A CONSTRUÇÃO DO ESPAÇO GEOMÉTRICO POR CRIANÇAS ENTRE 03 E 10 ANOS

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1 A CONSTRUÇÃO DO ESPAÇO GEOMÉTRICO POR CRIANÇAS ENTRE 03 E 10 ANOS João Debastiani Neto netto_jnt@hotmail.com Clélia Maria Ignatius Nogueira clelia@wnet.com.br Valdeni Soliani Franco vsfranco@uem.br Resumo: Na obra A representação do espaço na criança, Piaget e Inhelder (1947) defendem que a criança constrói primeiramente as relações topológicas do espaço em que vive, e só posteriormente as relações projetivas e euclidianas, que ocorrem simultaneamente. Na realização de um projeto de Iniciação Científica em 2007/2008, foram estudados conteúdos teóricos de Topologia e Geometria Projetiva, e como ocorre a construção do espaço na criança segundo Piaget. Considerando esse referencial teórico, em um segundo projeto, realizado em 2008/2009, foram aplicadas seis provas para crianças de 03 a 10 anos, com o objetivo de observar a construção do espaço geométrico. Com os conhecimentos teóricos adquiridos no primeiro projeto, juntamente com os estudados no segundo projeto, foi possível analisar exames aplicados em crianças da referida faixa etária. As análises nos permitiram corroborar com as conclusões de Piaget, surgindo, inclusive, fases intermediarias não descritas nos textos estudados. Palavras-chave: Geometrias as Séries Iniciais; Noções Espaciais da Criança; Construção de Geometrias pelas Crianças Introdução Este trabalho relata uma pesquisa realizada durante os anos de 2008 e 2009, no PIBIC CNPq, que é uma continuação dos estudos iniciados em 2007, no Programa de Iniciação Científica da PIC-UEM. O projeto inicial tinha por objetivo geral fornecer subsídios teóricos para a atuação pedagógica do futuro professor no ensino de Geometria, particularmente sobre o que e como ensinar geometria para crianças de 03 a 10 anos; e por objetivos específicos: estudar conteúdos de Topologia e Geometria 357

2 Projetiva, no que se refere à parte específica, e como ocorre a construção do espaço pela criança, segundo a teoria piagetiana, no que se refere à ação pedagógica propriamente dita. Esses estudos constituíram a base teórica da pesquisa aqui relatada. Nos estudos teóricos acerca da psicogenética, particularmente os referentes à construção do espaço pela criança, iniciamos pela leitura do Capítulo II O campo espacial e a elaboração dos grupos de deslocamentos, do livro A construção do Real na criança. O motivo que levou Jean Piaget a tratar da noção de objeto foi observar que a criança, do nascimento até os doze anos, não tem consciência de si, nem dos limites entre seu corpo e o mundo. Ao nascer a criança apenas possui reflexos e evolui para a criação de um universo no qual ela está inserida como elemento. Nos primeiros meses o objeto nada mais é do que uma extensão de seu próprio corpo e com o tempo ela começa a perceber que estes objetos são determinados pela sua ação no universo em que está inserida. Para Piaget, existem seis fases de evolução da criança quanto ao reconhecimento de objetos e à inserção destes no espaço. Piaget não estabelece uma faixa etária para cada uma das duas primeiras fases, indicando que ambas ocorrem, em média, entre três e seis meses. Nessas fases são constituídos os grupos práticos e os grupos heterogêneos, nos quais o espaço é criado a partir das ações que a criança realiza. As relações topológicas são as primeiras estabelecidas pelo bebê e as ações e adaptações são necessárias para o alcance da próxima fase. Na terceira fase, compreendida entre seis e nove meses, o bebê ainda não tem noção das suas ações em relação aos objetos, mas acontece a coordenação dos grupos práticos, que permite a reestruturação do real, sendo que a relação do bebê com os objetos se estabelece. Na quarta fase, dos dez aos doze meses, a criança constrói a noção de objetos, com formas e dimensões permanentes, e distingue as mudanças de posição das mudanças de estado. Pela descoberta das operações reversíveis, ela elabora um primeiro tipo de grupos objetivos e ultrapassa o nível de grupos subjetivos. Mas, no entanto, a criança continua, geometricamente falando, egocêntrica, pois ainda não concebe as posições e deslocamentos em suas interrelações, mas unicamente relativos a ele próprio. Por consequência, ainda não situa todo o seu corpo no campo imóvel que contêm tanto os outros corpos como o seu, apesar de situar corretamente tudo em relação ao eu, mas sem colocar em um espaço comum. 358

