via cadeias de Markov, amostrador de Gibbs, Metropolis-Hastings, Slice Sampling. iii

6 ABSTRACT Análise de Sensibilidade em Modelo Gaussiano Assimétrico Espacialmente Referenciado Raquel Vaz Guedes Pereira outubro/015 Advisor: Alexandra Mello Schmidt, Ph.D. IM - UFRJ In many applications, observed spatial variables have skewed distributions. It is often of interest to model the shape of the skewed marginal distributions as well as the spatial correlations. The goal of this study is to investigate the spatial skew-gaussian model proposed by Zhang and El-Shaarawi (010) capacity to make inference about the parameters used to generate the observations. We analysed 90 articially generated observations according to the proposed spatial skew-gaussian model, divided into 3 groups: 30 samples with 30 locations, 30 samples with 60 locations and 30 with 10. We then use the Bayes' Paradigm to make inference about the parameters in 4 dierent specications for the parametric vector. For the variance parameter were assumed a inverse gamma and half-cauchy (Gelman, 006) as prior distributions. It can't make any summarization of the posterior distribution analytically so it was applied Markov Chain Monte Carlo in order to obtain a samples from the posterior distribution of the parametric vector. It was found that the model is suitable inference. Thus it becomes critical the choice of the prior distribution. It was found that the half-cauchy in the way proposed by Gelman (006) allows recovery of the true parameters values being less informative. Key words: Spatial Skew-Gaussian Model, Bayes' paradigm, Markov Chain Monte Carlo, Gibbs sampling, Metropolis-Hastings, Slice Sampling. iv

7 Sumário Agradecimentos i Resumo ii Abstract iv 1 Introdução Geoestatística Modelo gaussiano para processo espacial Inferência espacial bayesiana Interpolação espacial Modelos Espaciais Normais Assimétricos 13.1 Distribuição normal assimétrica Distribuição normal assimétrica univariada Distribuição normal assimétrica multivariada Modelos espaciais normais assimétricos Modelo espacial normal assimétrico proposto por Zhang e El-Sharaawi (010) v

8 3 Procedimento de Inferência Modelo Proposto por Zhang e El-Sharaawi (010) Modelo Normal Estudo Simulado e Resultados Geração dos dados articiais Procedimento de inferência Modelo Normal Modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) Resultados Conclusões 51 A Slice Sampling para processo gaussiano assimétrico 54 B Verossimilhanças Perladas 60 C Estudo das cadeias obtidas via MCMC 15 D Distribuição a priori e a posteriori dos parâmetros 154 vi

9 Capítulo 1 Introdução Em várias áreas do conhecimento nos deparamos com fenômenos espacialmente referenciados. Como exemplo podemos citar a temperatura ao longo de uma cidade, o sinal de eletroencefalograma captado em diferentes pontos do escalpo ou a contagem dos casos de uma determinada doença em um país. O termo estatística espacial é usado para descrever os modelos e métodos utilizados na análise desses dados espacialmente referenciados. E, por m, geoestatística é o ramo da estatística espacial que trata dos dados que consistem de uma amostra nita de valores observados, Y i, i = 1,..., n, de um fenômeno espacial contínuo em um conjunto discreto de localizações s i. Em muitas situações não é adequado assumir um modelo normal para o fenômeno. Podem-se tomar os exemplos anteriormente citados em que os fenômenos assumem valores positivos e, possivelmente, são assimétricos em relação à média. Para evitar a transformação das observações, que diculta a interpretação dos resultados, deve-se optar por modelos que acomodem as caracteísticas das observações. Este trabalho pretende investigar a capacidade do procedimento de inferência em recuperar os valores dos parâmetros utilizados para gerar as observações. Trata-se de um estudo simulado que propõe o uso do modelo sugerido por Zhang and El-

10 1.1. GEOESTATÍSTICA Shaarawi (010) porém, adota a abordagem bayesiana para a inferência e predição. Neste capítulo é feita uma introdução à geoestatística baseada nos livros Diggle and Ribeiro (007) e 'Banerjee et al. (004). Na Seção 1.1 é denido e caracterizado o modelo espacial e na Seção 1. o modelo espacial gaussiano usualmente utilizado. Na Seção 1.3 é discutido o processo bayesiano de inferência e predição. No Capítulo são apresentados modelos espaciais normais assimétricos. Iniciase com a denição e caracterização da distribuição normal assimétrica univariada e multivariada, Seção.1. Na Seção. são apresentados modelos espaciais normais assimétricos. O modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) é apresentado na Seção.3 assim como o processo de inferência e previsão sob a abordagem bayesiana. O Capítulo 3 descreve o estudo simulado. Inicia-se o capítulo descrevendo como os dados articiais foram gerados, Seção 3.1, segue-se com a descrição do procedimento de inferência, Seção 3.. Finalmente os resultados são apresentados na Seção 3.. A conclusão está no Capítulo Geoestatística Os modelos espaciais são processos estocásticos {Y (s) : s D} onde D é um subconjunto xo do espaço euclideano r-dimensional, r = 1, ou 3. Os dados consistem em observações de uma realização parcial desse processo estocástico em um número nito de localizações, {s 1,..., s n }. O objetivo é inferir sobre o processo estocástico e fazer previsões em localizações não observadas de interesse. Sejam µ (s) = E [Y (s)] e V ar [Y (s)] a média e variância do processo estocástico respectivamente.

11 1.1. GEOESTATÍSTICA 3 O processo é dito gaussiano se para qualquer n 1 e para todos os locais em D, Y = [Y (s 1 ),..., Y (s n )] t possui distribuição normal multivariada. Denição: Um processo é dito estritamente estacionário (estacionariedade de primeira ordem) se, para qualquer conjunto de n localizações, n 1 e qualquer h R r, a distribuição de Y (s) é a mesma de Y (s + h), tal que s + h D. Denição: Um processo é dito fracamente estacionário (estacionaredade de segunda ordem) se µ (s) = µ e Cov (Y (s), Y (s + h)) = C (h), h R r tal que {s, s + h} D. Isto é, um processo é dito fracamente estacionário se possui média constante e covariância descrita por uma função que depende apenas do vetor h que separa dois pontos. Neste contexto, a função C (h) recebe também o nome de covariograma. que: Denição: Um processo é dito intrinsicamente estacionário se assumirmos E [Y (s + h) Y (s)] = 0, e E [ (Y (s + h) Y (s)) ] = V ar [Y (s + h) Y (s)] = γ (h), onde a função γ (h) é chamada de variograma e γ (h) de semivariograma. A estacionaredade intrínseca é denida em termos do primeiro e do segundo momentos da diferença (Y (s + h) Y (s)). Note que ela não diz nada sobre a distribuição conjunta de [Y (s 1 ),..., Y (s n )] t e, portanto, não fornece informação sobre a função de.

12 1.1. GEOESTATÍSTICA 4 Pode-se vericar que conhecendo-se o covariograma chega-se ao variograma, pois γ (h) = V ar [Y (s + h) Y (s)] = V ar [Y (s + h)] + V ar [Y (s)] Cov [Y (s + h), Y (s)] = C (h = 0) + C (h = 0) C (h) = (C (0) C (h)) (1.1) Denição: O processo é dito ergódico se C (h) 0 quando h. Com isso lim h γ (h) = lim h [C (0) C (h)] = C (0). Neste caso C (h) é obtido a partir de γ (h). Pode-se vericar que estacionaredade fraca implica em estacionaredade intrínseca e que a recíproca nem sempre acontece. Um variograma válido necessariamente satisfaz a condição denida negativa, isto é, para qualquer conjunto de localizações {s 1,..., s n } e qualquer conjunto de constantes {a 1,..., a n }, tal que n i=1 a i = 0, γ (h) é válido se, e só se [ ] a i a j γ (s i s j ) = 1 E a i a j (Y (s i ) Y (s j )) i j i j [ = 1 E ( a i a j Y (s i ) + Y (s j ) Y (s i ) Y (s j ) )] i j [ ] = E a i a j Y (s i ) Y (s j ) i j [ = E a i Y (s i )] 0. (1.) i Se o semivariograma depende do vetor distâncias somente pelo seu módulo 1, dizemos que o processo é isotrópico. Caso contrário dizemos que é anisotrópico. Se o processo é isotrópico e ergódico dizemos que é homogêneo. Em um processo isotrópico o semivariograma é uma função escalar com argumento univariado, γ ( h ). Na prática os processos isotrópicos são preferidos em função da sua simplicidade, 1 Seja o vetor v = (x, y), onde x, y R r então, pelo teorema de Pitágoras, vem que o módulo de v é dado por v = x + y.

13 1.1. GEOESTATÍSTICA 5 interpretabilidade e por já possuírem alguns candidatos para semivariograma. Como a vericação da validade de variograma não é tarefa fácil, é importante ter uma gama de famílias paramétricas que são sabidamente válidas e sucientemente exíveis para alcançar as necessidades das aplicações em geoestatística. A seguir serão apresentados alguns exemplos de semivariogramas válidos de processos isotrópicos. Para simplicar a notação assuma t = h. Linear: τ + σ t, t > 0 γ (t) = 0, caso contrário, (1.3) onde τ > 0 e σ > 0. Note que γ (t) com t, portanto, apesar de seu variograma corresponder a um processo intrínsicamente estacionário, não corresponde a um processo fracamente estacionário. Esférica: γ (t) = τ + σ, t 1 φ τ + σ [ 3 (φt) 1 (φt)3], 0<t 1 φ 0, t 0, (1.4) onde τ > 0 e σ > 0. Este variograma ilustra as 3 carcterísticas tradicionalmente associadas ao variograma, são elas: o efeito pepita (nugget), o limite (sill) e o alcance (range). Este semivariograma está desenhado na Figura 1.1(esquerda) assumindo os valores para os parâmetros τ = 0, 04, σ = 1 e φ = 1, 3. Por denição γ (0) = 0, γ (0 + ) lim t 0 γ (t) = τ, este valor recebe o nome de efeito pepita. O lim t γ (t) = τ + σ este valor recebe o nome de limite. Finalmente, t = 1/φ é o valor no qual γ (t) alcança pela primeira vez o limite e recebe o nome de alcance. Em função disso o parâmetro φ é conhecido como parâmetro de decaimento.

14 1.1. GEOESTATÍSTICA 6 Figura 1.1: (esquerda) Semivariograma esférico com o efeito pepita, limite e alcance desenhados com linhas pontilhadas; (direita) Semivariograma exponencial. O efeito pepita, o limite e o alcance estão representados por linhas pontilhadas. Neste caso o alcance trata-se de uma assíntota horizontal e arbitrou-se como alcance efetivo o valor de t no qual a correlação assume o valor 0,05. Exponencial: τ + σ [1 exp ( φt)], t > 0 γ (t) = 0, caso contrário, (1.5) onde τ > 0 e σ > 0. Este processo é estacionário e o efeito pepita é τ. O limite, τ + σ, é alcançado assintoticamente o que torna o alcance innito. Neste contexto surge o conceito de alcance efetivo que é o valor de t no qual a correlação diminuiu signicativamente. O semivariograma exponencial pode ser visto na Figura 1.1(direita) assumindo φ = 1, 3, σ = 1 e τ = 0, 04. A Equação 1.6 apresenta a função de correlação associada ao semivariograma exponencial, assuma u variável auxiliar:

15 1.1. GEOESTATÍSTICA 7 C (t) = lim u (γ (u) γ (t)) = τ + σ [ τ + σ (1 exp ( φt)) ] = σ exp ( φt). (1.6) Portanto, σ exp ( φt), t>0 C (t) = τ + σ, caso contrário e, calculando o alcance efetivo que foi arbitrado para ser o valor de t no qual a correlação assume o valor 0,05, segue que 0, 05 = exp ( φt) log (0, 05) = φt, isto é, t 3φ 1. Pode-se interpretar τ como a variância sem o efeito espacial e σ a variância com o efeito espacial. Matérn: [ ( τ + σ 1 ( νt) ν ) ] K νt γ (t) = ν 1 Γ(ν)φ ν ν, t>0 φ τ, caso contrário (1.7) onde Γ ( ) é a função gama e K ν a função Bessel de ordem ν > 0. O parâmetro ν está relacionado à forma de decaimento da curva e seu grau de o grau de suavização do processo que, matematicamente, é descrito pela sua continuidade e diferenciabilidade. Com o aumento do valor de ν o processo se torna mais vezes diferenciável e mais suave. Já φ > 0 é o parâmetro de escala que dita a velocidade de decaimento da correlação com o aumento da distância entre dois pontos. O semivariograma exponencial é um caso particular da função Matérn quando ν = 1/. A escolha do variograma que melhor se ajusta aos dados é usualmente feita visualmente, comparando-se o variograma empírico com os teóricos. O variograma empírico, ˆγ (t), é estimado de forma não paramétrica, utilizando-se o método dos momentos, Equação 1.8. Para tanto, divide-se o t-espaço em intervalos regulares

16 1.. MODELO GAUSSIANO PARA PROCESSO ESPACIAL 8 I 1 = (0, t 1 ), I = (t 1, t ),..., I m = (t m 1, t m ), onde 0 < t 1 < < t m e m = 1,..., M. ˆγ (t m ) = 1 N (t m ) (s i,s j ) N(t m) [Y (s i ) Y (s j )], (1.8) onde N (t m ) é o conjunto dos pares de pontos tais que s i s j t m, N (t m ) é o número de pares nesse conjunto. Empiricamente sugere-se construir a grade de forma a ter no mínimo 30 pares de pontos em cada intervalo. 1. Modelo gaussiano para processo espacial Os processos estocásticos gaussianos são amplamente utilizados na prática como modelos para dados geoestatísticos. Sua ampla utilização se justica, em parte, por serem analiticamente tratáveis. Porém, com o aumento da capacidade computacional acessível, novos métodos de inferência estão se desenvolvendo diminuindo a dependência aos modelos gaussianos. Entre os novos métodos de inferência pode-se citar o método de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC). O modelo gaussiano usualmente utilizado é Y (s) = µ (s) + w (s) + ɛ (s), (1.9) onde µ (s) = X (s) β é a estrutura de média, também chamada de tendência do processo Y (s). Neste caso estamos assumindo que a tendência não é constante ao longo de D, mas sim uma combinação linear desconhecida de funções conhecidas X (s) = {X 1 (s),..., X r (s)}, s D, e β = [β 1,..., β r ]. As quantidades X j ( ) representam covariáveis que possivelmente explicam o nível de Y (s) e β j o respectivo efeito da covariável X j ( ), j = 1,..., r. Desta forma, este processo não é estacionário uma vez que o nível de Y (s) varia com as localizações em D. Já a estrutura residual é composta por dois termos, um espacial, w (s), e outro não espacial, ɛ (s). O termo espacial é assumido como sendo uma realização de um processo espacial

17 1.3. INFERÊNCIA ESPACIAL BAYESIANA 9 gaussiano estacionário centrado no zero que captura a associação espacial residual. O termo não espacial é o erro de medida não correlacionado. O termo w (s) introduz o limite parcial (σ ) e o parâmetro de alcance (φ) enquanto o termo ɛ (s) introduz o efeito pepita (τ ). O variograma do modelo é denido por γ (t) = 1 V ar [Y (s i) Y (s j )] = 1 E [w (s i) + ɛ (s i ) w (s j ) ɛ (s j )] = 1 E [ (w (s i ) w (s j )) ] + 1 E [ (w (s i) w (s j )) (ɛ (s i ) ɛ (s j ))] + 1 E [ (ɛ (s i ) ɛ (s j )) ] = σ (1 ρ (t, φ)) + τ + E [ɛ (s i )] E [ɛ (s j )] = σ (1 ρ (t, φ)) + τ, (1.10) onde ρ ( ) é uma função de correlação válida. A Equação 1.10 sumariza as qualidades de um variograma típico. O variograma típico é monotonicamente crescente em t, τ é o intercepto (efeito pepita), (σ + τ ) é a assíntota horizontal (limite) e σ a variância do sinal (efeito espacial). Dessa forma assumimos que, dadas as observações do processo de interesse em n localizações, Y = (Y (s 1 ),..., Y (s n )) t, Y µ, Σ N n (µ, Σ), (1.11) onde µ = X β é um vetor de dimensão n representando a média do processo e Σ é uma matriz n n que representa a estrutura de covariância. Cada elemento de Σ é dado por Σ i,j = σ ρ ( s i s j, φ) se i j e Σ i,j = σ + τ se i = j. 1.3 Inferência espacial bayesiana Geralmente, o principal objetivo na geoestatística é prever o processo Y (s) em locais não observados da região D, condicional às observações Y = (Y (s 1 ),..., Y (s n )) t.

