APLICAÇÃO DE TESTE DE RAIZ UNITÁRIA ÀS VARIÁVEIS DE PROPULSORES ELETROMECÂNICOS

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1 APLICAÇÃO DE TESTE DE RAIZ UNITÁRIA ÀS VARIÁVEIS DE PROPULSORES ELETROMECÂNICOS Application of Unit Root Testing to Electromechanic Propellers Variables Manuel Martín Pérez REIMBOLD 1 Douglas JOZIEL 2 Leila VALER 3 Flávio KIECKOW 4 RESUMO A Identificação de Sistemas destaca-se pelos modelos matemáticos consistentes obtidos por meio dos dados de entrada e saída do sistema. É necessário que os dados contidos nas séries temporais não violem os pressupostos estatísticos da própria série. Portanto, torna-se necessário executar testes que detectem violações nas variáveis envolvidas no sistema. Dessa forma, o objetivo do presente trabalho é investigar a execução de testes ADF (Augmented Dickey & Fuller) e KPSS (Kwiatkowski Philips Schmidt e Shin) aplicados às variáveis: velocidade angular e corrente elétrica envolvidas em propulsores eletromecânicos, os quais são utilizados em veículos aéreos não tripulados (VANTs). A metodologia se desenvolve a partir da coleta de dados de uma plataforma experimental, seguida da aplicação dos testes ADF e KPSS aos dados. O resultado obtido é uma contribuição que mostra a possibilidade de evitarem-se modelos matemáticos espúrios. Palavras-chave: Estacionariedade. Raiz Unitária. VANTS. ABSTRACT System Identification stands out for the consistent mathematical models obtained with the input and output data of the system. It is necessary that data contained in the time series does not violate the statistical assumptions of the series. Therefore, it becomes necessary to make tests that detect violations in the system variables. So, the goal of the present work is to investigate the execution of ADF (Augmented Dickey-Fuller) and KPSS (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin) tests applied to the variables angular speed and electric current, related to electromechanical thrusters used in unmanned aerial vehicles (UAV s). The methodology develops from data collection with an experimental platform to ADF and KPSS tests applied to the data. The results obtained are a contribution that shows the possibility of avoiding spurious mathematical models. Keywords: Stationary. Unit Root. UAVs. 1 Docente do Curso de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da UNIJUI, Doutor em Microeletrônica. manolo@unijui.edu.br 2 Doutorando do Curso de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da UNIJUI, douglasjoziel@hotmail.com 3 Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da UNIJUI. leilavaler@gmail.com 4 Docente do Mestrado em Ensino Científico e Tecnológico da URI, Doutor em Mecânica. fkieckow@santoangelo.uri.br Vivências. Vol. 13, N.25: p.46-54, Outubro/