3 A quinta fase representa o início dos grupos objetivos, que é marcada pela pesquisa. Neste período, cujas idades variam entre um ano e um ano e quatro meses, a criança adquire a noção de deslocamento dos objetos em suas relações e passa a considerar os deslocamentos segundo a ordem de sucessão efetuada no seu campo de visão. Por fim, a sexta e última fase, que ocorre a partir dos um ano e cinco meses, é a dos grupos representativos, caracterizada pelo surgimento de duas novas possibilidades. A primeira é que a criança representa mentalmente seus próprios deslocamentos antes dos deslocamentos de outros corpos e isso é possível porque ela já possui a noção de objeto permanente, algo que não acontecia nas primeiras fases. Logo, ela é capaz de representar os deslocamentos que ocorrem com o objeto fora do seu campo de percepção. A segunda é que para situar-se a si mesma no espaço, a criança tem necessidade de representar a si mesma e de imaginar seus próprios deslocamentos como se os estivesse vendo de fora. Sem essa capacidade, com efeito, o indivíduo só poderia perceber diretamente os movimentos que está executando, porém sem situá-los, do exterior, em um espaço comum aos objetos e a si mesmo, o que só acontece quando o indivíduo se situa no espaço enquanto tal, em vez de perceber o espaço em função de si (Piaget, 2006; p.213). Temos como consequência dessas características, a representação dos movimentos do próprio corpo e a representação das relações espaciais. Aspectos teóricos da construção do espaço geométrico Piaget percebeu em seus estudos que as primeiras intuições geométricas das crianças são topológicas, isto é, a criança pode reconhecer e representar graficamente relações de vizinhança, interior e exterior, fronteira, continuidade, etc. Ainda como resultado de suas investigações, Piaget afirma que por volta dos seis e sete anos de idade as crianças já começam a adquirir domínio das relações projetivas e euclidianas, e, a partir dessa fase, sua percepção permite a constituição de geometrias que contemplam o espaço exterior ao sujeito. Dessa forma, o sujeito passa a observar, simultaneamente, as transformações das figuras através de suas várias projeções, isto é, um mesmo objeto observado sob vários pontos de vista diferentes (Geometria Projetiva), e aquela que se vale das noções métricas para identificar uma figura em seus vários deslocamentos no espaço (Geometria Euclidiana). 359

4 É possível observar as manifestações dessas três geometrias já no estágio sensório-motor, como, por exemplo, a capacidade de distinguir um objeto de outro, que é necessária para qualquer construção espacial (topológica). Mais tarde, quando começa a surgir o objeto permanente, o bebê aprende que uma mamadeira vista de várias perspectivas é na realidade o mesmo objeto (Geometria Projetiva) e, ainda, torna-se capaz de estimar a distância necessária para pegá-la (Geometria Euclidiana). Como nos apoiamos em Piaget para responder o que e como ensinar Geometria para crianças de 03 a 10 anos, a primeira aproximação para uma resposta à nossa questão de pesquisa seria considerar a ordem da psicogênese das estruturas geométricas, que é diferente da encontrada na História da Matemática, na qual, a Topologia, enquanto conhecimento estruturado e formalizado, é posterior às Geometrias Euclidiana e Projetiva. Assim, de acordo com este referencial teórico, o ensino de Geometria deve iniciar pelas relações topológicas, seguidas das projetivas e euclidianas, já na Educação Infantil e anos iniciais do Ensino Fundamental, contrariando as propostas curriculares que, normalmente, apresentam esses conteúdos apenas a partir da segunda fase do Ensino Fundamental (Geometria Euclidiana) e Ensino Superior (Topologia e, em raros cursos, a Geometria Projetiva). As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná, apesar de não se sustentarem teoricamente na Psicologia Genética, adotam a ordem psicogenética para a apresentação dos conteúdos geométricos, dos quais fazem parte as Geometrias Não Euclidianas. Para confirmar a validade dessa proposta de ordenação de conteúdos, citamos um experimento feito com crianças no período pré-operatório, com idade entre dois e sete anos, aproximadamente, realizado por Jean Piaget, e relatado em A representação do espaço na criança. Foram construídas representações de figuras geométricas planas clássicas, tais como círculos, quadrados, losangos etc., e outras, de caráter topológico, tais como anéis, meia lua, oito, v, entre outras. A criança tinha sua visão obstruída por um anteparo e era solicitada a examinar as figuras com as mãos e, depois que as reconhecessem em um conjunto de cartelas, dispostas sobre uma mesa, representando por meio de desenhos, os mesmos objetos eram tateados. Em um primeiro estágio, a criança não estabelece diferenciação entre as figuras tateadas e as desenhadas. Entretanto, logo em seguida, os sujeitos começam a distinguir as figuras com furos das outras sólidas. Por exemplo, um anel não era confundido com um círculo, mas esse, por sua vez, podia ser atribuído a um quadrado. No estágio seguinte, as crianças, progressivamente, começam a distinguir objetos com grandes 360

