A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein: algumas implicações educacionais

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1 CDD: A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein: algumas implicações educacionais CRISTIANE GOTTSCHALK Departamento de Filosofia da Educação Universidade de São Paulo SÃO PAULO, SP crisgott@usp.br Abstract: Nosso propósito é o de apontar alguns equívocos que uma concepção referencial da linguagem matemática acarreta em seu ensino escolar. As atuais abordagens construtivistas classificadas de modo geral em perspectivas experimental, cognitivista e antropológica, procuram os significados dos objetos matemáticos predominantemente ora no empírico, ora na mente do aluno, ora na interação social, ou seja, em alguma realidade extra-lingüística. Nesse sentido, recorremos à terapia filosófica de Ludwig Wittgenstein para esclarecer as confusões a que somos levados ao acreditar que as proposições matemáticas possam descrever a realidade empírica, ou mesmo entidades abstratas; que reflitam o funcionamento transcendente da mente ou que sejam produto de uma intersubjetividade consensual. Segundo o filósofo, seu estatuto apriorístico deve-se ao fato de serem normativas, condições de sentido para as proposições empíricas. Sob essa outra perspectiva, cai por terra a orientação geral construtivista para que o aluno descubra os conhecimentos matemáticos no mesmo sentido que nas ciências empíricas, ou seja, ao pressuporem uma realidade matemática pré-existente a ser descoberta, ora no empírico (através de experiências compartilhadas), ora no mental, ora em nossa natureza social (intersubjetiva). Palavras-chave: Filosofia da matemática. Ensino da matemática. Linguagem matemática. Wittgenstein. A maior parte das atuais tendências educacionais na matemática tem como denominador comum as teorias construtivistas. O que as distingue uma da outra, por assim dizer, são as diferentes perspectivas dentro do próprio construtivismo, classificadas de modo amplo por alguns educadores, em perspectivas experimental, cognitivista e antropológica (COBB, 1996). Neste trabalho procuraremos questionar o lugar que os significados matemáticos ocupam predominantemente nessas três perspectivas, a saber, ora no empírico, ora na mente do indivíduo, ora

2 306 Cristiane Gottschalk na interação social, com o objetivo de apontar para alguns equívocos decorrentes desta procura por significados fora da linguagem matemática. Daí recorrermos à crítica que Wittgenstein faz da concepção referencial da linguagem, a qual pressupõe que haja sempre algo que corresponde ao significado das palavras, exterior à própria linguagem em que se encontram inseridas. Especificamente em relação à linguagem matemática, as reflexões de Wittgenstein sobre a natureza de suas proposições esclarecem, a nosso ver, muitas das confusões decorrentes da crença em uma realidade matemática extra-lingüística, a qual conteria os seus significados últimos, tribunal supremo de suas verdades, como também as decorrentes da crença em um convencionalismo radical, onde os objetos matemáticos teriam uma natureza essencialmente social, ou seja, seriam passíveis de ser construídos a partir de interações sociais, através de um processo de negociação. Embora as práticas pedagógicas correntes tenham incorporado formas mais atenuadas de realismo em relação ao realismo platônico, pensamos que a crítica de Wittgenstein continua bastante pertinente, uma vez que em todas essas diferentes concepções realistas, das mais radicais às mais brandas, permanece a atitude recorrente de se procurar significados que se situam fora da linguagem matemática. Mesmo nas abordagens construtivistas que enfatizam o caráter histórico-cultural dos objetos matemáticos, as reflexões de Wittgenstein sobre a constituição dos significados em nossa linguagem esclarecem também, a nosso ver, os equívocos de se considerar esse processo como sendo de natureza social, no sentido de ser visto como produto de consensos entre opiniões. Vejamos então, em primeiro lugar, de forma bastante resumida, como se revelam essas diferentes concepções de significado nas principais perspectivas pedagógicas atuais, para em seguida apresentarmos certas idéias de Wittgenstein que acreditamos possam dissolver algumas das confusões a que somos levados ao supormos que a atividade matemática deva depender de algum tipo de realidade, por mais atenuada que ela seja, a qual julgaria em última instância a verdade de suas proposições. Dentre as tendências construtivistas atuais, a que tem uma concepção realista da matemática em sua forma mais radical é a perspectiva experimental. Para

3 A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein 307 estes construtivistas, deve haver um mundo de experiências a ser compartilhado, que revelaria uma realidade matemática a ser observada e descoberta. As verdades matemáticas seriam obtidas basicamente através de generalizações da experiência. Em outras palavras, uma concepção empirista da matemática 1. Já a perspectiva cognitivista considera que a construção dos objetos matemáticos decorreria de operações mentais que se desenvolveriam progressivamente em interação com o meio ambiente. Baseia-se primordialmente nas teorias psicogenéticas de Jean Piaget e de seus seguidores, para explicar a construção de conceitos e operações matemáticas, as quais se aproximariam paulatinamente da matemática institucionalizada. De certa forma, transparece uma concepção realista da matemática, quase platônica, na medida que, para os cognitivistas, os objetos matemáticos vão sendo alcançados através da razão de forma única e universal. Embora estes objetos não se encontrem em um céu platônico, seriam os correlatos experimentais de operações conceituais. (COBB, 1996, p. 56). Por exemplo, o conceito de soma corresponderia à ação de juntar, o de subtração à ação de separar, e assim por diante. Daí o slogan construtivista o significado está na ação. Assim, como na perspectiva empirista, os objetos matemáticos préexistem em algum domínio independente da linguagem matemática. Por último, a perspectiva antropológica desloca a posição mentalista dos cognitivistas para o social, ou seja, as verdades dos teoremas emergem no curso da interação social. Da mesma forma que a construção dos objetos matemáticos se deu ao longo da história e nas diversas culturas, analogamente esses significados seriam passíveis de ser reconstruídos: o professor e os alunos são vistos como membros de uma sala de aula comunitária, com sua microcultura própria e singular, atribuindo significados aos objetos matemáticos no decorrer de uma negociação interpessoal, compartilhando-se, assim, significados. Haveria, por conseguinte, uma realidade matemática de caráter consensual e de natureza social. 1 Dentro da filosofia da matemática esta concepção se aproximaria do logicismo, que considera as proposições matemáticas referindo-se a entidades abstratas, no sentido destas últimas serem verdades bem confirmadas acerca dos aspectos mais universais da realidade material ( realismo estrito) (cf. GLOCK, 1998, p. 242).

