ANÁLISE DE DADOS ANÁLISE PARCIAL DOS RESULTADOS DOS EXAMES NACIONAIS DO ENSINO SECUNDÁRIO DE Sérgio Sobral Nunes

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1 ANÁLISE DE DADOS ANÁLISE PARCIAL DOS RESULTADOS DOS EXAMES NACIONAIS DO ENSINO SECUNDÁRIO DE 2001 Sérgio Sobral Nunes Análise de Dados Mestrado em Gestão de Informação, Setembro de 2002

2 Índice 1 DESCRIÇÃO DOS DADOS ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO MEDIDAS DE ASSIMETRIA E ACHATAMENTO ANÁLISE DA CORRELAÇÃO ANÁLISE DE FACTORES/COMPONENTES PRINCIPAIS SELECÇÃO DAS VARIÁVEIS TESTES TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV TESTE ANOVA TESTE DE KRUSKAL-WALLIS CLASSIFICAÇÃO DE DADOS FORWARD STEPWISE BACKWARD STEPWISE AGLOMERAÇÃO DE DADOS AGLOMERAÇÃO HIERÁRQUICA ALGORITMO DAS C-MÉDIAS CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFIA

3 Índice de Gráficos GRÁFICO 1. DIAGRAMA DE EXTREMOS-E-QUARTIS... 7 GRÁFICO 2. HISTOGRAMA DA VARIÁVEL PTA_INTERNOS_ME... 8 GRÁFICO 3. HISTOGRAMA DA VARIÁVEL MAT_EXTERNOS_ME... 9 GRÁFICO 4. SCATTERPLOT: MAT_INTERNOS_ME VS MAT_EXTERNOS_ME... 9 GRÁFICO 5. SCATTERPLOT: MAT_INTERNOS_MCIF VS QUI_INTERNOS_MCIF GRÁFICO 6. SCATTERPLOT: MAT_INTERNOS_MCIF VS PTB_INTERNOS_MCIF GRÁFICO 7. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS EIGENVALUES GRÁFICO 8. TESTE K-S PARA A VARIÁVEL MAT_INTERNOS_ME (POR DISTRITO) GRÁFICO 9. DIAGRAMA DE EXTREMOS-E-QUARTIS PARA A VARIÁVEL BIO_INTERNOS_MCIF (POR DISTRITO) GRÁFICO 10. DIAGRAMA DE EXTREMOS-E-QUARTIS PARA A VARIÁVEL HIS_EXTERNOS_ME (POR DISTRITO)18 GRÁFICO 11. DIAGRAMA DE EXTREMOS-E-QUARTIS PARA A VARIÁVEL BIO_INTERNOS_ME (POR DISTRITO)19 GRÁFICO 12. AGLOMERAÇÃO DAS ESCOLAS USANDO O CRITÉRIO DE WARD GRÁFICO 13. AGLOMERAÇÃO DAS VARIÁVEIS USANDO O CRITÉRIO DE WARD GRÁFICO 14. C-MÉDIAS: GRÁFICO DAS MÉDIAS PARA CADA AGLOMERADO Índice de Tabelas TABELA 1. ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS PARA AS VARIÁVEIS CONTÍNUAS... 6 TABELA 2. COEFICIENTES DE ASSIMETRIA E ACHATAMENTO... 8 TABELA 3. EIGENVALUES TABELA 4. ANÁLISE DE FACTORES (8) TABELA 5. TESTES DE NORMALIDADE (K-S E L) TABELA 6. ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) TABELA 7. TESTE LSD PARA A VARIÁVEL BIO_INTERNOS_MCIF (POR DISTRITO) TABELA 8. TESTE LSD PARA A VARIÁVEL HIS_EXTERNOS_ME (POR DISTRITO) TABELA 9. TESTE DE KRUSKAL-WALLIS - SUMÁRIO TABELA 10. TESTE DE KRUSKAL-WALLIS PARA A VARIÁVEL BIO_INTERNOS_ME (POR DISTRITO) TABELA 11. VARIÁVEIS INCLUÍDAS NO MODELO USANDO SELECÇÃO SEQUENCIAL EM FRENTE TABELA 12. VARIÁVEIS EXCLUÍDAS DO MODELO USANDO SELECÇÃO SEQUENCIAL EM FRENTE TABELA 13. MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO (SELECÇÃO SEQUENCIAL EM FRENTE) TABELA 14. VARIÁVEIS EXCLUÍDAS DO MODELO USANDO SELECÇÃO SEQUENCIAL PARA TRÁS TABELA 15. C-MÉDIAS: ANÁLISE DE VARIÂNCIA