5 diferenças angulares, como círculos de quadrados, mas ainda são incapazes de levar em conta, por exemplo, o número de lados e seus tamanhos. Nesse sentido, um quadrado é igual a um retângulo ou a um triângulo. Após algum tempo, o número de lados e, mais tarde, seus tamanhos começam a fazer diferença para o sujeito, mas as inclinações leves são ignoradas. Um losango pode ser um quadrado ou um retângulo. Só no final do período pré-operatório é que a criança torna-se capaz de distinguir os objetos de forma mais clara e objetiva. Esse experimento demonstra que a percepção de figuras com caráter topológico antecedem às definidas por propriedades métricas, que passam a ser percebidas no final do período intuitivo ou pré-operatório. Dessa forma, é no período operatório concreto que a criança tem condições de construir conhecimentos da Geometria Projetiva e Geometria Euclidiana. O porquê desta pesquisa Os estudos até então realizados mostravam que não apenas o espaço, mas todo o conhecimento é construído progressivamente. Isso tem implicações pedagógicas além das epistemológicas, porque indica que o conhecimento não é simplesmente transmitido, é construído. Apesar dos estudos e das discussões com os professores orientadores, o acadêmico pesquisador não estava convencido dessas afirmações. Afinal, o que isto queria dizer? Ler artigos e livros foi de vital importância para melhor compreender tais fatos, mas será que isto realmente acontecia? Será que tudo o que havíamos estudado em teoria, de fato aconteceria na prática? Com dúvidas deste gabarito, iniciamos a presente investigação que consistiu na aplicação de exames piagetianos, utilizando o método clínico, a fim de constatar se realmente tudo que estudávamos era verdadeiro, e se, eventualmente, poderíamos observar novos fatores que deveriam ser considerados. A pesquisa A pesquisa foi realizada com quinze crianças de três a dez anos de idade, de três escolas públicas municipais, localizadas em dois municípios do norte do Paraná, e teve como propósito investigar o que ensinar de Geometria para crianças de três a dez anos de idade. 361

