MATEMÁTICA E MÚSICA: A RELAÇÃO ENTRE CIÊNCIA E ARTE - UM ESTUDO SOBRE A SÉRIE HARMÔNICA.

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1 MATEMÁTICA E MÚSICA: A RELAÇÃO ENTRE CIÊNCIA E ARTE - UM ESTUDO SOBRE A SÉRIE HARMÔNICA. Josevaldo Gomes da Silva ( UPE) 1 Janaína Viana Barros ( UPE) 2 d.o.i / v2n20p342 RESUMO Este artigo objetiva traçar uma breve síntese da belíssima e importante relação de duas grandiosas áreas do conhecimento - a matemática e a música - e estabelecer uma aproximação significativa no cerne dos documentos estudados. Ademais, busca-se aqui ensejar uma reflexão no que diz respeito à estreita conexão entre estas duas áreas, com um enfoque mais agudo sobre a série harmônica, capturando-a no centro da explicação do conceito de divergência e convergência de séries; tal como sobre uma breve apresentação histórica do trabalho bem sucedido de grandes matemáticos que a desenvolveram, em especial, Pitágoras. Neste ponto, trazer à tona uma apreciação especial desta série é o intento, de sorte a percebê-la e denotá-la na sua real importância na construção da escala musical, permitindo a introdução da noção de intervalos, e sua principal aplicação na música. Para tanto, sob as condições expostas, naturalmente retornaremos ao período histórico onde tudo começou, no qual Pitágoras realizou o experimento do monocórdio. Nesse sentido, este trabalho está fundamentado, principalmente, em Oscar João Abdounur (2003) com seu livro matemática e música O pensamento analógico na construção de significados -, na dissertação de mestrado de Marcos do Carmo Pereira, intitulada Matemática e música De Pitágoras aos dia de hoje -, e em artigos relacionados a fim de externar tais procedimentos e, por conseguinte, concretizá-los trazendo à luz os objetivos, da melhor maneira possível, que compreendem este labor. Palavras-chave: Série Harmônica, Relação, Matemática e Música, Reflexão. 1 Graduando em Licenciatura Plena em Matemática (UPE). josevaldogomess@gmail.com 2 Prof.ª Dra. Em ciência de materiais (UFPE). janavbarros@yahoo.com.br Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

2 ABSTRACT This article aims to draw a brief synthesis of the beautiful and important relation of two great areas of knowledge - mathematics and music - and to establish a significant approximation at the heart of the documents studied. In addition, it is sought here to reflect on the close connection between these two areas, with a sharper focus on the harmonic series, capturing it at the center of the explanation of the concept of divergence and convergence of series; such as on a brief historical presentation of the successful work of great mathematicians who developed it, especially Pythagoras. At this point, to bring up a special appreciation of this series is the attempt, in order to perceive it and denote it in its real importance in the construction of the musical scale, allowing the introduction of the notion of intervals, and its main application in music. For this, under the exposed conditions, we will naturally return to the historical period where it all began, in which Pythagoras performed the monochord experiment. In this sense, this work is mainly based on Oscar João Abdounur (2003) with his book on mathematics and music - Analogic thought in the construction of meanings -, in the master dissertation of Marcos do Carmo Pereira, entitled - Mathematics and music De Pitágoras and related articles in order to express such procedures and, therefore, to put them into practice by bringing to light the objectives that best comprise this work. Keywords: Harmonic Series, Relation, Mathematics and Music, Reflection. INTRODUÇÃO Pois bem: sons e acordes, quando uma pessoa se depara com estes tipos de situações, em geral, mal pode ela perceber a real relação ali existente entre matemática e música. Mas, ao contrário do que muitos pensam, a matemática é, de fato, imprescindível para se entender e estruturar a música em todo o seu arcabouço teórico que forja e traz à tona a beleza musical. Voltaremos o olhar, nesse sentido, à antiguidade que, sem dúvida, foi um período fundamental em que se construiu e se deu significado a muitas coisas. Ademais, para entender esse processo Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