4 1 Descrição dos Dados Os dados correspondem aos resultados dos exames nacionais do ensino secundário de 2001 e foram obtidos junto do Departamento do Ensino Secundário do Ministério da Educação 1 em Abril de Os dados originais são referentes às duas chamadas e estão agrupados por escola (cerca de 600) e por exame (14 no total). Por razões de tempo fez-se uma selecção dos dados a analisar. Foram escolhidas as escolas pertencentes a um conjunto de distritos da região norte (Porto, Braga, Viana do Castelo e Aveiro) e aquelas onde se realizaram grande parte de um conjunto de exames seleccionados (Biologia, História, Matemática, Português A, Português B, Psicologia e Química). Obtivemos desta forma uma matriz densamente povoada. As situações em que uma escola não tinha um nota foram definidos como missing data (MD). No final obtivemos um conjunto de 154 casos (escolas) com 24 variáveis. As 3 primeiras variáveis são discretas e representam o código da escola (Código), o distrito (Distrito) e o conselho (Conselho). As restantes variáveis são contínuas e correspondem às médias das notas, numa escala de 0-200, por disciplina e tipo de prova. Assim, para cada disciplina temos 3 variáveis: a média no exame final dos alunos internos 2 (DISCIPLINA_Internos_ME), a média da classificação interna final dos alunos internos (DISCIPLINA_Internos_MCIF) e a média no exame final dos alunos externos 3 (DISCIPLINA_Externos_ME). Concluindo, temos as seguintes variáveis para cada disciplina: BIO_Internos_ME BIO_Internos_MCIF BIO_Externos_ME HIS_Internos_ME HIS_Internos_MCIF HIS_Externos_ME MAT_Internos_ME MAT_Internos_MCIF MAT_Externos_ME PTA_Internos_ME PTA_Internos_MCIF PTA_Externos_ME Biologia História Matemática Português A Alunos que fazem o exame na escola que frequentaram durante o ano lectivo. 3 Alunos que fazem o exame numa escola diferente da que frequentaram durante o ano lectivo. 4

5 PTB_Internos_ME PTB_Internos_MCIF PTB_Externos_ME PSI_Internos_ME PSI_Internos_MCIF PSI_Externos_ME QUI_Internos_ME QUI_Internos_MCIF QUI_Externos_ME Português B Psicologia Química Os casos estão classificados por distrito, freguesia e autonomia: pública ou privada (colégios, cooperativas, externatos, etc). Ao longo dos exercícios usámos a classificação natural por distritos. 5

6 2 Estatísticas Descritivas 2.1 Medidas de Localização Na Tabela 1 apresenta-se a Média, a Mediana, o Mínimo, o Máximo e o Desvio Padrão para as variáveis contínuas. Mean Median Minimum Maximum Std.Dev. BIO_Internos_ME 105, , , , ,37757 BIO_Internos_MCIF 141, , , ,0000 9,44697 BIO_Externos_ME 95, , , , ,09101 HIS_Internos_ME 108, , , , ,23664 HIS_Internos_MCIF 132, , , ,6154 9,20085 HIS_Externos_ME 86, , , , ,13483 MAT_Internos_ME 78, , , , ,87082 MAT_Internos_MCIF 126, , , ,0000 7,09491 MAT_Externos_ME 39, , , , ,50662 PTA_Internos_ME 113, , , , ,30197 PTA_Internos_MCIF 127, , , ,0000 9,14128 PTA_Externos_ME 92, , , , ,27026 PTB_Internos_ME 121, , , , ,32612 PTB_Internos_MCIF 127, , , ,8571 7,67409 PTB_Externos_ME 99, , , , ,44219 PSI_Internos_ME 115, , , , ,17569 PSI_Internos_MCIF 140, , , , ,28220 PSI_Externos_ME 98, , , , ,08968 QUI_Internos_ME 113, , , , ,63589 QUI_Internos_MCIF 137, , , ,0000 9,47334 QUI_Externos_ME 92, , , , ,86567 Tabela 1. Estatísticas descritivas para as variáveis contínuas Com base nesta tabela podemos fazer as seguintes afirmações: As médias da classificação interna final (MCIF) por disciplina são superiores às médias de exame (ME). As MCIF apresentam as variações mais baixas. Os alunos externos têm, com a excepção na matemática, uma maior dispersão nas classificações por disciplina. A média mais baixa é dos alunos externos no exame de matemática. A média mais alta é aquela obtida na classificação interna final (CIF) na disciplina de biologia. 6