2 1. INTRODUÇÃO A Identificação de Sistemas destaca-se pelos modelos matemáticos consistentes obtidos por meio dos dados de entrada e saída do sistema. Nesta técnica, não é necessário conhecimento prévio do sistema na formulação do modelo. Os dados são medidas ou observações que caracterizam variáveis expressas por séries temporais com taxa de amostragem constante. Por sua vez, esses dados são adquiridos a partir de sistemas reais ou experimentais, ou ainda, por meio de simulações utilizando programas computacionais. Nessas variáveis ou séries temporais estão contidas intrinsecamente as alterações das propriedades do material, das dimensões geométricas, e outros fenômenos inexplicáveis ao sistema. Sua alteração reflete mudanças no desempenho do modelo matemático. Esta análise e modelagem matemática são importantes em diversas áreas como econometria, engenharias, ciências naturais, geofísica, meteorologia, e ciências sociais. Os modelos matemáticos, estáticos de regressão simples como a família de modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), entre outros, necessitam que os dados contidos na série temporal não violem os pressupostos estatísticos da série. Caso isso aconteça se compromete o resultado do modelo matemático (Margarido, 2006). Torna-se necessário executar testes que detectem violações nas variáveis envolvidas no sistema. Neste contexto, este trabalho investiga a execução de testes ADF (Augmented Dickey & Fuller) e KPSS (Kwiatkowski Philips Schmidt e Shin) aplicados às variáveis: velocidade angular e corrente elétrica de propulsores eletromecânicos, os quais são utilizados em aeronaves do tipo multirrotor. O resultado obtido é uma contribuição à comunidade científica que modela matematicamente VANTs (Veículos Aéreos Não Tripulados), uma vez que é possível evitar modelos matemáticos espúrios. O texto deste artigo está organizado da seguinte forma: na seção 2 define-se a estacionariedade e os testes ADF (Augmented Dickey & Fuller) e KPSS (Kwiatkowski Philips Schmidt & Shin). A seção 3 contém a metodologia, a qual se desenvolve a partir da execução dos algoritmos dos testes. Na seção 4 são apresentados os resultados e sua discussão. Por fim, a seção 5 traz as conclusões e trabalhos futuros. 2. SÉRIES TEMPORAIS Uma série temporal é uma coleção de observações feitas sequencialmente ao longo do tempo, cuja ordem e ocorrência em intervalos uniformes são relevantes na sua análise. Define-se o conjunto T = {t : t 1 < t < t 2 } para uma série temporal, sendo denotada continua por{y(t) : t T} e discreta por {Y t : t T}. Nesta as observações são feitas em tempos específicos, geralmente equidistantes. 2.1 Estacionariedade Diniz (1998) afirma que uma série temporal é estacionária se os dados aleatórios oscilam em torno de um valor constante. Isto se constata quando os parâmetros de distribuição de probabilidade: média E(Y t ) = µ, que mede o valor médio dos dados; a variância var(y t ) = σ 2, que mede o grau de dispersão dos dados em relação ao valor médio; e a covariância γ t, que mensura o grau de dispersão entre um dado e seu subsequente, são fixos e constantes ao longo do tempo (Gujarati, 2006). Portanto, a verificação da existência de raiz nos operadores de retardos dentro do círculo unitário por meio de testes torna-se necessária. Estes são denominados testes da raiz unitária, e se utilizam de hipóteses, que, em geral, são as seguintes: H 0 = tem raiz unitária (série não é estacionária) Vivências. Vol. 13, N.25: p.46-54, Outubro/

3 H 1 = não tem raiz unitária (série é estacionária) Visando aumentar a certeza das afirmações a respeito da estacionariedade das variáveis em estudo, dois testes populares para sua verificação são utilizados neste trabalho: o ADF (Augmented Dickey & Fuller) e o KPSS (Kwiatkowski Philips Schmidt & Shin). 2.2 Teste ADF O teste de Dickey-Fuller Aumentado é um teste estatístico de hipótese nula. A série tem raiz unitária, ou seja, não é estacionária. O teste se baseia na regressão do modelo definido pela expressão (1). (1) Trata-se de um modelo com constante e tendência, e com a própria variável defasada e diferenciada, garantindo desta forma que os resíduos não apresentem autocorrelação. Define-se β 1 como o termo independente (intercepto ou deslocamento); β 2 como o coeficiente de tendência; δ o coeficiente da presença de raiz unitária; ε t o termo de erro de ruído branco e os α i são os coeficientes de Y t-i usados para aproximar a estrutura ARMA (Autoregressive Moving Average) dos erros. Ainda, define-se, e assim sucessivamente. O número de atrasos (lags), p, utilizados na série é obtido por meio da fórmula de Schwert (1989) definida na expressão (2), sendo N o número de dados da série. (2) Para testar a hipótese nula estima-se a equação (1) utilizando os mínimos quadrados e examina-se a estatística τ (Dickey-Fuller, 1979). Se o valor da estatística, calculada intrinsecamente no teste ADF, for maior que o valor absoluto tabulado por Dickey-Fuller a hipótese nula é aceita e, portanto, a série é não estacionária. 2.3 Teste KPSS O teste KPSS surge como uma forma a diminuir a incerteza do teste ADF. A hipótese nula do teste estabelece que a série seja estacionária, logo não possui raiz unitária. Diferentemente aos testes de Dickey-Fuller. A especificação do teste supõe duas equações definidas por (3) e (4). A variável r t é um passeio aleatório, seu valor inicial r 0 é fixo e serve como intercepto. µ t, é uma Distribuição Normal e Identicamente Distribuída (0, σ 2 ) (Kwiatkowski et al, 1992). A distribuição assintótica da estatística é derivada sob a hipótese nula e alternativa com condições gerais sobre o erro estacionário, sendo o teste da hipótese baseado na estatística LM (Wang, 2006) definida pela equação (5). (3) (4) Vivências. Vol. 13, N.25: p.46-54, Outubro/