4 308 Cristiane Gottschalk Como veremos mais adiante, embora essa concepção de realidade, da perspectiva antropológica, não seja propriamente empírica e nem platônica, aparentemente permanecendo no âmbito da linguagem, não obstante, os conceitos e as proposições matemáticas, para Wittgenstein, tampouco resultam de consensos empíricos ou de um acordo entre opiniões uma vez que, na crença de que todos chegam aos mesmos resultados, nas mais diferentes comunidades, está embutida a idéia de que, de alguma forma, os objetos matemáticos pré-existam, inerentes às nossas formas sociais, ou seja, podemos também pensar que temos aqui uma forma bastante atenuada de realismo matemático. Todas essas perspectivas também se entrelaçam, uma vez que em alguns textos construtivistas são apresentados pressupostos teóricos que enfatizam a construção mental dos conceitos matemáticos e sua negociação ao longo das interações sociais, enquanto que em seus pressupostos metodológicos propõe-se basicamente uma experiência matemática original como fundante dos objetos matemáticos e suas relações. Essa confusão entre pressupostos teóricos e a consecução de práticas aparentemente a eles ligadas, pode ser esclarecida ao se explicitar os pressupostos embutidos nessas práticas, os quais se encontram em clara contradição com os primeiros, o que no entanto parece não incomodar os educadores matemáticos em geral 2 : Geralmente aceitamos, sem questionar, as verdades matemáticas e acreditamos estar fazendo descobertas quando nos engajamos na atividade matemática. Embora possamos distanciar-nos de nossa atividade matemática e especular que a matemática é uma construção da mente humana, permanece o fato de que a verdade matemática e a realidade matemática independente da mente humana pré-existem quando fazemos e falamos sobre matemática. A esse respeito, a experiência matemática é distinta da reflexão filosófica sobre essa experiência. No primeiro caso, a matemática é descoberta e no segundo, inventada. (COBB, 1996, p.153) 2 Essa confusão encontra-se também no documento oficial do governo para o ensino básico de matemática, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), de teor predominantemente construtivista (cf. GOTTSCHALK, 2002).

5 A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein 309 Um de nossos objetivos neste artigo é o de questionar a necessidade de se supor uma realidade matemática extra-lingüística para dar sentido às suas proposições. A distinção a ser feita, a nosso ver, não é a de uma realidade matemática independente, que seria condição para o fazer matemático e uma posterior reflexão sobre a natureza da atividade matemática; mas atentar para os diferentes usos de suas proposições: ora empírico, ora normativo. Em outras palavras, uma mesma proposição matemática, como = 4, pode ser empregada com uma função descritiva ou normativa, dependendo do contexto em que se aplica. Como justificaremos mais adiante, esta é a distinção fundamental a ser considerada para esclarecer os inúmeros paradoxos a que somos levados quando nos perguntamos sobre os significados dos objetos matemáticos. Como vimos, para responder a essa pergunta, todas as vertentes construtivistas pressupõem, de um modo ou de outro, que ao longo da construção dos objetos matemáticos estes pré-existam, seja no empírico, no mental ou na intersubjetividade social. Da mesma forma que muitos de nossos critérios de verdade se apóiam em última instância na crença da existência de um mundo externo, as verdades matemáticas também são julgadas nessas perspectivas pressupondo-se uma realidade matemática que assume formas diversas, desde as de caráter mais platônico até a mais atenuada delas, que é a adotada pela perspectiva antropológica. Nossa tese é a de que esse pressuposto comum leva a confusões nas práticas pedagógicas, pois ao se considerar a linguagem matemática como um mero revestimento de entidades matemáticas, cujos significados são essências que prescindiriam totalmente da simbologia matemática, espera-se que o aluno descubra esses significados naturalmente, da mesma forma que o cientista levanta hipóteses e faz experimentações com o objetivo de revelar as propriedades dos objetos do mundo empírico, ou da mesma forma que uma comunidade formula suas leis após um acordo de caráter intersubjetivo. Enfim, há uma expectativa no sentido de que de algum modo o aluno construa o seu próprio conhecimento, onde o professor passa a desempenhar o papel de mero facilitador deste processo. Já o professor que antecipa as regras da matemática, e que por isso estaria conduzindo o aluno, é visto pelos construtivistas em geral como exterminador dos significa-