18 1.3. INFERÊNCIA ESPACIAL BAYESIANA 10 A predição em geoestatística recebe o nome de krigagem em homenagem ao engenheiro de minas Sul-Africano, D. G. Krige, que foi pioneiro em trabalhar com dados geoestatísticos. Na abordagem clássica são utilizados métodos baseados no variograma para fazer a estimação dos parâmetros e posteriormente a predição. Neste trabalho foi utilizada a abordagem bayesiana que será discutida a seguir. Assumindo que o processo Y (s) é modelado como na Equação 1.9, o primeiro objetivo é estimar seus parâmetros. Na abordagem bayesiana não há distinção formal entre o sinal w (s) não observado e os parâmetros, Ψ = {β, σ, τ, φ}, do modelo. Portanto, são três as entidades aleatórias: os dados, Y (s); o sinal, w (s); e os parâmetros do modelo, Ψ. E a especicação do modelo passa a ter três níveis hierárquicos. f (Y, w, Ψ) = π (Ψ) f (w Ψ) f (Y w, Ψ), (1.1) onde π (Ψ) é a distribuição a priori dos parâmetros, f (w Ψ) é a distribuição do sinal w (s) e f (Y w, Ψ) é a distribuição geradora das observações, que, por sua vez, depende do sinal e dos parâmetros. Com a observação dos dados, a distribuição a priori dos parâmetros é atualizada, distribuição a posteriori, e, uma vez feita a atualização, pode-se proceder com a previsão. A especicação bayesiana se completa com a associação das distribuições a priori para o vetor de parâmetros do modelo Ψ = {β, σ, τ, φ}. Assume-se que as componentes de Ψ são independentes a priori. Como os coecientes em β representam os efeitos das covariáveis X (s) sobre a média de Y (s), assume-se que β i N ( 0, σβ), onde σ β é uma quantidade xa. Para os parâmetros σ e τ geralmente associam-se prioris gama invertidas com média e variância conhecidas. Para o parâmetro envolvido no alcance da função de correlação associa-se uma gama invertida com média e variância conhecidas. Sabe-se que σ, τ e φ devem

19 1.3. INFERÊNCIA ESPACIAL BAYESIANA 11 ser estritamente positivos A média é escolhida com base na expectativa de que para distâncias maiores que a metade da distância máxima em D a correlação espacial seja aproximadamente zero. E, assume-se uma variância grande para a distribuição a priori de φ. Segue, pelo teorema de Bayes, que a distribuição a posteriori de Ψ, π (Ψ y), é proporcional ao produto da função de, f n (y Ψ), pela priori, π (Ψ). π (Ψ y) f n (y Ψ) π (Ψ) (1.13) Σ 1 exp { 1 } (y X β) Σ 1 (y X β) π (β) π ( τ ) π ( σ ) π (φ). Qualquer que seja a distribuição a priori associada a Ψ, não é possível fazer nenhuma sumarização da distribuição a posteriori do modelo de forma analítica. Por essa razão é usual utilizar métodos de simulação estocástica, como o MCMC, para obter amostras tanto da distribuição a posteriori dos parâmetros quanto da preditiva. O MCMC consiste em simular de uma cadeia de Markov construída de tal forma que a sua distribuição estacionária seja a distribuição a posteriori Interpolação espacial Suponha que se esteja interessado em prever o processo espacial em um vetor de k localizações não medidas Y u = [Y (s u1 ),..., Y (s uk )] t em pontos s u1,..., s uk. O objetivo é obter a distribuição preditiva de (Y u Y ), que é denida por: f (Y u Y ) = f (Y u Y, Ψ) π (Ψ Y ) dψ. (1.14) Ψ Não é possível obter a solução analítica da integral na Equação 1.14, entretanto, pode-se utilizar o método de Monte Carlo para obter aproximações dessa integral. Sabe-se que, condicional a Ψ, a distribuição conjunta de Y u e Y é dada por Y u Ψ N n+k µ u ; Σ u Ω, (1.15) Y µ Ω Σ

20 1.3. INFERÊNCIA ESPACIAL BAYESIANA 1 onde µ u é um vetor de dimensão k com as médias das respectivas localizações não medidas; µ é um vetor contendo as médias dos n pontos observados; Σ u é uma matriz de dimensão k onde cada elemento representa a covariância entre os pontos não medidos. Cada elemento da matriz Ω, com dimensão n k, representa a covariância entre a i-ésima localização medida e a j-ésima não medida, i = 1,..., n e j = 1,..., k. Como antes, Σ é a matriz de covariância das localizações observadas e possui dimensão n n. Finalmente, segue da teoria da distribuição normal multivariada que ( (Y u Y, Ψ) N k µu + Ω Σ 1 (Y µ) ; Σ u Ω Σ 1 Ω ). (1.16) O método de Monte Carlo consiste em, para cada amostra l, l = 1,..., L, obtida na iteração l do algoritmo de MCMC, obter uma aproximação para a integral na Equação 1.14, amostrando da distribuição na Equação 1.16 e, calculando, f (Y u Y ) 1 L L f ( Y u Ψ l). (1.17) l=1 Pode-se, para cada amostra l obtida de Ψ pelo MCMC, amostrar da distribuição na Equação 1.16 e, utilizando o método de Monte Carlo, obter uma aproximação para a amostra de Y u Y. A partir desta aproximação podemos usar a média amostral de Y u para obter uma estimativa da esperança de Y u Y, a variância dessa estimativa também pode ser facilmente calculada. Além disso regiões preditivas de 100 (1 α) % podem ser obtidas para Y u Y. Particularmente, regiões de máxima densidade a posteriori C, podem ser construídas de modo que C = {Y u : p (Y u Y s (α))}, onde s (α) é a maior constante que garante que P (Y u C Y ) 1 α.

21 Capítulo Modelos Espaciais Normais Assimétricos A família de distribuições normal possui destaque no conjunto de distribuições de probabilidade em estatística. Além do resultado do teorema central do limite que garante que para amostras aleatórias sob certas hipóteses gerais, a distribuição das médias amostrais padronizadas convergirá para a normal com o aumento do tamanho amostral, tem-se também a conveniência matemática dos modelos normais. Na década de 80 foi introduzida a classe de distribuições chamada normal assimétrica com a expectativa de que a nova classe modelasse a assimetria dos dados e herdasse as propriedades da normal. Na Seção.1 é feita uma revisão das propriedades básicas da normal assimétrica, são descritos métodos para construir variáveis normais assimétricas e, também, é discutida a extensão do caso univariado para o multivariado. Na Seção.1.1 são apresentados modelos espaciais normais assimétricos multivariados e suas propriedades. Estas duas primeiras seções foram baseadas no artigo de revisão Pourahmadi (007). A Seção.1. apresenta o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) assim como a descrição do processo bayesiano utilizado na inferência e predição.

22 .1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL ASSIMÉTRICA 14.1 Distribuição normal assimétrica A distribuição normal assimétrica é uma extensão da distribuição normal e é útil para modelar dados com assimetria. A distribuição normal assimétrica, assim como a normal, é unimodal e tem suporte na reta. Porém, ao contrário da normal, há diferentes versões para a normal assimétrica multivariada. Em geral, o objetivo destas extensões é o de reproduzir propriedades similares às da distribuição normal multivariada, tais como ser fechada sob combinações lineares, condicionamento e marginalização..1.1 Distribuição normal assimétrica univariada Seja φ (x) e Φ (x), respectivamente, as funções de densidade e distribuição acumulada de uma variável aleatória Z normal padrão. O produto dessas duas funções gera uma nova classe de variáveis aleatórias X que herdam algumas características da variável aleatória normal. Essa classe de distribuições foi introduzida por Azzaline em 1985 (apud Pourahmadi (007)) e é chamada de distribuição normal assimétrica com parâmetro de assimetria α R e é simbolizada por X SN (α). A função de densidade de probabilidade de X é dada por f α (x) = φ (x) Φ (αx). (.1) A seguir algumas propriedades da distribuição normal assimétrica são descritas. Propriedade 1. Para α = 0, X = Z, quando α ±, X = ± Z onde Z N (0, 1). O parâmetro de assimetria α pode ser reescrito em função de um parâmetro δ [ 1, 1] da seguinte forma α = δ 1 δ. (.) Desta forma pode-se medir a intensidade da assimetria pelo valor absoluto de δ.

23 .1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL ASSIMÉTRICA 15 Quando δ = 0, trata-se da distribuição normal, e quanto mais próximo do módulo de 1 maior a assimetria. Propriedade. Se X SN (α), então X SN ( α). Propriedade 3. Se X SN (α), então X 1 e Z são identicamente distribuídos. Propriedade 4. Se X SN (α), então X χ 1, isto é, uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Propriedade 5. Uma variável aleatória X com distribuição normal assimétrica como na Equação.1, pode ser representada como X = δ Z δ Z, (.3) onde Z 1 e Z são variáveis aleatórias normais padrão independentes. Desta forma, o parâmetro δ se apresenta como o coeciente de correlação entre as variáveis aleatórias X e Z 1. Propriedade 6. Se X SN (α) e Z N (0, 1) independentes, então ( ) X + Z α SN. (.4) + α Isto é, a classe de distribuições normais assimétricas é fechada com respeito a adição de variáveis aleatórias normais padrão independentes. Propriedade 7. Seja X i SN (α i ) independentes com α i 0, i = 1,. Então, de um modo geral, X 1 + X não é normal assimétrica. Porém, se X 1 e X compartilham a mesma half-normal, então X 1 + X será normal assimétrica. Isto é, 1 esta distribuição recebe o nome de half-normal

24 .1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL ASSIMÉTRICA 16 se X 1 = δ 1 Z + 1 δ1z 1, X = δ Z + 1 δz, (.5) onde Z, Z 1 e Z são normais padrão independentes. Então, ( ) X 1 + X δ1 + δ SN. (.6) 1 + δ1 δ 1 + δ1 δ Propriedade 8. O valor esperado e a variância de uma variável aleatória com distribuição normal assimétrica são dados por E [X] = δ π, V ar [X] = 1 π δ. (.7) É conveniente incluir dois novos parâmetros para a normal assimétrica, um de posição (ξ) e outro de escala (ω). Dene-se desta forma uma variável normal assimétrica genérica Y = ξ + ωx simbolizada por Y SN (ξ, ω, α). A função densidade de Y é dena por f (y α, ξ, ω) = ( ) ( y ξ ω φ Φ α y ξ ). (.8) ω ω.1. Distribuição normal assimétrica multivariada Na literatura há descrições de normais assimétricas construídas com componentes aditivas de normais truncadas, pelo condicionamento de normais e, também, pela mistura de normais assimétricas. Com esses resultados foi possível a extensão/construção de classes exíveis de distribuições normais assimétricas multivariadas e com propriedades convenientes, possivelmente herdadas da normal multivariada. Na Seção. são abordados modelos assimétricos multivariados e suas propriedades e na Seção.3 é apresentado o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010), cujo comportamento é estudado neste trabalho.

25 .. MODELOS ESPACIAIS NORMAIS ASSIMÉTRICOS 17. Modelos espaciais normais assimétricos É comum a observação na natureza de variáveis espaciais assimétricas. E é interessante modelar a estrutura de correlação espacial. Uma das diculdades encontradas nas distribuições multivariadas descritas na literatura é a necessidade de várias amostras multivariadas para que a assimetria possa ser bem estimada. Azzaline e Dalla Valle em 1996 (apud Pourahmadi (007)) propuseram uma classe de vetores normais assimétricos multivariados que, apesar de apresentarem comportamento adequado para modelar dados não normais multivariados (Azzalini e Capitanio, 1999 apud Pourahmadi (007)), não herdaram da distribuição normal, a propriedade de ser fechada. Isto é, se X 1 e X são normais assimétricas, então X = (X 1, X ) não possui distribuição normal assimétrica bivariada. Este resultado consta na propriedade 7 que também apresenta uma forma de contornar este problema o que estimulou o uso desta classe de normais assimétricas multivariadas. Considere um vetor k-dimensional X = (X 1,..., X k ) com marginais normais padrão e independente de X 0 N (0, 1). Para δ j [ 1, 1], j = 1,..., k, dena Z j = δ j X δ j X j. (.9) A distribuição conjunta de Z = (Z 1,..., Z k ) é chamada normal assimétrica multivariada e cada distribuição marginal é normal assimétrica. Considere a extensão da distribuição normal assimétrica para um processo estacionário Z (s) para s R d para d > 0 de forma que cada Z (s) possui distribuição normal assimétrica e o processo Z (s) é estacionário de segunda ordem, isto é, possui média constante e covariância como função da distância entre dois pontos. Seja X 0 (s) um processo gaussiano estacionário com marginais padrão, e X (s) outro processo gaussiano estacionário com marginais padrão. Os dois processos são assumidos independentes e podem ter funções de covariância diferentes. Dena Z (s) = δ X 0 (s) + 1 δ X (s), (.10)

26 .. MODELOS ESPACIAIS NORMAIS ASSIMÉTRICOS 18 então, o processo Z (s) é estritamente estacionário com marginais normais assimétricas. Apesar de cada Z (s) possuir distribuição normal assimétrica, a distribuição conjunta de (Z (s 1 ),..., Z (s n )) t não é a normal assimétrica multivariada proposta por Azzaline e Dalla Valle (apud Pourahmadi (007)) (1996) pois X 0 (s) varia com s. Se, no entanto, alguma distribuição conjunta n-dimensional do processo normal assimétrico é normal assimétrica multivariada, então X 0 (s) não depende de s e a Equação.10 se torna Z (s) = δ X δ X (s), (.11) onde X 0 é uma variável aleatória normal padrão independente do processo X (s). Porém, esse modelo apresenta alguns problemas. Para qualquer realização do processo Z (s), o seu comportamento é parecido com o de um processo gaussiano com média δ X 0. Isso deculta a estimação dos parâmetros pois, na prática, obtemse somente uma observação. Dessa forma o processo denido não é ergódico pois uma realização não possui informação suciente sobre a distribuição do processo. Além disso, o grau de assimetria está misturado com a correlação espacial da seguinte forma, quanto maior a assimetria maior será a correlação independente da distância entre os pontos. Ao se assumir o processo como na Equação.10 estes problemas são contornados. Kim e Mallick (apud Pourahmadi (007)) (004) propuseram um processo gaussiano assimétrico cujo vetor Y de observações foi modelado por uma distribuição normal assimétrica multivariada. Foi assumido que Y é uma realização parcial de um processo estacionário cujas distribuições n-dimensionais são todas normais assimétricas multivariadas.