6 Para atingir esse propósito, foi necessário identificar quais são, dentre as três geometrias estudadas (Topológica, Projetiva e Euclidiana), a que primeiro se estabelece na criança e conhecer como se dá a construção do espaço geométrico por ela. Trata-se de uma pesquisa qualitativa na qual se empregou o método clínico de Piaget e a entrevista semiestruturada, por entendermos esse encaminhamento como viável para responder aos objetivos propostos. Metodologia e materiais Para a consecução dos objetivos propostos e, em consonância com o referencial teórico adotado, optamos pelo método clínico de Piaget. Este método consiste na realização de entrevistas, nas quais o entrevistador faz perguntas a uma criança e baseado nas reações desta, observa, faz hipóteses a respeito de sua capacidade conceitual e continua a fazer mais perguntas de acordo com a hipótese que formulou. O método clínico surgiu da necessidade, identificada por Piaget, de formular uma técnica de pesquisa que não fosse extremamente rígida como o teste padronizado e, ao mesmo tempo, utilizasse os benefícios da observação, de modo a facilitar a realização das experiências, de avaliação da inteligência das crianças, que integravam seu universo de pesquisa (WARDWORTH, 1984; CASTRO, 1996). Matuí (1995, p. 78) relata que Piaget acrescentou um adjetivo (crítico) ao nome do método, tornando-o conhecido como método clínico crítico. Segundo Piaget, o método deve ser crítico, por exigir do pesquisador cautela quanto às hipóteses explicativas, e o questionamento quanto ao por que da resposta utilizada pela criança. O método clínico crítico de Jean Piaget permite a livre conversação entre o pesquisador e a criança sobre o tema a que se objetiva investigar. A entrevista é apoiada por um roteiro flexível, adaptável a cada criança, que serve apenas para orientar o pesquisador, evitando que este se desvie do foco de estudo. A cada resposta dada pela criança, surge uma nova hipótese, e é essa sequência de perguntas e respostas que torna a entrevista coerente (LEITE, 1987). É um método de observação, que consiste em propor uma atividade ao sujeito e discutir com ele suas soluções, sem que o sujeito interprete a ação do observador como aprovação ou desaprovação das suas soluções. Os protocolos que utilizamos foram elaborados depois do estudo teórico e as diversas correções de percursos realizadas após aplicação de pré-testes ou pilotos aplicados com algumas crianças. Esclarecemos que, pela própria natureza do método 362

7 clínico, os protocolos não foram rígidos; houve alterações sempre que o sujeito indicou caminhos não previstos inicialmente. Há, contudo, o direcionamento contínuo do desenvolvimento das entrevistas, de maneira a ser possível investigar o que se pretende. Algumas provas que utilizamos, foram retiradas dos livros que escolhemos como base teórica, no entanto, uma destas provas foi elaborada em conjunto pelos pesquisadores. Tanto no que se refere à escolha das provas e materiais, nos apoiamos, teoricamente, nos seguintes textos: A representação do espaço na criança, de Piaget e Inhelder; The Child s conception of geometry, de Piaget; A construção da geometria pela criança, de Kobayashi; e Piaget para o professor da pré-escola e 1º grau, de Wadsworth. As entrevistas foram filmadas e as fitas, assim como os materiais produzidos pelas crianças, constituíram as informações para análise. De acordo com o projeto aprovado pelo Comitê Permanente de Ética em Pesquisa Envolvendo Seres Humanos, COPEP, da UEM, foi solicitada autorização para filmagem das entrevistas, mediante a leitura e assinatura do Termo de Consentimento pelos responsáveis das crianças, diretores das escolas e pesquisadores. As crianças que colaboraram com esta pesquisa possuíam idade variando entre três e dez anos de idade, estudantes de três colégios distintos, das cidades de Maringá e Sarandi, no Paraná. Como nossa intenção era comprovar, num sentido de ver para crer, os resultados das pesquisas realizadas por Piaget e seus colaboradores e seguidores, foi estabelecida essa faixa etária. Utilizamos, neste trabalho, para representar uma criança a letra inicial do seu nome e entre parêntesis a sua idade. Por exemplo: se uma criança se chama Maria e têm seis anos, ela será representada pelo símbolo M(6). As crianças que participaram da pesquisa foram indicadas pelas diretoras de cada escola onde realizamos a pesquisa, de acordo com os seguintes critérios: Ter idade entre três e dez anos. Crianças que frequentassem diariamente suas escolas. Crianças que não apresentassem nenhum dano mental. A fundamentação teórica e a metodologia específica são descritas no relatório de cada prova aplicada. As provas 363