7 O Gráfico 1 apresenta o diagrama de extermos-e-quartis para todas as médias. Recorrendo a este gráfico podemos avaliar a forma da distribuição dos dados e, sobretudo, comparar as diversas disciplinas. 200 Diagrama Extremos-e-Quartis BIO_Internos_ME BIO_Internos_MCIF BIO_Externos_ME HIS_Internos_ME HIS_Internos_MCIF HIS_Externos_ME MAT_Internos_ME MAT_Internos_MCIF MAT_Externos_ME PTA_Internos_ME PTA_Internos_MCIF PTA_Externos_ME PTB_Internos_ME PTB_Internos_MCIF PTB_Externos_ME PSI_Internos_ME PSI_Internos_MCIF PSI_Externos_ME QUI_Internos_ME QUI_Internos_MCIF QUI_Externos_ME Median 25%-75% Non-Outlier Range Outliers Extremes Gráfico 1. Diagrama de extremos-e-quartis A observação deste gráfico permite confirmar as observações feitas anteriormente no que diz respeito à dispersão dos dados. Repare-se na existência de vários outliners e extremos. 2.2 Medidas de Assimetria e Achatamento Como vimos pela análise anterior os dados apresentam variações significativas. Procuramos agora caracterizar com maior detalhe as dispersões, calculando o coeficiente de assimetria ( skewness ) e o coeficiente de achatamento ou kurtosis (Tabela 2). Skewness Kurtosis BIO_Internos_ME 0, , BIO_Internos_MCIF 0, , BIO_Externos_ME 0, ,

8 HIS_Internos_ME -0, , HIS_Internos_MCIF 0, , HIS_Externos_ME 0, , MAT_Internos_ME 0, , MAT_Internos_MCIF 1, , MAT_Externos_ME 1, , PTA_Internos_ME -0, , PTA_Internos_MCIF 1, , PTA_Externos_ME -0, , PTB_Internos_ME 0, , PTB_Internos_MCIF 1, , PTB_Externos_ME 0, , PSI_Internos_ME 0, , PSI_Internos_MCIF 0, , PSI_Externos_ME 0, , QUI_Internos_ME -0, , QUI_Internos_MCIF 0, , QUI_Externos_ME 0, , Tabela 2. Coeficientes de assimetria e achatamento De uma forma geral as variáveis aproximam-se da distribuição normal. Sendo a PTA_Internos_ME (Gráfico 2) aquela que fica mais próxima e a MAT_Externos_ME (Gráfico 3) mais afastada, apresentando-se ligeiramente assimétrica à direita e leptocúrtica. 90 Histograma: PTA_Internos_ME K-S d=,05137, p>.20; Lilliefors p>.20 Expected Normal Gráfico 2. Histograma da variável PTA_Internos_ME 8

9 110 Histograma: MAT_Externos_ME K-S d=,10545, p<,10 ; Lilliefors p<,01 Expected Normal Análise da Correlação Gráfico 3. Histograma da variável MAT_Externos_ME Devido ao número elevado de variáveis vamos procurar eliminar aquelas que apresentam correlações entre si. Depois de analisar a matriz de correlações identificámos os caso mais significativos, que apresentamos nos gráficos seguintes. 120 Scatterplot: MAT_Internos_ME vs MAT_Externos_Me MAT_Externos_ME = 8,2775+0,4003*MAT_Internos_ME Correlação: r = 0, MAT_Externos_ME MAT_Internos_ME Gráfico 4. Scatterplot: MAT_Internos_ME vs MAT_Externos_ME 9

10 180 Scatterplot: MAT_Internos_MCIF vs QUI_Internos_MCIF QUI_Internos_MCIF = 43, ,7424 * MAT_Internos_MCIF Correlação: r = 0, QUI_Internos_MCIF MAT_Internos_MCIF Gráfico 5. Scatterplot: MAT_Internos_MCIF vs QUI_Internos_MCIF 160 Scatterplot: MAT_Internos_MCIF vs PTB_Internos_MCIF PTB_Internos_MCIF = 52, ,5922 * MAT_Internos_MCIF Correlação: r = 0, PTB_Internos_MCIF MAT_Internos_MCIF Gráfico 6. Scatterplot: MAT_Internos_MCIF vs PTB_Internos_MCIF 10

11 2.4 Análise de Factores/Componentes Principais Com a análise de factores ( Factor Analysis ) procurou-se avaliar a estrutura interna das variáveis por forma a reduzir o número de variáveis do nosso caso. Depois de obter a matriz de correlações foram calculados os eigenvalues (Tabela 3). Eigenvalue % Total Cumulative Cumulative 1 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0000 Tabela 3. Eigenvalues Como se pode observar, a partir do 8º factor, os eigenvalues apresentam valores menores do que 1. No entanto, apenas conseguem explicar 65,9% da variância, o que não é significativo. O recurso a um gráfico dos eigenvalues (Gráfico 7) permite clarificar os resultados. 11

12 5,5 Plot of Eigenvalues 5,0 4,5 4,0 3,5 Value 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 Number of Eigenvalues Gráfico 7. Representação gráfica dos eigenvalues De acordo com o critério de Kaiser escolheríamos 8 factores e, de acordo com o teste de scree (proposto por Cattell), escolheríamos 13 (ponto a partir do qual as contribuições dos eigenvalues começam a ser reduzidas). No entanto, é importante referir a característica atípica dos nossos dados: existe um elevado número de variáveis e não parece haver nenhuma tendência clara. Assim, realizamos experiências com diferentes valores para o número de factores a usar, nomeadamente: 8 (Tabela 4), 13 e