27 .3. MODELO ESPACIAL NORMAL ASSIMÉTRICO PROPOSTO POR ZHANG E EL-SHARAAWI (010) 19.3 Modelo espacial normal assimétrico proposto por Zhang e El-Sharaawi (010) Em seu trabalho, Zhang and El-Shaarawi (010) propôs um processo gaussiano assimétrico denido por Y (s) = µ (s) + σ η (s) + σ F 1 (s) + σ 0ɛ (s). (.1) onde 0, σ 0 e σ R; µ (s) é constante e depende somente da localização e pode ser modelado como uma combinação linear de covariáveis, isto é, µ (s) = F (s) θ; η (s) e F 1 (s) são processos gaussianos estacionários com marginais padrão e correlograma C η (t) e C F1 (t) respectivamente (neste estudo C η (t) = C F1 (t) = C (t)) e t a distância euclideana entre dois pontos; ɛ (s) é um processo gaussiano com média zero e variância 1. Os 3 processos gaussianos são independentes entre si. Note que Y (s) µ (s) σ + σ 0 + σ possui função de densidade dada por φ (y) Φ (αy), onde α = Além disso, E [Y (s)] = µ (s) + σ π σ. σ 0 + σ e a covariância de Y (s) é Cov (t) = σ π ( ) 1 Cη (t) + C η (t) arcsen (C η (t)) 1 +σc F1 (t)+ I (t = 0), onde I ( ) é a função indicadora.

28 Capítulo 3 Procedimento de Inferência Neste capítulo é considerada a abordagem bayesiana no processo de inferência. Na Seção 3.1 está descrito o processo de inferência para o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010). Para comparar o processo de inferência também foi ajustado aos dados o modelo gaussiano espacial e, em função disto, na Seção 3. está descrito o seu processo de inferência. 3.1 Modelo Proposto por Zhang e El-Sharaawi (010) O modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010), Equação.1, pode ser reescrito na forma matricial por Y = F θ + σ η + σ F 1 + ɛ, (3.1) onde F é matriz L K, L é o número de localizações e K covariáveis; θ é matriz K 1 dos efeitos das covariáveis; η N ( 0 L, V ) (, F 1 N L 0L, S ) onde V i,j = ρ V (d i,j, φ V ), S i,j = ρ S (d i,j, φ S ) e d i,j é a distância euclideana entre as localizações s i e s j ; e ɛ N L (0 L, σ0i L ), onde 0 L e I L são as matrizes zero e identidade,

29 3.1. MODELO PROPOSTO POR ZHANG E EL-SHARAAWI (010)1 respectivamente, de dimensão L. Assuma que η, F 1 e ɛ são independentes entre si. A variável F 1 foi integrada, desta forma segue que Y N L (F θ + σ η, Σ), (3.) onde Σ = σ S + σ 0I L. A especicação bayesiana se completa com a associação das distribuições a priori para o vetor de parâmetros do modelo que é dado por Ψ = {θ, σ, σ, σ 0, φ η. Usualmente é associada a θ uma priori normal com variância grande, θ ( ) N µ θ, σ θ. Já para σ é usual assumir uma normal truncada pois, na prática, sabe-se se a assimetria é positiva ou negativa, neste estudo assumiu-se σ > 0, σ N + (µ σ, σ σ). Para φ, σ 0 e σ é usual assumir a gama inversa como priori ( GI (a, b )), sabemos que esses parâmetros são estritamente positivos. Neste estudo utilizou-se também como priori para σ 0 e σ a half-cauchy com parâmetro de escala grande em relação ao erro de medida ( hc (A )). Segundo Gelman (006) a half-cauchy faz parte de uma família de prioris que possui conjugação condicional para a variância em modelos gaussianos espaciais. É uma priori pouco informativa que possui um máximo disperso próximo do zero e, ao se fazer seu parâmetro de escala tender a innito, ela se iguala a distribuição uniforme. Além disso, nos casos em que os dados são pouco informativos acerca da variância, a inferência não é dependente da escolha do seu parâmetro, fato que acontece ao se associar como priori a gama inversa. Como não é possível fazer nenhuma sumarização da distribuição a posteriori de forma analítica, recorreu-se ao método de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC) para obter uma amostra a posteriori de Ψ. Utilizou-se o amostrador de Gibbs com passos de Metropolis-Hastings e para tanto foram calculadas as distribui-

30 3.1. MODELO PROPOSTO POR ZHANG E EL-SHARAAWI (010) ções condicionais completas a posteriori (DCCP). Em estudo numérico Zhang and El-Shaarawi (010) constataram que, ao utilizar passos de Metropolis-hastings para η, a taxa de aceitação é menor que 1/4500. Essa é uma taxa de aceitação baixa que leva a uma demora na convergência da cadeia de Markov. Em função disto η foi amostrado utilizando-se o método slice sampling. A seguir descreve-se cada uma das DCCP. DCCP de θ A distribuição condicional completa a posteriori de θ é proporcional a π(θ ) f n (y ψ)π(θ) (3.3) { exp 1 } (y F θ σ η ) Σ 1 (y F θ σ η ) { exp 1 ( ) ( ) } θ µθ σ 1 θ θ µ θ { exp 1 ) ( [θ (F Σ 1 F + σ θ 1 θ θ σ θ 1 + F Σ 1 y F Σ 1 σ η )] }. Portanto, θ N (m; V), sendo V 1 = (F Σ 1 F + σ θ 1) ( ) m = V σ θ 1 + F Σ 1 y F Σ 1 σ η DCCP de σ

31 3.1. MODELO PROPOSTO POR ZHANG E EL-SHARAAWI (010)3 A distribuição condicional completa a posteriori de σ é proporcional a π(σ ) f n (y ψ)π(σ) (3.4) { Σ 1/ exp 1 } (y F θ σ η ) Σ 1 (y F θ σ η ) { exp 1 } (σ µ.σσ σ ) I (σ>0) { exp 1 ( [σ η Σ 1 η + 1 ) σ ( η Σ 1 y η ) ]} Σ 1 F θ + σµ σσ σ I (σ > 0), onde I (σ > 0) corresponde a função indicadora para {σ > 0}. Portanto, σ N + (m; V ), sendo V 1 = ( η ) Σ 1 η m = V ( η ) Σ 1 (y F θ) + µ σ DCCP de φ A distribuição condicional completa a posteriori de φ é proporcional a π(φ ) f n (y ψ)f (η φ) π(φ) (3.5) { Σ 1/ exp 1 } (y F θ σ η ) Σ 1 (y F θ σ η ) { V 1/ exp 1 ) (η } { V 1 η φ (a φ+1) exp b } φ. φ Para obter uma amostra de π (φ ) foi utilizado o algoritmo Metropolis-Hastings, com densidade proposta lognormal e passeio aleatório, pois sua distribuição não possui forma analítica conhecida. DCCP de σ tendo como priori a gama inversa

32 3.1. MODELO PROPOSTO POR ZHANG E EL-SHARAAWI (010)4 A distribuição condicional completa a posteriori de σ é proporcional a π(σ ) f n (y ψ)π(σ) (3.6) { Σ 1/ exp 1 } (y F θ σ η ) Σ 1 (y F θ σ η ) ( ) σ (a σ +1) exp { b } σ. σ Para obter uma amostra de π (σ ) foi utilizado o algoritmo Metropolis-Hastings, com densidade proposta normal e passeio aleatório, pois sua distribuição não possui forma analítica conhecida. DCCP de σ 0 tendo como priori a gama inversa A distribuição condicional completa a posteriori de σ 0 é proporcional a π(σ0 ) f n (y ψ)π(σ0) (3.7) { Σ 1/ exp 1 } (y F θ σ η ) Σ 1 (y F θ σ η ) ( ) σ (aσ0 +1) 0 exp { b }. σ0 Para obter uma amostra de πσ 0 foi utilizado o algoritmo Metropolis-Hastings, com densidade proposta normal e passeio aleatório, pois sua distribuição não possui forma analítica conhecida. DCCP de σ tendo como priori a half-cauchy Como a half-cauchy é distribuição a priori para o desvio padrão o método do jacobiano deve ser utilizado para obter a distribuição condicional completa a posteriori de σ que é proporcional a π(σ ) f n (y ψ, η)π(σ) J g (3.8) { Σ 1/ exp 1 } (y F θ σ η ) Σ 1 (y F θ σ η ) 1 σ ( ) σ, A σ

33 3.1. MODELO PROPOSTO POR ZHANG E EL-SHARAAWI (010)5 onde J g corresponde ao módulo do jacobiano da transformação g : { = y }. Para obter uma amostra de π (σ ) foi utilizado o algoritmo Metropolis-Hastings, com densidade proposta normal e passeio aleatório, pois sua distribuição não possui forma analítica conhecida. DCCP de σ 0 tendo como priori a half-cauchy Como a half-cauchy é distribuição a priori para o desvio padrão o método do jacobiano deve ser utilizado para obter a distribuição condicional completa a posteriori de σ 0 que é proporcional a π(σ0 ) f n (y ψ, η)π(σ0) J g (3.9) { Σ 1/ exp 1 } (y F θ σ η ) Σ 1 (y F θ σ η ) 1 ( ) 1 1 +, A onde J g ao módulo do jacobiano da transformação g : { = y }. Para obter uma amostra de π (σ 0 ) foi utilizado o algoritmo Metropolis-Hastings, com densidade proposta normal e passeio aleatório, pois sua distribuição não possui forma analítica conhecida. Slice Sampling para η O Slice Sampling é uma técnica de MCMC com utilização de variáveis auxiliares. A título de ilustração, suponha um algoritmo MCMC para uma variável univariada X com densidade f (x) e que é impossível amostrar diretamente de f (x) (Givens and Hoeting, 013). A introdução de uma variável auxiliar U possibilita considerar uma densidade conjunta alvo para (X, U), f (x, u) = f (x) f (u x), de tal forma que, na iteração k + 1, X k+1 e U k+1 são geradas como U k+1 x k Unif ( 0, f ( x k))

34 3.. MODELO NORMAL 6 X k+1 u k+1 Unif ( x : f (x) u k+1) A técnica de slice sampling utilizada para obter uma amostra da distribuição a posteriori de η está descrita no Capítulo A. 3. Modelo Normal Basicamente, a diferença entre o modelo normal e o proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) é que o primeiro assume σ = 0, isto é, assume que o processo é simétrico. Reescrevendo a Equação 1.9 na forma matricial, Y = F θ + σ F 1 + ɛ, (3.10) onde F é matriz L K, onde L é o número de localizações e K o de covariáveis; ( θ é matriz K 1 dos efeitos das covariáveis; F 1 N L 0L, S ) onde Si,j = ρ (d i,j, φ) e d i,j é a distância euclideana entre as localizações s i e s j ; e ɛ N L (0 L, σ0i L ), onde 0 L e I L são as matrizes zero e identidade, respectivamente, de dimensão L. Assuma que F 1 e ɛ são independentes entre si. Desta forma, Y N L (F θ, Σ), (3.11) onde Σ = σ S + σ 0I L. Sob a abordagem bayesiana a especicação do modelo se completa com a associação da distribuição a priori para o vetor paramétrico que é dado por Ψ = {θ, σ, σ 0, φ}. A priori os parâmetros do modelo são assumidos independentes.

35 3.. MODELO NORMAL 7 Usualmente é associada a θ uma priori normal com variância grande, θ ( ) N µ θ, σ θ. Para φ é usual assumir a gama inversa como priori ( GI (a, b )), sabemos que esse parâmetro é estritamente positivo. Neste estudo utilizou-se como distribuição a priori para σ 0 e σ a half-cauchy com parâmetro de escala grande em relação ao erro de medida ( hc (A )). Esta escolha foi baseada nos resultados deste estudo que a indicam como a distribuição a priori mais adequada para os parâmetros da variância do processo. Como não é possível fazer nenhuma sumarização da distribuição a posteriori de forma analítica, recorreu-se ao método de MCMC para obter uma amostra a posteriori de Ψ. Utilizou-se o amostrador de Gibbs com passos de Metropolis-Hastings e para tanto foram calculadas as distribuições condicionais completas a posteriori (DCCP). DCCP de θ A distribuição condicional completa a posteriori de θ é proporcional a π(θ ) f n (y ψ)π(θ) (3.1) { exp 1 } { (y F θ) Σ 1 (y F θ) exp 1 ( ) ( ) } θ µθ σ 1 θ θ µ θ { exp 1 ) [θ (F Σ 1 F + σ θ 1 θ θ ( F Σ 1 y )]}. Portanto, θ N (m; V), sendo ( V 1 = F Σ 1 F + σ ( θ) m = V σ θ 1 + F Σ 1 y 1 ) DCCP de φ

36 3.. MODELO NORMAL 8 A distribuição condicional completa a posteriori de φ é proporcional a π(φ.) f n (y ψ)π(φ) (3.13) { Σ 1/ exp 1 } { (y F θ) Σ 1 (y F θ ) φ (a φ+1) exp b } φ. φ Para obter uma amostra de π (φ ) foi utilizado o algoritmo Metropolis-Hastings, com densidade proposta normal e passeio aleatório, pois sua distribuição não possui forma analítica conhecida. DCCP de σ Como a half-cauchy é distribuição a priori para o desvio padrão o método do jacobiano deve ser utilizado para obter a distribuição condicional completa a posteriori de σ que é proporcional a π(σ.) f n (y ψ)π(σ) J g (3.14) { Σ 1/ exp 1 } ( ) 1 (y F θ) 1 Σ 1 (y F θ) 1 + σ, A σ onde J g corresponde ao módulo do jacobiano da transformação g : { = y }. Para obter uma amostra de π (σ ) foi utilizado o algoritmo Metropolis-Hastings, com densidade proposta normal e passeio aleatório, pois sua distribuição não possui forma analítica conhecida. σ DCCP de σ 0 Como a half-cauchy é distribuição a priori para o desvio padrão o método do jacobiano deve ser utilizado para obter a distribuição condicional completa a posteriori de σ 0 que é proporcional a π(σ0.) f n (y ψ)π(σ0) J g (3.15) { Σ 1/ exp 1 } ( ) 1 (y F θ) 1 Σ 1 (y F θ) 1 +, A σ0

37 3.. MODELO NORMAL 9 onde J g corresponde ao módulo do jacobiano da transformação g : { = y }. Para obter uma amostra de π (σ0 ) foi utilizado o algoritmo Metropolis-Hastings, com densidade proposta normal e passeio aleatório, pois sua distribuição não possui forma analítica conhecida.