3 torna-se necessário um estudo mais aprofundado sobre a Série Harmônica; donde extrairemos o máximo de informações e descobertas possíveis para, assim, engajar e qualificar nosso objeto de pesquisa: a relação supracitada. Com efeito, pois, por um lado, tudo se inicia na escola pitagórica, na concepção da música segundo Pitágoras. Aqui percebe-se o fascínio que a música exerce desde a antiguidade até os dias correntes, que pode ser bem explicado no mito grego de Orfeu, poeta e músico. Diz a lenda que, quando cantava e tocava sua lira 3, tinha o poder de acalmar os rios e mesmo os animais; de modo que todos se rendiam aos encantos de sua música. Sabe-se, por outro lado, que a matemática é indispensável para a humanidade, desde as coisas mais simples até as mais complexas que possamos imaginar, todas presentes em nossas vidas. Dessa forma, no que concerne à evolução da música não haveria de ser diferente: dentre os mais variados aspectos que a compõe, faz-se necessário o uso da matemática, seja na construção da escala musical - em que se determina os sons que ouvimos, seja na teoria musical, propriamente dita, que desnuda todo o esforço e trabalho dispendido por grandes matemáticos em épocas diversas. Uma pessoa que nunca estudou música, que jamais passou, na graduação, pelas disciplinas de calculo diferencial e integral dificilmente conhecerá e/ou terá o seu primeiro contato com a série harmônica. Mas, mesmo entre os que já a estudaram, é algo claro que o olhar unilateral concentrado ou na música ou na matemática isoladamente não revela o real e completo motivo, tampouco as principais relações que ambas as áreas estabelecem de contribuição mútua para determinados fins. Nesse sentido, busca-se aqui estreitar a relação matemática / música. Para tanto, além de todo arcabouço histórico / teórico fundamentado, aborda-se neste trabalho o conceito indispensável em matemática de divergência de uma série numérica. Além disso, todo o comportamento musical aqui exposto, denotado pela série harmônica, faz-se contributo significativo para notarmos a matemática bela que há por traz de toda a beleza musical, dos sons, das escalas, da melodia, do solo, do arranjo, etc. A qual apreciamos e ouvimos hoje. 3 Instrumento musical parecido com a harpa Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

4 Portanto, esta breve classificação dos conhecimentos demonstram-nos os distintos lugares das áreas, assim como, os diferentes papéis na sociedade, na qual ainda parece impossível vislumbrar uma relação direta entre os conhecimentos musicais e matemáticos. Ainda assim, tanto na história da matemática quanto na história da música, há estudos que identificam a comunhão, o casamento desses conhecimentos; e a pretensão aqui lançada é a de revelar isto. ONDE TUDO COMEÇOU: CONTEXTO HISTÓRICO. Nesta seção é auspicioso, portanto, apresentar onde tudo começou, ou seja, fazer um breve relato da história da música. Os fatos aqui apresentados não obedecem uma ordem cronológica, mas serão descritos de uma maneira a ser a mais fácil de ser assimilada. Convém ressaltar que a primeira escala, tomada como base para a atual, fora descoberta por Pitágoras, celebre figura conhecida matematicamente e/ou filosoficamente. Segundo Abdounur (2003), a matemática e a música possuem laços profundos estudados desde a Antiguidade. Os primeiros indícios de algum tipo de relação entre essas duas áreas, aparentemente tão distintas, perderam-se com o passar do tempo, visto que, para quase todos os povos antigos, os registros sobre estes dois assuntos encontram-se em documentos separados. Por volta do ano 1000 d.c., na Itália, viveu um monge chamado Guido D Arezzo. Ele gostava muito de cantar louvores a Deus e, dentre os cantos que entoava, havia um em especial: a Oração a São João (Sancte Ioannes, em latim). O monge pegou as iniciais de cada verso da oração para dar nome às notas musicais que conhecemos: DÓ, RÉ, MI, FÁ, SOL, L Á, SI. É claro que as notas já existiam, apenas não tinham nomes. Outros povos, como os gregos, e mais tarde os anglo-saxões, usavam letras para Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