13 Tabela 4. Análise de factores (8) Como se pode observar pela tabela correspondente à análise com 8 factores, os resultados são demasiado dispersos para se conseguir identificar qualquer padrão. Resultados igualmente dispersos foram obtidos com 13 e 14 factores. 2.5 Selecção das Variáveis Nesta secção procurámos avaliar as relações entre as diversas variáveis, por forma a reduzir o número total de variáveis. No entanto, quer os resultados da análise de correlação, quer os resultados da análise de factores não revelaram nenhuma dependência significativa entre as variáveis. Assim, optámos por prosseguir o trabalho usando todas as variáveis iniciais. 13

14 3 Testes 3.1 Teste de Kolmogorov-Smirnov Este é um teste de qualidade de ajuste que permite ajuizar do grau de concordância entre uma distribuição observada e uma dada distribuição teórica. É um teste não paramétrico que não assume à partida qualquer forma conhecida de distribuição. (Marques de Sá, 1993) No nosso caso vamos realizar o teste às 21 variáveis correspondentes às médias, categorizando por distrito. Por exemplo, no Gráfico 8 apresenta-se o teste para a variável MAT_Internos_ME: Formulação das Hipóteses: H 0 : F(x) = F 0 (x) (a variável MAT_Internos_ME segue a distribuição normal) H 1 : F(a) F 0 (x) α = 5% (nível de significância do teste) Histogram (Exames.sta 24v*154c) Distrito: Braga MAT_Internos_ME = 32*10*normal(x; 75,8853; 16,963) Distrito: Porto MAT_Internos_ME = 73*10*normal(x; 77,8803; 17,1305) Distrito: Viana do Castelo MAT_Internos_ME = 17*10*normal(x; 81,6222; 15,5415) Distrito: Aveiro MAT_Internos_ME = 32*10*normal(x; 80,9784; 17,0627) Distrito: Braga Distrito: Porto Distrito: Viana do Castelo MAT_Internos_ME Distrito: Aveiro Gráfico 8. Teste K-S para a variável MAT_Internos_ME (por distrito) 14

15 Distrito: Braga MAT_Internos_ME: D = 0, , p < n.s., Lilliefors-p < 1 Distrito: Porto MAT_Internos_ME: D = 0, , p < n.s., Lilliefors-p < 0, Distrito: Viana do Castelo MAT_Internos_ME: D = 0, , p < n.s., Lilliefors-p < 0, Distrito: Aveiro MAT_Internos_ME: D = 0, , p < n.s., Lilliefors-p < 1 Observando os resultados vemos que a hipótese nula não é rejeitada em nenhum dos distritos, pelo que a variável MAT_Internos_ME segue uma distribuição Normal. Na Tabela 5 apresentamos os resultados dos testes para todas as outras variáveis. Variáveis Braga Porto Viana do Castelo Aveiro p p p p D 5 D D D K-S 6 L 7 K-S L K-S L K-S L H 4 BIO_Internos_ME 0,073 <n.s. 8 <1 0,101 <n.s. <0,1 0,153 <n.s. <1 0,159 <n.s. <0,05 H 1 BIO_Internos_MCIF 0,144 <n.s. <0,15 0,081 <n.s. <1 0,146 <n.s. <1 0,124 <n.s. <1 H 0 BIO_Externos_ME 0,079 <n.s. <1 0,095 <n.s. <0,1 0,078 <n.s. <1 0,158 <n.s. <0,05 H 1 HIS_Internos_ME 0,135 <n.s. <0,2 0,111 <n.s. <0,05 0,154 <n.s. <1 0,101 <n.s. <1 H 1 HIS_Internos_MCIF 0,099 <n.s. <1 0,095 <n.s. <0,15 0,13 <n.s. <1 0,115 <n.s. <1 H 0 HIS_Externos_ME 0,09 <n.s. <1 0,075 <n.s. <1 0,19 <n.s. <0,15 0,087 <n.s. <1 H 0 MAT_Internos_ME 0,099 <n.s. <1 0,099 <n.s. <0,1 0,182 <n.s. <0,15 0,114 <n.s. <1 H 0 MAT_Internos_MCIF 0,109 <n.s. <1 0,104 <n.s. <0,1 0,094 <n.s. <1 0,102 <n.s. <1 H 0 MAT_Externos_ME 0,222 <0,1 <0,01 0,075 <n.s. <1 0,2 <n.s. <0,1 0,146 <n.s. <0,1 H 1 PTA_Internos_ME 0,12 <n.s. <1 0,05 <n.s. <1 0,13 <n.s. <1 0,143 <n.s. <0,15 H 0 PTA_Internos_MCIF 0,115 <n.s. <1 0,098 <n.s. <0,1 0,138 <n.s. <1 0,139 <n.s. <0,15 H 0 PTA_Externos_ME 0,127 <n.s. <1 0,099 <n.s. <0,1 0,128 <n.s. <1 0,138 <n.s. <0,15 H 0 PTB_Internos_ME 0,166 <n.s. <0,05 0,086 <n.s. <1 0,121 <n.s. <1 0,145 <n.s. <0,1 H 1 PTB_Internos_MCIF 0,21 <0,1 <0,01 0,108 <n.s. <0,05 0,22 <n.s. <0,05 0,154 <n.s. <0,1 H 1 PTB_Externos_ME 0,165 <n.s. <0,05 0,071 <n.s. <1 0,149 <n.s. <1 0,087 <n.s. <1 H 1 PSI_Internos_ME 0,143 <n.s. <0,15 0,086 <n.s. <1 0,095 <n.s. <1 0,123 <n.s. <1 H 0 PSI_Internos_MCIF 0,17 <n.s. <0,05 0,089 <n.s. <0,2 0,183 <n.s. <0,15 0,117 <n.s. <1 H 1 PSI_Externos_ME 0,133 <n.s. <0,2 0,152 <0,1 <0,01 0,155 <n.s. <1 0,131 <n.s. <0,2 H 1 QUI_Internos_ME 0,103 <n.s. <1 0,054 <n.s. <1 0,161 <n.s. <1 0,137 <n.s. <0,15 H 0 QUI_Internos_MCIF 0,124 <n.s. <1 0,068 <n.s. <1 0,113 <n.s. <1 0,074 <n.s. <1 H 0 QUI_Externos_ME 0,084 <n.s. <1 0,09 <n.s. <1 0,168 <n.s. <1 0,139 <n.s. <0,15 H 0 Tabela 5. Testes de normalidade (K-S e L) No total das 21 variáveis analisadas, em 9 delas foi rejeitada a hipótese nula (distribuição normal) com 95% de confiança. 4 Hipótese: H 0 Aceite, segue a distribuição normal; H 1 Rejeitada, não segue a distribuição normal. 5 Desvio máximo (max F 0 (x) F(x) ). 6 Valor de p no Teste de Kolmogorov-Smirnov. 7 Valor de p no Teste de Lillefors. 8 Não significativo. 15

