Raciocínio combinatório por meio da resolução de problemas

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1 Raciocínio combinatório por meio da resolução de problemas José Marcos Lopes Departamento de Matemática FEIS/UNESP , Ilha Solteira, SP Introdução Apresentamos neste artigo, através da utilização de um jogo de dados e da metodologia de resolução de problemas, uma proposta para o desenvolvimento do raciocínio combinatório em alunos do ensino médio ou do quarto ciclo do ensino fundamental. O jogo proposto é uma versão modificada daquele apresentado em Lopes (2007), p Procuramos desenvolver um trabalho em acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais ( [7], p ), os quais estabelecem que a contagem permite uma nova forma de pensar em Matemática denominada raciocínio combinatório. A contagem dos casos possíveis não deve ser apreendida como uma lista de fórmulas, mas como um processo que exige a construção de um modelo simplificado e explicativo da situação, deve-se evitar a teorização excessiva e estéril. A pesquisa em Resolução de Problemas apresenta uma evolução desde a clássica obra de Polya (1945). Tradicionalmente, os problemas eram utilizados apenas como forma de aplicação e verificação de conhecimentos adquiridos anteriormente. Neste caso, a concepção de ensino e aprendizagem se dava por um processo de reprodução/imitação. Na perspectiva atual, o que se pretende é ensinar matemática através da resolução de problemas. A resolução de problemas como uma metodologia de ensino é relativamente recente e segundo Onuchic (1999, p. 207) é a abordagem mais consistente com as recomendações dos PCNs. A situação problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. Assim na análise dessas situações pode-se utilizar recursos abordados na Matemática, lançar mão de situações-problema para a construção e aplicação de conceitos matemáticos. Em termos metodológicos, relativos ao ensino do conteúdo, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, isto é, de situações em que os alunos precisam desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-los. A situação-problema deve expressar aspectos chaves para o conceito que se quer estudar, o aluno deve ser levado a interpretar o enunciado da questão, estruturar a situação que lhe é apresentada, utilizar o que aprendeu para resolver outros problemas, o que exige transferências, retificações e rupturas. Assim, um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos através de uma série de generalizações. Segundo os PCNs [8], a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode aprender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (BRASIL, MEC/SEF, 1997, p. 43). Quando se pretende ensinar matemática através da resolução de problemas, o problema deve ser cuidadosamente escolhido e servirá como um elemento para disparar o processo de construção do conhecimento, este deverá contribuir para a formação dos conceitos que se pretender estudar, antes mesmo de sua apresentação em linguagem matemática formal, o foco está na ação por parte dos alunos. Vários problemas deverão ser propostos e resolvidos livremente pelos próprios alunos. Para a utilização da metodologia de resolução de problemas, é de fundamental importância o trabalho em grupo. Ao professor cabe o papel de propor, mediar, controlar e incentivar a aprendizagem através da resolução do problema. A interação entre alunos é também importante na formação das capacidades cognitivas e afetivas. Um aluno, por si só, provavelmente não tenha coragem de defender a solução que apresentou para determinado problema, mas depois de socializar e discutir esta solução com os elementos do grupo, se sentirá mais seguro para defender suas idéias. Os problemas iniciais serão utilizados para a introdução e a sistematização dos