6 310 Cristiane Gottschalk dos dos objetos matemáticos. De fato, algumas vertentes construtivistas chegam a contrapor a expressão construção de significados matemáticos ao rigor que seria característico da concepção formalista da matemática, como se fossem aspectos da atividade matemática incompatíveis entre si:... [os formalistas] sustentam o ideal de sistematização dedutiva da matemática e uma certa atitude em relação à natureza do conhecimento matemático. O ideal de sistematização dedutiva traduz-se na crença de que os conhecimentos matemáticos, em sua totalidade, podem (e devem) ser organizados em um sistema dedutivo contendo termos primitivos, definições, regras de inferência, axiomas e teoremas, de modo que os axiomas e teoremas estejam relacionados dedutivamente. (...) Por sua vez, entendemos o formalismo pedagógico, num sentido bastante amplo, como aquele estilo de prática educativa em Matemática que extermina, consciente ou inconscientemente, o significado e o sentido do conhecimento que busca transmitir, (...) queremos com isso enfatizar duas coisas diferentes: que, por um lado, [o formalismo] não dá a devida importância ao sistema de relações ligadas àquele conhecimento, que se constituiu objetivamente no decorrer do processo histórico-social e que, por outro, marginaliza aqueles aspectos subjetivos porque ligados à situação dada e às vivências afetivas do sujeito que aquele conhecimento adquire no decorrer do processo de interação do indivíduo com o seu contexto social atual. (MIGUEL, 1995, p. 8-9) Daí, as noções de ordem, uniformidade de raciocínio, a lógica bivalente do tudo ou nada e a lógica do descompromisso que têm sido introjetadas na mente de professores e estudantes. (...) Conseqüentemente, o ensino dessa disciplina (e este termo é sintomático) passou a justificar-se pela crença reacionária e militaresca mas nem por isso, ou justamente por isso, menos eficaz em seu poder disciplinador da mente humana, sendo um tal objetivo atingível após um desligamento compulsório do produto do conhecimento do seu processo de produção, e, conseqüentemente, da destruição de sua rede de significações através do treino, do exercício e da repetição obediente. (MIGUEL, 1995, p. 11) Como vemos, é como se no formalismo pedagógico, como definido acima, se criasse um abismo intransponível entre as regras da matemática formalizada (axiomas, postulados de todo o sistema a partir deles deduzido) e seus significados no mundo externo e interno ao indivíduo. Assim, com o intuito de resgatar os sentidos dos objetos matemáticos, os construtivistas apóiam-se em concepções realistas da matemática que, no entanto, não explicam a provisorie-

7 A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein 311 dade de seus conceitos. Nesse sentido, para contornar essa dificuldade, dentre outras, novas vertentes passam a surgir, como por exemplo, a proposta de uma perspectiva complementar, a qual reuniria todas as forças de combate ao formalismo, o que seria possível se incluíssemos a noção de comunidade às teorias construtivistas acima. É esta noção de comunidade que está ausente tanto no platonismo quanto no empirismo. Seguem-se duas implicações para a educação matemática. A primeira é que, se encararmos o platonismo e a verdade matemática como aspectos experienciais da atividade matemática consensualmente controlada, então, a minha intenção enquanto educador matemático construtivista, é que os estudantes experienciem também a descoberta de relações que eles acreditem estarem nessa realidade (...) Se os estudantes não agem como platônicos quando fazem matemática, nada resta a eles a não ser formalismos vazios. Não é a experiência platônica dos objetos matemáticos mas o formalismo que é o inimigo de todos os que valorizam o significado em detrimento do rigor. (COBB, 1996, p. 167; grifos nossos) Nessa proposta aparentemente redentora, o formalismo permanece como inimigo número 1 de qualquer tipo de construtivismo por destituir os objetos matemáticos de seus significados, propondo-se, então, que se restabeleça o processo e sua rede de significação, de uma forma colada nas necessidades do mundo empírico, mas ao mesmo tempo um processo que seja consensualmente controlado. A questão para Cobb, portanto, não é negar o realismo dos platônicos, mas pelo contrário, incorporá-lo às práticas matemáticas, pressuposto essencial para que seus objetos adquiram significado. Bastaria introduzir a noção de comunidade para que se resolvesse as contradições inerentes a um platonismo que não leva em consideração a evolução dos conceitos. Procura-se, assim, resolver um dos paradoxos resultantes de uma concepção realista da matemática, não a abandonando, mas apenas amenizando-a ao substituir o aspecto estático do empirismo e do mentalismo pela dinamicidade que o social confere aos objetos matemáticos. Para justificar sua tese de um platonismo revisitado, necessário e possível ao ser relacionado com as perspectivas antropológica, experimental e cognitiva, Cobb faz uma analogia da matemática com a física, para mostrar como esse conhecimento é provisório no

8 312 Cristiane Gottschalk mesmo sentido das ciências empíricas. Na mesma linha de análise de Kuhn e Lakatos, Cobb conclui que haveria períodos de matemática normal compreendidos entre as revoluções de rigor. Em outros termos, na ausência de refutações aceitas, a comunidade reveste a teoria que prova ser útil a seus propósitos com a aura de certeza. Na prática, a questão dos fundamentos da matemática é tangencial em relação aos processos por meio dos quais uma teoria se torna realidade matemática até que sofra futuros reparos. (COBB, 1996, p. 161; grifos nossos) Supõe-se, assim, que os indivíduos cheguem aos mesmos critérios de utilidade, ou seja, entrem em acordos de natureza empírica. Para sustentar essa idéia, Cobb recorre, então, a Wittgenstein, que teria afirmado que as atividades matemáticas tais como cálculos aritméticos se fundam sobre certos processos físicos e psicológicos que, uma vez institucionalizados, se tornam seguros (COBB, 1996, p ). Esta suposta visão de Wittgenstein sobre a gênese dos processos da matemática teria surgido de sua experiência com estudantes de uma escola elementar para os quais ele ensinou durante cinco anos na Áustria em plena reforma escolar austríaca. Cobb conclui, então, que Wittgenstein é levado a determinadas idéias influenciado por essas teorias pedagógicas, as quais tinham muitos pontos em comum com o trabalho de Jean Piaget e com o construtivismo contemporâneo. Esta é outra confusão a ser esclarecida, pois Wittgenstein não estava em absoluto interessado em fazer psicologia infantil. Suas preocupações eram de ordem filosófica, como a de estabelecer uma conexão entre o conceito de ensino e o conceito de significado. Estou eu fazendo psicologia da criança? Estou construindo uma conexão entre o conceito de ensino e o conceito de significado. (WITTGENSTEIN, Observações sobre a Filosofia da Psicologia, 337) Cobb interpretou esse aforisma de Wittgenstein no sentido de que o filósofo estaria considerando o aprendizado como decorrente da participação dos alunos na comunidade de sala de aula, onde os objetos matemáticos seriam criados e desenvolvidos através de uma interação dialética de muitas mentes. Seria esse o processo social que determinaria se um teorema é interessante ou verdadeiro. Pensamos que essas inferências de Cobb supostamente a partir de algumas