5 representar as notas (PEREIRA, 2013). Tais letras essas as quais chamamos e conhecemos para quem tem uma certa proximidade a música de cifras A, B, C, D, E, F, G; que nada mais são do que as notas musicais. Veja a seguir a distribuição correta da cifra a sua respectiva nota: C D E F G A B DÓ RÉ MI FÁ SOL L Á SI No que concerne aos documentos, é incontornável, uma vez mais, citar os gregos, em especial: Pitágoras, ao qual daremos a devida atenção logo mais neste trabalho. Apesar de muitos não saberem, em geral, o conhecerem apenas pelo seu famoso teorema que recebe seu nome, o famoso Teorema de Pitágoras, ele foi responsável pela feitura da primeira escala musical que se tem notícia até o presente momento. Como é de conhecimento de todos, na antiguidade, a música exerceu um fascínio em todas as civilizações que existiam; foram, assim, os filósofos gregos que se dedicaram a ela e a estudaram de maneira, digamos, mais profunda. De fato, quando os lemos, logo enxergamos, por parte deles, uma busca incessável cujo objetivo principal sempre fora entender os fenômenos que ocorriam no universo e a partir daí buscar uma explicação plausível para os fatos. Segundo Boyer (1996), o primeiro registro realmente que estabelece associação entre a matemática e a música, ocorre por volta do século VI a.c. na Grécia Antiga, na Escola Pitagórica. Por meio de um instrumento de uma corda, os pitagóricos relacionaram intervalos musicais ao conceito de frações. PITÁGORAS: O EXPERIMENTO DO MONOCÓRDIO E A ESCOLA PITAGÓRICA. A música é uma ciência que necessita possuir um estatuto definido. Suas regras devem ser extraídas de um princípio claro, inconcebível sem o auxílio da matemática. Apesar de toda a experiência que eu possa ter adquirido em música por associarme a ela por tanto tempo, devo Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

6 confessar que somente com o auxílio da matemática, minhas ideias tornaram-se claras e a luz substituiu uma escuridão da qual eu não estava ciente (Abdounur, 2003, apud Rameau, 1722). Segundo Abdounur (2003) os pitagóricos, por assim dizer, foram os únicos até Aristóteles a fundamentar e desenvolver cientificamente a música, começando a desenvolvê-la, de modo que tornaram-se os mais preocupados por tal assunto. Possivelmente inventado por Pitágoras, o monocórdio é um instrumento que era composto por uma única corda estendida entre dois cavaletes fixos sobre uma prancha ou mesa, possuindo um cavalete móvel colocado sob a corda para dividi-la em duas seções. Em seus experimentos Pitágoras evidenciou relações entre o comprimento de uma corda e a altura musical do som emitido quando ela é tocada. Ele observou que, pressionando uma corda num ponto situado à metade ou 1/2, e tocando-a, a mesma produzia um som aparentemente bem próximo ao da corda inicialmente solta, o que, em teoria musical, chama-se de oitava do som original. Da mesma forma observou que pressionando a 2/3 do seu tamanho original, ouvia-se um som que denomina-se uma quinta acima. Analogamente, da pressão exercida num ponto situado a 3/4 do comprimento da corda em relação a sua extremidade, ouvia-se uma quarta do tom emitido pela corda inteira. A partir desta experiência, os intervalos mencionados passaram a serem denominados consonâncias pitagóricas. Consequentemente, de tal experimento realizado por Pitágoras, fez-se a descoberta da relação entre razões de números inteiros, mediante a qual fora criado um sistema musical através dessas relações. Os pitagóricos observaram que notas diferenciadas por intervalos de oitava apresentavam certa proximidade musical, as quais foram definidas como uma classe de equivalência 4, em que duas notas 4 O termo referente a classe de equivalência refere-se a um conceito matemático definido a partir de uma relação de equivalência. Uma relação R sobre um conjunto E desta natureza deve, dados a, b e c em E, ser reflexiva (ara, para todo a em E), simétrica (se arb, então bra) e transitiva (se arb e brc, então arc); donde chamamos classe de equivalência determinada por a módulo R ao subconjunto de E constituído Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

7 somente tornam-se equivalentes se o intervalo existente entre elas for um número inteiro de oitavas, podendo reduzir distintas oitavas a apenas uma, possuindo assim notas equivalentes em todas as outras oitavas e na oitava base (ABDOUNUR, 2003). No estudo de sons musicais em cordas esticadas (com a mesma tensão relativa), descobriu-se as regras que relacionavam a altura da nota emitida com o comprimento da corda, concluindo que as relações que produziam sons harmoniosos seguiam a proporção dos números inteiros simples do tipo 1/2, 2/3, 3/4, etc. Tais relações podem ser visualizadas na guitarra proposta por Pitágoras na Figura 1. Portanto, Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações numéricas da natureza e que constituía sua harmonia interior (CARLOS, 2015). Figura 1 Representação da Guitarra proposta por Pitágoras. Fonte: Relativamente aos documentos, a escola pitagórica possuía um código de conduta bastante rígido. O vegetarianismo, por exemplo, era imposto a seus membros, aparentemente porque o pitagorismo aceitava a doutrina da metempsicose, ou transmigração das almas, ou seja: por todos os elementos x tais que xra. No caso em questão, a relação de equivalência sobre o universo das notas é a seguinte: Duas notas são equivalentes se diferirem em intervalo por um número inteiro de oitavas. Podemos observar que a relação assim estabelecida satisfaz as condições referidas acima; definindo, tão logo, como classes de equivalência conjuntos que possuem mesmas notas a menos de um número inteiro de oitavas. Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