16 De seguida vamos aplicar o teste ANOVA às variáveis cuja a hipótese 0 não foi rejeitada e o teste de Kruskal-Wallis às restantes. 3.2 Teste ANOVA Recorrendo ao teste de Análise de Variância (ANOVA) para categorias fixas e usando uma variável de classificação (Distrito), podemos inferir sobre a igualdade das médias em cada uma das populações (distritos). Assim, temos a seguinte hipótese nula: H 0 : µ Braga = µ Porto = µ Viana = µ Aveiro H1: ~H 0 α = 5% (nível de significância do teste) Na Tabela 6 são apresentados os resultados do teste. SS df MS SS df MS F p BIO_Internos_MCIF 1192, , , ,8680 4, , HIS_Internos_MCIF 424, , , ,5067 1, , HIS_Externos_ME 6137, , , ,3385 3, , MAT_Internos_ME 608, , , ,2570 0, , MAT_Internos_MCIF 68, , , ,8847 0, , PTA_Internos_ME 581, , , ,2442 0, , PTA_Internos_MCIF 340, , , ,9432 1, , PTA_Externos_ME 164, , , ,9839 0, , PSI_Internos_ME 217, , , ,6505 0, , QUI_Internos_ME 217, , , ,9056 0, , QUI_Internos_MCIF 115, , , ,7934 0, , QUI_Externos_ME 1487, , , ,3460 0, , Tabela 6. Análise de variância (ANOVA) Observa-se que para as variáveis BIO_Internos_MCIF e HIS_Externos_ME a hipótese nula é rejeitada com 95% de confiança, isto é, as médias não são igual em todos os distritos. Para as restantes variáveis as médias são iguais nos 4 distritos (a hipótese nula não é rejeitada). Usando o teste LSD (equivalente ao t-test para amostras independentes e baseado no número de elementos de cada grupo), é possível identificar as diferenças mais significativas entre os distritos. No caso da variável BIO_Internos_MCIF (Tabela 7) verificámos que as principais diferenças são ao nível do Braga e Porto, enquanto que a 16