9 A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein 313 reflexões de Wittgenstein são totalmente indevidas, uma vez que o caráter social da matemática é apenas um de seus aspectos, e não o que caracteriza a sua natureza. Quando Wittgenstein faz a conexão entre os conceitos de ensino e significado, não está se referindo ao processo de negociação dos significados matemáticos, mas apontando para o aspecto normativo de determinadas proposições (inclusive as proposições matemáticas), vistas por ele como condições de sentido para as demais proposições. Antecipando de forma bem simplificada, sem que haja o ensino das primeiras, não é possível a apreensão dos significados em geral. Em outras palavras, Wittgenstein aponta para um processo inverso ao que Cobb relata. As proposições matemáticas institucionalizadas é que dão sentido à atividade matemática, e não que sejam geradas por ela, através de processos empíricos (mentais ou consensuais). São certezas convencionais pertencentes a uma determinada comunidade. Estamos seguramente certos disso não significa apenas que cada único indivíduo está certo disso, mas que pertencemos a uma comunidade a qual está ligada conjuntamente pela ciência e pela educação. (WITTGENSTEIN, DC, 298) Segundo Wittgenstein, nossas imagens do mundo não são descrições, mas idéias que cada um tem sobre o mundo. No entanto, não se trata de um mundo das idéias platônico, pois são idéias públicas, pertencentes a determinadas formas de vida e práticas sociais. São nossas convicções, que nos permitem agir com certeza. É nesse sentido que pertencemos à mesma comunidade, e não como Cobb interpreta, como se através de nossos laços empíricos a comunidade fosse se constituindo. O que nos liga são nossas certezas a priori. As relações internas a que Wittgenstein se refere não dizem respeito a um acordo entre opiniões, ou acordos empíricos de forma geral (como o do tipo utilitário a que Cobb se refere), mas a concordâncias nas formas de vida. Trata-se, por conseguinte, de um acordo prévio às opiniões, que não é sempre explicitado. Vamos então precisar melhor em que sentido o filósofo austríaco faz essas afirmações através de um exemplo. Suponhamos que, ao descrever um objeto digamos, entre outras coisas, que é azul. Alguém poderia perguntar, o que é azul? Ao responder azul é uma cor, estamos apenas dando um valor possível

10 314 Cristiane Gottschalk da variável cor. Ensina-se uma nova referência dessa variável. Neste sentido, a proposição azul é uma cor é a priori. É uma regra de representação que pertence às conexões internas do que está sendo representado. Agora passa a fazer sentido para esse alguém quando descrevo determinado objeto como tendo a cor azul. Uma vez estabelecida a conexão interna (o que é azul), estamos em condições de estabelecer a conexão externa entre o objeto e a sua cor. Enfim, toda descrição supõe formas representacionais, expressas através de proposições que ele chama de gramaticais. Eu gostaria de dizer: se houvesse apenas a conexão externa, nenhuma conexão poderia ser descrita, pois só descrevemos a conexão externa com o auxílio da interna. Se esta nos faltasse, faltar-nos-ia o apoio de que precisamos para podermos descrever o que quer que seja do mesmo modo que não podemos mover nada com as mãos se não estivermos bem firmes sobre os pés. (WITTGENSTEIN, OF, III, 26) Em outras palavras, toda proposição empírica, descritiva, pressupõe uma gramática que dá sentido a ela. Wittgenstein não utiliza o termo gramática em seu sentido usual, mas para designar as regras constitutivas da linguagem e também a sua organização, ou seja, sua gramática profunda. Essas regras seriam parte da significação de uma palavra, determinam o que tem sentido e o que não tem sentido dizer. Recorremos a técnicas lingüísticas que se entrelaçam com conteúdos extra-lingüísticos com o intuito de dar sentido à experiência. Por exemplo, através de uma tabela de cores, associamos imagens de cores às palavras que convencionamos corresponderem a essas cores. No entanto, nem as imagens e nem a tabela de cores são a base dessa atividade lingüística. Tanto os conteúdos extra-lingüísticos como a técnica utilizada fazem apenas parte dos jogos preparatórios que precedem o estabelecimento de relações conceituais entre as cores. Ainda estamos no terreno das palavras, preparando a área para a formação de uma gramática das cores. Esta se constitui à medida que estabelecemos relações conceituais a priori, também convencionais, que são nossas certezas sobre essa região da percepção: o branco é mais claro que o preto, as cores azul, vermelha e amarela são cores puras (primárias), ao misturar o azul com o amarelo, obtemos a cor verde e assim por diante. Depois de estabelecer essas relações con-

11 A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein 315 ceituais, ou seja, uma forma de representação, estamos em condições de fazer descrições: passa a ter sentido dizer que essa mesa é marrom, essa parede é branca e assim por diante. As formas de representação estão profundamente incorporadas em nossos modos de agir e expressar. Embora tenhamos uma certa liberdade para escolher nossas formas de representação, uma vez escolhida uma gramática, essa liberdade não se transmite às descrições de dentro dessa gramática. Por exemplo, não tem sentido dizer que duas cores diferentes estão no mesmo ponto de um espaço visual ao mesmo tempo, ou que a parede branca é mais escura do que a preta, se considerarmos nossa forma usual de representação das cores. (Cf. MONK, 1995, p. 292) Mas é só na aplicação das palavras que se mostra o uso que é feito do conceito e, por conseguinte, seu sentido. Dizer essa parede é branca pode tanto ter uma função descritiva quanto uma função gramatical podemos descrever a parede ou utilizá-la como um paradigma da cor branca. Em termos wittgensteinianos, uma mesma proposição pode ter um uso gramatical ou empírico, dependendo da situação em que é aplicada. Assim, esse objeto é azul pode ser tanto a resposta à pergunta o que é azul? como uma descrição deste objeto. Caso a expressão seja empregada de forma descritiva, necessariamente ela pressupõe alguma forma de representação a priori. No caso acima, a de que azul é uma cor. O caráter a priori das regras de representação é fundamental para compreendermos esses diferentes usos das proposições que empregamos ora como regras gramaticais, ora como descrições, independentemente dos conteúdos de que partimos (seja uma parede ou qualquer outro objeto de cor branca). Essa distinção é importante não só para dissolver problemas filosóficos, mas também para evitar confusões já em curso nas atuais práticas pedagógicas. Em todas elas, como já apontamos, procura-se os significados dos objetos matemáticos em alguma realidade independente da própria linguagem matemática, o que nos remete a uma concepção essencialista da linguagem que vem desde as primeiras tentativas metafísicas dos filósofos para apreender o significado de determinados conceitos ao procurarem significados essenciais por trás da multiplicidade de seus usos em situações empíricas.

