EXPERIMENTAÇÃO ALEATÓRIA: JOGANDO COM OS POLIEDROS DE PLATÃO

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1 EXPERIMENTAÇÃO ALEATÓRIA: JOGANDO COM OS POLIEDROS DE PLATÃO Cátia Cândida de Almeida Universidade Bandeirante de São Paulo Josias Nogueira Badaró Universidade Bandeirante de São Paulo Michel da Costa Universidade Bandeirante de São Paulo Verônica Yumi Kataoka Universidade Bandeirante de São Paulo Resumo: Esse minicurso tem como objetivo apresentar uma sequência de ensino que possa auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de Probabilidade e Estatística, por meio de um jogo, com a utilização dos Poliedros de Platão e suporte da Filosofia e História da Matemática. Essa atividade possibilita também a integração do estudo dos sólidos nas aulas de Geometria. Palavras-chave: Poliedros de Platão; Experimentação aleatória; Probabilidade; História da Matemática. INTRODUÇÃO De acordo com a orientação dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), no ensino da Matemática (BRASIL, 1998), é recomendado que sejam abordados tópicos de Probabilidade e Estatística desde as séries iniciais, estimulando a prática da coleta de dados, organização de informações em tabelas e gráficos, utilização de medidas de tendência central, medidas de dispersão, bem como o trabalho com as ideias intuitivas de probabilidades. Indica também a necessidade de que sejam desenvolvidas atividades que levem os alunos a compreender que, muitos fenômenos da natureza e da vida cotidiana das pessoas, não são determinísticos, e que podem ser modelados, atribuindo probabilidades aos possíveis resultados, permitindo a tomada de decisões em condições de incerteza. 1

2 Essas recomendações estão em consonância com as necessidades de conhecimento estatístico do cidadão no seu cotidiano, já que o mesmo é confrontado com informações que exigem a leitura e interpretação de dados. Assim, para que as pessoas sejam capazes de compreender e pensar criticamente sobre as informações, é necessário vivenciar ainda na escola, atividades que abordem conceitos de Probabilidade e Estatística. Segundo Batanero (2005), o aluno constrói significado intuitivo de probabilidade quando ele utiliza em seu cotidiano, expressões coloquiais para quantificar o sucesso ou insucesso de um determinado evento. Coutinho (2001); Batanero e Godino (2002) propõem que a construção dos conceitos probabilísticos deve ser feita a partir da compreensão de suas três noções básicas: percepção do acaso, ideia de experiência aleatória e noção de probabilidade. No caso da experimentação aleatória, a utilização de materiais concretos como auxilio de atividades desenvolvidas com os alunos, não pode ser indiscriminada e deve ser feita com plena consciência da estratégia e do jeito que os materiais podem dar apoio ao logro do propósito educativo (Hernandez, Kataoka e Oliviera, 2007). Segundo Monteiro, citado por Ribeiro (2005), "Alguns professores acreditam que o simples fato de usar o material concreto torna suas aulas 'construtivistas' e que isso garante a aprendizagem. Muitas vezes o estudante, além de não entender o conteúdo trabalhado, não compreende por que o material está sendo usado. No caso dos dados, o objeto "dado", a noção de "dado" é muito perto da realidade do aluno. Nesse contexto, esse minicurso tem como objetivo apresentar uma atividade didática, denominada Experimentação Aleatória: Jogando com os Poliedros de Platão, que utilizam dados com números de faces diferentes e abordam alguns tópicos de Probabilidade e Estatística. A nossa proposta parte do jogo pelo fato de que seja qual for o tipo, sempre causa interesse nas crianças e adolescentes. Mesmo nos tempos atuais, em que existe uma grande atração pelos jogos eletrônicos (videogame), os jogos tradicionais sempre conseguem mobilizar os jovens. Nos jogos tradicionais, os dados são amplamente utilizados, principalmente na sua forma mais comum, o dado cúbico que é um poliedro regular de seis faces. 2