17 variável HIS_Externos_ME (Tabela 8) apresenta diferenças significativas nos distritos de Viana e Aveiro. {1} M=140 {2} M=144,4 {3} M=141,3 {4} M=137,4 Braga {1} 0, , , Porto {2} 0, , , Viana do Castelo {3} 0, , , Aveiro {4} 0, , , Tabela 7. Teste LSD para a variável BIO_Internos_MCIF (por Distrito) {1} M=77,9 {2} M=84,8 {3} M=100,4 {4} M=91,9 Braga {1} 0, , , Porto {2} 0, , , Viana do Castelo {3} 0, , , Aveiro {4} 0, , , Tabela 8. Teste LSD para a variável HIS_Externos_ME (por Distrito) Os gráficos de extremos-e-quartis permitem confirmar visualmente estas afirmações (Gráfico 9 e Gráfico 10). 148 Categ. Box & Whisker Plot: BIO_Internos_MCIF BIO_Internos_MCIF Braga Viana do Castelo Porto Aveiro Distrito Mean ±SE ±1,96*SE Gráfico 9. Diagrama de extremos-e-quartis para a variável BIO_Internos_MCIF (por Distrito) 17

18 120 Categ. Box & Whisker Plot: HIS_Externos_ME 110 HIS_Externos_ME Braga Viana do Castelo Porto Aveiro Distrito Mean ±SE ±1,96*SE Gráfico 10. Diagrama de extremos-e-quartis para a variável HIS_Externos_ME (por Distrito) 3.3 Teste de Kruskal-Wallis O teste de Kruskal-Wallis é uma versão não paramétrica do ANOVA para dados independentes, é o mais potente dos testes não paramétricos para dados independentes. A hipótese nula é a das medianas de c populações serem iguais. (Marques de Sá, 1993) Por outras palavras, com este teste verifica-se a hipótese das diferentes amostras terem sido obtidas a partir da mesma distribuição, ou a partir de distribuições com a mesma mediana. Na Tabela 9 apresenta-se um sumário dos resultados do teste para as 9 variáveis. BIO_Internos_ME H ( 3, N= 149) =16,38118 p =,0009 BIO_Externos_ME H ( 3, N= 153) =7, p =,0468 HIS_Internos_ME H ( 3, N= 152) =1, p =,7064 MAT_Externos_ME H ( 3, N= 152) =, p =,8949 PTB_Internos_ME H ( 3, N= 154) =, p =,8055 PTB_Internos_MCIF H ( 3, N= 154) =1, p =,7058 PTB_Externos_ME H ( 3, N= 148) =1, p =,6811 PSI_Internos_MCIF H ( 3, N= 152) =1, p =,6829 PSI_Externos_ME H ( 3, N= 152) =1, p =,7015 Tabela 9. Teste de Kruskal-Wallis - Sumário 18

19 O resultado do teste para a variável BIO_Internos_ME apresenta um nível de significância muito elevado (p=,0009), no caso da variável BIO_Externos_ME a hipótese nula também é rejeitada (0,0468<0,05). Para as restantes variáveis a hipótese nula não é rejeitada. O teste de Kruskal-Wallis (Tabela 10) e o diagrama de Extremos-e-quartis (Gráfico 11) para a variável BIO_Internos_ME é apresentado de seguida. Code Valid Sum of Braga ,500 Porto ,500 Viana do Castelo ,000 Aveiro ,000 Tabela 10. Teste de Kruskal-Wallis para a variável BIO_Internos_ME (por Distrito) 150 Boxplot by Group Variable: BIO_Internos_ME BIO_Internos_ME Braga Viana do Castelo Porto Aveiro Distrito Median 25%-75% Min-Max Gráfico 11. Diagrama de extremos-e-quartis para a variável BIO_Internos_ME (por Distrito) Concluindo, as variáveis BIO_Internos_ME e BIO_Externos_ME apresentam valores diferentes em função do distrito, sendo isso mais evidente na primeira. 19

20 4 Classificação de Dados Nesta secção procuramos, recorrendo a técnicas de classificação estatística, discriminar em classes (distritos) os casos (escolas), observando as características destes. Vamos procurar identificar as variáveis que melhor caracterizam cada escola tendo em vista a discriminação por distritos. Experimentámos técnicas de selecção sequencial em frente e para trás. 4.1 Forward Stepwise Na selecção sequencial em frente, vão sendo acrescentadas, uma a uma, por ordem crescente de capacidade discriminante as características seleccionadas para análise. O algoritmo termina quando é identificada a primeira característica que não tem capacidade discriminante. Os resultados são apresentados na Tabela 11 e Tabela 12. Wilks' Partial F-remove p-level Toler. 1-Toler. BIO_Internos_ME 0, , , , , , BIO_Internos_MCIF 0, , , , , , HIS_Externos_ME 0, , , , , , BIO_Externos_ME 0, , , , , , PTA_Internos_MCIF 0, , , , , , HIS_Internos_MCIF 0, , , , , , MAT_Internos_ME 0, , , , , , PTA_Internos_ME 0, , , , , , PSI_Internos_MCIF 0, , , , , , QUI_Internos_MCIF 0, , , , , , Tabela 11. Variáveis incluídas no modelo usando selecção sequencial em frente Wilks' Partial F to p-level Toler. 1-Toler. HIS_Internos_ME 0, , , , , , MAT_Internos_MCIF 0, , , , , , MAT_Externos_ME 0, , , , , , PTA_Externos_ME 0, , , , , , PTB_Internos_ME 0, , , , , , PTB_Internos_MCIF 0, , , , , , PTB_Externos_ME 0, , , , , , PSI_Internos_ME 0, , , , , ,

