A afinação pitagórica

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1 A afinação pitagórica Texto por Igor da Silva Livramento 1 Seguindo a linha do texto anterior, exploraremos o mundo das afinações por outros vieses. Neste texto nos aproximamos das afinações que utilizam frações para determinar os intervalos entre frequências (notas). A essas afinações podemos chamar por dois nomes, um deles estabelecido historicamente, o outro recente e apropriado, porém longe de se estabelecer. Para compreender do que se fala abordemos a questão historicamente. #01 Pitágoras e algumas descobertas Pitágoras, o sábio da antiguidade grega, considerava a música tão importante quanto as outras disciplinas de sua escola: aritmética, geometria e astronomia, pensava ser a música, então, a ciência dos sons e da harmonia entre os sons. Avancemos com ele em suas descobertas e nos maravilhemos com a sabedoria já presente na antiguidade clássica. Descobriram os gregos, à época, que uma corda, presa em suas duas pontas, vibrando, gera uma um certo som 4, ao qual chamariam nota 5. Descobriram também que notas produzidas por múltiplos inteiros 6 da frequência da corda inteira eram eufônicas, isto é, soavam bem em nomenclatura musical chamaremos, não eufonia, mas consonância. Pitágoras, então, em sua sabedoria, começou a explorar esses múltiplos inteiros, medidos como tamanhos de corda 7, ou seja, pressionando a corda a certa distância produzia novas notas, relacionadas de maneira consonante à frequência fundamental, isto é, à frequência da corda vibrando sem interferência, apenas presa em suas duas pontas. Pitágoras então tomou nota que metade da corda (1:) produzia uma nota extremamente similar à corda sem interferência, porém mais aguda é claro que estamos falando da famosa oitava. Em seguida, um dos intervalos mais consonantes percebido por Pitágoras ficava a um terço (1:) da corda atualmente esse intervalo recebe o nome de quinta justa, base de acordes junto à fundamental, tão importante que recebe o nome de dominante (pela sonoridade bastante proeminente sobre a fundamental). A terceira sonoridade mais consonante percebida por Pitágoras foi 1:4 de corda modernamente chamada quarta justa ou subdominante. A partir dessas relações uma dedução foi feita, dedução que será de fundamental importância neste texto: 1 Graduando do curso de Letras-Português da Universidade Federal de Santa Catarina. Explicação geral da afinação padrão ocidental atual composta de 1 tons equidistantes, do presente autor, disponível em: < acesso em 6 de janeiro de 0. Para os estudantes de música de cursos contemporâneos o termo harmonia pode ter sentido um pouco diferente daquele atribuído hoje à palavra, mas as relações que se construirão ao longo do texto devem esclarecer suficientemente quaisquer dúvidas. 4 De maneira resumida, podemos dizer que um som é uma onda (ou um conjunto de ondas) que se propaga no ar com uma certa frequência; a audição humana alcança apenas as ondas com frequências entre aprox. 0 e Hz, captando a informação e produzindo sensações neurais, às quais chamamos som. 5 Chamaremos por nota uma frequência específica associada a um nome (musical), portanto o famoso A (leia-se: lá) oscilando a 440 Hz, utilizado como base para a afinação de instrumentos, constitui a nota A Mais recentemente chamada série harmônica (cf. nota ). 7 Doravante os tamanhos de corda serão expressos em frações. Uma formalização matemática das oitavas foi provida no texto anterior do presente autor (cf. nota ).

2 A frequência do som produzido por uma corda vibrando é inversamente proporcional ao comprimento da corda. Podemos escrever isso matematicamente da seguinte forma: f f 1 = L 1 L Onde fa é a frequência da corda e La é o comprimento (lenght, em inglês) da corda. Exemplifiquemos com as notas obtidas pelos intervalos que já temos, para que fique mais claro, antes, porém, diremos que a frequência da fundamental (f1), isto é, da corda vibrando sem interferências, é 1. Agora, aos exemplos: a) No primeiro caso temos a oitava da fundamental. Para obtê-la Pitágoras precisava pressionar a corda a 1:, o que nos diz que só metade da corda vibra quando tocada. Temos, então, f1 = 1, L1 = 1 e L = 1/, só nos resta saber f, que podemos descobrir calculando: f 1 = 1 1 = 1 1 = 1 = f 1, daí f =. De fato, uma oitava é sempre duas vezes a frequência de sua respectiva fundamental 9. b) Temos a quinta justa em relação à fundamental, onde Pitágoras pressionava a corda de seu instrumento a uma distância de 1:, fazendo com que : (dois terços) da corda vibrassem. Temos, então, f1 = 1, L1 = 1 e L = /, só nos resta saber f, que obteremos calculando: f 1 = 1 = 1 = = f 1, daí f = 1 =. Sabemos, então, que uma quinta justa vibra : mais rápido que sua respectiva fundamental, em decimais: 1,5, ou seja, vibra uma vez e meia mais rápido. c) Por fim, temos a quarta justa, que soava quando Pitágoras pressionava sua corda a 1:4, o que nos diz que :4 da corda soavam, portanto L = /4, então: f 1 = 1 4 = 1 4 = 4 = f 1, daí f = 4 1 = 4. Sabemos, portanto, que uma quarta justa vibra 4: mais rápido que sua respectiva fundamental, o que nos dá 1,... (infinitos s) em decimais. Parece óbvio que o problema se trata sempre de descobrir f a partir de L, porém, como ambos são inversamente proporcionais e f1 = L1 = 1, então f = 1/L, ou, que é o mesmo, L = 1/f, que é o mesmo que dizer que são inversos, ou, já que estamos falando de frações e queremos manter algum rigor, chamemo-las frações recíprocas. 9 Cf. nota.