2 conceitos, assim deverão ser problemas simples e de fácil interpretação. Sempre que possível, materiais concretos e problemas contextualizados deverão ser utilizados. Só depois da resolução de vários problemas é que o conceito, definições e propriedades deverão ser sistematizados, através do rigor e do formalismo característicos da matemática. Brosseau (1996), desenvolveu uma teoria para a educação matemática, a qual denominou de situação didática. Neste caso, se estabelece uma relação entre um grupo de alunos e um professor que usa um meio didático, incluindo problemas, materiais e instrumentos, com a finalidade de ajudar seus alunos a reconstruir um certo conhecimento. Para obtenção da aprendizagem, o aluno deve interessar-se pessoalmente pela resolução do problema estabelecido na situação didática. De acordo com este autor, o trabalho intelectual do aluno deve ser em certos momentos comparável ao dos próprios matemáticos. O aluno deve ter a oportunidade de investigar sobre problemas ao seu alcance, formular, provar, construir modelos, linguagens, conceitos, teorias, intercambiar suas idéias com os outros, reconhecer as que são adequadas com a cultura matemática e adotar as idéias que sejam úteis. Pelo contrário, o trabalho do professor é de certa maneira inverso ao trabalho do matemático profissional. Em lugar de inventar métodos matemáticos adequados para resolver problemas, deve inventar problemas interessantes que conduzem a um certo conhecimento matemático (BROSSEAU, 1996 apud BATANERO, 2001, p ). (grifo nosso). Como uma forma de tornar a utilização da resolução de problemas mais atraente para os alunos, propomos neste artigo a utilização de um jogo. O jogo deve ser olhado como um elemento que pode disparar o processo de construção do conhecimento e deve expressar aspectos-chave do tópico matemático que se deseja estudar. Assim o jogo é utilizado como um ponto de partida e um meio para se ensinar matemática. A atividade de jogar desempenha papel importante no desenvolvimento: de habilidades de raciocínio lógico, dedutivo e indutivo; da linguagem; da criatividade; da atenção e da concentração. Habilidades estas, essenciais para o aprendizado em Matemática. Durante a realização do jogo, o aluno passa a ser um elemento ativo do seu processo de aprendizagem, vivenciando a construção do seu saber e deixando de ser um ouvinte passivo. A literatura sobre jogos e resolução de problemas para o ensino fundamental é razoavelmente extensa. Já para o ensino médio, esta literatura é bastante escassa. Este trabalho é fruto de nossa experiência de vários anos ministrando cursos de formação continuada para professores do ensino médio, dentro dos programas Pró-Ciências e Teia do Saber, este último, um programa da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo. Em Lopes (2006 e 2007), duas propostas são apresentadas para o ensino dos conceitos básicos de probabilidade, utilizando-se jogos e a metodologia de resolução de problemas. O JOGO O jogo consiste no lançamento de dois dados, um vermelho e um branco (com faces equiprováveis) e é disputado por dois jogadores, digamos João e Maria. A pontuação corresponde ao número formado pelas faces superiores dos dados vermelho e branco, nesta ordem. Cada jogador poderá efetuar até dois lançamentos e escolhe se lança novamente os dois dados ou reserva um deles e lança novamente apenas o outro dado. Vence o jogo quem obtiver a maior pontuação. Em caso de empate, a rodada é repetida. Comentários sobre o jogo. Num primeiro momento todos os alunos deverão jogar. O objetivo desta ação é fazer com que tenham pleno conhecimento e domínio das regras do jogo. A face do dado vermelho corresponde a posição das dezenas, enquanto a face do dado branco corresponde a posição das unidades do número formado. Em todos os lançamentos, o jogador obterá uma pontuação válida. A menor pontuação é 11 e a maior é 66. A pontuação é obtida através de um número de dois algarismos. Caso o jogador obtém a face 1 no dado vermelho e a face 3 no dado branco, sua pontuação será 13, enquanto que, se obtém a face 3 no dado vermelho e a face 1 no dado branco, sua pontuação será 31. Assim, como estamos considerando a ordem (dado vermelho; dado branco), o resultado (1 ; 3) é diferente de (3 ; 1); isto é; se mudamos a ordem dentro do agrupamento, alteramos o valor da pontuação. Primeiramente, João efetua um ou dois lançamentos, posteriormente é a vez de Maria. Assim, Maria está numa posição melhor, já conhece a pontuação obtida por João. Para tornar o jogo mais justo é conveniente uma alternância entre João e Maria como primeiro jogador.