12 316 Cristiane Gottschalk Até hoje, os filósofos só falaram contra-sensos? A esta pergunta, poderíamos responder: não, eles apenas não repararam que usam uma mesma palavra com significados muito diferentes. Nesse sentido, dizer que uma coisa é tão idêntica quanto a outra não é incondicionalmente um contra-senso, pois quem diz isso com convicção quer, nesse momento, dizer algo com a palavra idêntico ( grande, talvez). Mas o filósofo não sabe que, aqui, ele usou a palavra com um significado diferente daquele com que ela é usada em = 4. (WITTGENSTEIN, OF, I, 9) Assim, uma mesma palavra ( idêntico ) pode ser utilizada em um sentido descritivo ( tão grande quanto ) ou normativo (dois mais dois deve ser igual a quatro). Em outras palavras, idêntico pode descrever algum fato, como o tamanho de duas pessoas, e, em outro contexto lingüístico como o da matemática, ter outro uso, como regra a ser seguida. Para Wittgenstein, a confusão se instala quando não distinguimos entre o uso gramatical e o uso empírico de nossos enunciados, reduzindo nossas formas de representação a proposições empíricas, o que revela uma concepção referencial da linguagem. Quando utilizamos a definição ostensiva da cor azul ( isto é azul ), parece que estamos descrevendo a cor azul, como se o significado de azul dissesse respeito a uma suposta essência da cor azul como se o azul (em si) existisse! Reduzimos, assim, a função gramatical desse enunciado a uma função empírica, levados pela ilusão de que sempre há alguma referência extra-lingüística por trás das palavras, ou seja, insiste-se recorrentemente na idéia de que haja um significado essencial por trás das palavras. No entanto, segundo Wittgenstein, as palavras são utilizadas numa infinidade de maneiras diferentes e aparentadas umas com as outras de diversos modos, como as semelhanças que encontramos entre os membros de uma mesma família. Não há algo comum a todos os seus usos, que nos daria a sua essência. Não posso caracterizar melhor essas semelhanças do que com a expressão semelhanças de família ; pois assim se envolvem e se cruzam as diferentes semelhanças que existem entre os membros de uma família: estatura, traços fisionômicos, cor dos olhos, o andar, o temperamento etc., etc. E digo: os jogos formam uma família. E do mesmo modo, as espécies de número, por exemplo, formam uma família. Por que chamamos algo de número? Ora, talvez porque tenha um parentesco direto com muitas coisas que até agora foram chamadas de número; e por isso, pode-se dizer, essa coisa adquire um parentesco indireto com outras que chamamos também assim. E estendemos nosso conceito de número do mesmo modo que para tecer um fio torcemos fibra por fibra. (WITTGENSTEIN, IF, 67)

13 A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein 317 Através desse aforismo, Wittgenstein nos chama a atenção para os diferentes empregos das palavras. Estes usos são ensinados, não há como adivinhá-los a partir da experiência, ou descobri-los. Nesse sentido, o ensino ostensivo das palavras é uma parte importante da atividade educacional, pois constitui uma regra para o uso de uma palavra é uma regra sobre como proceder. Como o homem aprende o significado dos nomes das sensações? Por exemplo, a palavra dor. Uma criança se machuca e chora. Podemos imaginar que um adulto se aproxime e pergunte está sentindo dor?. Em outras palavras, diz à criança que o que ela está sentindo é dor introduz esse termo. Não se trata de uma descrição. A definição ostensiva pode ser considerada como uma regra de tradução da linguagem gestual a uma linguagem verbal. (Wittgenstein. In: HINTIKKA, 1994, p. 245) A definição ostensiva difere da explicação, pois a primeira é de natureza constitutiva (inaugura, por assim dizer, o objeto) e a segunda, de natureza descritiva. Denominar e descrever não se encontram num mesmo nível: a denominação é uma preparação para a descrição. A denominação não é ainda nenhum lance no jogo de linguagem tão pouco quanto a colocação de uma peça de xadrez é um lance no jogo de xadrez. Pode-se dizer: com a denominação de uma coisa não se fez nada ainda. Ela também não tem nome, exceto no jogo. (WITTGENSTEIN, IF, 49) Dizer isto é azul apontando para um objeto azul pressupõe que estejamos familiarizados com a gramática das cores, ou seja, que saibamos o que é cor e que também saibamos nos mover de alguma forma no espaço das cores. O objeto apontado é uma explicação do significado do nome azul, e não seu significado. Embora os gestos ostensivos não dêem conta de definir os objetos da experiência imediata, não deixam de ser um caso paradigmático das ligações linguagem mundo são como antenas da linguagem. Em outras palavras, o gesto ostensivo é um instrumento lingüístico que nos permite estabelecer uma ligação (interna) entre uma palavra e o objeto para o qual apontamos. Mas poderíamos imaginar outra forma de vida na qual esse gesto tivesse outro significado. O que vai determinar esse significado, segundo Wittgenstein, é o jogo de linguagem no qual esse gesto está inserido. A expressão jogo de linguagem enfatiza