3 No entanto, existem outros poliedros que também são utilizados como dados e pouco conhecidos, fora dos grupos de praticantes de RPG - Role Playing Game ou Jogo de Interpretação de Papéis. Nesse conjunto de poliedros, destacam-se os poliedros de quatro, oito, doze e vinte faces, que junto com o tradicional de seis faces, constituem os Poliedros (ou Sólidos) de Platão, conforme a Figura 1. Os Poliedros de Platão são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes, ou seja, todas as faces têm o mesmo número de arestas e de cada vértice sempre parte o mesmo número de arestas. Figura 1: Os poliedros de Platão Os gregos acreditavam que os quatro elementos fundamentais da Natureza eram agregados de sólidos minúsculos, que tinham que ser perfeitos. Platão associou cada um dos poliedros a um dos quatro elementos fundamentais: o tetraedro ao fogo, o hexaedro a terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro seria o Cosmos. As relações dos poliedros regulares com a natureza não se restringem aos pensamentos de Platão. Recentemente, pesquisadores descobriram cristais nas formas de tetraedro, hexaedro e octaedro e esqueletos de animais marinhos microscópicos na forma de icosaedro e dodecaedro. 3

4 PROPOSTA DE APLICAÇÃO Propomos a utilização desta atividade para turmas que estejam iniciando o estudo de Probabilidade, independentemente da série onde tal conteúdo esteja sendo desenvolvido. Para aplicar a atividade serão necessárias duas aulas (45 minutos/cada). Antes de iniciar a primeira aula, o professor precisa ter os seguintes materiais: dados poliédricos regulares, que podem ser adquiridos em lojas de materiais de esportes ou construídos de papel por meio de dados planificados, fichas com tabelas de dupla entrada, lápis e borracha. Primeira aula - explorando os dados poliédricos Na primeira aula, o professor deve apresentar os dados poliédricos contando a história dos Poliedros de Platão. É importante ressaltar as formas regulares dos dados poliédricos, mostrando aos alunos que quando esse tipo de dado é jogado, todas as faces têm a mesma possibilidade de ficar para cima, ou para baixo, no caso do tetraedro. O próximo passo é a entrega dos dados aos alunos e deixá-los manipular a vontade, para em seguida entregar a Ficha 1 e investigar por meio de perguntas que tipos de registros os alunos podem fazer nela, quando utilizam apenas dois dados em cada jogada. Um exemplo de tabela de dupla entrada pode ser construído colocando-se na coluna as faces de um dado e na linha a quantidade de vezes que a face apareceu numa sequencia de jogadas. O professor deve registrar as opiniões dos alunos no quadro, e tendo em mente a tabela de dupla entrada, propor a utilização da Ficha 1 (Anexo) para registro da atividade e para delimitar o tempo, pode determinar, por exemplo, 20 jogadas para definição de um evento. Os alunos jogam os dados e todos registram os resultados, de acordo com o que foi combinado nas respectivas fichas. Para encerrar a aula, o professor pode propor uma discussão sobre as atividades e apresentar de maneira mais formal os conceitos de espaço amostral, evento e tabela de dupla entrada. 4

5 Segunda aula Jogando com os dados poliédricos de Platão Na segunda aula, o professor inicia com discussões sobre a noção de construção de espaço amostral com os dados poliédricos, remetendo as ideias apresentadas na primeira aula. Depois entrega apenas dois dados poliédricos para cada grupo de alunos, juntamente com o espaço amostral construído, como o exemplo apresentado na Ficha 2 (Anexo), mas correspondendo aos dados distribuídos pelo professor, e envolve os alunos na discussão sobre um determinado evento. A nossa sugestão de evento é sobre a Quantidade de ocorrências cuja soma dos pontos dos dois dados, seja um número primo. O professor solicita que os alunos encontrem e relacionem as ocorrências desse evento na tabela dada. Depois que os alunos executarem essa tarefa, o professor deve propor a discussão sobre a quantidade de ocorrências encontradas e a quantidade total de registros na tabela. Deve ter em mente que o objetivo da atividade é levar os alunos a pensarem na chance ou possibilidade de ocorrer um valor do evento em relação ao total. Dessa maneira, o professor pode interagir com os alunos apresentado os conceitos de probabilidade frequentista e estimulá-los a realizar o cálculo de probabilidade simples. Ao término da atividade o professor deve institucionalizar os conceitos e estimular os relatos orais dos alunos sobre a atividade realizada, de forma a verificar se houve uma modificação das ideias iniciais e uma motivação para trabalhos interdisciplinares. SUBSÍDIOS ADICIONAIS PARA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE Com o intuito de levantar informações sobre a dinâmica da atividade que propomos, fizemos uma aplicação piloto em duas escolas, em turmas de segundo ano do Ensino Médio. Com isso obtivemos alguns subsídios, que acreditamos, podem ser úteis em futuras aplicações da atividade. Verificando a curiosidade demonstrada pelos alunos, sugerimos ao professor, caso desconheça, se informar com antecedência sobre RPG, sobre a história dos poliedros de Platão e dos quatro elementos fundamentais. Outra dificuldade pode ser a falta dos dados poliédricos utilizados no RPG, que o professor pose substituir por dados de papel, construídos a partir de cópias das planificações dos dados. Isso pode até mesmo um ensejo para um conjunto de aulas intradisciplinares, entre os conteúdos de 5