3 #0 Afinação pitagórica A partir daqui construiremos a afinação pitagórica, para tanto nos referiremos aos intervalos que formam as notas em relação à fundamental sempre pela fração f, ou seja, o recíproco do tamanho da corda em vibração, portanto deve estar claro que para obter a nota definida pelo intervalo é preciso pressionar a corda no complemento 10 de L. Pitágoras, percebendo que a quinta justa era um intervalo de extrema consonância 11, decidiu construir uma afinação pela repetida iteração desse intervalo, deduzindo que seria uma afinação simples, elegante e, mais importante, consonante. Sigamos o mestre grego e façamos a afinação. Se começarmos com um F (leia-se: fá) a uma frequência de 177 Hz, apenas para exemplo podemos deduzir as notas da seguinte maneira: Tabela 01 Nota Intervalo e frequência F (fá) ( ) 0 = = 177,00 Hz C (dó) ( 1 ) = 177 = 65,50 Hz G (sol) ( ) = = 9,5 Hz 4 D (ré) ( ) A (lá) ( ) 4 E (mi) ( ) 5 B (si) ( ) 6 = = 597, Hz = = 96,06 Hz = 4 = = 144,09 Hz 177 = 0,14 Hz F (fá) ( 1 ) 1 = 177 = 54,00 Hz Como se pode ver, as notas são as mesmas da escala de dó maior: F, C, G, D, A, E, B = C, D, E, F, G, A, B. Todavia, um problema sério surge rapidamente: a segunda potência de /, ou seja, a segunda quinta justa adicionada, supera a oitava (177 = 54 Hz < 9,5 Hz). Lembrando, todavia, que as oitavas são percebidas como repetições da mesma nota e são meramente as 10 Ex.: para uma quinta justa temos f = /, seu recíproco é (/) -1 = /, e o complemento de / é dado por / + x/y = 1, o que é o mesmo que dizer / + 1/ = / = 1, portanto é preciso pressionar a corda a 1: para que : vibrem, criando uma frequência / da corda solta, atingindo assim uma quinta justa como esperado. 11 Excetuando-se a oitava pela razão já óbvia de ser percebida como repetição da fundamental, portanto não fornecendo variedade musical suficiente para composições, mesmo as mais simples.

4 potências inteiras de, podemos dividir todas as quintas justas que superaram o dobro da fundamental para que elas fiquem na primeira gama 1. Portanto, reescrevamos a tabela: Tabela 0 Nota Intervalo e frequência F (fá) ( ) 0 = = 177,00 Hz C (dó) ( 1 ) = 177 = 65,50 Hz G (sol) ( ) = = 199,1 Hz D (ré) ( ) = = 9,69 Hz A (lá) ( 4 ) = = 4,01 Hz 64 E (mi) ( 5 ) = = 6,0 Hz 1 B (si) ( 6 ) = = 5,0 Hz 51 F (fá) ( 1 ) 1 = 177 = 54,00 Hz Colocando os intervalos em ordem crescente de frequências, temos: Tabela 0 Nota F G A B C D E F Frequência 177,00 199,1 4,01 5,0 65,50 9,69 6,0 54,00 Notemos que, agora, ao impormos a limitação das notas à gama, elas não ascendem mais por quintas, mas se ordenam de maneira reconhecível, seguindo o chamado modo lídio, ou simplesmente ir de F a F numa escala de dó maior (modo jônio), que é o mesmo. O total de notas, como se vê, é sete, daí se derivam os nomes das classes de intervalos também chamados intervalos genéricos ou intervalos diatônicos conforme sua posição na escala, portanto, podemos expor os intervalos e nomeá-los, conforme aparecem na escala 1 : 1 Chamaremos por gama a coleção de intervalos entre f1 e f1, no caso, entre 177 Hz e 54 Hz, ou simplesmente entre a corda soando sem interferências e a nota atingida ao pressionar-se 1: da corda, entre a fundamental e sua respectiva oitava. 1 Assumimos aqui f1 como a fundamental não f0, que seria de maior rigor matemático para manter a nomenclatura utilizada na primeira sessão.