21 PSI_Externos_ME 0, , , , , , QUI_Internos_ME 0, , , , , , QUI_Externos_ME 0, , , , , , Tabela 12. Variáveis excluídas do modelo usando selecção sequencial em frente Avaliando o modelo criado, verificamos que a capacidade de classificação é baixa (Tabela 13). Em relação ao distrito do Porto, apenas 67,8% dos casos foram correctamente classificados e para os restantes distritos a taxa de sucesso fica abaixo dos 50%. Percent Braga Porto Viana do Castelo Aveiro Braga 37, Porto 67, Viana do Castelo 40, Aveiro 48, Total 54, Tabela 13. Matriz de classificação (selecção sequencial em frente) Concluindo, não foi possível obter um classificador com resultados satisfatórios. 4.2 Backward Stepwise No método de selecção sequencial para trás, vão sendo retiradas, uma a uma, por ordem decrescente de capacidade discriminante as características seleccionadas para análise. O algoritmo termina quando é identificada a primeira característica sem capacidade discriminante. Seguindo este algoritmo, nenhuma variável foi seleccionada. Podemos observar, na tabela com os valores não incluídos (Tabela 14) (neste caso todos), os elevados valores de Wilk s lambda (muito próximos de 1), o que traduz o fraco poder discriminatório das variáveis. Wilks' Partial F to p-level Toler. 1-Toler. QUI_Internos_ME 0, , , , , ,00 PTB_Internos_MCIF 0, , , , , ,00 PSI_Externos_ME 0, , , , , ,00 MAT_Externos_ME 0, , , , , ,00 QUI_Externos_ME 0, , , , , ,00 PSI_Internos_ME 0, , , , , ,00 PTA_Externos_ME 0, , , , , ,00 21

22 PTB_Externos_ME 0, , , , , ,00 MAT_Internos_MCIF 0, , , , , ,00 PTB_Internos_ME 0, , , , , ,00 HIS_Internos_ME 0, , , , , ,00 QUI_Internos_MCIF 0, , , , , ,00 PSI_Internos_MCIF 0, , , , , ,00 PTA_Internos_ME 0, , , , , ,00 MAT_Internos_ME 0, , , , , ,00 BIO_Internos_MCIF 0, , , , , ,00 HIS_Externos_ME 0, , , , , ,00 BIO_Externos_ME 0, , , , , ,00 HIS_Internos_MCIF 0, , , , , ,00 PTA_Internos_MCIF 0, , , , , ,00 BIO_Internos_ME 0, , , , , ,00 Tabela 14. Variáveis excluídas do modelo usando selecção sequencial para trás Concluindo, neste caso, não foi possível produzir nenhum modelo. 22

23 5 Aglomeração de Dados 5.1 Aglomeração Hierárquica Aplicámos os mecanismos de aglomeração hierárquica nos 154 casos utilizando as 21 variáveis associadas às médias nas disciplinas (todas na mesma escala 0-200). Foram testados vários critérios na aplicação dos algoritmos de aglomeração hierárquica, nomeadamente: Single e Complete Linkage Unweighted e Weighted pair-group average Unweighted e Weightef pair-group centroid Ward Depois de analisar cada um dos resultados, optamos por seleccionar o critério de Ward com distâncias Euclidianas (Gráfico 12). Tree Diagram for 120 Cases Ward`s method Euclidean distances Linkage Distance Gráfico 12. Aglomeração das escolas usando o critério de Ward Apesar de ser possível identificar no gráfico alguns agrupamentos, uma análise detalhada não revelou nenhum padrão coerente. Procurámos semelhanças ao nível da 23

24 localização geográfica (conselho/distrito, litoral/interior), no tipo de autonomia da escola (pública, privada), nas médias nas disciplinas, mas não identificamos nenhuma característica comum nos casos agrupados. De notar que, mesmo isolando as características mais discriminantes (identificadas na secção anterior), os resultados são semelhantes a estes. Depois de aplicar a aglomeração hierárquica aos casos, procurámos estudar as relações entre as variáveis usando este método. Os resultados da aplicação do critério de Ward, usando distâncias Euclidianas, às variáveis associadas às médias, são apresentados no Gráfico 13. BIO_Internos_ME HIS_Internos_ME QUI_Internos_ME PTA_Internos_ME PTB_Internos_ME PSI_Internos_ME BIO_Externos_ME HIS_Externos_ME MAT_Internos_ME QUI_Externos_ME PTA_Externos_ME PTB_Externos_ME PSI_Externos_ME MAT_Externos_ME BIO_Internos_MCIF PSI_Internos_MCIF QUI_Internos_MCIF HIS_Internos_MCIF MAT_Internos_MCIF PTB_Internos_MCIF PTA_Internos_MCIF Tree Diagram for Variables Ward`s method Euclidean distances Linkage Distance Gráfico 13. Aglomeração das variáveis usando o critério de Ward Neste caso é possível identificar com grande clareza a lógica dos agrupamentos. As médias foram agrupadas de acordo com a natureza do aluno (interno/externo) e da classificação (exame ou interna final). Destacam-se duas situações anormais : as médias de matemática dos alunos internos e dos alunos externos. Em particular a variável MAT_Externos_ME encontra-se relativamente afastada do seu grupo natural. 24