8 Foram aplicadas seis provas com o objetivo de observar a construção do espaço geométrico pela criança. Cada uma das provas evidenciava algum aspecto especifico dessa construção, tais como: qual a primeira geometria a se constituir na criança; observações de relação de projetividade; entre outros. Aqui abordamos apenas os resultados obtidos na prova sobre a horizontalidade dos líquidos. As entrevistas foram realizadas em sessões individuais, que perduravam por aproximadamente 20 minutos, com a aplicação das seis provas na seguinte sequência: mural com figuras, desenho das formas geométricas, reprodução de imagens (mapa da aldeia), avaliação do espaço euclidiano, o relacionamento das perspectivas, e, por fim, avaliação do conceito de área. Para a filmagem, foi utilizada uma câmera, operada manualmente por um dos colaboradores do projeto. Estas foram realizadas em salas cedidas pelas próprias escolas, sendo que, em apenas uma delas havia excelentes condições de luz e ventilação. A transcrição das entrevistas foi bastante trabalhosa; tivemos que ser muito atenciosos com cada fala ou gestos das crianças, sendo que cada resposta dada, ou cada movimento indicado pela criança poderia mostrar algum fator em especial que deveria ser levado em consideração nos exames realizados. Avaliação do espaço euclidiano Procedimento metodológico Para avaliar a construção do espaço euclidiano, que tem como características as paralelas, os ângulos e as semelhanças, aplicamos a prova da horizontalidade dos líquidos, procurando investigar a constância da forma assumida pelo nível dos líquidos, qualquer que fosse a inclinação dos recipientes. O referencial teórico-metodológico que subsidiou esta etapa da investigação foi A construção da geometria pela criança, da autora Maria do Carmo Monteiro Kobayashi. Descrição do material Para tal avaliação, utilizamos um par de garrafas. 364

9 Figura 1 Esse par era de paredes paralelas, sendo colocado em uma garrafa, com aproximadamente metade de seu volume de suco, e o outro permaneceu vazio para que fosse utilizado nas explicações que demandavam imaginar antecipadamente as questões propostas. Veja na figura 1. A utilização do suco (cor distinta) teve como finalidade colocar em destaque o limite ocupado pelo líquido e o recipiente. A condução do experimento prosseguiu no sentido de investigar quais são as hipóteses infantis possíveis de como o nível do suco se comporta com a inclinação de ângulos variados da garrafa. O registro gráfico foi realizado pela criança mediante a visão da experiência e o desenho foi feito em uma folha previamente preparada com a garrafa desenhada nas inclinações correspondentes. Para ter maior precisão dos resultados, foi realizada uma filmagem da aplicação da prova. Resultados e análise da relação euclidiana coordenada horizontal utilizando o nível de líquidos A análise das informações obtidas com as provas para avaliar quando a criança inicia a utilização de sistemas de coordenadas exteriores - nível dos líquidos permitiu identificar as três fases, com características peculiares, descritas por Piaget e Inhelder (1993), a saber: a que tem início pelas relações puramente topológicas de interioridade do líquido na garrafa, sem utilização de sistemas ou mesmo de coordenadas externas (Fase I), passando a um início da utilização de coordenadas baseadas no fundo da garrafa (Fase II) e, finalmente, a utilização de coordenadas externas à garrafa (Fase III). Também foi possível identificar as subfases da Fase I, descritas por Piaget e Inhelder (1993): Subfase IA: a interioridade do líquido na garrafa e a ausência de nível da água. Subfase IB: a interioridade do líquido na garrafa e as primeiras tentativas de representação do nível da água. 365

10 A subfase IA apresenta as respostas características das crianças que mediante as perguntas realizadas no sentido de saber como percebem a mudança da água quando realizado qualquer movimento de rotação na garrafa. Todas as crianças desta fase percebem que a água se desloca, muda de lugar mediante a experiência, mas nenhuma delas consegue descrever o nível do líquido quando foi apresentada a garrafa vazia, nem mesmo a sua interioridade. Isto pode ser confirmado pela representação gráfica de S(3) que se encontra nesse estágio, conforme figura ao lado. Figura 2: representação de S(3) A subfase IB avança em relação à anterior pelo fato de as crianças apresentarem os desenhos com as mesmas características (topológicas), mas conseguem preencher o espaço dentro da garrafa com riscos mais ritmados, dominando a força que imprimem, realizando traços retos que, apesar de não conseguirem registrar o nível da água como plano, avançam em relação à simples garatuja e demonstram uma preocupação excessiva com os espaços vazios, preenchendo quase todo o volume da garrafa. A figura ao lado atesta a representação gráfica de V(3), que se encontra na fase IB. Figura 3: representação de V(3) Apesar da divisão em subfases, estas ainda não são suficientes para descrever todas as respostas dos sujeitos, o que só confirma o caráter construtivo desse conhecimento, como atesta a representação gráfica de L(3), na figura 4 que apresenta interioridade do líquido, com ausência de nível em duas situações 01 e 04 e indica 366