6 Geometria e Estatística. Essa integração ficou evidente, pois, durante a narração da história dos Poliedros de Platão, foram necessárias algumas interrupções para esclarecer alguns termos e relembrar os alunos de alguns tópicos das aulas de geometria. Também é um auxilio para o sucesso da aplicação da atividade, se os alunos estiverem iniciando o estudo de Probabilidade. CONSIDERAÇÕES FINAIS Mais do que oferecer ao professor uma atividade para que ele trabalhe os conceitos de probabilidade, durante a elaboração desta proposta, verificamos a possibilidades de utilização da mesma como fator de integração em projetos intra e multidisciplinares. A utilização dos poliedros nos remete a Geometria, falar de Platão nos remete ao estudo da História, tanto geral quanto da Matemática, enquanto que os quatro elementos fundamentais nos remetem à Filosofia. Acreditamos que, se o professor tiver interesse em trabalhar de maneira integrada com outros conteúdos do Ensino Médio, outros aspectos teóricos poderão ser identificados, possibilitando um enriquecimento do processo de ensino e aprendizagem. Existe a possibilidade de que o professor explore também a construção dos poliedros a partir da planificação dos mesmos e mostrar a regularidade das faces como elemento importante para se decidir por dados com esses formatos na hora de garantir a lisura do jogo. A proposta inicial desta atividade é que ela seja desenvolvida com alunos do 2º ou 3º ano do Ensino Médio, no entanto, a maneira como as atividades são propostas, permite que o professor as adapte para outras séries, até mesmo do Ensino Fundamental ou as utilize com a profundidade do conhecimento que deseje alcançar com as suas turmas de ensino. REFERÊNCIAS BATANERO, C., Significados de la Probabilidad en la Educación Secundaria. IN: Revista Relime, v. 8. n.3. p México: noviembre BATANERO, C.; GODINO, J., Estadística y su didáctica para maestros: Proyecto Edumat maestros. Granada: Universidad de Granada,

7 CAZORLA, I.; SANTANA, E.,Tratamento da Informação para o Ensino Fundamental e Médio. Itabuna, BA: Via Litterarum, COUTINHO, C., Introduction aux Situations Aléatoires dès le Collège: de la modélisation à la simulation d expériences de Bernoulli dans l environnement informatique Cabrigéomètre II. Tese de Doutorado. Univ. J. Fourier, Grenoble, France, HERNÁNDEZ T. H. M.; KATAOKA, V. Y. ; OLIVEIRA, M. S. de,. El uso de juegos para la promoción del razonamiento probabilístico. In: XII Conferencia Interamericana de Educácion Matemática, Queretaro, RIBEIRO, R, Material concreto: Um bom aliado nas aulas de Matemática. Revista Nova Escola, São Paulo, ed. 184, ,

8 Anexos 1. Ficha 1 Modelo para utilização de dados de até 20 faces Escola "Fanáticos por Probabilidade" Atividade: Jogando com os dados de Platão FICHA1: Esquema geral de uma tabela de dupla entrada

9 Ficha 2: Sugestão para a situação de serem utilizados dados de 6 e 8 faces Escola "Fanáticos por Probabilidade" Atividade: Jogando com os dados de Platão FICHA 2: Valores possíveis de se obter pela soma dos pontos no lançamento de dois dados: 1 dado de seis faces e um dado de 8 faces