25 5.2 Algoritmo das C-Médias De acordo com os resultados anteriores, experimentámos vários valores para o número de clusters a criar pelo algoritmo das C-Médias, nomeadamente: 2, 3 e 4. Os resultados mais satisfatórios foram aqueles obtidos com 2 clusters (Gráfico 14). É possível constatar que o cluster 2 apresenta notas mais elevadas do que o cluster 1, de uma forma consistente (apenas duas excepções). 180 Plot of Means for Each Cluster BIO_Internos_MCIF HIS_Internos_ME HIS_Externos_ME MAT_Internos_MCIF PTA_Internos_ME PTA_Externos_ME Variables PTB_Internos_MCIF PSI_Internos_ME PSI_Externos_ME QUI_Internos_MCIF Cluster 1 Cluster 2 Gráfico 14. C-Médias: Gráfico das médias para cada aglomerado Between df Within df F signif. BIO_Internos_ME 922, , , , BIO_Internos_MCIF 38, , , , BIO_Externos_ME 4820, , , , HIS_Internos_ME 2317, , , , HIS_Internos_MCIF 662, , , , HIS_Externos_ME 7819, , , , MAT_Internos_ME 10382, , , , MAT_Internos_MCIF 881, , , , MAT_Externos_ME 3005, , , , PTA_Internos_ME 3099, , , , PTA_Internos_MCIF 277, , , ,

26 PTA_Externos_ME 7505, , , , PTB_Internos_ME 2619, , , , PTB_Internos_MCIF 277, , , , PTB_Externos_ME 3819, , , , PSI_Internos_ME 2106, , , , PSI_Internos_MCIF 576, , , , PSI_Externos_ME 1185, , , , QUI_Internos_ME 13393, , , , QUI_Internos_MCIF 1804, , , , QUI_Externos_ME 24423, , , , Tabela 15. C-Médias: Análise de variância A observação das escolas seleccionadas para cada cluster não revela nenhuma característica comum entre elas. Analisando a variância associada a cada variável (Tabela 15), é possível afirmar que as variáveis mais determinantes para a criação dos clusters foram: MAT_Internos_ME, QUI_Internos_ME e QUI_Externos_ME, pois apresentam os valores mais elevados de F. 26

27 6 Conclusão A principal conclusão que advém do nosso trabalho é o facto de não haver diferenças significativas entre as escolas em função dos distritos, freguesia ou autonomia. Verificou-se que não é possível fazer uma discriminação tendo por base as médias das diversas disciplinas e tipos de alunos. Pode afirmar-se que as escolas, nos distritos seleccionados e observando as médias, não apresentam diferenças significativas entre elas. Por outro lado, é possível identificar diferenças significativas nas médias em função do tipo de aluno e exame. Os ensaios de aglomeração nas variáveis separaram as médias em três grupos: as dos alunos internos no exame, as dos alunos internos na classificação interna final e as dos alunos externos. É interessante verificar que os alunos externos apresentam médias mais baixas que os alunos internos para o mesmo exame. Observando o caso dos alunos internos, verifica-se que a média do exame final é inferior à média da CIF. Isto é, na mesma disciplina, os alunos têm notas mais baixas no exame nacional do que na escola no final do ano lectivo. Foi também possível identificar a situação de excepção do exame de matemática, cuja média se situa (sobretudo nos alunos externos) significativamente abaixo do esperado. Outra situação interessante é a elevada variância que se observa nas médias a cada disciplina. Em relação aos objectivos da disciplina, este trabalho permitiu aplicar num caso concreto as técnicas exploradas durante as aulas de Análise Matemática e aprofundar os conhecimentos sobre a aplicação STATISTICA. Foi possível, desta forma, confirmar as potencialidades da ferramenta na análise de dados. 27

28 7 Referências Marques de Sá, J. P. Análise de Dados. DEEC (1993). Sebenta da disciplina com o mesmo nome do Mestrado em Gestão de Informação da FEUP, edição

29 8 Bibliografia Campos Guimarães, R., Sarsfield Cabral, J. Estatística. McGraw-Hill (1998). 29