11 presença de nível nas situações 02, 03 e 05, caracterizando, uma etapa intermediária entre as subfases IA e IIB. Figura 4: representação de L(3) Uma observação interessante e sobre a qual não encontramos descrição nas experiências de Piaget e Inhelder (1993) foi que as crianças, contrariamente ao que parece indicar o senso comum, parecem começar a perceber o nível do líquido nas garrafas na posição horizontal ou inclinadas, conforme pode ser depreendido da sequência de representações gráficas das figuras 2, 3 e 4. Opondo-se à falta de abstração do nível de água na fase I, a característica marcante da fase II está justamente na abstração da superfície da água como um plano, podendo estar representado no desenho por uma linha única ou várias linhas. Da mesma forma que na fase I, identificamos aqui, as subfases descritas por Piaget e Inhelder (1993). A subfase IIA apresenta várias peculiaridades, mas a mais perceptível é o paralelismo do nível do suco com o fundo da garrafa. Na subfase IIB, o nível da água é representado, não somente paralelo ao fundo da garrafa, mas em relação às suas paredes ou por linhas oblíquas presas às bordas da garrafa. Os descritores utilizados para a análise das representações gráficas dos sujeitos foram: Subfase IIA: Paralelismo com o fundo da garrafa. Subfase IIB: O conflito entre o paralelismo com o fundo e os dados apresentados pela experiência. Apesar dos avanços, as crianças da subfase IIA continuam totalmente impermeáveis à experiência. As contradições que às vezes ocorrem, quando 367

12 comparados os desenhos antecipadores e os desenhos à vista da experiência, são reveladoras. As crianças não conseguem justificar as diferenças e, para o desempate, recorremos à vista da garrafa com água, mas as poucas vezes que elas percebem as disparidades entre o real e a representação gráfica, não conseguem explicar o fato ou não aceitam as diferenças, continuando fiéis às suas hipóteses, pois parecem ter uma hipótese anteriormente elaborada que não conseguem ou não querem colocar em questão. A seguir segue a representação gráfica de L(9): Figura 5: representação de L(9) Apesar de as operações geométricas não estarem constituídas e da impermeabilidade à experiência, a subfase IIA apresenta um progresso a que, até então, não havia nada comparável, pois já ocorre a utilização do fundo da garrafa como de um referencial e a criança já percebe o nível da água como uma superfície plana que apresenta um limite rígido entre a água e o espaço livre sobre a superfície. O avanço é notável, mas insuficiente para a constituição do sistema de coordenadas, sendo uma etapa necessária e preliminar, que não garante que irá constituir-se na finalização da construção do espaço euclidiano. O paralelismo empregado para retratar o nível da água (paralelo ao fundo) só é aplicado a esta situação particular, o que se traduz na utilização de um eixo de referencial do nível da água em relação a um referencial próximo: o fundo da garrafa. O conjunto garrafa e água constituí um objeto único sem considerar os demais objetos ao seu redor. Tanto é que a criança afirma que a água está entortada quando a garrafa é que está inclinada, ou seja, a água está inclinada em relação à garrafa que é o referencial único, absoluto. 368