4 (5) sendo para Considera-se os resíduos da regressão de com intercepto, e é a estimativa do erro da variância dessa regressão, dado pela equação (6). (6) sendo p o atraso máximo de truncamento obtido pela equação (2), opcional e corresponde a escolha especial da janela de Bartlett dada por filtro FIR (Finite Impulse Response). uma função de pesos que é, que é um 2.4 Análise Confirmatória (Confirmatory Analysis) A incerteza de qual dos testes de estacionariedade, ADF e KPSS, é o melhor; instigou Nusair (2003) a confrontá-los e propor a Análise Combinatória (Ver Tabela 1). Tabela1: Cruzamentos dos resultados dos testes ADF e KPSS (Nusair, 2003) Teste Teste ADF KPSS Aceita Rejeita Aceita Decisão inconclusiva (Informações insuficientes) Decisão conclusiva (Estacionária) Rejeita Decisão conclusiva (Não estacionária) Decisão inconclusiva (Integração fracionária) Realizando o cruzamento dos testes conforme exposto na Tabela 1 assegura-se uma conclusão mais precisa sobre a estacionariedade da série. Na maioria dos casos as séries são não estacionárias, portanto se faz necessária a transformação das mesmas. A ideia fundamental é fazer que a variância dos dados contidos na série permaneça constante. Deste modo, a transformação pode ser feita tomando sucessivas diferenças Y t = Y t Y t-1. A cada nova transformação os testes e a análise confirmatória devem ser realizados. 3. METODOLOGIA A pesquisa realizada neste trabalho investigativo é aplicada, quantitativa, exploratória e experimental. Utiliza-se do método dedutivo, da observação sistemática e da realização de testes como técnica. As variáveis envolvidas no estudo são a corrente i(k) e a velocidade de rotação do motor ω(k) do sistema de propulsão eletromecânico. O tempo de amostragem obedece ao critério do teorema de Shannon/Nyquist (Aguirre, 2007), o qual estabelece que a frequência de amostragem seja o dobro da frequência do sinal amostrado. Sendo assim, o valor utilizado para o intervalo de amostragem (T a ), é de 0,04s. A coleta de dados é realizada por meio de plataforma experimental para propulsores eletromecânicos desenvolvida nos laboratórios do Curso de Engenharia Elétrica da UNIJUI. Está constituída por uma gangorra e um console de controle conforme ilustrado na Figura 1(a). O console de controle faz a ligação entre a gangorra, o computador e o usuário. Os braços da gangorra Vivências. Vol. 13, N.25: p.46-54, Outubro/

5 permitem num primeiro momento observar o movimento de rotação provocado pelo empuxo do propulsor. Num segundo momento, a estrutura oferece condições para deslocar o propulsor ao longo dos braços e constatar mudanças na rotação da gangorra. A plataforma permite ensaiar diferentes propulsores, de menor ou maior potência elétrica. (a) (b) Figura 1. Plataforma Experimental (a) Módulos integrantes, (b) Propulsor Eletromecânico. O propulsor eletromecânico ensaiado é ilustrado na Figura 1(b) e é constituído de um motor brushless, marca Turnigy, modelo 2826, 1400KV; uma hélice 9x3,8, um ESC (Electronic Speed Control) marca RedBrick, 24A; e uma bateria Litio Ion de 11V, 1200mAh. A corrente elétrica é monitorada por meio de um sensor LEM, LA25NP e a velocidade angular pelo sensor óptico TCRT5000. Ambos os sensores e a aquisição dos dados são gerenciados por microcontroladores: um PIC 18F2550 e dois PIC 18F4550. Os dados obtidos para a corrente i(k) e para a velocidade angular ω(k) apresentam os comportamentos ilustrados na Figura 2(a) e 2(b) correspondentemente. Percebe-se a presença de ruído nos dados em ambos os gráficos. (a) (b) Vivências. Vol. 13, N.25: p.46-54, Outubro/