3 Se João obteve (1; 1) 11 pontos, no primeiro lançamento, então obviamente ele deverá lançar os dois dados novamente, pois não é possível neste caso diminuir sua pontuação. Se João obteve (5; 2) 52 pontos, no primeiro lançamento, será mais conveniente que reserve o dado vermelho e lance novamente apenas o dado branco; neste caso terá 5 chances em 6 de melhorar ou manter sua pontuação e apenas uma chance em 6 de diminuir sua pontuação. Se João obteve (4; 5) 45 pontos, no primeiro lançamento, será mais prudente não aproveitar o seu possível segundo lançamento. Para a resolução dos problemas, o trabalho deverá ser realizado em grupo. Um grupo deve ser escolhido para apresentar sua solução. Posteriormente, uma pequena plenária pode ser realizada para discutir a solução apresentada, bem como outras soluções alternativas. Num primeiro momento, os alunos deverão propor uma solução usando de sua própria linguagem, apenas no final dos trabalhos é que o professor deverá sistematizar o conceito estudado, através de definições, propriedades e teoremas. Estamos considerando que os Princípios Multiplicativo e Aditivo já foram anteriormente estudados, Morgado et alli, 2004 p. 18. Problema 1. Quantas são as pontuações possíveis deste jogo? Para o dado vermelho temos 6 resultados possíveis, uma das faces: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Da mesma forma para o dado branco temos os 6 resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Assim, para formar a pontuação (número) devemos considerar a face do dado vermelho e a face do dado branco nesta ordem. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo temos 6 x 6 = 36 pontuações possíveis; a saber: 11,..., 16, 21,..., 26, 31,..., 36, 41,..., 46, 51,..., 56, 61,..., 66. Observar que independentemente do fato do jogador aproveitar ou não o segundo lançamento sempre teremos 36 pontuações possíveis. Em problemas de contagem estamos interessados no número de casos possíveis. Para a maioria dos problemas de interesse será praticamente impossível descrever todos os casos possíveis, assim devemos ter mecanismos para saber o número de casos possíveis sem ter a necessidade de descreve-los. Problema 2. Quantas são as pontuações possíveis deste jogo, se não são permitidas faces iguais nos dois dados? Da mesma forma que no problema 1, existem 6 possibilidades de escolha para o dado vermelho e 5 possibilidades de escolha para o dado branco, pois a face do dado branco não pode ser igual a face do dado vermelho. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo temos 6 x 5 = 30 pontuações possíveis, considerando-se faces não iguais. João pode aproveitar o seu segundo lançamento de três formas diferentes: lança novamente os dois dados; lança novamente apenas o dado vermelho, ou; lança novamente apenas o dado branco. Vamos supor nos problemas a seguir que João tenha adotado a seguinte estratégia: repete o lançamento do(s) dado(s) vermelho, ou branco, ou ambos se obteve face menor ou igual a três no primeiro lançamento. Problema 3. De quantas maneiras diferentes, João poderá efetuar o seu jogo? Quatro casos devem ser considerados: (a) Se João obtém no primeiro lançamento uma das 9 pontuações: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32 ou 33, então lança novamente os dois dados e poderá obter uma das seguintes 36 pontuações: 11,..., 16, 21,..., 26, 31,..., 36, 41,..., 46, 51,..., 56, 61,..., 66. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 9 x 36 = 324 maneiras. (b) Se João obtém no primeiro lançamento uma das 9 pontuações: 14, 15, 16, 24, 25, 26, 34, 35 ou 36, então lança novamente apenas o dado vermelho e poderá obter uma das 6 faces: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 9 x 6 = 54 maneiras. (c) Se João obtém no primeiro lançamento uma das 9 pontuações: 41, 42, 43, 51, 52, 53, 61, 62 ou 63, então lança novamente apenas o dado branco e poderá obter uma das 6 faces: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 9 x 6 = 54 maneiras. (d) Se João obtém no primeiro lançamento uma das 9 pontuações: 44, 45, 46, 54, 55, 56, 64, 65 ou 66, então ele pára e não aproveita o seu segundo possível lançamento. Assim, temos neste caso 9 maneiras.