13 A subfase IIB constitui-se num período intermediário entre o paralelismo da superfície da água e o fundo da garrafa (Subfase IA) e a generalização da horizontalidade do nível dos líquidos (Fase III). Os desenhos característicos dessa subfase apresentam o nível da água como linhas oblíquas presas às paredes da garrafa onde um dos lados está mais alto. As crianças que se encontram na subfase IIB apresentam os desenhos das garrafas posicionadas paralelas ao eixo horizontal, com o nível marcado corretamente no desenho à vista da experiência. Não mais por um paralelismo imitativo da borda, mas pela maior flexibilidade atribuída ao nível da água. Esta subfase apresenta o avanço das crianças em realizarem uma oposição entre o nível da água deitada e de ponta cabeça. Figura 6: representação de K(6) Presenciamos os avanços a partir da fase I quando a criança desconsiderava o dado empírico; na fase II, passa a buscar uma forma de encontrar uma lógica para a explicação e o registro do nível da água. Em IIA, recorre ao fundo da garrafa e dela tira uma regra que utiliza. No caso da figura 6, é estabelecer o fundo da garrafa como referência, mas está impermeável ao dado fornecido pela constatação de que uma mudança de posição na garrafa invariavelmente acarreta uma mudança no nível do líquido. Em IIB, essa mesma regra (paralelismo entre o fundo da garrafa e o nível da água) passa a não vigorar mais, e as crianças passam a desenhar na garrafa de ponta cabeça o nível na parte inferior. Assim, a criança constata o dado experimental e passa a considerá-lo. Fase III: a consideração dos dados fornecidos pela experiência e a descoberta da horizontalidade. 369

14 Na subfase anteriormente analisada (IIB), pudemos perceber que as crianças, tal como descrito em Piaget e Inhelder (1993), não mais concebiam o nível da água como unicamente paralelo ao fundo da garrafa e passam a considerar os dados da experiência; falta-lhes, no entanto, considerar o nível dos líquidos paralelos a uma coordenada exterior à garrafa. A fase III vai constituir-se no acabamento das relações euclidianas com a utilização de eixos de coordenadas exteriores ao sistema considerado (garrafa com água). A representação gráfica de L.H.(8) mostra o que queremos dizer. Figura 7: A representação gráfica de L.H.(8) As crianças analisadas nessa pesquisa também apresentaram características intermediárias que mostram os termos de passagem para uma subfase (IIIA) vital à constituição das relações euclidianas. A partir das conquistas realizadas anteriormente, a criança passa a afirmar a horizontalidade incondicional dos líquidos e o início dos eixos externos, no caso a mesa, quando da manipulação das garrafas com água. Figura 8: representação de L(10) O grupo de crianças classificado na subfase IIIA apresentou, no desenho antecipador e a vista da experiência, comportamentos que podemos afirmar que avançam em relação aos da subfase anterior (IIB), conforme pode ser inferido da representação gráfica de L (10). 370

15 Conclusões As informações obtidas com a aplicação desta prova apontam que: das 15 crianças entrevistadas, apenas três delas utilizam referenciais externos para marcar o nível do líquido, operatoriamente, ou seja, podem ser enquadradas no nível III. Kobayashi, em sua pesquisa, analisou e indicou que nenhuma criança entre 2;00-7;00 anos de idade se encontrava nesta fase. As três crianças que se encontram nessa fase, na presente investigação, possuem duas delas 10 anos e a outra 5 anos de idade, indicando que esta criança de 5 anos está um pouco adiantada com relação às outras crianças nesta atividade, porém, temos de ressaltar que ela poderá não estar adiantada em outras atividades que poder-se-ão realizar. Isso mostra outro fator importante: a classificação das crianças em fases indica uma idade aproximada das crianças, não garantindo que todas, com uma determinada faixa etária, estarão presentes em uma mesma fase. Prova disto, foi encontrar em nossa pesquisa uma criança de 5 anos de idade em uma subfase (III), onde a idade aproximada é de acima dos 7 anos de idade. Podemos afirmar que uma criança encontra-se prestes a constituir as relações euclidianas (subfase IIIA) e iniciou a utilização de coordenadas exteriores intuitivamente. As crianças examinadas por Kobayashi, que se encontravam neste nível, possuíam idades variando entre 5;06-7;00 anos. A criança que se encontra nesta subfase (IIIA) pertence à faixa etária dos 08 anos. Temos que 06 crianças pesquisadas encontram-se na fase II, mais ainda 03 na subfase IIA, e 03 na subfase IIB. As três crianças que se encontram na subfase IIA possuem, respectivamente, 07, 09, e 10 anos, e das 03 crianças que se encontram na subfase IIB possuem, respectivamente, 06 anos cada uma. Das 36 crianças que Kobayashi examinou em sua pesquisa, na subfase IIA, se encontravam 11 sujeitos, onde 5 estavam entre 4;00-5;06 de idade e 6 entre 5;06-7;00 de idade, e na subfase IIB encontravam-se somente 2 sujeitos entre 4;00-5;06 anos e 3 entre 5;06-7;00 anos de idade. Na fase I temos 05 crianças, onde uma delas se encontra na subfase IA e duas na subfase IB. Um aspecto interessante foi notar que existiam 02 crianças que estavam em um nível intermediário de IA e IB. As crianças que se encontram na presente fase pertencem à faixa etária dos 03 e 04 anos. Segundo a pesquisa de Kobayashi, das 17 crianças que se encontram na Fase I, 12 estão na subfase IA e 5 na subfase IB, sendo que, dos 12 sujeitos de IA, 11 estão na faixa etária dos 2,06 e 4,00 e somente uma entre 4;00-5;06, enquanto que em IB, 1 está entre 2;06-4;00 e 4 entre 4;00-5;