8 existia ali uma preocupação de que se podia matar um animal que fosse moradia da alma de um amigo morto; entre outros e variados tipos de preceitos da escola pitagórica. Os membros da Escola Pitagórica recebiam uma educação formal, onde constavam quatro disciplinas: Geometria, Aritmética, Astronomia e Música e constituíam as artes liberais cujo conteúdo tornou-se conhecido na Idade Média como o Quadrivium, que era considerado a bagagem cultural necessária de uma pessoa bem educada. A palavra matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas. Os pitagóricos elevaram a matemática à categoria das ciências liberais, isto é, tornaram-na independente das necessidades práticas e a transformaram em uma atividade puramente intelectual. Na filosofia pitagórica afirmava-se que Tudo é número, ou seja, na concepção cosmogônica dos primeiros pitagóricos, a extensão era descontínua, constituída de unidades indivisíveis separadas por um intervalo (CARLOS, 2015). Talvez a mais notável característica da escola pitagórica tenha sido a confiança que conservavam para com o estudo da matemática e da filosofia, bases morais de sua conduta. Para os pitagóricos a matemática se relacionava mais com o amor à sabedoria do que com as exigências da vida prática; e essa foi sua tendência a partir daí. É difícil separar história real daquilo que é lenda no que tange a Pitágoras, pois ele representava tantas coisas ao povo: filósofo, astrônomo, matemático, abominador de feijões, santo, profeta, milagreiro, mágico, charlatão; que foi uma Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

9 das figuras mais influentes da história. O que é inegável, pois seus seguidores, sejam iludidos, sejam inspirados, espalharam, e muito bem, suas crenças por quase todo o mundo grego. Se é impossível atribuir certas descobertas específicas ao próprio Pitágoras, ou mesmo coletivamente aos pitagóricos, é importante entender o tipo de atividade com que, segundo a tradição, a escola estava associada (BOYER, 1996). A SÉRIE HARMÔNICA Provavelmente a mais famosa das séries em matemática é a série harmônica, a qual tem seu n-ésimo termo dado por 1/n, em que n é um número inteiro positivo. Segundo Ávila (1995, p.55-56) apesar de ser uma das séries mais simples dentre as séries divergentes com o termo geral tendendo a zero; para uma aluno iniciante e inexperiente em séries infinitas tudo leva-o a crer que tal série, a saber: deva ser convergente, e não divergente. Afinal, somos levados pelo fato de os termos estarem decrescendo para zero após uma soma muito grande de termos; todavia, é preciso realizar uma análise bastante cuidadosa. Ainda nesse campo da série harmônica, existe uma outra série harmônica especial que convém citar aqui: a série harmônica alternada, definida por: Estudado com um pouco mais de afinco as disciplinas de cálculo diferencial e integral, é posto e abordado vários testes dos quais ao momento mais adequado se lança mão para mostrar quando uma série converge ou diverge. DIVERGÊNCIA DA SÉRIE HARMÔNICA Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

10 Segundo Eves (2004) a demonstração de que a série harmônica, de fato, é divergente aparece tardiamente e foi feita pelo Bispo Nicole Oresme ( ) no século XIV. A dificuldade está no fato de que o crescimento da série harmônica não explicita naturalmente sua divergência, pois, para termos muito grandes a soma tem crescimento cada vez menor. Para isso é bom vermos no gráfico como isso acontece. Figura 2 Crescimento da Série Harmônica Fonte: s_arthur_paulo_ _v5.pdf No que toca a demonstração; percebamos que podemos agrupar os termos da série da seguinte forma: Se olharmos bem, nota-se que cada termo entre parênteses é maior do que 1/2. Por exemplo: Então, é claro que Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