6 Figura 2. Conjunto de dados (a) Corrente elétrica I(k), (b) Velocidade angular ω(k). Após a coleta de dados, o valor médio e a variância são calculados. Em seguida os testes ADF e KPSS são executados por meio do software MATLAB. A execução do teste ADF se dá mediante o comando: [h; pvalue; stat; cvalue; reg] = adftest( Y ; model ; s ; lags ; s ). Da mesma forma o teste KPSS é executado a partir do seguinte comando: [h; pvalue; stat; cvalue; reg] = kpsstest( Y ; lags ; v ; trend ; v ; alpha ; v ). A execução de ambos os testes gera as seguintes informações: h: Caso seja igual a 1 indica a rejeição da hipótese nula, enquanto que se é igual a 0 indica a aceitação da hipótese nula; pvalue: Os p valores são obtidos pela amostra de dados e a partir da estatística definida para o teste. Neste caso, para o teste ADF, estes valores são probabilidades de cauda esquerda na distribuição. Enquanto que, ao ser realizado o teste KPSS, os p valores são probabilidades de cauda direita. Stat: Estatísticas de teste. Ambos os testes calculam suas estatísticas usando estimativas de mínimos quadrados ordinários dos coeficientes no modelo alternativo. Porém, durante a realização do teste KPSS há distinção em virtude da presença ou não da tendência dos dados testados. cvalue: Valores críticos, são definidos pela distribuição da estatística τ (tau) no teste ADF e estes são probabilidades de cauda esquerda na distribuição. No teste KPSS, os valores críticos são para probabilidades da cauda direita. 4. RESULTADOS A Tabela 2 apresenta os parâmetros estatísticos das variáveis em estudo: Corrente e Velocidade angular. Tabela 2: Parâmetros estatísticos das variáveis. Parâmetros Corrente (A) i(k) Velocidade angular (RPM) ω(k) Valor médio 5,0778 5,3276e+03 Variância 23,6583 1,1462e+07 Os resultados obtidos na execução de ambos os testes, ADF e KPSS, correspondentes às variáveis são apresentados na Tabela 3. Tabela 3: Resultados de testes ADF e KPSS das variáveis em estudo. Corrente elétrica i(k) Velocidade angular ω(k) Parâmetro/Teste ADF KPSS ADF KPSS h pvalue 0,6510 0,0100 0,3382 0,0100 Stat - 1,8819 1,0293-2,5139 1,0815 cvalue - 3,4141 0,2160-3,4141 0,2160 Conforme tabela 3, e baseando-se na proposta de Nusair (2003), as séries analisadas são não Vivências. Vol. 13, N.25: p.46-54, Outubro/

7 estacionárias. De acordo com o proposto por Morretin e Toloi (2006), para realizar a diferenciação utilizou-se a função diff do programa MatLab. As figuras 3(a) e 3(b) ilustram graficamente as séries após diferenciação. (a) (b) Figura 3. Após diferenciação: (a) corrente elétrica (b) velocidade angular. Os gráficos da figura 3 ilustram características de estacionariedade, no entanto a constatação do processo estacionário deve ser confirmada mediante a reaplicação dos testes ADF e KPSS. As linhas de comandos são as mesmas aplicadas nas séries originais diferindo apenas a série a ser testada. A Tabela 4 apresenta os números referentes aos testes. Tabela 4: Resultados dos testes ADF e KPSS após uma diferenciação. Corrente elétrica i(k) Velocidade angular ω(k) Parâmetros/Teste ADF KPSS ADF KPSS H pvalue 1,0000e-3 0,0167 1,0000e-3 0,1000 Stat - 10,1495 0, ,5427 0,0767 cvalue - 3,4141 0,2160-3,4141 0,2160 Vivências. Vol. 13, N.25: p.46-54, Outubro/

