EXERCÍCIOS DE PRODUTOS E MERCADOS DERIVADOS (FUTUROS FORWARDS OPÇÕES & SWAPS)

EXERCÍCIOS DE PRODUTOS E MERCADOS DERIVADOS (FUTUROS FORWARDS OPÇÕES & SWAPS) João Duque Fevereiro de 2004 1

Exercício 1 Usando a informação que lhe é fornecida pelo quadro abaixo sobre as opções cotadas sobre a empresa Worldfoods responda às seguintes alíneas: OPÇÕES DE COMPRA E DE VENDA SOBRE A WORLDFOODS Preço da acção a 2.54 no dia 1 de Novembro PREÇOS OPÇÕES DE COMPRA OPÇÕES DE VENDA DE DATAS DE EXPIRAÇÃO DATAS DE EXPIRAÇÃO EXERCÍCIO JAN APR JUL JAN APR JUL 2.40 25 35 42 6 10 12 2.60 14 23 31 14 18 20 2.80 7 15 23 27 29 30 3.00 3 9 16 47 49 50 a) Quais as opções que estão in-the-money? b) Quais as opções de venda out-of-the-money c) Qual o Valor Intrínseco das opções que expiram em Abril? d) Qual o Valor Temporal das opções com preço de exercício 3.00? e) Qual o rácio de moneyness das opções de compra com vencimento em Julho? f) Se a dimensão do contrato for de 100 acções, quanto deverá pagar se quiser comprar um contrato de opções de venda com vencimento em Julho e preço de exercício de 2.80? g) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.00 qual o valor da opção de compra com vencimento nessa data e preço de exercício de 2.60? h) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.00 qual o valor da opção de venda com vencimento nessa data e preço de exercício de 2.60? i) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.15 qual o resultado (lucro / prejuízo) obtido através da compra, hoje, de uma opção de compra com vencimento para essa data e preço de exercício de 2.60? E se as acções estiverem a cotadas a 2.45? 2

j) Se em Julho as acções da Worldfoods estiverem cotadas a 3.15 qual o resultado (lucro / prejuízo) obtido através da compra, hoje, de uma opção de venda com vencimento para essa data e preço de exercício de 2.60? E se as acções estiverem a cotadas a 2.45? Exercício 2 Usando a informação do exercício 1, e admitindo que a taxa livre de risco continuamente composta é de 4% mostre se há a possibilidade de criação de carteiras de arbitragem usando os seguintes activos: a) Uma opção de venda com preço de exercício a 2.60 e maturidade em Abril, admitindo que as opções são de estilo europeu; b) Uma opção de venda com preço de exercício a 3.00 e maturidade em Abril, admitindo que as opções são de estilo americano; c) Uma opção de compra com preço de exercício a 2.40 e maturidade em Julho, admitindo que as opções são de estilo europeu; d) Uma opção de compra e outra de venda com maturidade em Janeiro e preços de exercício a 2.80, admitindo que as opções são de estilo europeu; e) Uma opção de compra com preço de exercício a 2.40 e maturidade em Julho admitindo que as opções são de estilo europeu e admitindo ainda que vai pagar dividendos de 0.20 em fins de Março. f) Uma opção de compra e outra de venda com maturidade em Abril e preços de exercício a 2.60, admitindo que as opções são de estilo americano; Exercício 3 Usando a informação do exercício 1, componha as seguintes estratégias e desenhe os gráficos de resultados: 3

a) Compra de uma opção de venda e uma opção de compra com preço de exercício de 2.60 e vencimento em Abril. a1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se: A1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20? A1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60? A1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00@? a2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se: A2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20? A2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60? A2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00@? a3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia? b) Compra de uma opção de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.40 e venda de uma opção de compra com vencimento em Abril e preço de exercício de 2.80. b1) Qual o valor dessa carteira no vencimento se: b1.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20? b1.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60? b1.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00@? b2) Qual o resultado dessa estratégia no vencimento se: b2.1) Se as acções estiverem cotadas a 3.20? b2.2) Se as acções estiverem cotadas a 2.60? b2.3) Se as acções estiverem cotadas a 2.00@? b3) Quais as vantagens e desvantagens que vê nesta estratégia? Exercício 4 Uma instituição financeira tem na sua carteira de activos várias acções que replicam exactamente a composição do índice europeu Stoxx 50. O índice está neste momento nos 1500 pontos a instituição teme uma descida violenta no índice. A carteira de acções vale hoje 3 milhões de euros. Existe um contrato a futuros sobre este índice com vencimento para Setembro cotado a 1550 e com vencimento para Dezembro cotado a 1600. 4