4 Portanto, pelo Princípio Aditivo João possui = 441 maneiras diferentes de efetuar o seu jogo. Problema 4. De quantas maneiras diferentes, João poderá obter como pontuação um número par? Lembrando que João sempre joga para obter a maior pontuação possível e da estratégia anteriormente estabelecida, quatro casos devem ser considerados para que João obtenha como pontuação um número par: (a) se obtém no primeiro lançamento uma das 9 pontuações: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32 ou 33, então lança novamente os dois dados e deverá obter uma das 18 pontuações: 12, 14, 16, 22, 24, 26, 32, 34, 36, 42, 44, 46, 52, 54, 56, 62, 64 ou 66. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 9 x 18 = 162 maneiras. (b) se obtém no primeiro lançamento uma das 6 pontuações: 14, 16, 24, 26, 34, ou 36, então lança novamente apenas o dado vermelho e poderá obter qualquer uma das 6 faces: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 6 x 6 = 36 maneiras. (c) se obtém no primeiro lançamento uma das 9 pontuações: 41, 42, 43, 51, 52, 53, 61, 62 ou 63, então lança novamente apenas o dado branco e deverá obter uma das 3 faces: 2, 4 ou 6. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 9 x 3 = 27 maneiras. (d) se obtém no primeiro lançamento uma das 6 pontuações: 44, 46, 54, 56, 64, ou 66, então ele pára e não aproveita o seu segundo lançamento. Assim, temos neste caso 6 maneiras. Portanto, pelo Princípio Aditivo João possui = 231 maneiras diferentes de obter como pontuação um número par. Se João obtém como resultado de seu primeiro lançamento as pontuações: 15, 25, 35, 45, 55 ou 65, então não poderá obter nestes casos uma pontuação como sendo um número par. Por isso, estes 6 casos não foram considerados na solução do problema 4. Das soluções dos problemas 3 e 4, João poderá obter como pontuação um número impar de = 210 maneiras diferentes. Problema 5. De quantas maneiras diferentes, João poderá obter como pontuação um número divisível por 3? Para o jogo aqui considerado, a pontuação será um número divisível por 3 se a soma de seus algarismos for igual a 3, 6, 9 ou 12. Assim, de modo análogo ao problema 3, quatro casos devem ser considerados para que João obtenha como pontuação um número divisível por três: (a) obtém no primeiro lançamento uma das 9 pontuações: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32 ou 33, e para cada uma dessas, obtém no segundo lançamento dos dois dados, uma das 12 pontuações: 12, 21, 15, 51, 24, 42, 33, 36, 63, 45, 54 ou 66. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 9 x 12 = 108 maneiras. (b) obtém no primeiro lançamento uma das 9 pontuações: 14, 15, 16, 24, 25, 26, 34, 35 ou 36 e para cada uma dessas 9 pontuações existem dois casos possíveis. Como exemplo, se obteve 14 no primeiro lançamento, então deverá obter no segundo lançamento do dado vermelho uma das faces: 2 ou 5. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 9 x 2 = 18 maneiras. (c) obtém no primeiro lançamento uma das 9 pontuações: 41, 42, 43, 51, 52, 53, 61, 62 ou 63 e para cada uma dessas 9 pontuações existem dois casos possíveis. Como exemplo, se obteve 41 no primeiro lançamento, então deverá obter no segundo lançamento do dado branco uma das faces: 2 ou 5. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 9 x 2 = 18 maneiras. (d) se João obtém no primeiro lançamento uma das 3 pontuações: 45, 54 ou 66, então ele pára e não aproveita o seu segundo lançamento. Assim, temos neste caso 3 maneiras. Portanto, pelo Princípio Aditivo João possui = 147 maneiras diferentes de obter como pontuação um número divisível por 3. Se João obtém como resultado de seu primeiro lançamento as pontuações: 44, 46, 55, 56, 64 ou 65, então ele pára e não obteve nestes casos uma pontuação como sendo um número divisível por 3. Por isso, estes 6 casos não foram considerados na solução do problema 5. Da mesma forma que João, Maria poderá aproveitar o seu segundo lançamento de três maneiras diferentes: lança apenas o dado

5 vermelho, lança apenas o dado branco ou lança os dois dados. Agora, como já conhece a pontuação obtida por João, então sua estratégia está condicionada aos pontos obtidos por João, está assim em situação melhor para definir sua jogada. Se Maria obtém em seu primeiro lançamento uma pontuação maior do que a de João então ela pára, pois já venceu o jogo; se obtém uma pontuação menor ou igual a de João, vamos considerar para os três problemas seguintes que Maria adote a seguinte estratégia: tanto para o dado vermelho como para o dado branco, se obteve em seu primeiro lançamento uma pontuação menor do que aquela obtida por João, então lança novamente este(s) dado(s). Se obteve empate, lança novamente o(s) dado(s) se e só se João obteve face menor ou igual a três. Problema 6. Se João marcou 35 pontos, de quantas maneiras diferentes Maria poderá vencer o jogo? Maria vence o jogo em qualquer um dos quatro casos abaixo: (a) se obtém no primeiro lançamento uma das 19 pontuações: 36, 41,..., 46, 51,..., 56, 61,..., 66. Temos assim 19 maneiras. (b) se obtém no primeiro lançamento uma das 12 pontuações: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34 e para cada uma dessas, obtém no segundo lançamento dos dois dados, uma das 19 pontuações: 36, 41,..., 46, 51,..., 56, 61,..., 66. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 12 x 19 = 228 maneiras. (c) se obtém no primeiro lançamento uma das duas pontuações: 16 ou 26, e no segundo lançamento do dado vermelho obtém uma das 4 faces: 3, 4, 5 ou 6. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 2 x 4 = 8 maneiras. (d) se obtém no primeiro lançamento uma das 3 pontuações: 15, 25 ou 35, e no segundo lançamento do dado vermelho obtém uma das 3 faces: 4, 5 ou 6. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 3 x 3 = 9 maneiras. Portanto, pelo Princípio Aditivo Maria possui = 264 maneiras diferentes de vencer o jogo se João marcou 35 pontos. Problema 7. Se João marcou 35 pontos, de quantas maneiras diferentes Maria poderá perder o jogo? De maneira análoga ao problema 6, Maria perde o jogo em qualquer um dos três casos abaixo: (a) se obtém no primeiro lançamento uma das 12 pontuações: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33 ou 34, e para cada uma dessas, obtém no segundo lançamento dos dois dados uma das 16 pontuações: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33 ou 34. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 12 x 16 = 192 maneiras. (b) se obtém no primeiro lançamento uma das duas pontuações: 16 ou 26, e para cada uma dessas, obtém no segundo lançamento do dado vermelho uma das 2 faces: 1 ou 2. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 2 x 2 = 4 maneiras. (c) se obtém no primeiro lançamento uma das 3 pontuações: 15, 25 ou 35, e para cada uma dessas, obtém no segundo lançamento do dado vermelho uma das 2 faces: 1 ou 2. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 3 x 2 = 6 maneiras. Portanto, pelo Princípio Aditivo Maria possui = 202 maneiras diferentes de perder o jogo se João marcou 35 pontos. Se Maria obtém como resultado de seu primeiro lançamento uma das 19 pontuações: 36, 41,..., 46, 51,..., 56, 61,..., 66, então ela pára e não poderá perder o jogo nestes casos. Por isso, estes 19 casos não foram considerados na solução do problema 7. Problema 8. Se João marcou 35 pontos, de quantas maneiras diferentes Maria poderá empatar o jogo? De maneira análoga ao problema 6, Maria empata o jogo em qualquer um dos dois casos abaixo: (a) se obtém no primeiro lançamento uma das 12 pontuações: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33 ou 34, e para cada uma dessas, obtém no segundo lançamento dos dois dados a pontuação 35 (1 caso). Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 12 x 1 = 12 maneiras. (b) se obtém no primeiro lançamento uma das 3 pontuações: 15, 25 ou 35, e para cada uma dessas obtém no segundo lançamento do dado vermelho a face 3 (1 caso). Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos 3 x 1 = 3 maneiras.

6 Portanto, pelo Princípio Aditivo Maria possui = 15 maneiras diferentes de empatar o jogo se João marcou 35 pontos. Se Maria obtém como resultado de seu primeiro lançamento uma das 21 pontuações: 16, 26, 36, 41,..., 46, 51,..., 56, 61,..., 66, então ela não poderá empatar o jogo nestes casos. Por isso, estes 21 casos não foram considerados na solução do problema 8. Considerações finais [6] G. Polya, A arte de resolver problemas, Primeira reimpressão. Tradução e adaptação de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciências, [7] Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais PCN + : Matemática. MEC, Brasília, [8]. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Fundamental - Matemática. MEC, Brasília, Vários outros problemas podem ser formulados. Após o trabalho com problemas do tipo dos anteriormente apresentados, o professor poderá ter mais facilidade para sistematizar os conceitos básicos da Análise Combinatória. As fórmulas de contagem devem aparecer naturalmente como conseqüência do Princípio Multiplicativo e nunca serem jogadas no início dos estudos, como tradicionalmente é feito. Na metodologia de resolução de problemas, os alunos tornam-se ativos na construção de seu próprio conhecimento e o que buscamos é o desenvolvimento do raciocínio dedutivo do aluno e não a memorização de fórmulas. A memorização pode ser temporária, mas o desenvolvimento do raciocínio é para toda a vida. Mudar a forma de se ensinar matemática é tarefa árdua e lenta; mas só depende de nós, professores. Referências bibliográficas [1] C. Batanero, Didáctica de la Estadística, Granada. Uninersidad de Granada, ESP, [2] J. M. Lopes, Conceitos básicos de probabilidade com resolução de problemas, Rev. do Prof. de Mat., SBM, vol. 59, pp. 41-5, (2006). [3]. Probabilidade Condicional Através da Metodologia de Resolução de Problemas, Rev. do Prof. de Mat., SBM, vol. 62, pp. 34-8, (2007). [4] A. C. O. Morgado et alli, Análise Combinatória e Probabilidade, SBM, Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, [5] L. R. Onuchic, Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: Bicudo, M.A.V. (org). Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas, São Paulo: Editora UNESP, pp , 1999.