8 De acordo aos resultados apresentados na Tabela 4, para a diferenciação de ambas as séries a hipótese nula do teste ADF deve ser rejeitada, enquanto que, a hipótese nula do teste KPSS deve ser aceita. 5. DISCUSSÃO No teste ADF o valor crítico tabelado para um resultado estatisticamente significante a um nível de 95% de certeza está representado pelo parâmetro cvalue, cujo valor é -3,4141. Os resultados da tabela 3 mostram que, tanto a série de dados da corrente quanto a série de dados da velocidade angular; a estatística do teste, representado pela variável stat, apresentam valores superiores ao valor crítico tabelado. Deste modo, a hipótese nula da presença de raiz unitária não é rejeitada e consequentemente as séries não serão estacionárias. Para o teste KPSS, o valor crítico tabelado cvalue é 0,2160 para um resultado estatisticamente significante a um nível de 99% de certeza. De modo análogo ao teste ADF, os valores calculados pela estatística do teste (stat) mostram-se superiores ao valor crítico tabelado pelo teste KPSS, em ambas as séries. Sendo assim, a hipótese nula da estacionariedade das séries deve ser rejeitada. Após o processo de diferenciação das séries, os testes são refeitos e os resultados são apresentados na tabela 4. A partir da análise dos resultados constata-se que os valores encontrados na estatística do teste (stat) são inferiores aos respectivos valores críticos tabelados, em ambos os testes (ADF e KPSS) e séries (corrente e velocidade angular). Assim, para ambas as séries a hipótese nula do teste ADF deve ser rejeitada, enquanto que, a hipótese nula do teste KPSS não deve ser rejeitada. Logo, as séries corrente e velocidade angular, após uma diferenciação, tornam-se séries estacionárias. Neste trabalho, testam-se as séries dos dados da variável corrente e velocidade angular, e verifica-se nelas a presença da raiz unitária. Isso oferece critérios para a escolha da representação matemática mais coerente com os dados e, consequentemente, mais agilidade neste processo. Observa-se que na literatura técnica em identificação de sistemas não há critérios que possibilitem a escolha da representação matemática para o modelo linear. Cabe salientar que este trabalho é uma continuação da pesquisa desenvolvida por Ost (2015). Ost realizou os testes para a série de dados da variável velocidade angular, porém não considerou esta informação para a escolha da representação matemática. Com isso, o modelo gerado precisou de um número maior de parâmetros para descrever as informações contidas nos dados. A realização dos testes em ambas as séries possibilitou a escolha direta de um modelo autorregressivo integrado e com número menor de parâmetros no modelo. 6. CONCLUSÃO A aplicação dos testes, ADF e KPSS, em dados contidos nas séries temporais i(k) e ω(k), corrente e velocidade angular respectivamente, obtidas a partir de um propulsor eletromecânico, visa verificar se ocorre há violação dos pressupostos estatísticos das mesmas e, se o modelo matemático a ser obtido posteriormente não é espúrio. Os resultados dos testes permitiram a escolha direta de um modelo autoregressivo integrado com um menor número de parâmetros no modelo. O estudo realizado é proposto como método para a escolha da representação matemática do propulsor eletromecânico. A certeza sobre a não estacionariedade, bem como, o número de raízes unitárias presentes nas séries de dados, dão sustentabilidade na escolha da melhor representação matemática para a dinâmica comportamental do sistema. No entanto, para séries com mais de uma raiz unitária, estes testes são insuficientes. Outros testes são identificados na literatura técnica advindos da área Vivências. Vol. 13, N.25: p.46-54, Outubro/

9 econometria, os quais serão estudados posteriormente. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AGUIRRE, Luis. Introdução à Identificação de Sistemas. Técnicas Lineares e Não-Lineares Aplicadas a Sistemas Reais. 3. ed. Belo Horizonte: Editora UFMG, DICKEY, David; FULLER, Wayne. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root. Journal of the American Statistical Association. Vol. 74, p , GUJARATI, D. Econometria Básica. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, KWIATKOWSKI, Denis. et al. Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics, n. 54, p , MARGARIDO, Mario; JÚNIOR, Helcio. Teste para mais de uma raiz unitária: uso do software sas na elaboração de uma rotina para o teste dickey pantula. Pesquisa & debate, SP, v.17, n. 1 (29), p , MORETTIN, Pedro; TOLOI, Clélia. Modelos Para Previsão de Séries Temporais, 2. ed. São Paulo: Blucher, NUSAIR, Salah. Testing the validity of purchasing power parity for asian countries during the current float, Journal of Economic Development, v. 28, n. 2, p , dec, OST, A. Modelagem Matemática do Conjunto ESC-Motor-Hélice de um VANT utilizando Identificação de Sistemas. Ijui: UNIJUI, Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática), Curso de Mestrado e Doutorado em Modelagem Matemática, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, SCHWERT, William. Test for unit roots: A monte carlo investigation. Journal of Business and Economic Statistic, n. 7, p , WANG, Wen. Stochastic, Nonlinearity and Forecasting of Streamflow. Amsterdan: Deft University Press, Vivências. Vol. 13, N.25: p.46-54, Outubro/