38 Capítulo 4 Estudo Simulado e Resultados Neste caítulo é feita a descrição do estudo simulado e são apresentados os seus resultados. Gerou-se 90 amostras do modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010). A Seção 4.1 descreve como as amostras foram geradas. Para vericar a capacidade do procedimento de inferência em recuperar os valores dos parâmetros, quatro modelos distintos foram ajustados a cada uma das amostras. Desses 4 modelos 1 é o espacial normal (MN) e os outros 3 referem-se ao modelo espacial normal assimétrico proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) com 3 especicações diferentes para o vetor paramétrico (M1, M, M3). A especicação do modelo normal está descrito na Seção 4..1 já para os outros 3 modelos está descrito na Seção 4... Os resultados estão apresentados na Seção Geração dos dados articiais Neste estudo foram utilizados dados articiais gerados segundo o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) (Equação.1) com seus parâmetros xos de acordo com os valores descritos na Tabela 4.1. Foram geradas 90 amostras di-

39 4.1. GERAÇÃO DOS DADOS ARTIFICIAIS 31 vididas em 3 grupos. Em cada um dos grupos as amostras possuem 30, 60 e 10 localizações, respectivamente. Os dados foram simulados no programa computacional R Core Team (013). Parâmetros Valores θ 0,0 θ 1-0,8 σ 1 σ0 0,04 φ 1,3 σ 3,0 Tabela 4.1: Valores utilizados para os parâmetros do modelo para gerar as observações articiais. A tendência do processo Y ( ) ao longo de D é denida por µ (s) = θ f (s), onde θ = (θ 0, θ 1 ) foram arbitrados, f 0 (s) é a função constante unitária e f 1 (s) são dados padronizados de altitude de 5 localizações. Trata-se do banco de dados elevation disponível na biblioteca GeoR (Diggle and Ribeiro (007); Ribeiro and Diggle (001) do R Core Team (013). Para alcançar o total de 10 foram selecionadas aleatoriamente mais 68 localizações no menor quadrado contendo as observações originais. Seus correspondentes valores de altitude foram interpolados utilizando-se estimadores de máxima via krigagem. As amostras com 60 localizações possuem as 30 localizações contidas nas amostras de 30. Por sua vez, as amostras com 10 localizações possuem as 60 localizações contidas nas amostras de 60 e consequentemente nas de 30. Na Figura 4.1, a esquerda, o tamanho dos pontos é proporcional ao valor da altitude padronizada. Em preto são as amostras com 30 localizações. Em preto e cinza médio estão as com 60 e em preto, cinza médio e cinza claro estão as com 10. Na Figura 4.1, a direita, está o gráco de contorno da superfície. Os valores de σ e σ 0 estão relacionados às variâncias dos processos F 1 e ɛ, respectivamente. É esperado que a variância sem o efeito espacial, que é o erro de

40 4.1. GERAÇÃO DOS DADOS ARTIFICIAIS 3 Figura 4.1: Localizações observadas com o tamanho dos pontos proporcional ao valor da altitude padronizada que é a covariável do estudo (esquerda); Gráco de contorno da superfície a direita, covariável do estudo. medida, seja pequena quando comparada com a do efeito espacial. Foi utilizada a função de correlação exponencial que é um caso particular da Matérn quando ν = 0, 5. Acredita-se que a função de correlação assuma o valor igual ou menor que 0,05 quando a distância é igual ou maior que a metade da distância máxima. Dessa forma, como a metade da distância máxima é 3,7, fazendo-se φ = 1, 3 chega-se em 0, 05 = exp (3, 7/φ). Neste estudo foi utilizado σ = 3 pois vericou-se visualmente que para valores de σ superiores a 3 não há uma intensicação signicativa da assimetria. O parâmetro de assimetria, α, que ao ser reescrito em função de δ ( 1, 1), tal que α = δ 1 δ δ = σ σ 0 + σ + σ (4.1) apresentou, neste estudo, valor δ = 0, 95. Na Figura 4. estão desenhadas as densidades de 3 normais assimétricas, com parâmteros de assimetria δ = 0, 95, δ = 0, 99 e δ = 0, 999

41 4.1. GERAÇÃO DOS DADOS ARTIFICIAIS 33 Figura 4.: Função densidade de probabilidade da distribuição normal assimétrica para diferentes valores de δ. Neste estudo utilizou-se δ = 0, 95 que é uma região limite de assimetria. Para gerar as observações do processo foram utilizados os valores de altitude padronizados. Já os valores das variáveis η (s), F 1 (s) e ɛ (s) foram gerados dos processos gaussianos para cada realização do processo. Desta forma obteve-se 30 replicações do processo gaussiano para cada tamanho amostral (30, 60 e 10 localizações).

42 4.. PROCEDIMENTO DE INFERÊNCIA Procedimento de inferência Nesta seção estão especicadas a priori assumida para o vetor paramétrico dos modelos cujos procedimentos de inferência estão descritos no Capítulo 3. Para comparar o processo de inferência, além de utilizar o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) com diferentes distribuições a priori para o vetor paramétrico, Equação.1, também foi utilizado o modelo normal, Equação Modelo Normal Basicamente, a diferença entre o modelo normal e o proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) é que o primeiro assume σ = 0, isto é, assume que o processo é simétrico. Reescrevendo a Equação 1.9 na forma matricial, Y = F θ + σ F 1 + ɛ, (4.) onde F é matriz L K, L = {30, 60, 10} é o número de localizações e K = ( covariáveis; θ é matriz K 1 dos efeitos das covariáveis; F 1 N L 0L, S ) onde } = exp e d i,j é a distância euclideana entre as localizações s i e s j ; e S i,j { di,j φ ɛ N L (0 L, σ 0I L ), onde 0 L e I L são as matrizes zero e identidade, respectivamente, de dimensão L. Assuma que F 1 e ɛ são independentes entre si. Desta forma, Y N L (F θ, Σ), (4.3) onde Σ = σ S + σ 0I L, Σ i,j.

43 4.. PROCEDIMENTO DE INFERÊNCIA 35 Os parâmetros do modelo são Ψ = {θ, σ, σ0, φ} que, a priori, são assumidos independentes. As distribuições a priori estão sumarizadas na Tabela 4.. θ N (0 ; 10I ) σ half-cauchy(5) half-cauchy(5) φ GI(; 1, 3) Tabela 4.: Especicação das prioris utilizadas na inferência para o modelo Normal. Foi associada à θ uma distribuição a priori normal com média zero e variância grande. A distribuição a priori para φ não está centrada no seu verdadeiro valor, mas acumula 0,75 de probabilidade até o mesmo. Tanto para quanto para σ foi associada uma distribuição a priori half-cauchy com parâmetro de escala grande em relação ao erro de medida, como dito na Seção 3.1, esta priori é pouco informativa e apresentou, neste estudo, resultados que a indicam como a distribuição a priori mais adequada para os parâmetros da variância do processo. Esses resultados serão discutidos na Seção 4.3. Estas densidades estão desenhadas na Figura 4.3. As para θ, σ e φ com linhas sólidas, para σ0 e σ com linha tracejada. Como não é possível fazer nenhuma sumarização da distribuição a posteriori de forma analítica, recorreu-se ao método de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC) para obter uma amostra a posteriori de Ψ. Utilizou-se o amostrador de Gibbs com passos de Metropolis-Hastings e para tanto foram calculadas as distribuições condicionais completas a posteriori (DCCP) como descrito na Seção Modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) A descrição do processo de inferência já foi feita na Seção 3.1. Foram assumidas 3 especicações diferentes de prioris para os parâmetros do modelo, as especicações estão designadas por M1, M e M3, e estão sumarizadas na Tabela 4.3. Nas 3 especicações foi associada à θ uma distribuição a priori normal centrada

44 4.. PROCEDIMENTO DE INFERÊNCIA 36 θ σ σ σ0 φ M1 N (0; 10I ) N + (0; 10) GI(; 1) GI(; 0, 04) GI(; 1, 3) M N (0; 10I ) N + (0; 10) GI(10; 11) GI(10; 0, 44) GI(10; 13, 53) M3 N (0; 10I ) N + (0; 10) half Cauchy(5) half Cauchy(5) GI(; 1, 3) Tabela 4.3: Especicação das prioris utilizadas na inferência com o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010). no zero e com variância grande. Já a distribuição a priori para σ, apesar de não estar centrada no verdadeiro valor do parâmetro, possui grande massa de probabilidade na sua vizinhança. Nas especicaçõe 1 e 3 foi associada uma distribuição a priori para φ que não está centrada no seu verdadeiro valor, mas acumula 0,75 de probabilidade até o mesmo. Na especicação as distribuições a priori para σ0, σ e φ estão centradas nos seus respectivos valores com coecientes de variação iguais a 0,43. Na especicação 1 as distribuições a priori para σ0 e σ não estão centradas nos seus respectivos valores verdadeiros mas acumulam 0,75 de probabilidade até os mesmos. Na especicação 3 foi associada a distribuição half-cauchy com distribuição a priori tanto para σ0 quanto para σ com parâmetro de escala grande em relação ao erro de medida, como dito na Seção 3.1, esta priori é pouco informativa. Na Figura 4.3 estão desenhas as prioris dos modelos MN, M1, M e M3. Em todos os modelos a distribuição a priori para θ é a mesma e está desenhada com linha sólida. A distribuição a priori para σ é a mesma para M1, M e M3 e também está desenhada com linha sólida. As distribuições a priori para φ, σ e σ0 0 para M estão desenhadas com linhas tracejadas. Já as distribuições a priori para σ e σ0 utilizadas no MN e M3 estão desenhadas com linhas traço-ponto. Os verdadeiros valores dos parâmetros estão desenhados com linha pontilhada.

45 4.. PROCEDIMENTO DE INFERÊNCIA 37 Figura 4.3: Distribuições assumidas à priori para os parâmetros nos 4 modelos estudados. As distribuições a priori para o M1 estão desenhadas com linhas sólidas. Para o MN e M3 as distribuições a priori para σ e σ0 estão desenhadas com linhas traço-ponto. No M as distribuições a priori assumidas para φ, σ e σ0 estão desenhadas com linhas tracejadas. As linhas verticais pontilhadas representam o verdadeiro valor dos parâmetros.

46 4.3. RESULTADOS Resultados O algoritmo das cadeias de Markov foi implementado usando-se o Ox versão 6.10 (Doornik and Oms, 003) e as amostras a posteriori dos parâmetros foram analisadas no programa R Core Team (013). As funções de perladas de todas as replicações podem ser visualizadas no Apêndice B. Estão apresentadas as s em função de um parâmetro para todos os parâmetros e os grácos de contorno em função de dois parâmetros para a combinação de todos os parâmetros com exceção do θ que apresentou padrão bem comportado. O interesse em visualizar as s perladas é vericar se há pontos de máxima bem denidos e, no caso em que são apresentadas as s com grácos de cortorno em função de dois parâmetros, espera-se também vericar se os mesmos apresentam correlação. As s unidimensionais para todos os parâmetros apresentam máximo único e bem denido. Assim como as bidimensionais para o conjunto de todas as combinações menos para o seguinte conjunto {(σ0, σ), (φ, σ0), (φ, σ). Na Figura 4.4 há um exemplo da perlada em função de φ e σ0 para 3 replicações, uma com 30, outra com 60 e outra com 10 localizações, da esquerda para a direita respectivamente. Verica-se correlação positiva com predominância em superestimar ambos os parâmetros. Na Figura 4.5 há um exemplo da perlada em função de φ e σ para 3 replicações, uma com 30, outra com 60 e outra com 10 localizações, da esquerda para a direita respectivamente. Verica-se correlação positiva com predominância em subestimar ambos os parâmetros. Na Figura 4.6 há um exemplo da perlada em função de σ 0 e σ para 3 replicações, uma com 30, outra com 60 e outra com 10 localizações, da

47 4.3. RESULTADOS 39 Figura 4.4: Gráco de contorno da função de perlada em função de φ e σ0, os demais parâmetros foram mantidos xos nos seus verdadeiros valores. Da esquerda para a direita são replicações com 30, 60 e 10 localizações. As linhas tracejadas correspondem aos verdadeiros valores de φ, vertical, e σ0, horizontal. Figura 4.5: Gráco de contorno da função de perlada em função de φ e σ, os demais parâmetros foram mantidos xos nos seus verdadeiros valores. Da esquerda para a direita são replicações com 30, 60 e 10 localizações. As linhas tracejadas correspondem aos verdadeiros valores de φ, horizontal, e σ, vertical. esquerda para a direita respectivamente. Verica-se correlação negativa com predominância em subestimar σ e superestimar σ 0. As amostras a posteriori dos parâmetros foram obtidas com iterações do MCMC. Com a nalidade de retirar a autocorrelação das mesmas, as observações

48 4.3. RESULTADOS 40 Figura 4.6: Gráco de contorno da função de perlada em função de σ0 e σ, os demais parâmetros foram mantidos xos nos seus verdadeiros valores. Da esquerda para a direita são replicações com 30, 60 e 10 localizações. As linhas tracejadas correspondem aos verdadeiros valores de σ0, horizontal, e σ, vertical. foram tomadas espaçadamente e, com a nalidade de utilizar somente a amostra da distribuição estacionária da cadeia, as observações iniciais foram desprezadas. Após o tratamento da autocorrelação e da convergência foram escolhidas visualmente amostras de cada grupo que representam o comportamento do grupo. O traço e função de autocorrelação das mesmas podem ser vistos no Apêndice C. No Apêndice D estão os paineis com os intervalos de 95% de credibilidade (IC) a posteriori e o intervalo de 95% de probabilidade a priori para os parâmetros dos modelos. Cada painel corresponde a um parâmetro com todas as replicações nos 3 tamanhos estudados, 30, 60 e 10 localizações nos 4 modelos. Além disso estão representados por segmentos de reta os intervalos de 95% de credibilidade da predição nas localizações observadas de uma amostra, escolhida aleatoriamente, de cada um dos grupos, isto é, as colunas 1, e 3 representam uma amostra de 30, 60 e 10 localizações respectivamente nos 4 modelos ajustados. Para o θ (Figura D.1, Figura D.), η (Figura D.3) e σ (Figura D.4), de um modo geral, todos os ICs contemplam seus verdadeiros valores. Porém, há menor dispersão nas amostras à posteriori do θ 1 que do θ 0. Para o σ a dispersão diminui

49 4.3. RESULTADOS 41 com o aumento do tamanho amostral. O modelo normal não foi capaz de estimar o σ nem ao se aumentar o tamanho da amostra, Figura D.5 e, de um modo geral, o superestimou. Em contrapartida, com o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) em todas as especicações de prioris utilizadas, os ICs englobam o verdadeiro valor. Na Figura 4.8 as retas verticais referem-se ao tamanho do segmento com 95% de credibilidade e 95% de probabilidade padronizados pelo verdadeiro valor de σ. As guras sugerem que as posterioris são dependentes dos parâmetros assumidos para as prioris gama inversa, M1 e M, independente do tamanho amostral e que, ao se utilizar a half cauchy como priori, M3 e MN, essa dependência desaparece e a dispersão diminui com o aumento do tamanho amostral. Vale salientar que na especicação M a gama invertida assumida à priori possui variância innita e, apesar disso, a half cauchy é menos informativa.