5 Tabela 04 Classe de Intervalo Relação entre frequências Fundamental ( ) 0 = 1 f 1 Segunda ( ) = 9 f 1 Terça ( 4 ) = 1 64 f 1 Quarta a ( ) 6 = f 1 Quinta ( ) 1 = f 1 Sexta ( ) = 7 f 1 Sétima ( 5 ) = 4 1 f 1 Oitava ( 1 ) 1 = f 1 #0a Sobre a quarta na afinação pitagórica Um conflito interessante surgiu em relação à quarta: na primeira sessão dissemos que Pitágoras encontrou esse intervalo na relação de frequências 4/, todavia, pela escala produzida da iteração da quinta justa chegamos a uma quarta de relação de frequências 79/51, o que aconteceu de errado no caminho? De errado nada aconteceu, mas uma diferença bastante sutil surgiu: Pitágoras utilizou a quarta a partir da inversão da quinta (reduzida à gama), ou seja, em vez de 79/51, ele utilizou 4/ 14. A diferença entre as frações pode parecer realmente pequena, veja-se: ,0905. Contudo, é uma diferença bastante perceptível. Se você não está convencido, pegue seu instrumento musical (seja um teclado, sintetizador, piano ou violão, etc.) e toque o dicorde 15 F+B, 14 Nada mais que /, recíproco da quinta /, multiplicando por daí 4/ para que fique na gama, isto é, entre f1 e f1, tal qual fizemos da tabela 01 para a tabela Acorde composto por apenas duas notas. Não o chamamos acorde propriamente porque, na tradição ocidental, esse nome ficou associado fortemente a tricordes, isto é, acordes de três notas com dois intervalos, um de terça, seja maior ou menor, e um de quinta justa (ambos sobre a fundamental).

6 esse é aproximadamente o intervalo 79/51. Agora toque o dicorde F+A, esse é aproximadamente o intervalo 4/. Sim, a diferença entre uma quarta justa e um trítono, em nosso caso, um trítono pitagórico, especificamente. Se quisermos emular a afinação pitagórica em toda sua historicidade, temos de fazer a substituição do trítono pitagórico pela quarta justa. Não é uma substituição terrivelmente complexa de se fazer, mas não seria isso trair a premissa da afinação pitagórica exposta anteriormente? Em verdade, não, não seria uma traição da premissa, pois seria, simplesmente, utilizar o inverso da quinta justa. Além de tornar a afinação mais simples e elegante, a inversão é uma prática comum na música. O inverso de um intervalo é a mera descendência do intervalo ascendente 17, daí, subir / é equivalente a descer 4/. Se aplicarmos ao B obtido anteriormente, teremos: ( ) 6 = = 5,0 Hz = 6,00 Hz. De fato, a diferença é consideravelmente próxima à distância entre E e F, duas notas separadas por uma segunda menor 1 : (F )54,00 (E)6,0 = 17,9 Hz > (B 1 )5,0 (B )6,00 =,0 Hz. O que parecia ser uma distância mínima entre frações é, na verdade, uma distância bastante audível quando tocadas na prática. Assim, a afinação pitagórica real seria: Tabela 05 Nota Intervalo e frequência F ( ) 0 = = 177,00 Hz G ( ) = = 199,1 Hz A ( 4 ) = = 4,01 Hz 64 B ( 1 ) ( 1 1 ) = 1 = = 6,00 Hz C ( 1 ) = 177 = 65,50 Hz D ( ) = = 9,69 Hz Uma afinação derivada pelo encadeamento de quintas justas. 17 Em nosso caso, as frações que representam as relações entre frequências estão sempre reduzidas à gama. 1 B 1 = nota B obtida pela afinação proposta nas Tabelas 01 e 0; B = nota B obtida pela quarta justa (4/), ou seja, pelo inverso da quinta justa (/).

7 E ( ) 5 = = 6,0 Hz 1 F ( 1 ) 1 = 177 = 54,00 Hz Finalmente obtivemos a legítima afinação pitagórica, utilizada pelo sábio grego em seu instrumento 19 e podemos, enfim, resumir o modo lídio a: Tabela 06 Nota F G A B C D E F Frequência 177,00 199,1 4,01 6,00 65,50 9,69 6,0 54,00 Podemos, portanto, reconstituir a Tabela 04 corrigindo o intervalo de quarta: Tabela 07 Intervalo Relação entre frequências Fundamental ( ) 0 = 1 f 1 Segunda ( ) = 9 f 1 Terça ( ) 4 = 1 64 f 1 Quarta ( 1 ) ( 1 1 ) = 4 f 1 Quinta ( ) 1 = f 1 Sexta ( ) = 7 f 1 Sétima ( 5 ) = 4 1 f 1 Oitava ( 1 ) 1 = f 1 19 Referimo-nos aqui ao monocórdio grego.