16 Euclidiano: Tabela resumindo os resultados encontrados na prova de Avaliação do Espaço Idade IA Int. IB IIA Int IIB IIIA III TOTAL Total de crianças A investigação realizada nos permitiu observar que as relações topológicas são as primeiras a serem utilizadas pelo grupo de crianças, onde observamos que estas se encontram nas primeiras subfases, não se preocupam com nada mais do que a noção de interioridade do líquido. Em fases posteriores, a criança principia a representação do nível da superfície do líquido (portanto as relações euclidianas), mas ainda de forma distorcida (fase II), e em uma fase final ela concretiza essas relações euclidianas (fase III), onde a criança passa a afirmar a horizontalidade incondicional dos líquidos e o início dos eixos externos. Um fato muito interessante foi o de observar que existem algumas crianças adiantas ou atrasadas com relação a outras analisadas, conforme confirmam os desempenhos de F(5) e E(10). F(5), apesar de sua idade ser compatível com a Fase II, apresentou desempenho compatível com a Fase III, demonstrando acabamento das relações euclidianas pela utilização de eixos de coordenadas exteriores ao sistema considerado (garrafa com água), enquanto que observamos E(10) ainda na Subfase IIA. Isto apenas corrobora que as idades referenciadas por Piaget não são absolutas, ao contrário, indicam apenas a média da maioria das crianças examinadas. O fato de F(5) estar na Fase III, não diz nada a respeito desta criança ser mais bem dotada intelectualmente do que as demais, o raciocínio análogo se aplica a E(10). O desempenho de uma criança merece ser destacado, pois apesar de Piaget ter estabelecido subfases, estas ainda não são suficientes para descrever todas as respostas 372

17 dos sujeitos, o que só confirma o caráter construtivo desse conhecimento. L(3) apresenta estruturas cognitivas que nos indicam a presença de um nível intermediário entre IA e IB, nível este não estabelecido por Piaget. Enfim, analisando os resultados desta atividade, o que de mais interessante ficou para o futuro professor foi ver claramente como o conhecimento é realmente construtivo. Observar que as crianças começam percebendo apenas as relações topológicas e, progressivamente, vão construindo novas estruturas cognitivas, que permitem conhecimentos mais complexos e, além de subsidiar as ações pedagógicas, possibilitam ver na prática o que até então vimos somente em teoria. Referências KOBAYASHI, Maria do Carmo Monteiro. A construção da geometria pela criança. Bauru: Edusc, p. PIAGET, Jean; INHELDER, Bärbel. A representação do espaço na criança. Porto Alegre: Artes médicas, p. PIAGET, Jean. A construção do real na criança. 3. ed. Rio de Janeiro: Zahar, p. PIAGET, Jean; INHELDER, Bärbel; SZEMINSKA, Alina. The Child s conception of geometry. New York: Harper&Row, p. WADSWOTH, Barry J. Piaget para o professor da pré-escola e 1º grau. São Paulo: Pineira, p. 373