14 318 Cristiane Gottschalk o papel que nossas formas de vida têm na utilização de nossas palavras. Todo jogo de linguagem envolve uma gramática dos usos, as quais estão ancoradas em uma práxis, em uma forma de vida. Nesse sentido, o elo semântico entre a linguagem e a realidade não é dado apenas pelas regras que governam a linguagem, mas pelos próprios jogos de linguagem, pois as regras só têm sentido contra o pano de fundo de um determinado jogo de linguagem. Por conseguinte, os jogos de linguagem têm primazia sobre as regras. Com o conceito de jogo de linguagem Wittgenstein esclarece como atribuímos significado às nossas palavras. Segundo ele, estas só adquirem significados quando operamos com elas, portanto, dentro de um jogo de linguagem, que seria para Wittgenstein, a totalidade formada pela linguagem e pelas atividades com as quais vem entrelaçada. A palavra jogo vem ressaltar as diversas atividades com as quais a linguagem se vincula. A expressão jogo de linguagem é essencial na filosofia de Wittgenstein, pois ele também a emprega como um método para mostrar os diferentes usos dos conceitos em nossas formas de vida. Como vimos, as palavras não são utilizadas apenas para descrever. Mas além das descrições que fazemos a partir de nossas formas representacionais (uso gramatical) há muitos outros tipos de jogos, como contar piadas, orar, fazer saudações, perguntar, dar ordens e etc. É dentro desses jogos que os objetos adquirem significado, quando operamos com eles, e não quando simplesmente os relacionamos às imagens que fazemos deles. Desse novo ponto de vista, Wittgenstein faz uma crítica demolidora à concepção referencial da linguagem, pois não há mais necessidade de se postular entidades extralingüísticas como condições necessárias da significação. Temos como evitar as dificuldades do modelo referencial da linguagem ao considerarmos as diversas práticas ligadas à linguagem como sendo o meio através do qual são estabelecidas as ligações entre signos e objetos e, além disso, como sendo instrumentos lingüísticos. É nesse sentido que tais práticas fazem parte da gramática dos usos. (MORENO, 1995, p. 25) Eis aqui um ponto crucial: o caráter lingüístico dessas práticas exclui uma fundamentação empírica para o significado que seja independente do jogo de linguagem em questão. A ação de juntar dois grupos diferentes de objetos para de-

15 A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein 319 signar o conceito de soma em matemática só adquire sentido no interior deste jogo de linguagem, que pressupõe técnicas características como as de contagem e algoritmos mais complexos, quando por exemplo queremos somar 456 e 679. A mera ação de juntar duas mãos, por exemplo, no jogo de linguagem de certas religiões apenas nos diz que estamos rezando, e não que = 10. Assim, a ação de juntar adquire diversos significados em função dos distintos jogos de linguagem nos quais ocorre. São esses jogos que nos permitem interpretar a ação, e não que esta seja o fundamento de determinados símbolos. Da mesma forma, nossos conceitos são empregados significativamente tendo como pano de fundo determinados contextos lingüísticos. Somar dois mais dois e dizer que o resultado é quatro faz sentido dentro do jogo de linguagem da aritmética, mas poderíamos muito bem imaginar um outro jogo (inclusive dentro da própria matemática) onde esse resultado fosse outro número! Enfim, com o conceito de jogo de linguagem Wittgenstein lança luz sobre relações de nossa linguagem, ao utilizar jogos como objetos de comparação, ou seja, através de suas semelhanças e diferenças, chama a atenção para os diferentes usos de nossos conceitos em nossas formas de vida sem recorrer a entidades extra-lingüísticas 3. São os próprios jogos de linguagem que constituem as relações de significação básica (denominação) e são, portanto, os elos entre linguagem e realidade. Assim, o suposto abismo entre regras e sua aplicação é transposto por nossas práticas, dentro de um jogo de linguagem. Eis o ovo de Colombo de Wittgenstein, que nos liberta dos paradoxos da concepção referencial da linguagem. Seguir uma regra é essencialmente uma prática: Por isso, seguir a regra é uma prática. E acreditar seguir a regra não é seguir a regra. E por isso não se pode seguir a regra privatim, porque, do contrário, acreditar seguir a regra seria o mesmo que seguir a regra. (WITTGENSTEIN, IF, 202) 3 Além dessa visão mais panorâmica da utilização de nossos conceitos, Wittgenstein também recorre a uma visão de detalhe, a saber, as diferentes aplicações de uma palavra no interior de um mesmo jogo de linguagem. Por exemplo, o emprego ora descritivo da palavra azul, ora normativo, quando nos movemos dentro de nossa gramática das cores.

16 320 Cristiane Gottschalk Através desse aforismo, Wittgenstein ressalta o caráter público da regra, não no sentido de ser produto de um consenso coletivo, passível de ser reproduzido por qualquer grupo de indivíduos; mas no sentido de termos sido introduzidos em formas de vida que organizam a priori nossas ações, ou seja, estamos imersos em mitologias as mais diversas que dão sentido ao nosso mundo empírico. Enfim, não é a partir da experiência compartilhada que nossas mitologias são geradas, muito pelo contrário, são essas nossas certezas (mitológicas) que nos permitem dar significados às nossas ações. A proposição = 4 permite-nos compreender que dois casais vão precisar de quatro bilhetes para assistir a uma peça de teatro. Isso não significa, entretanto, que sejamos determinados por nossas certezas e tampouco por elas guiados. Agimos apenas em conformidade com elas. Tampouco são a causa da compreensão. Nossa ânsia pela procura de fundamentos últimos para os significados da nossa linguagem poderia tê-las colocado no lugar das entidades de natureza empírica, transcendental ou social. Daí a necessidade de uma reflexão contínua, para não haver recaídas. Considerar as regras como sendo o fundamento último do significado de nossos conceitos, seria recair novamente na armadilha da concepção referencial da linguagem, pois estaríamos elegendo uma instância transcendental que tomaria o lugar do tribunal supremo da razão. Mas, segundo o filósofo, o que nos permite compreender as ações e palavras dos outros, podendo inclusive julgá-las, é um mesmo chão que compartilhamos. É a partir desse background comum herdado que somos capazes de distinguir entre o verdadeiro e o falso (cf. WITTGENSTEIN, DC, 94), e não através da comparação com objetos empíricos, de intuições transcendentais, acordos intersubjetivos ou determinados por um conjunto qualquer de regras. Mas como novas certezas vão sendo adquiridas? Eis o ponto que nos interessa no campo da educação matemática. Como se dá, por exemplo, a formação do conceito de triângulo na geometria? Os objetos da matemática não têm propriedades a serem descritas como ocorre com os objetos de natureza empírica. Para introduzir o conceito de triângulo recorremos a diversas formas triangulares como meios de apresentação, as quais passam a servir como regras para a utiliza-