50 4.3. RESULTADOS 4 Figura 4.7: Grácos de segmentos com 95% de credibilidade (sólida) e 95% de probabilidade a priori (tracejada) de σ. Cada linha do painel corresponde à um dos modelos ajustados. A primeira, segunda e terceira colunas correspondem às amostras com 30, 60 e 10 localizações respectivamente.

51 4.3. RESULTADOS 43 Figura 4.8: As linhas verticais correspondem ao tamanho dos segmentos com 95% de credibilidade (sólida) e 95% de probabilidade a priori (tracejada) de σ, padronizados pelo verdadeiro valor do parâmetro. Os pontos correspondem à distância entre os valores médios das amostras a posteriori ou das distribuições a priori e o verdadeiro valor de σ 0 por ele padronizados. Cada linha do painel corresponde à um dos modelos ajustados. A 1 a, a e 3 a colunas correspondem às amostras com 30, 60 e 10 localizações respectivamente.

52 4.3. RESULTADOS 44 Ao contrário do que ocorre com o σ o modelo normal foi capaz de estimar σ0 (Figura D.6) e a dispersão diminui com o aumento do tamanho amostral mas, de um modo geral, também o superestimou. Na Figura 4.10 as retas verticais referem-se ao tamanho do segmento com 95% de credibilidade e 95% de probabilidade padronizados pelo verdadeiro valor de σ0 e os pontos correspondem à distância entre a média das amostras a posteriori e das distribuições a priori divididos pelo verdadeiro valor de σ0. As guras sugerem dependência das posterioris nos parâmetros assumidos para a priori gama inversa independente dos tamanhos amostrais. E, assim como para o σ0, a dependência desaparece ao assumir a half cauchy como priori e a dispersão diminui com o aumento do tamanho amostral.

53 4.3. RESULTADOS 45 Figura 4.9: Grácos de segmentos com 95% de credibilidade (sólida) e 95% de probabilidade a priori (linha) de σ0. Os pontos correspondem às médias das amostras a posteriori ou das distribuições a priori. Cada linha corresponde à um dos modelos ajustados. As 1 a, a e 3 a colunas correspondem às amostras com 30, 60 e 10 localizações respectivamente.

54 4.3. RESULTADOS 46 Figura 4.10: As linhas verticais correspondem ao tamanho dos segmentos com 95% de credibilidade (sólida) e 95% de probabilidade a priori (tracejada) de σ 0 padronizado pelo seu verdadeiro valor. Os pontos correspondem ao valor da distância entre a média das amostras a posteriori ou das distribuições a priori e o verdadeiro valor de σ 0 por ele padronizado. Cada linha corresponde à um dos modelos ajustados e as 1 a, a e 3 a colunas correspondem às amostras com 30, 60 e 10 localizações respectivamente.

55 4.3. RESULTADOS 47 Todos os ICs do φ englobam o verdadeiro valor e a dispersão na sua estimação diminui tanto com a diminuição da dispersão da distribuição assumida a priori como com o aumento do tamanho amostral, Figura D.7. Ao assumir o modelo normal o valor observado do processo não está contido no IC da previsão para algumas localizações mesmo para amostras com 10 localizações. Esse comportamento não ocorre ao assumir o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010). Ao assumir a priori half Cauchy para a variância, modelo normal e na especicação 3, o aumento do tamanho amostral diminui a dispersão na predição. Sugerindo que esta priori favorece a extração de informações dos dados para o processo de inferência independente dos parâmetros escolhidos para as prioris gama inversa (regureg:predicao). Para comparar os modelos e as 3 especicações assumidas para as prioris dos parâmetros foram calculadas as medidas do critério da informação da desviância (DIC), do escore probabilístico de posto contínuo (CRPS), do erro quadrático médio (EQM) e do erro absoluto médio (EAM). Suas médias estão sumarizadas na Tabela 4.5. Na Figura 4.11 estão representados, por segmentos de reta, 80% das medidas ordenadas e por pontos os valores médios. No eixo horizontal estão o modelo normal (MN) e o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) com a especi- cação 1 (M1), especicação (M) e especicação 3 (M3) assumida para as prioris. Como esperado, o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) mostrouse superior em todos os critérios analisados em comparação ao modelo normal. Quanto às prioris assumidas, de um modo geral, M apesar de possuir prioris informativas não obteve um resultado superior ao de M que é pouco informativa para a variância do modelo. Note que em todos os critérios, Figura 4.11, o segmento de 80% para M3 contém os valores médios das medidas observadas nas outras duas especicações.

56 4.3. RESULTADOS 48 MN M1 M M3 DIC 30 localizações 16,73-91,6-49,0 70,57 60 localizações 39,55-50,78-94,53-43,1 10 localizações 458,03-155,75-84,1 7,0 CRPS 30 localizações,3 0,59 0,64 1,3 60 localizações 1,98 0,49 0,59 0,89 10 localizações 1,97 0,56 0,61 0,95 EQM 30 localizações 10,3,46,64 8,34 60 localizações 8,41 1,66,8 4,18 10 localizações 8,54,9,44 4,76 EAM 30 localizações,51 1,55 1,8,08 60 localizações,3 0,97 1,19 1,44 10 localizações,4 1,13 1,3 1,56 Tabela 4.4: Valores médios obtidos nos critérios utilizados para comparar os modelos e diferentes especicações das prioris.

57 4.3. RESULTADOS 49 Figura 4.11: Grácos de segmentos com 80% dos valores ordenados.

58 4.3. RESULTADOS 50 MN M1 M M3 DIC 30 localizações 0 0,53 0,43 0,04 60 localizações 0 0,83 0,10 0,07 10 localizações 0 0,77 0,3 0 CRPS 30 localizações 0 0,80 0, localizações 0 0,93 0, localizações 0 0,77 0,3 0 EQM 30 localizações 0 0,70 0, localizações 0 0,93 0, localizações 0 0,73 0,7 0 EAM 30 localizações 0 0,83 0, localizações 0 0,93 0, localizações 0 0,77 0,3 0 Tabela 4.5: Proporção de vezes em que o modelo foi preferido em detrimento dos demais no respectivo critério.

59 Capítulo 5 Conclusões Vários processos de interesse são observados ao longo de uma região D R r, r = 1, ou 3, e além disso, podem apresentar assimetria e correlação. A transformação dos dados observados diculta a interpretação dos resultados e dos parâmetros inferidos. Além disso pode-se ter como objetivo a modelagem do grau de assimetria assim como da estrutura de correlação. Neste estudo vericou-se que assumir um modelo espacial gaussiano para dados assimétricos não é adequado. A assimetria dos dados ocasionou uma superestimação da variância do processo (σ 0) e, especialmente, da variância do efeito espacial (σ ). Nas s perladas observou-se que os parâmetros da variância e são correlacionados entre si e com o parâmetro de decaimento da correlação, φ. Desta forma o processo de inferência ca dicultado e a escolha das prioris assumidas podem interferir no processo inferencial. Portanto, torna-se crítica a escolha de prioris pouco informativas que não interram no processo de inferência e que permitam que o modelo recupere os valores dos parâmetros baseado nas informações contidas nos dados. Neste sentido assumir a half Cauchy como priori (Gelman, 006) mostrou-se satisfatório uma vez que seu intervalo de 95% de conança não contempla os verda-

60 5 deiros valores dos parâmetros e ainda assim os mesmos foram recuperados. Conclui-se que o modelo proposto por Zhang and El-Shaarawi (010) é eciente tanto no processo de inferência quanto na capacidade preditiva. Porém, deve-se optar em assumir a priori half Cauchy para os parâmetros de variância com o intuito de diminuir a dependência da inferência na escolha das prioris assumidas.

61 Referências Sudipto Banerjee, Bradley P. Carlin, and Alan E. Gelfan. Hierarchical Modeling and Analysis for Spatial Data. Chapman Hall/CRC, Boca Raton, Fla, 004. P. J. Diggle and P. J Ribeiro. Model Based Geostatistics. Springer, New York, 007. J. A. Doornik and M. M. Oms. Computational aspects of maximum likelihood estimation of autoregressive fractionally integrated moving average models. Computational Statistics and Data Analysis, (41):333348, 003. URL doornik.com. Andrew Gelman. Prior distributions for variance parameters in hierarchical models. Bayesian Analysis, 1(3):515533, 006. Geof H. Givens and Jennifer A. Hoeting. Computational Statistics. Wiley, Hoboken, NJ, edition, 013. Mohsen Pourahmadi. Construction of skew-normal random variables: Are they linear combinations of normal and half-normal? J. Stat. Theory Appl., (3):314 38, 007. R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, 013. URL http: // P. J. Ribeiro and P. J. Diggle. geor: a package for geostatistical analysis. R-NEWS, 1():1518, 001. Hao Zhang and Abdel El-Shaarawi. On spatial skew-gaussian processes and applications. Environmetrics, (1):3347, 010.

62 Apêndice A Slice Sampling para processo gaussiano assimétrico Segue a descrição da técnica de Slice sampling utilizada para obter uma amostra de π (η ) que se baseia no artigo de Zhang and El-Shaarawi (010). Seja i o contador da iteração do MCMC, inicializa-se a variável η, isto é, gera-se uma amostra η 0 (i = 0). Seja U variável auxiliar com distribuição uniforme cujo suporte será descrito a seguir. Então, na iteração i, η i e U i são gerados tal que: dado η i 1, gere U i η i 1 Unif [0, f (y η i 1, )]. O passo seguinte é amostrar η i condicionada à U i, para tanto, precisa-se vericar sua distribuição. f (η U, Y, Ψ) = f (Y, η, Ψ) f (U Y, η, Ψ) f (Y, η, Ψ) f (U Y, η, Ψ) f (U, Y Ψ) 1 f (Y η, Ψ) f (Y, η, Ψ) I (η:u f(y η,ψ)) 1 f (Y η, Ψ) f (Y η, Ψ) f (η Ψ) I (η:u f(y η,ψ)) f (η Ψ) I (η:u f(y η,ψ)) que é uma normal L dimensional truncada. Porém, amostrar de uma normal L

63 55 dimensioal truncada é computacionalmente custoso, justica-se a introdução de uma segunda variável aleatória auxiliar, Ũ. Considere Ũ i η i 1 Unif [0, f (η i 1 Ψ)]. Desta forma, amostraremos η i condicionada a U i e Ũ i e, para tanto, precisa-se vericar sua distribuição. (η Ũ, ) f U, Y, Ψ = ) f (Y, η, Ψ, U) f (Ũ U, Y, η, Ψ ) f (Ũ, U, Y Ψ ) f (Y, η, Ψ, U) f (Ũ U, Y, η, Ψ f (U η, Y, Ψ) f (Y η, Ψ) f (η Ψ) f (Ψ) ) f (Ũ U, Y, η, Ψ 1 f (Y η, Ψ) I (η:u f(y η,ψ)) f (Y η, Ψ) f (η Ψ) ) f (Ũ U, Y, η, Ψ ) f (η Ψ) f (Ũ U, η, Y, Ψ I (η:u f(y η,ψ)) ) f (η Ψ) f (Ũ η I (η:u f(y η,ψ)) 1 f (η Ψ) f (η Ψ) I (η:ũ f(η Ψ))I (η:u f(y η,ψ)) I (η: Ũ f(η Ψ)) I (η:u f(y η,ψ)). Portanto, η i U i, Ũ i, Ψ será sorteada uniformemente no conjunto } {η i : Ũ f (η Ψ) { η i : U f (Y η, Ψ) }. (A.1) De { } η i : Ũ f (ηi 1 Ψ) segue

64 56 f (η Ψ) > Ũ i f (η Ψ) > Ũ i f (η i 1 Ψ) f ( η i 1 Ψ ) ( ) log (f (η Ψ)) > log + log ( f ( η i 1 Ψ )) f (η i 1 Ψ) L log (π) 1 log ( S ) ( ) 1 η S 1 Ũ i η > log L log (π) f (η i 1 Ψ) Ũ i 1 log ( S ) 1 ηi 1 S 1 η i 1 que é o interior de uma elipse L-dimensional. η S 1 η < η i 1 S 1 η i 1 ( ) Ũ i log = r, (A.) f (η i 1 Ψ) De {η i : U f (η η i 1, Ψ)} segue f (Y η, Ψ) > U i U i f (Y η, Ψ) > f (Y η i 1, Ψ) f ( η i 1 Ψ ) ( ) U i log (f (Y η, Ψ)) > log + log ( f ( Y η i 1, Ψ )) f (Y η i 1, Ψ) L log (π) log ( Σ ) 1 (Y F θ σ η ) ( ) Σ 1 (Y F U i log ( Σ ) θ σ η ) > log f (Y η i 1, Ψ) L log (π) 1 ( Y F θ σ η i 1 ) Σ ( 1 Y F θ σ η i 1 ) (Y F θ σ η ) Σ 1 (Y F θ σ η ) < ( Y F θ σ η i 1 ) Σ ( 1 Y F θ σ η i 1 ) ( ) U i log = t, (A.3) f (Y η i 1, Ψ)

65 57 que é o interior de uma elipse L-dimensional. Em cada iteração i do MCMC a técnica slice sampling é aplicada em cada uma das n localizações, n = 1,,..., L, tendo as n 1 demais localizações xadas. Desta forma, ηn i é sorteada uniformemente em intervalos denidos explicitamente. Para dení-los temos que resolver as inequações de segundo grau para ηn, i por conveniência de notação será chamada de η n (Equação A. e Equação A.3). Sejam η = [η 1 η η n 1 ] e η + = [η n+1 η n+ η L ], desta forma, podese escrever η = [η η n η + ], Sη,η + S η,η n Sη,η + S 1 = S ηn,η S η n,η n S ηn,η +. Sη +,η S η +,η n Sη +,η + Reescrevendo a inequação da Equação A. para agrupar seus termos quadrático, linear e constante obtem-se: η S 1 η r = ( η Sη,η + + η ns ηn,η + ) η+ Sη +,η η + ( ) η Sη,η n + η n S ηn,ηn + η + Sη +,η n ηn + ( η Sη,η + + η ns ηn,η + + ) η+ Sη +,η + η + r = η Sη,η +η + η n S ηn,η η + η + Sη +,η η + η Sη,η n η n +η n S ηn,ηn η n + η + Sη +,η n η n + η Sη,η +η+ + η n S ηn,η +η+ +η + Sη +,η +η+ r = (S ηn,ηn ) η n + ( S ηn,η η + η Sη,η n + η + Sη +,η n + S ηn,η +η+) η n + ( η Sη,η +η + η + Sη +,η η + η Sη,η +η+ + η + Sη +,η +η+ r ) < 0. Analogamente, sejam Ση,η + Σ η,η n Ση,η + Σ 1 = Σ ηn,η Σ η n,η n Σ ηn,η + e Ση +,η Σ η +,η n Ση +,η +