8 Deve ser óbvio aqui que para obtermos os intervalos relativos a uma fundamental que compõem seu modo grego, basta multiplicarmos a fundamental pelas razões fornecidas acima 0. Portanto, se quisermos obter o modo jônio já referido (escala de dó maior), basta multiplicarmos a frequência de C (aqui utilizaremos 6 Hz por razões de simplicidade, mas o famoso dó central, ou dó da chave do piano é aproximadamente 61,6 Hz) pelos intervalos fornecidos na Tabela 07, o que nos dará: Tabela 0 Nota Intervalo e frequência C ( ) 0 = 1 6 = 6,00 Hz D ( ) = 9 6 = 94,75 Hz E ( 4 ) = 1 6 = 1,60 Hz 64 F ( 1 ) ( 1 1 ) = 4 6 = 49,4 Hz G ( 1 ) = 6 = 9,00 Hz A ( ) B ( ) 5 = 7 6 = 44,1 Hz = 4 6 = 497,9 Hz 1 C ( 1 ) 1 = 6 = 54,00 Hz Como trabalho de casa para o leitor, fica a proposta para desenvolver tabelas com todos os outros modos. #0 Intervalos na escala diatônica pitagórica e uma espécie de conclusão Para observarmos os tamanhos dos intervalos na escala diatônica pitagórica faremos uma matriz intervalar 1, a qual mostrará as classes intervalares e seus respectivos tamanhos, vejase: 0 Em texto futuro do presente autor construir-se-á a escala cromática de 1 tons a partir de relações pitagóricas, por ora, contudo, foca-se nas escalas diatônicas, também chamadas modernamente por modos gregos (mas mais precisamente modos da Igreja). 1 A matriz intervalar mede todos os intervalos em relação a cada tom da escala, fornecendo os intervalos específicos (linha) subtendidos por cada classe intervalar (coluna), desse modo caracterizando e descrevendo a escala com precisão. Também cf. nota.

9 Tabela 09 Tom/Classe 1 (fund.) (seg.) (ter.) 4 (qua.) 5 (qui.) 6 (sex.) 7 (sét.) (oit.) 1/1 C 1/1 9/ 1/64 4/ / 7/ 4/1 /1 9/ D 1/1 9/ /7 4/ / 7/ /9 /1 1/64 E 1/1 56/4 /7 4/ / 1/1 /9 /1 4/ F 1/1 9/ 1/64 79/51 / 7/ 4/1 /1 / G 1/1 9/ 1/64 4/ / 7/ /9 /1 7/ A 1/1 9/ /7 4/ / 1/1 /9 /1 4/1 B 1/1 56/4 /7 4/ 104/79 1/1 /9 /1 Pela matriz apresentada percebemos que a escala diatônica pitagórica possui algumas propriedades características de escalas diatônicas, a saber: a) é uma coleção gerada bemformada ; b) é uniformemente distribuída 4 ; c) é uma estrutura constante 5. Em verdade, é dela que se derivam as escalas diatônicas contemporâneas, afinadas minimamente diferente 6. Talvez o mais interessante seja que, apesar da complexidade de algumas frações (7/, 1/64, 4/1), essa afinação é facilmente atingida de ouvido, sem medições. É claro que se faz necessário um instrumento sem trastes ou outras maneiras de fixar a afinação isto é, maneiras de fixar os intervalos entre notas, as distâncias entre elas à parte isso, provavelmente uma das primeiras afinações a que se chegaria seria a pitagórica. É mesmo sabido que quartetos de cordas tocam bastante próximos da afinação pitagórica, numa afinação chamada entonação justa, mas isso é assunto para outro dia 7. Cf. Propriedades das escalas diatônicas, também do presente autor, disponível em: < acesso em de janeiro de 0. Pela iteração repetida da quinta justa (/). 4 Trata-se do modo jônio, já considerado e dissecado (cf. nota ), obviamente o padrão LLsLLLs separa ao máximo os intervalos pequenos. 5 Nenhuma classe intervalar (coluna da matriz) possui intervalos específicos (frações presentes nas linhas) presentes em outra classe, não havendo repetições significa que não há ambiguidade, de fato a condição necessária para que uma escala seja particionada, ou, o que é o mesmo, para que tenha estrutura constante. 6 Cf. nota. 7 Cf. nota 0.