17 A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein 321 ção da palavra triângulo. Uma vez formado o conceito, este prescinde da existência de formas triangulares para que tenha significado e possa ser aplicado. Nesse sentido, a definição da palavra triângulo um polígono fechado de três lados também pode ser vista como uma regra de utilização desta palavra. Dizer que triângulo é um polígono que tem três lados não é uma descrição de triângulo essa proposição define o que é um triângulo. Estabelece-se uma conexão interna entre conceitos. A palavra não se refere a algum ente ideal em um céu platônico, da mesma forma que azul não corresponde a algo inefável. A definição de um símbolo é apenas uma regra para o uso desse símbolo. Compreender a palavra triângulo é saber seguir a regra de utilização dessa palavra, e não a apreensão do que é triângulo (ou do que é azul ). As definições têm uso gramatical e não descritivo. Assim, aprender o significado de uma palavra pode consistir na aquisição de uma regra, ou um conjunto de regras, que governa seu uso dentro de um ou mais jogos de linguagem. Uma das conseqüências dessa idéia para a educação é que não há sentido em se ensinar um significado essencial de uma palavra independente de seus diversos usos. Uma palavra só adquire significado quando se opera com ela, ou seja, seguindo uma regra 4 em um determinado contexto lingüístico. Por exemplo, ao ouvir a palavra triângulo podemos entendê-la como uma placa de trânsito, pertencente a um conjunto de regras que nos obriga a dirigir um automóvel em conformidade com elas. Podemos também associar essa palavra a um determinado timbre musical, característico dos instrumentos metálicos. Já dentro do jogo de linguagem da geometria euclidiana esta palavra designa uma figura geométrica definida através de termos característicos desse jogo de linguagem (termos primitivos do sistema axiomático da geometria euclidiana). Da mesma forma, ao ouvir a palavra azul, podemos tanto recorrer a imagens mentais como a uma tabela que associa imagens de cores a seus respectivos no- 4 O conceito de regra aqui deve ser entendido num sentido bem geral: embora tenha função normativa, não se reduz a comando e ordens. As regras de nossa linguagem cotidiana, por exemplo, nos dizem o que é falar corretamente ou com sentido. São como padrões de correção, governando uma multiplicidade ilimitada de ocorrências.

18 322 Cristiane Gottschalk mes. Ao ouvir a palavra idêntico, podemos entendê-la no sentido de mesma altura (se estivermos pensando em medidas) ou como uma das normas da matemática. Associamos as palavras a técnicas diferentes, dependendo do contexto em que nos encontramos. No entanto, não são técnicas consensuais, produzidas a partir da interação espontânea entre um grupo de indivíduos, como a denominada microcultura de uma classe de aula. Estas técnicas mais elementares são ensinadas, fundamentalmente através de treino, e não de explicação. Não se reduzem, por conseguinte, a proposições descritivas, são de outra natureza. Uma criança ao aprender sua língua materna é imersa em uma forma de vida onde essas técnicas são essencialmente incorporadas através de treino. Ela aprende o uso de determinadas palavras sem que haja uma explicação a priori sobre os seus significados: Vem sentar aqui na cadeira!, Cuidado para não cair da cadeira!, e assim por diante. Em nossa cultura o conceito de cadeira vai sendo formado sem que haja a necessidade de se definir o conceito de cadeira, ou de que este seja incorporado através de acordos consensuais. Quando aprende a falar, a criança emprega tais formas primitivas de linguagem. Ensinar a linguagem aqui não é explicar mas treinar. (IF, 5) Como vemos, Wittgenstein chama nossa atenção para a importância do treino no aprendizado de uma linguagem. Há um terreno preparatório que não pode ser ignorado. É neste sentido que Wittgenstein faz uma conexão entre ensino e significado, ao contrário da interpretação de Cobb de que se trataria de um tipo de conexão de teor psicológico e social, que produziria espontaneamente significados ao longo de um processo de negociação intersubjetiva. Sem esse treino não há o que explicar, e muito menos como produzir significados. A questão filosófica que preocupava o filósofo era relativa às condições de sentido de nossas expressões lingüísticas e como estas são utilizadas: as formas lingüísticas não são apenas o meio de expressão do pensamento, mas, principalmente, formas que constituem e instauram os próprios objetos do pensamento: O que é um objeto, afirma Wittgenstein, é dito pela Gramática. (MORENO, 1995, p. 13) Aprendemos a falar através de um treino, e o que passamos a considerar como sendo nossas certezas inquestionáveis também o é ensinado, ou seja, apren-