66 58 Y F θ = A = [ A A n A + ], onde A = [A 1 A A n 1 ] e A + = [A n+1 A n+ A L ]. Portanto, reescrevendo a inequação da Equação A.3 para agrupar seus termos quadrático, linear e constante obtem-se: [A σ η ] Σ 1 [A σ η ] t = [ A σ η ] Σ η,η + [A n σ η n ] Σ ηn,η + [ A + σ η + ] Σ η +,η [A σ η ] Ση,η n + [A n σ η n ] Σ ηn,η n + [ A + σ η + ] Σ η +,η n [ A σ η ] Σ η,η + + [A n σ η n ] Σ ηn,η + + [ A + σ η + ] Σ η +,η + [A σ η ] t = [ [A σ η ] Σ η,η + [ A + σ η n ] Σηn,η + [ A + σ η + ] Σ η +,η ] [A σ η ] + [ [A σ η ] Σ η,η n + [A n σ η n ] Σ ηn,η n + [ A + σ η + ] Σ η +,η n ] [A n σ η n ] + [ [A σ η ] Σ η, + + [A n σ η n ] Σ ηn,η + + [ A + σ η + ] Σ η +,η + ] [A + σ η + ] t = ( σ Σ ηn,η n ) ηn σ ( A n + Σ ηn,η [ A σ η ] + Σ ηn,η + [ A + σ η + ]) η n + ( A n Σ ηn,η n + A n Σ ηn,η [ A σ η ] + A n Σ ηn,η + [ A + σ η + ] + [ [A σ η ] Σ η,η + [ A + σ η + ] Ση +,η ] [A σ η ] + [ [A σ η ] Σ η,η + + [ A + σ η + ] Ση+,η + ] [A + σ η + ] t) < 0 Para evitar o cômputo dos limites dos intervalos das uniformes U i e Ũ i para cada uma das localizações em todas as iterações do MCMC, sejam υ 1 e υ variáveis aleatórias tais que υ 1 = U i f(y η i 1,Ψ) e υ = Ũ i f(η i 1 Ψ). Pode-se vericar que ambas possuem distribuição exponencial com parâmetro 1. Segue a demonstração para υ 1 que é análoga para υ. f υ1 (υ 1 ) = f U (U (υ 1 )) J g = 1 f (Y η i 1, Ψ) I (0 e υ 1 f(y η i 1,Ψ) f(y η i 1,Ψ)) e υ 1 f ( Y η i 1, Ψ ) = e υ 1 I (0 υ1 ),

67 59 onde J g é o módulo do jabobiano da transformação g e I ( ) é a função indicadora. Seguem sumarizadas as iterações do slice sampling para gerar amostras de η i : 1. Gere υ1 i e υ i iid Exp (1), e calcule r = υ1 i + η i 1 S 1 η i 1 e t = υ i + (Y F θ σ η i 1 ) Σ 1 (Y F θ σ η i 1 );. Para n de 1 até L, faça: Gere η uniformemente no conjunto descrito na Equação A.1 e substitua η no n-ésimo elemento de η i = [ ] ; η1, i..., ηn 1, i η, ηn+1, i 1..., η i 1 3. Repita o passo () para todas as L localizações. L

68 Apêndice B Verossimilhanças Perladas As s perladas das 90 amostras do processo gaussiano assimétrico estão apresentadas a seguir. São apresentadas as s perladas para um parâmetro e grácos de contorno para as s perladas para dois parâmetros e todos os demais parâmetros estão xados nos seus verdadeiros valores. Cada painel consta das s perladas de 15 replicações. Portanto, para cada parâmetro ou par de parâmetros, são apresentados paineis para as 30 replicações com 30 localizações, painéis para as 30 replicações com 60 localizações e paineis para as 30 replicações com 10 localizações.

69 61 0e+00 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 5e 18 0e+00 1e 14 e 14 3e 14 4e 14 0e+00 e 18 4e 18 6e 18 8e 18 0e+00 1e 0 e 0 3e 0 4e 0 5e 0 0.0e e 0 1.0e e 19.0e 19 0e+00 e 18 4e 18 6e 18 8e 18 1e 17 0e+00 e 0 4e 0 6e 0 8e 0 0.0e e e e 17.0e 17 0e+00 e 16 4e 16 6e 16 8e e e e 18 1.e 17 0e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 6e e e e e 17 0e+00 e 17 4e 17 6e θ 0 0.0e e e 17 1.e 16 θ 0 θ e e e e 18.0e 18.5e 18 Figura B.1: Verossimilhanças perladas para θ 0 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

70 6 0e+00 e 19 4e 19 6e 19 0e+00 e 15 4e 15 6e 15 8e e e e e 16.0e 16.5e e e e e e e e e e e e e 15.0e 15 0e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 6e e e e e 15.0e 15 0e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 6e e e 0 1.0e e 19.0e e+00.0e e e e e 17 1.e e e e e 16.0e 16.5e e 16 0e+00 e 0 4e 0 6e 0 8e 0 1e θ 0 0e+00 1e 15 e 15 3e 15 4e 15 θ 0 θ e e e e 15.0e 15 Figura B.: Verossimilhanças perladas para θ 0 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

71 63 0.0e e e 9 1.5e 9 0e+00 1e 35 e 35 3e 35 4e e+00.0e e e e e 37 1.e e e 7 1.0e 6 1.5e 6 0e+00 1e 31 e 31 3e 31 4e 31 5e e e e e 35.0e 35.5e e e 9 1.0e 8 1.5e 8.0e 8.5e 8 0.0e e 9 1.0e 8 1.5e 8 0.0e e e 31 1.e 30 0e+00 1e 30 e 30 3e 30 4e e e e e e e e 31 1.e 30 0e+00 e 31 4e 31 6e 31 8e θ 0 0.0e e 3 8.0e 3 1.e 31 θ 0 θ e e 8 1.0e 7 1.5e 7.0e 7.5e 7 Figura B.3: Verossimilhanças perladas para θ 0 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

72 64 0.0e e 3 8.0e 3 1.e 31 0e+00 e 9 4e 9 6e 9 8e 9 0e+00 1e 9 e 9 3e 9 4e 9 5e 9 6e 9 7e 9 0e+00 1e 8 e 8 3e 8 4e 8 5e 8 0e+00 e 9 4e 9 6e 9 8e 9 1e 8 0.0e+00.0e e e e e 30 1.e e e 8 1.0e 7 1.5e 7.0e 7.5e 7 0e+00 e 8 4e 8 6e 8 8e 8 1e 7 0e+00 1e 3 e 3 3e 3 4e 3 5e 3 6e 3 0.0e e 35.0e e e e 8 8.0e 8 1.e 7 0e+00 1e 6 e 6 3e 6 4e 6 5e 6 6e 6 0.0e e e e 30.0e 30.5e θ 0 0e+00 1e 30 e 30 3e 30 4e 30 5e 30 6e 30 7e 30 θ 0 θ e e 30.0e e 30 Figura B.4: Verossimilhanças perladas para θ 0 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

73 65 0e+00 e 58 4e 58 6e 58 8e 58 0e+00 1e 56 e 56 3e 56 4e 56 5e e e e e 53.0e 53.5e e 53 0e+00 1e 5 e 5 3e 5 4e 5 0.0e+00.0e e e e e 56 1.e 56 0e+00 1e 48 e 48 3e 48 4e e+00.0e e e e e 49 1.e 49 0e+00 e 5 4e 5 6e 5 8e 5 0.0e e 5 8.0e 5 1.e e e e 56 1.e 55 0e+00 e 47 4e 47 6e 47 8e e e e e 57.0e 57.5e 57 0e+00 1e 57 e 57 3e 57 4e 57 5e 57 6e θ 0 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e 51 θ 0 θ e+00 e 5 4e 5 6e 5 8e 5 1e 51 Figura B.5: Verossimilhanças perladas para θ 0 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

74 66 0.0e e e e 50.0e 50.5e 50 0e+00 1e 57 e 57 3e 57 4e 57 5e 57 6e e e e e e e e 5 1.5e 5 0.0e e e 5 1.5e 5.0e 5.5e 5 0.0e e e 5 1.5e 5 0.0e e e e e+00.0e e e e e 60 1.e e e e 5 1.5e 5.0e 5.5e 5 3.0e 5 0e+00 1e 53 e 53 3e 53 4e 53 5e 53 6e 53 0e+00 1e 54 e 54 3e 54 4e 54 5e 54 6e e e e 54 1.e 53 0e+00 e 63 4e 63 6e 63 8e θ 0 0.0e e 56.0e e 56 θ 0 θ e+00 e 50 4e 50 6e 50 8e 50 Figura B.6: Verossimilhanças perladas para θ 0 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

75 67 0e+00 e 18 4e 18 6e 18 8e 18 0e+00 e 14 4e 14 6e 14 0e+00 e 18 4e 18 6e 18 8e 18 0e+00 1e 0 e 0 3e 0 4e 0 5e 0 6e 0 0e+00 e 0 4e 0 6e 0 8e 0 0e+00 e 18 4e 18 6e 18 8e 18 1e 17 0e+00 e 0 4e 0 6e 0 8e 0 0.0e e e e 17 0e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 0e+00 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 5e 18 6e 18 0e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 6e e e e e 17 0e+00 e 17 4e 17 6e θ 1 0.0e e e 17 1.e 16 θ 1 θ e+00.0e e e e e 17 1.e 17 Figura B.7: Verossimilhanças perladas para θ 1 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

76 68 0e+00 1e 19 e 19 3e 19 4e 19 5e 19 6e 19 0e+00 1e 15 e 15 3e 15 4e e e e e 16.0e 16.5e e e e e 19 1.e e e e e e e e e 15.0e 15.5e e 15 0e+00 e 16 4e 16 6e 16 8e e e e e 15.0e 15 0e+00 e 16 4e 16 6e 16 8e 16 1e e e 0 1.0e e 19.0e 19 0e+00 e 18 4e 18 6e 18 8e 18 1e e e 16.0e e 16 0e+00 e 0 4e 0 6e 0 8e 0 1e θ 1 0.0e e e e 15.0e 15.5e e 15 θ 1 θ e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 Figura B.8: Verossimilhanças perladas para θ 1 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

77 69 0.0e e e 30 1.e 9 0e+00 1e 35 e 35 3e 35 4e 35 0e+00 1e 37 e 37 3e 37 4e 37 0e+00 e 7 4e 7 6e 7 8e 7 1e 6 0e+00 e 31 4e 31 6e e e e e 35.0e 35.5e e e 9 1.0e 8 1.5e 8.0e 8 0.0e e 9 1.0e 8 1.5e 8 0.0e e e e 30 0e+00 1e 30 e 30 3e 30 4e 30 5e e e e e e e e 31 1.e 30 0e+00 1e 31 e 31 3e 31 4e 31 5e θ 1 0.0e e 3 1.0e e 31 θ 1 θ e e 8 1.0e 7 1.5e 7.0e 7 Figura B.9: Verossimilhanças perladas para θ 1 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

78 70 0e+00 e 3 4e 3 6e 3 8e 3 0.0e e 9.0e 9 3.0e 9 0e+00 e 9 4e 9 6e 9 0e+00 1e 8 e 8 3e 8 4e 8 5e 8 0e+00 e 9 4e 9 6e 9 8e 9 1e 8 0e+00 1e 31 e 31 3e 31 4e 31 5e 31 6e 31 7e e e 7.0e 7 3.0e 7 0.0e e 8 1.0e 7 1.5e 7 0.0e e e 3 1.5e 3 0.0e e e e 35.0e e e 8 8.0e 8 1.e 7 0e+00 e 6 4e 6 6e 6 8e 6 0.0e e e e 30.0e θ 1 0.0e+00.0e e e e e 9 1.e 9 θ 1 θ e+00 1e 30 e 30 3e 30 4e 30 Figura B.10: Verossimilhanças perladas para θ 1 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

79 71 0e+00 e 58 4e 58 6e 58 8e 58 0e+00 1e 56 e 56 3e 56 4e e e e e 53.0e 53 0e+00 1e 5 e 5 3e 5 4e 5 0e+00 e 57 4e 57 6e 57 8e 57 1e 56 0e+00 1e 48 e 48 3e 48 4e e+00.0e e e e e 49 1.e 49 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e e e 5 1.0e e 51.0e e+00.0e e e e e 55 1.e e e e e e e e e 57.0e 57.5e 57 0e+00 1e 57 e 57 3e 57 4e 57 5e 57 6e 57 7e θ 1 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e 51 θ 1 θ e e 5 8.0e 5 1.e 51 Figura B.11: Verossimilhanças perladas para θ 1 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

80 7 0.0e e e e 50 0e+00 e 57 4e 57 6e 57 8e e e e e 54 0e+00 1e 5 e 5 3e 5 0.0e e e 5 1.5e 5.0e 5.5e 5 3.0e 5 0.0e e e 5 1.5e 5 0e+00 e 51 4e 51 6e 51 8e 51 1e e+00.0e e e e e 60 1.e 60 0e+00 1e 53 e 53 3e 53 4e 53 0e+00 e 53 4e 53 6e 53 8e 53 0e+00 1e 54 e 54 3e 54 4e 54 5e 54 6e e e e 54 1.e e e e e 63.0e 63.5e θ 1 0e+00 1e 56 e 56 3e 56 θ 1 θ e+00 1e 50 e 50 3e 50 4e 50 5e 50 Figura B.1: Verossimilhanças perladas para θ 1 de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

81 73 5.0e 1 1.0e 0 1.5e 0.0e 0.5e 0 1e 17 e 17 3e 17 4e e e e 18.0e 18.5e e e e 18 1.e e e 14.5e e e e e e 17.0e e e 0 1.0e e 19 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 5e 18 6e 18 0e+00 1e 19 e 19 3e 19 4e 19 5e 19 6e e e e 17.0e e e e 17 1.e 16 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 6e 16 7e e e e 17.0e 17 1e 17 e 17 3e 17 4e 17 5e φ φ φ Figura B.13: Verossimilhanças perladas para φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

82 74 0e+00 1e 19 e 19 3e 19 4e 19 5e 19 6e e+00.0e e e e e 14 1.e e e e 16.0e 16.5e e e e 19 1.e 18 0e+00 e 17 4e 17 6e 17 8e 17 1e e e e 15.0e 15 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 6e e e e 15 1.e 15 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e e+00.0e e e e e 18 1.e 18 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 5e e e 16.0e 16.5e e e e 0 1.0e e 19.0e 19.5e φ 0e+00 1e 15 e 15 3e 15 4e 15 5e φ 0e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e φ Figura B.14: Verossimilhanças perladas para φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

83 75 0.0e+00.0e e e e e 9 1.e 9 0e+00 e 35 4e 35 6e 35 8e 35 1e 34 0e+00 e 36 4e 36 6e 36 0e+00 1e 6 e 6 3e 6 4e 6 0.0e e 3 1.0e e e e e e e e 9 1.0e 8 1.5e 8.0e 8.5e 8 5.0e 9 1.0e 8 1.5e 8 5.0e e e e e e e e e e e e e 30 0e+00 1e 31 e 31 3e 31 4e 31 5e φ 0.0e e 3 1.0e e φ 0.0e e 8 1.0e 7 1.5e φ Figura B.15: Verossimilhanças perladas para φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