11 Logo, a série harmônica é divergente. Conforme queríamos demonstrar. RELAÇÃO, APROXIMAÇÃO E APLICAÇÃO DA SÉRIE HARMÔNICA: A COMUNHÃO DA CIÊNCIA COM A ARTE. É aqui onde a noção de intervalo 5 aparece, iremos, assim, perceber o que são e como se comportam, não aprofundando tanto, pois nosso objetivo é sua real ligação com a série harmônica. Os intervalos, dessa forma, são essências musicalmente para quem deseja melhor compreender a formação dos acordes, a formação das próprias escalas, a formação de um campo harmônico etc. Portanto, faz-se necessário interiorizarmos bem este nome: intervalo; pois mesmo não adentrando tanto teremos uma breve introdução a eles falando de um outro assunto que já foi trabalhado no presente trabalho, ou seja, é impossível falar de intervalos, que são esses distanciamentos entre duas ou mais notas sem antes entendermos algo muito importante, o foco principal deste labor, a Série Harmônica. Vejamos, o ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de sons, por exemplo, imagine que estejam na sua frente, por trás de uma cortina, dois instrumentos que você não sabe quais são; mas os vou dizer: são eles um piano e um violão. Neste ponto, pense que no piano se tocou uma determinada nota e que, do mesmo modo, também o violão com a mesma afinação. Certamente, você já ouviu o som de um piano e de um violão, ainda que você não seja um músico profissional ou um profundo conhecedor da teoria musical; de modo que certamente irá conseguir distinguir o som emitido por um piano daquele emitido por um violão; aqui você deve ser perguntar: como isso é possível, posto que o piano e o violão são instrumentos diferentes? Como podemos conceber que 5 Intervalos são o distanciamento entre dois sons, ou melhor dizendo duas notas musicais. Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

12 mesmo que eles toquem a mesma nota com a mesma afinação, conseguimos distinguir um instrumento do outro? A resposta é simples, isso se chama timbre 6 que, na verdade, é um nome muito utilizado pelos músicos no momento de uma compra, ao analisar o som de um instrumento. E são exatamente essas propriedades físicas do som que o levam a perceber a diferença entre o som de um piano e o som de um violão mesmo quando executam a mesma nota e novamente você se pergunta: por que usar o exemplo do piano e do violão? E por que estou me referindo a palavra timbre? Simplesmente pelo motivo de que o timbre, para que seja perceptível ao seu ouvido, é o resultado da Série Harmônica objeto de nosso estudo. Conheceremos, agora, o significado da palavra Série Harmônica 7 na música, para isto usaremos exemplos populares, quando se toca apenas uma nota (quando digo nota não me refiro a acorde na realidade nós estamos ouvindo com aquela nota um conjunto de frequências mais agudas no qual o nosso ouvido ainda não consegue captar, em que se capta um som em conjunto). Em um primeiro momento, podemos até nos surpreender com tal fato, mais por exemplo, se você tocar uma nota, ou seja, um corda solta usando o exemplo do violão, na realidade, aquela nota está produzindo, ou melhor, propagando várias outras notas. Isto é: quando tocamos uma nota ela tem uma certa vibração e com essa vibração vem junto uma sequência de outras notas matematicamente organizadas e sistematizadas entre si que formam os famosos Harmônicos. Segundo Anderle (2001) o som emitido por um instrumento musical é resultado de uma vibração. A série harmônica é resultado dos sons geradores, mais as notas agudas. Se tomarmos como exemplo a corda de um violão, notaremos que, além de vibrar em toda a sua extensão, ela também vibra em sua metade, em sua terça parte, em sua quarta e quinta partes, etc. produzindo sons cada vez mais agudos. A vibração da corda pode ser definida como ciclos ou Hertz. [...] A série harmônica é fisicamente infinita e suas primeiras 16 notas surgem ao 6 Timbre é algo que pode ser definido como a impressão sonora, ou o colorido particular de cada som 7 Série Harmônica é um conjunto de frequências sonoras que soam em simultaneidade com um nota principal Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

13 subdividir uma corda vibrante (experiência de Pitágoras) em partes iguais. Vejamos melhor o que Anderle (2001) descreveu na figura a seguir: Figura 3 Subdivisão de harmônicos Fonte: Audio Segundo Bartz (2010) a quantidade de harmônicos de um som fundamental é infinita. Quanto mais afastados do som fundamental estes sons estiverem, menos audíveis e consonantes os harmônicos vão ficando com relação à nota principal. Os intervalos entre os harmônicos também se tornam menores. A série harmônica nos permite observar os intervalos consonantes e dissonantes com relação a uma nota específica. Assim, como a série diverge no infinito, esses harmônicos tendem a se tornar imperceptíveis aos nossos ouvidos, pois essas frequências são muito agudas, praticamente os nossos tímpanos, nossos ouvidos não tem tal incrível capacidade de perceber os harmônicos. Assim sendo, voltamos a Pitágoras, em que discorremos sobre o seu importante experimento que fora fundamental para sua descoberta, qual seja: o distanciamento das notas musicais exatamente em cima desse conceito que encerra os harmônicos. Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