19 A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein 323 demos convenções. Juntamente com o significado da palavra cadeira aprendemos, por exemplo, que a cadeira na qual estamos sentados existe, entre outras certezas, embora essa certeza não nos tenha sido dada através de explicações. Ao aprendermos uma língua toda uma imagem de mundo vem de roldão, certezas e convicções que incorporamos como nossas, sem nos darmos conta que são de natureza convencional. A matemática também é uma de nossas Gramáticas. Suas proposições têm função normativa, são certezas que não são passíveis de ser revisadas pela experiência. Embora estejam enraizadas em determinadas práticas e formas de vida, em um background em que são constituídos suas definições, axiomas e postulados, essas proposições não descrevem entidades abstratas, ou a realidade empírica e tampouco são produto de uma negociação interpessoal. Fazem parte de nossas certezas, constituindo também uma imagem do mundo, da mesma forma que as afirmações do senso comum (temos certeza de que o mundo existe há milhares de anos, de que existem montanhas e rios, etc.). No entanto, não constitui nossa primeira língua a ser aprendida. Não estamos inseridos em uma forma de vida onde cotidianamente demonstramos teoremas ou operamos com objetos matemáticos, da mesma forma que sentamos em cadeiras ou utilizamos copos para beber água. Ora, como vimos, há vertentes dentro do construtivismo que afirmam que os alunos imersos em uma atividade matemática consensualmente controlada, experienciaram a descoberta de relações (cf. COBB, op. Cit., p. 167), como se fosse possível, a partir de acordos de opiniões, chegar à redescoberta espontânea de objetos matemáticos. Mas de que forma uma construção social coletiva poderia levar à redescoberta de um objeto matemático? Por exemplo, por que deve-se esperar que o aluno aceite o quinto axioma de Euclides, conhecido como axioma das paralelas, como evidente? O que fundamenta essa evidência? Estaria baseada na experiência? Na razão? No consenso? Em uma de suas formulações, esse axioma afirma que, dada uma reta no plano, uma paralela por um ponto externo é uma reta que, mesmo prolongada indefinidamente de ambos os lados, nunca intercepta a outra. Por que essa afirmação seria evidente para o aluno? Esse aluno poderia imaginar várias retas superpostas,

20 324 Cristiane Gottschalk todas paralelas à primeira e passando pelo ponto dado; ou duas retas com orientações opostas passando por esse ponto; ou ainda é muito provável que imagine um ponto no espaço de três dimensões, sendo plenamente possível conceber infinitas retas passando por esse ponto e paralelas à reta dada. Enfim: Não são experimentos empíricos que esclarecem a evidência [do axioma das paralelas], pois, ainda que eles pudessem contradizer o axioma, continuaríamos a aceitálo como evidente. Podemos apresentar uma imagem como prova da evidência do axioma, e aceitá-la como prova significa atribuir uma determinada aplicação à imagem ou à proposição que a exprime: aplica-se a situações teóricas em que as linhas não se superpõem, não têm orientação e estão em um espaço plano; sem essa aplicação, a imagem não é uma prova e nem a proposição um axioma. (MORENO, 1995, p. 53) Um axioma não é evidente porque descreve algum fato ou por ser reflexo de alguma intuição, ou ainda por ser produto de um consenso entre pares de uma microcultura; mas por ter uma função normativa. Acreditar que tenha uma função descritiva é incorrer numa generalização indevida como, por exemplo, supor que sempre temos uma única reta paralela passando por um ponto fora de uma reta dada, independentemente do contexto em que essa proposição se enuncia. O axioma das paralelas é evidente, necessário, na geometria euclidiana. Nesse contexto atribuiu-se-lhe uma necessidade que não vigora em outra geometria como na de Riemann ou na de Lobatchevsky 5. Os axiomas e postulados da matemática podem ser vistos como regras, e não como intuições ou fatos evidentes. E da mesma forma todas as proposições que são deduzidas desses axiomas e postulados. Axiomas, postulados e definições são vistos por Wittgenstein como regras básicas (constitutivas) que não podem ser negadas; são consideradas proposições gramaticais. 5 Nessas outras geometrias, o quinto axioma de Euclides é substituído respectivamente por é possível passar mais de uma paralela a uma reta dada por um ponto fora dela (Lobachevsky) e por um ponto fora de uma reta dada não se pode traçar paralela alguma a esta reta (Riemann).

21 A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva de Wittgenstein 325 Se a demonstração nos convence, também temos que estar convencidos, então, dos axiomas. Não como o estamos de proposições empíricas; não é esse o seu papel. No jogo de linguagem, estão excluídos da verificação através da experiência. Não são proposições da experiência, mas princípios de juízo. (WITTGENSTEIN, OFM, VII, 73) Posto que uma proposição matemática é uma estipulação, ou um resultado de estipulações de acordo com um método definido, segue-se que todas as proposições matemáticas são proposições gramaticais. No entanto, embora Wittgenstein considere normativas todas as proposições da matemática, seus usos se distinguem em função dos jogos de linguagem específicos aos quais pertencem. A atividade matemática pode ser vista como uma família de atividades destinada a uma família de propósitos: A aritmética é um sistema de regras para a transformação de proposições empíricas que versam sobre quantidades e grandezas. As proposições da geometria não constituem descrições das propriedades do espaço, mas regras para a descrição das formas dos objetos empíricos e de suas relações espaciais. Uma prova matemática não é uma demonstração de verdades acerca da natureza dos números ou das formas geométricas, mas um caso de formação conceitual: ela determina uma nova regra para a transformação de proposições empíricas. (GLOCK, 1997, p. 33) As equações da matemática, por exemplo, são vistas por Wittgenstein como regras para a transformação de proposições empíricas, isto é, regras de substituição. Com = 4 estamos autorizados a passar de Há dois pares de sapatos no chão para Há quatro sapatos no chão. Se o número final de sapatos não for quatro, esse fato não invalida a expressão matemática. Nem as proposições da lógica nem as da matemática são asserções sobre fatos. São proposições que refletem as regras da linguagem; não estão sob a linguagem não são a face oculta de uma expressão descritiva. Apenas permitem ou proíbem certas inferências. Desse ponto de vista, a matemática não é descritiva, não se refere a nenhum tipo de realidade, apenas nos dá as condições necessárias para a compreensão do sentido de certos enunciados em determinados contextos. Por exemplo, dizer que por dois pontos passa uma reta é uma condição de sentido para qualquer afir-