84 76 0e+00 1e 3 e 3 3e 3 4e 3 5e 3 0e+00 1e 9 e 9 3e 9 4e 9 0e+00 1e 9 e 9 3e 9 4e 9 5e 9 6e 9 7e 9 0e+00 1e 8 e 8 3e 8 4e 8 5e 8 e 9 4e 9 6e 9 8e 9 1e 8 0.0e e 3 1.0e e 31.0e 31 0e+00 1e 7 e 7 3e 7 4e 7 0.0e e 8 1.0e 7 1.5e 7 0.0e e e 33 1.e 3 0e+00 e 36 4e 36 6e e e 8 8.0e 8 1.e 7 0e+00 e 6 4e 6 6e 6 8e 6 1e 5 5.0e e e 30.0e 30.5e φ 0e+00 1e 30 e 30 3e 30 4e 30 5e φ 5.0e e 30.5e e φ Figura B.16: Verossimilhanças perladas para φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

85 77 0e+00 1e 57 e 57 3e 57 4e 57 5e 57 0e+00 e 56 4e 56 6e e e e e 53 0e+00 1e 5 e 5 3e 5 4e 5 0.0e+00.0e e e e e 56 1.e 56 0e+00 e 48 4e 48 6e 48 8e e+00.0e e e e e 49 1.e e e 5.0e 5 3.0e 5 0.0e e 5 8.0e 5 1.e e e e e 55.0e e e e e 46.0e 46 0e+00 1e 57 e 57 3e 57 4e 57 5e 57 0e+00 1e 56 e 56 3e 56 4e 56 5e φ 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e φ 0e+00 e 5 4e 5 6e 5 8e 5 1e φ Figura B.17: Verossimilhanças perladas para φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

86 78 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e e e e e e e e e 54.0e 54.5e 54 0e+00 e 53 4e 53 6e 53 8e 53 1e 5 0.0e e e 5 1.5e 5.0e 5.5e 5 3.0e 5 0.0e e e 5 1.5e 5 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e e e e e 59.0e 59.5e e e 53.0e e 53 0e+00 e 53 4e 53 6e 53 0e+00 1e 54 e 54 3e 54 4e 54 5e 54 6e e e e 54 1.e 53 0e+00 e 63 4e 63 6e 63 8e 63 1e φ 0e+00 e 57 4e 57 6e 57 8e φ 0.0e e e e 50.0e φ Figura B.18: Verossimilhanças perladas para φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

87 79 0e+00 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 5e e e e e 14.0e 14.5e e e 17.0e e e e 0 1.0e e 19 0e+00 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 5e 18 0e+00 e 0 4e 0 6e 0 8e 0 0e+00 1e 0 e 0 3e 0 4e 0 0e+00 e 17 4e 17 6e 17 8e 17 1e e e e e 16.0e 16 0e+00 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 0e+00 e 16 4e 16 6e 16 8e 16 1e e e e e 17 0e+00 1e 17 e 17 3e 17 4e 17 5e e e e 17 1.e e e e e 18.0e 18.5e e σ σ σ Figura B.19: Verossimilhanças perladas para σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

88 80 0e+00 1e 19 e 19 3e 19 4e 19 5e 19 6e 19 0e+00 1e 15 e 15 3e 15 0e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e e e e e e e e e 15.0e e e e e e e e e 17.0e 17.5e e e e e e 15 0e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 0e+00 e 19 4e 19 6e 19 8e 19 1e e e e e e e 16.0e e e e 0 1.0e e e e e e 15.0e 15.5e e e e 16.0e e σ σ σ Figura B.0: Verossimilhanças perladas para σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

89 81 0.0e e e 30 1.e 9 0.0e e e e e e e e 37 0e+00 e 7 4e 7 6e 7 8e 7 0e+00 1e 35 e 35 3e e e 9 1.0e 8 1.5e 8.0e 8 0.0e e 3 8.0e 3 1.e e e 9 1.0e 8 1.5e 8 0e+00 1e 30 e 30 3e 30 0e+00 1e 30 e 30 3e 30 4e 30 5e e e e e e e e 31 1.e 30 0e+00 e 31 4e 31 6e 31 8e 31 1e e e 3 1.0e e e e 8 1.0e 7 1.5e σ σ σ Figura B.1: Verossimilhanças perladas para σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

90 8 0.0e e 3 8.0e 3 1.e e e 9 8.0e 9 1.e 8 0.0e e 9 1.0e 8 1.5e 8.0e 8.5e 8 3.0e 8 0.0e+00.0e 8 4.0e 8 6.0e 8 8.0e 8 1.0e 7 1.e 7 0.0e e 3 1.0e e 31.0e 31.5e e e 8 1.0e 7 1.5e 7.0e 7.5e 7 0e+00 e 9 4e 9 6e 9 8e 9 1e 8 0e+00 e 8 4e 8 6e 8 8e 8 0.0e e e 3 1.5e 3 0e+00 1e 36 e 36 3e 36 4e 36 5e e e 8 1.0e 7 1.5e 7.0e 7.5e 7 0.0e e 7 1.0e 6 1.5e 6.0e 6.5e 6 0.0e e e e 30.0e 30.5e e+00 e 30 4e 30 6e 30 8e e e 30.0e e σ σ σ Figura B.: Verossimilhanças perladas para σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

91 83 0.0e e e e 57.0e 57 0e+00 1e 56 e 56 3e 56 4e e e e 54 1.e 53 0e+00 1e 5 e 5 3e 5 4e 5 0e+00 1e 48 e 48 3e 48 4e 48 5e 48 6e 48 7e e+00.0e e e e e 49 1.e e e e 57 1.e 56 0e+00 1e 5 e 5 3e 5 4e 5 5e 5 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e e e e 56 1.e 55 0e+00 e 47 4e 47 6e 47 8e 47 0e+00 e 57 4e 57 6e 57 8e 57 0e+00 1e 57 e 57 3e 57 4e 57 5e 57 6e e+00 e 51 4e 51 6e 51 8e e e 5 1.0e e σ σ σ Figura B.3: Verossimilhanças perladas para σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

92 84 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 0e+00 1e 57 e 57 3e 57 4e 57 5e 57 6e e e e 54 1.e e e e 5 1.5e 5.0e 5 0.0e e e 5 1.5e 5.0e 5.5e 5 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e e e e 5 1.5e 5.0e 5.5e 5 3.0e 5 0.0e e e e 60 0e+00 1e 5 e 5 3e 5 4e 5 0e+00 1e 53 e 53 3e 53 4e 53 5e 53 6e 53 0e+00 e 54 4e 54 6e e e e e e e e e 63.0e 63.5e e e+00 e 57 4e 57 6e 57 8e e e e e 50.0e 50.5e σ σ σ Figura B.4: Verossimilhanças perladas para σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

93 85 3.4e e e e 18 4.e e e 14.5e e e e e e e e e 0 1.0e e 19 1e 0 e 0 3e 0 4e 0 5e 0 6e 0 7e 0 3.5e e e e e 0 1.0e e 19.0e 19.5e e e e 17.0e 17.5e e 17 3e 17 4e 17 5e 17 6e 17 7e 17 8e 17 9e 17.5e e e e e e 18 3e 16 4e 16 5e 16 6e 16 7e e e e e 17.5e e e e e 17.0e 17.5e e e e e e e 18.0e 18.1e 18.e Figura B.5: Verossimilhanças perladas para σ0, efeito pepita, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

94 86 4.5e e e e e e 15.0e 15.5e e e e e 16.0e 16.5e e e 18 1.e e e e e 17.5e e e e 15.0e 15.5e 15 3e 16 4e 16 5e 16 6e e e e 15 1.e 15 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 6e 16 7e 16 1e 19 e 19 3e 19 4e 19 5e e e e e e e e 16.0e 16.5e e e e 0 1.0e e 19.0e e 15 e 15 3e 15 4e e 16.0e e e Figura B.6: Verossimilhanças perladas para σ0, efeito pepita, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

95 87 0.0e e e 9 1.5e 9 0e+00 e 34 4e 34 6e 34 8e 34 1e 33 0e+00 e 36 4e 36 6e 36 8e 36 1e 35 0e+00 e 7 4e 7 6e 7 8e 7.0e 3 4.0e 3 6.0e 3 8.0e 3 1.0e 31 1.e e e e e e e e 8.0e 8 3.0e 8 5.0e 9 1.0e 8 1.5e 8 5.0e e e 30.0e 30.5e 30.0e e e e e e e e 30 1.e e e e e 30.0e 30 e 31 3e 31 4e 31 5e 31 6e 31 7e e 3 4.0e 3 6.0e 3 8.0e 3 1.0e 31 1.e e e 8 1.0e 7 1.5e Figura B.7: Verossimilhanças perladas para σ0, efeito pepita, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

96 88 1e 3 e 3 3e 3 4e 3 5e 3 5.0e e 9 1.5e 9.0e 9.5e 9 3.0e 9 3.5e 9 1e 9 e 9 3e 9 4e 9 5e 9 6e 9 7e 9 1e 8 e 8 3e 8 4e 8 5e 8 e 9 4e 9 6e 9 8e 9 1e 8 1.0e e 31.0e 31.5e 31 0e+00 1e 7 e 7 3e 7 4e 7 5e 7 6e 7 e 8 4e 8 6e 8 8e 8 1e 7 6.0e e e 3 1.e 3 1.4e 3 1.6e 3 0.0e e e e 35.0e e e 7.0e 7 3.0e 7 0e+00 e 6 4e 6 6e 6 8e 6 1.0e e 30.0e 30.5e e 30 e 30 3e 30 4e 30 5e e e 30.0e 30.5e Figura B.8: Verossimilhanças perladas para σ0, efeito pepita, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

97 89 0.0e e 57.0e e 57 0e+00 1e 56 e 56 3e 56 4e 56 5e 56 6e e e e e 53 0e+00 e 57 4e 57 6e 57 8e 57 1e 56 0e+00 1e 5 e 5 3e 5 4e 5 0e+00 1e 48 e 48 3e 48 4e e e e 50 1.e e e e 5 1.5e 5.0e 5.5e 5 3.0e 5 0.0e e 5 8.0e 5 1.e e e e e 55.0e 55 0e+00 1e 46 e 46 3e 46 4e 46 0e+00 e 57 4e 57 6e 57 8e e e e e 56.0e 56.5e e e+00 e 51 4e 51 6e 51 8e e+00 e 5 4e 5 6e 5 8e 5 1e Figura B.9: Verossimilhanças perladas para σ0, efeito pepita, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

98 90 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e e e e e 56.0e 56 0e+00 1e 54 e 54 3e 54 0e+00 1e 5 e 5 3e 5 0e+00 e 53 4e 53 6e 53 8e 53 1e 5 0.0e e e 5 1.5e 5 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e 51 0e+00 e 60 4e 60 6e e e 53.0e e 53 0e+00 1e 53 e 53 3e 53 4e 53 5e 53 6e 53 0e+00 e 54 4e 54 6e 54 8e e e e 54 1.e 53 0e+00 1e 6 e 6 3e 6 4e e 57 4e 57 6e 57 8e 57 1e e e e e 50.0e 50.5e Figura B.30: Verossimilhanças perladas para σ0, efeito pepita, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

99 91 0e+00 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 5e 18 0e+00 e 14 4e 14 6e 14 8e 14 1e 13 0e+00 e 18 4e 18 6e 18 8e 18 1e 17 0e+00 e 0 4e 0 6e 0 8e 0 1e e e 0 1.0e e 19.0e 19 0e+00 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 5e 18 6e e e 0 1.0e e 19.0e 19.5e e e e e 17 0e+00 e 17 4e 17 6e 17 8e 17 0e+00 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 0e+00 e 16 4e 16 6e e e e e 17 0e+00 1e 17 e 17 3e 17 4e 17 5e σ 0e+00 1e 17 e 17 3e 17 4e σ 0.0e e 18.0e e σ Figura B.31: Verossimilhanças perladas para σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

100 9 0.0e e e 19 1.e 18 0e+00 1e 15 e 15 3e 15 4e 15 5e e e e e 16.0e 16.5e e e e e e e e e 18.0e e e 15.0e e 15 0e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 6e e e e e 15.0e 15 0e+00 1e 16 e 16 3e 16 4e 16 5e 16 0e+00 1e 19 e 19 3e 19 4e 19 0e+00 1e 18 e 18 3e 18 4e 18 5e 18 6e 18 7e e e 16.0e e e e 0 1.0e e 19.0e 19.5e e σ 0e+00 1e 15 e 15 3e 15 4e σ 0.0e e 16.0e e σ Figura B.3: Verossimilhanças perladas para σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

101 93 0e+00 e 30 4e 30 6e 30 8e 30 1e 9 0e+00 1e 35 e 35 3e 35 4e 35 5e 35 6e 35 7e e e e e 36.0e 36.5e e e e 3 1.0e e 31 0e+00 1e 6 e 6 3e 6 0.0e e e e e e 9 1.0e 8 1.5e 8.0e 8.5e 8 0.0e e 9 1.0e 8 1.5e 8.0e 8 0.0e e e 31 1.e e e e e e e e 31 1.e e+00.0e e e e e 30 1.e 30 0e+00 1e 31 e 31 3e 31 4e 31 5e σ 0.0e e 3 1.0e e σ 0e+00 1e 7 e 7 3e σ Figura B.33: Verossimilhanças perladas para σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

102 94 0e+00 e 3 4e 3 6e 3 0e+00 1e 9 e 9 3e 9 0e+00 e 9 4e 9 6e 9 8e 9 0.0e e 9 8.0e 9 1.e 8 0e+00 e 8 4e 8 6e 8 8e 8 1e 7 0.0e e 3 1.0e e 31.0e 31 0e+00 1e 7 e 7 3e 7 4e 7 5e 7 6e 7 0.0e e 8 8.0e 8 1.e 7 0.0e e e 3 1.5e 3.0e 3 0e+00 1e 35 e 35 3e 35 4e e e 8 1.0e 7 1.5e 7.0e 7 0.0e e 6 8.0e 6 1.e 5 0.0e e e e 30.0e σ 0e+00 1e 30 e 30 3e 30 4e 30 5e σ 0.0e e e e 30.0e 30.5e σ Figura B.34: Verossimilhanças perladas para σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

103 95 0.0e e e e 57.0e 57 0e+00 1e 56 e 56 3e 56 4e 56 5e 56 6e 56 7e e e e 54 1.e e e e e 56.0e 56 0e+00 1e 5 e 5 3e 5 4e 5 0.0e e e e e e e e e e e 5 1.5e 5.0e 5.5e 5 3.0e 5 0.0e e 5 8.0e 5 1.e e e e e 55 0e+00 1e 46 e 46 3e 46 4e 46 0e+00 1e 57 e 57 3e 57 4e 57 0e+00 e 57 4e 57 6e 57 8e 57 1e σ 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e 51 7e σ 0e+00 e 5 4e 5 6e 5 8e 5 1e σ Figura B.35: Verossimilhanças perladas para σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

104 96 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e 51 7e 51 0e+00 e 57 4e 57 6e 57 8e 57 1e e e e e e e e 5 1.5e 5.0e 5.5e 5 0e+00 e 53 4e 53 6e 53 8e 53 1e 5 0.0e e e 5 1.5e 5 0e+00 1e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e e e e 60 1.e e e e e 53.0e 53.5e e 53 0e+00 1e 53 e 53 3e 53 4e 53 5e 53 6e 53 0e+00 1e 54 e 54 3e 54 4e 54 5e 54 6e e e e 54 1.e e e 6 8.0e 6 1.e σ 0.0e e e e σ 0.0e+00.0e e e e e 50 1.e σ Figura B.36: Verossimilhanças perladas para σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. A linha tracejada corresponde ao verdadeiro valor do parâmetro.