14 Poucos músicos sabem que uma frequência harmônica para que ela possa existir, depende de três fatores que são óbvios e naturais; mas que merecem devida atenção: para existir ela depende de um comprimento, uma espessura e de uma tensão. O comprimento é o distanciamento de uma ponta a outra de uma corda: o tamanho da corda. A espessura é exatamente a grossura, por assim dizer, dessa corda e, quando falamos da tensão, ela é precisamente a distância que a corda percorre quando ela está em vibração como vimos na figura 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao analisarmos a comunhão matemática / música no cerne dos documentos, é notável que, de fato, uma é base para se entender a outra, dessa forma sobressai-se do estudo aqui feito, as relações que poucos imaginam existirem, embora tais áreas, sob a perspectiva de muitos, parecem tão distintas. O fato é que, por traz de uma das artes mais populares do mundo, não é de todo evidente que a matemática é capaz de proporcionar por traz do talento de um artista, que ela o sustenta, o fundamenta e o dá suporte. Do que segue que, de todo labor exposto tudo se volta e leva-nos a Pitágoras, o mesmo que, em grande medida, apenas é conhecido pelo famoso teorema que carrega o seu nome. Fora a partir dele que conhecemos a comunhão de coisas aparentemente distintas. Sendo assim, temos muito a agradecê-lo pela dedicação em entender, nomear e classificar tudo aquilo que nos é imprescindível hoje. É relevante, claro, ressaltar que jamais conseguiremos explicar uma destas áreas apenas com a outra, ou seja, apenas com um olhar unilateral ou isoladamente, principalmente no que tange a música, em que sabemos que, por envolver um lado artístico, é algo mais subjetivo, dependente da pessoa, do sujeito. Apesar disso, propusemos neste trabalho denotar a relação, amiúde supracitada, a fim de compreender, de fato, como surgiu e como se desenvolveu a série harmônica no centro dos documentos oficiais; estudar os conceitos matemáticos existentes; e realizar uma análise criteriosa para entendermos de forma concreta sua divergência, sua estrutura e sua principal aplicação intimamente relacionada às notas musicais. Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

15 Finalmente, queremos deixar claro que, obviamente, existem trabalhos a serem desenvolvidos ainda, como também em andamento. São duas áreas complexas e, ao mesmo tempo fascinantes, em que grandes nomes como o de Pitágoras serem sempre foram lembrados pelo legado histórico e a importância que tiveram. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABDOUNUR, O. J. Matemática e música: o pensamento analógico na construção de significados / Oscar João Abdounur.- 3ª. Ed. São Paulo: Escrituras Editora, 200. ( Coleção ensaios transversais). ANDERLE, D. Série Harmônica Sesc, ÁVILA, G. A Série Harmônica e a Fórmula de Euler - MacLaurin. Revista Matemática Universitária, São Paulo, n. 19, p.55-63, ÁVILA, G. As Séries Infinitas. In: Revista do Professor de Matemática nº 30. SBM. São Paulo, BARTZ, G. Série Harmônica, BOYER, C. B. História da Matemática. 2ª. ed. São Paulo: Ed. Edgard Blucher, BORO, M. C., FRANCISCON, H. M., MERLI, R. F., Série infinita harmônica e as notas musicais, Faculdade de Apucarana Congresso multidisciplinar FAP, BROMBERG, C., Música e História da Matemática, Vol CUNHA, A. C., FERREIRA, F.P. R., MOTTA, M. C., Análise da Lentidão da Divergência da Série Harmônica: Uma Contradição à nossa Intuição, Universidade Federal de Campina Grande UFCG, EVES, H. Introdução à História da Matemática / Howard Eves; tradução Hygino H. Domingues. 5ª. ed. Campinas, SP : Editora da Unicamp, MIRITZ, J. C. D., Matemática e Música, Universidade Federal do Rio Grande FURG, MORAES, F. D. C., Manual de redação matemática / Daniel Cordeiro de Moraes Filho. Rio de Janeiro: SBM, ª ed. Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º

16 MORAES, M. A., matemática E Música Grega, Instituto Superior de Educação Faculdade Guairacá, PEREIRA, M. C. Matemática e Música De Pitágoras aos dias de hoje, Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ, SANTOS, D. R. A., Matemática e música, Revista Diálogos set. / out. / 2018 N.º