105 97 σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e e e 17.81e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e 19.74e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ φ Figura B.37: Gráco de contorno das s perladas para σ, parâmetro de assimetria, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e φ, vertical.

106 98 Figura B.38: Gráco de contorno das s perladas para σ, parâmetro de assimetria, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e φ, vertical.

107 99 σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e 6.530e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ φ Figura B.39: Gráco de contorno das s perladas para σ, parâmetro de assimetria, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e φ, vertical.

108 100 σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ φ Figura B.40: Gráco de contorno das s perladas para σ, parâmetro de assimetria, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e φ, vertical.

109 101 σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ φ Figura B.41: Gráco de contorno das s perladas para σ, parâmetro de assimetria, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e φ, vertical.

110 e 5 10 σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ σ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ φ Figura B.4: Gráco de contorno das s perladas para σ, parâmetro de assimetria, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e φ, vertical.

111 103 imagens/figver_30_sigma_sigmaa.pdf Figura B.43: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e σ, vertical. imagens/figver_30_sigma_sigmab.pdf Figura B.44: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e σ, vertical. imagens/figver_60_sigma_sigmaa.pdf Figura B.45: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e σ, vertical. imagens/figver_60_sigma_sigmab.pdf Figura B.46: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e σ, vertical.

112 104 imagens/figver_10_sigma_sigmaa.pdf Figura B.47: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e σ, vertical. imagens/figver_10_sigma_sigmab.pdf Figura B.48: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ, horizontal, e σ, vertical.

113 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ σ σ Figura B.49: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0,

114 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ σ σ Figura B.50: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0,

115 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ σ σ Figura B.51: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0,

116 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ σ σ Figura B.5: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0,

117 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 5.918e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ σ σ Figura B.53: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de

118 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 6.648e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e σ σ σ Figura B.54: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito espacial, e σ, parâmetro de assimetria, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de

119 111 imagens/figver_30_sigma_phia.pdf Figura B.55: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de φ, horizontal, e σ, vertical. imagens/figver_30_sigma_phib.pdf Figura B.56: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de φ, horizontal, e σ, vertical. imagens/figver_60_sigma_phia.pdf Figura B.57: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de φ, horizontal, e σ, vertical. imagens/figver_60_sigma_phib.pdf Figura B.58: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de φ, horizontal, e σ, vertical.

120 11 imagens/figver_10_sigma_phia.pdf Figura B.59: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de φ, horizontal, e σ, vertical. imagens/figver_10_sigma_phib.pdf Figura B.60: Gráco de contorno das s perladas para σ, efeito espacial, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de φ, horizontal, e σ, vertical.

121 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ e e e e e e e e e e e φ e e e e e e e e e e e e e e φ Figura B.61: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e φ, vertical.

122 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ e e e e e e e e e e e e e e e φ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ Figura B.6: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e φ, vertical.

123 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ φ Figura B.63: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e φ, vertical.

124 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ φ Figura B.64: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e φ, vertical.

125 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 5.014e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ φ Figura B.65: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e φ, vertical.

126 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e φ φ φ Figura B.66: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e φ de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e φ, vertical.

127 e 16 e 16 3e 16 4e 16 e 16 5e 16 1e 16 6e e 18 4e 18 6e 18 8e 18 1e 17 1.e 17 e e e e 18 1e e 17 e 17.5e 17 4e 17 3e 17 5e e e 18 1e e 17.5e 17 4e e 17 3e 17 e e 17 e 17 3e 17 4e 17 5e 17 6e 17 8e e 19 1e e 18 e 18.5e 18 3e e 18 4e e 18 5e e 0 8e 0 4e 0 1e 19 1.e e 19 4e 0 1.6e 19 e 0 1.8e 19 e 0 e e e 18 e 18 5e 19.5e 18 3e e 18 5e 19 4e e e 18 6e e 18 5e e 19 e 19 1e 19.5e 19 1e 19 5e 0 3e 19 5e e 19 1e e 18 5e 19 e 18.5e 18 3e e 18 4e e e 14 3e 14 3e 14 4e 14 5e 14 e 14 6e 14 7e 14 1e 14 8e 14 1e e 18 4e 18 5e 18 6e 18 7e 18 e 18 1e 18 8e 18 3e 18 9e 18 1e 18 e e 0 e 0 3e 0 4e 0 5e 0 6e 0 7e 0 8e 0 9e 0 1e e σ e 18 1e e 17 e 17.5e 17 3e 17 4e σ e 19 1e e 18 e 18.5e 18 3e σ Figura B.67: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e

128 4e e 18 e 18 3e 18 4e 18 5e 18 6e e 17 1e e 16 e 16.5e 16 3e e 0 1e e 19 e 19.5e e e 15 3e e 15 4e 15 1e e 15 5e 16.5e 15 e 15 5e e 17 1e e 16 3e 16 e 16.5e 16 4e e 19 e 19 1e 19.5e 19 3e e 19 1e 19 4e 19 5e 0 5e e e 19 5e e 19 4e 19 6e 19 8e 19 1e 18 1.e e e e e 16 1e e 15 e 15.5e 15 3e e 16 4e e e 16 5e e 16 1e e 16 3e 16 5e 17 6e 16.5e e 16.5e 16 e 16 3e e 16 1e 16 5e e 19 e 19 3e 19 4e 19 5e 19 7e 19 1e 18 6e 19 8e 19 1.e 18 9e e 16 1e e 15.5e 15 4e 15 e 15 3e e e e 17 4e 17 6e 17 8e 17 1e e 16 e e 16 1.e 16.e e e 16 5e e 16 3e 16 e e 16 1e 16 5e σ e 16 1e e 15.5e e 15 e σ e 17 1e e 16 e 16.5e σ Figura B.68: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 30 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e

129 e 31 4e 31 6e 31 8e 31 1e 30 1.e e 30 6e 30 5e 30 4e 30 3e e 31 e 31 3e 31 4e 31 8e 31 e 30 7e 31 6e 31 1e 30 5e e 9 6e 9 1e 8 1.e 8 1.4e 8 1.6e 8 1.8e 8 4e 9 e 9 6e 9.4e 8.e 8 e 8 4e 9 e e 30 8e 30 1e 9 1.e 9 1.3e 9 1.1e 9 9e 30 7e 30 5e 30 4e 30 3e 30 e 30 1e 30 1e e 31 4e 31 6e 31 8e 31 1e 30 1.e e e 7 1e 6 1.5e 6.5e 6 3.5e 6 4.5e e 35 8e 35 1e 34 1.e 34 4e e 34 e e 9 1e 8 5e 6 4e e 8 1.6e 34 e 8 4e 6 e 6 3e 6 e 35.5e e 30 e 30 3e 30 4e 30 6e 30 8e 30 5e 30 7e 30 1e e e 33 1.e 33 1e 33 8e 34 6e 34 4e 34 e e 35 1.e 35 4e 36 6e 36 1e 35 8e 36 6e 36 e 36 e 36 4e e 3 4e 3 6e 3 8e 3 1e 31 1.e e e 3 4e 3 6e 3 8e 3 1e 31 1.e e e 7.5e 7 3e 7 4e 7 1e 7 5e 7 6e 7 1.5e 7 1e 7 6.5e 7 5e 8 5.5e 7 e 7 4.5e 7 3.5e 7 5e σ σ σ Figura B.69: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e

130 1e 8 3e e 8 4e 8 6e 8 8e e 6 4e e 31 1e e 30 3e 30 1e 7 6e 6 1.4e 7 1.8e 7.4e 7 1.e 7 8e 6 1e 5 5e 31.5e 30 e e 8 4e 8 6e 8 8e 8 1e 7 1.e e 33 4e 33 6e 33 8e 33 1e 3 1.e 3 1.4e 3 1.6e e 36 1e e 35 e 35.5e 35 3e e 35 4e e e 3 1.4e 7 e e 8 6e 8 8e 8 e 8 1.4e 7 1.8e 7.e 7 e e 3 4e 3 6e 3 8e 3 1e 31 1.e e e e e 8 1e 7 1.5e 7 e 7 1.6e 7 3e 7 e 8 1.e 7 1e 7.e 31 e e 7 4e 7 6e 7.5e 7 4.5e e 3 e 3 3e 3 4e e 30 1e 9 1.5e 9 e 9.5e 9 3.5e 9 4.5e e 9 e 9 3e 9 4e 9 5e 9 6e 9 7e 9 8e 9 5e 3 5e 9 6e 3 7e 3 4e e 8 4e 8 5e 8 6e 8 6.5e 8 5e 9 1e 8 5.5e 8 4.5e 8 3.5e 8.5e 8 1.5e 8 e e 31 1e e 30 e 30.5e 30 3e e 30 4e e e 30 e 30 5e 31.5e 30 1e 30 3e 30 5e 9 4.5e 30 5e σ σ σ Figura B.70: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 60 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e

131 1e 51 5e 5 1e 51 4e e 57 3e 57 e 57 1e e 56 5e e 47 1e e 46 e 46.5e 46 3e e 46 4e e 57 8e 57 7e 57 6e 57 5e e e 56 3e 56.5e 56 e 56 1e e 56 1e 57 e 57 3e 57 4e 57 5e 57 1e e 56 e 56 6e e 53 1e 5 1.5e 5 e 5.5e e e 51 3e 51.5e 51 e e e 56 1e 55 1.e e e 55 3e 5 5e 5 e 56 4e e e 50 e 50 1.e e 53 1e 5 1.5e 5 e 5.5e 5 3e 5 3.5e 5 4e e 46 e 46.e e e 46 1e 46 8e 47 6e 47 4e 47 e e 50 8e 50 1e 49 1.e e 49 e e e e 57 1e 57 6e 54 4e 54 e 54 e 57 1e 56 8e 54 5e 58 1e e 58 1e 57 3e e 57.5e e 56 3e 56 4e 56 5e 56 6e 56 7e e 54 6e 54 4e 54 e e e e 53 1.e e e 57 4e 57 6e 57 8e 57 1e 56 1.e e e e 56.e e 51 e 51 3e 51 4e 51 5e 51 6e 51 7e e 5 3e 5 4e 5 5e 5 6e 5 7e 5 8e 5 9e 5 1e σ σ σ Figura B.71: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e

132 1.1e 5 e 57 5e e 54 3e 6 e 54 4e e 54 4e 54 1e 54 8e 54 7e 54 6e 54 5e e 54 4e 54 6e 54 8e 54 1e 53 1.e e e 6 5e 6 6e 6 7e 6 e 6 8e 6 9e 6 1e e 60 3e 60 5e 54 e e 53 1e 53 5e 60.5e e 60 3e 60 1e 60 7e 60 e 60 8e 60 4e 60 9e 60 1e e e e 53 e e 53 3e 53.5e e e 53 4e 53 5e e e 53 5e 53 1e e e 53 6e 53 5e e 53 e 53 3e 53 4e 53 5e 53 6e 53 7e 53 8e 53 9e 53 1e e 53 4e 53 6e 53 8e 53 1e 5 1.e 5 1.4e e 5 1e e 51 e 51.5e 51 3e e 51 4e 51 5e e e 51 6e e 56 6e 57 4e 57 1e 54 8e e 50 e e 50 1e 50 5e e 57 1.e 56.4e 56.e 56 e 56 4e e e e 56 6e 57 1.e 56 1e 56 8e e 54 5e e 54 5e 55 4e e 54 3e 54.5e 54 1e 54 e e e e 53 1e 5 1.5e 5 e 5.5e 5 3e e 57 6e 57 8e 57 1e 56 1.e e e e 51 4e 51 6e 51 8e 51 1e 50 1.e σ σ σ Figura B.7: Gráco de contorno das s perladas para σ0, efeito pepita, e σ, efeito espacial, de 15 replicações do processo gaussiano assimétrico com 10 localizações. Todos os demais parâmetros estão xados nos seus veradeiros valores. As linhas tracejadas correspondem ao verdadeiro valor de σ0, horizontal, e

133 Apêndice C Estudo das cadeias obtidas via MCMC As guras que seguem são os traços das cadeias e suas respectivas funções de autocorrelação de duas amostras, a saber 3 e 5, em cada um dos 3 grupos. Essas amostras foram escolhidas aleatoriamente com o objetivo de ilustrar o comportamento do conjunto. Tanto os traços quanto as respectivas funções de autocorrelação apresentados são das cadeias após o tratamento da autocorrelação. O número de observações iniciais, aquecimento, e tamanho do espaçamento desprezados estão sumarizados na Tabela C.1. Modelo Aquecimento Espaçamento normal especicação especicação especicação Tabela C.1: Número de observações desprezadas em relação ao aquecimento das cadeias e espaçamento entre as observações tomadas. Cada painel corresponde à um parâmetro do modelo. Todos os paineis possuem

134 16 3 colunas que, da esquerda para a direita, correspondem às amostras com 30, 60 e 10 localizações respectivamente. Os paineis dos parâmetros σ e η só possuem 3 linhas que correspondem, de cima para baixo, às especicações 1, e 3 das prioris no modelo proposto por Zhang e El-Sharaawi Zhang and El-Shaarawi (010), já que os mesmos não estão presentes no modelo normal. Os paineis dos demais parâmetros possuem 4 linhas que correspondem, de cima para baixo, às especicações normal, 1, e 3 das prioris dos parâmetros. Figura C.1: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro η da localização 15 da amostra 3.

135 17 Figura C.: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro η da localização 15 da amostra 5.

136 18 Figura C.3: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro φ da amostra 3.

137 19 Figura C.4: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro φ da amostra 5.

138 130 Figura C.5: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro σ 0 da amostra 3.

139 131 Figura C.6: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro σ 0 da amostra 5.

140 13 Figura C.7: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro σ da amostra 3.

141 133 Figura C.8: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro σ da amostra 5.

142 134 Figura C.9: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro σ da amostra 3.

143 135 Figura C.10: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro σ da amostra 5.

144 136 Figura C.11: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro θ 0 da amostra 3.

145 137 Figura C.1: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro θ 0 da amostra 5.

146 138 Figura C.13: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro θ 1 da amostra 3.

147 139 Figura C.14: Função de autocorrelação da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro θ 1 da amostra 5.

148 140 Figura C.15: Traço da cadeia gerada via MCMC para o parâmetro η da localização 15 da amostra 3.