a) Se na data de vencimento dos contratos a futuro o índice estiver nos 1570 pontos qual o preço a futuro que se deve estar a praticar no mercado de futuros? b) Supondo que cada ponto é avaliado em 10 euros qual a posição a tomar em contratos a futuro (vencimento do contrato, posição - compradora ou vendedora - e quantidade de contratos) por forma a que a empresa esteja segura que os resultados do exercício de 2000 não serão afectados por quaisquer variações nos preços a futuro? c) Mostre, usando 2 cenários alternativos (por exemplo que o índice está nos 1400 pontos ou que está nos 1600 pontos) que tomando a sua indicação dada em b), os resultados da variação do índice não teriam quaisquer efeitos sobre os resultados financeiros da empresa. d) Se estiverem cotadas opções de compra e de venda sobre este índice, com vencimento para Dezembro e preço de 1500, estando as opções de compra cotadas a 120 pontos, e as opções de venda a 100 pontos, qual o valor destas opções no vencimento se o índice estiver nos 1600 pontos à data do vencimento? e) Usando as opções referidas na alínea anterior, que posição sugere que a empresa tome por forma a cobrir o risco de uma descida do índice? f) Se o índice estiver nos 1600 pontos em Dezembro (na data de vencimento) e tendo seguindo a estratégia proposta na alínea anterior, quais os resultados financeiros que a empresa obteve nas operações do mercado de capitais (à vista e em derivados)? Exercício 5 Suponha que um gestor de uma carteira de acções composta por activos europeus, deseja cobrir o risco dessa carteira com recurso a futuros ou opções sobre o índice FTSE Stars. O contrato está desenhado por forma a cada ponto do índice ser valorizado a 10, sendo o preço dos futuros e das opções estabelecido em pontos de índice e valorizado do mesmo modo. O preço mínimo de variação é de 1/2 ponto (5 ). O índice está neste momento nos 5500 pontos e existem futuros cotados a 3 5

meses, bem como opções com vencimento na mesma data e diversos preços de exercício. Cotações Futuros com vencimento a 3 meses Opções X = 5400 425 pontos Opções X = 5500 232 pontos Opções X = 5600 198 pontos 5570 pontos a) Estando na disposição de arriscar 10% do valor da carteira que é hoje de 10.000.000, qual a posição a tomar em futuros ou opções, estimando um beta de 1,8 para a carteira (calculado tendo por base o índice Stars). Especifique qual a posição, o número de contratos e o preço de exercício, se for caso disso, quer para futuros quer para opções. b) Se no vencimento o índice estiver a 5200 pontos, qual teria sido a melhor solução? (especifique se teria sido tomar posição a futuro ou em que série de opções) c) Suponha que lhe exigem uma margem inicial de 1000. Contabilize a evolução da margem ao longo dos 5 dias seguintes supondo a posição tomada em futuros na alínea a). Dias Cotação 1 5570 2 5575 3 5585 4 5565 5 5580 d) Supondo que o preço a futuro sobre o índice está em equilíbrio e que não é previsto um dividend yield, qual o valor esperado da sua carteira de acções dentro de 3 meses se, no vencimento o preço a futuro estiver nos seus 6000 pontos? Exercício 6 Um gestor de um Fundo composto por uma carteira diversificada que replica sensivelmente o índice PSI20, tem sob a sua administração um património no valor de 6

1.800.000 contos. O Índice está neste momento nos 13.500 pontos, tem uma volatilidade esperada para o próximo semestre de 12%, distribui em média 3% de dividendos e a taxa livre de risco a 6 meses está nos 11%. Cada contrato de opções é estabelecido com base no valor do índice multiplicado por 100$00. No regulamento do Fundo define-se que as aplicações em derivados não podem exceder, avaliadas ao valor nominal dos contratos em que há posições abertas, 30% do valor do mesmo, quer para efeitos de cobertura de riscos quer para efeitos especulativos. O gestor do Fundo espera uma descida de cotações generalizada prevendo que em Dezembro o PSI20 venha a quedar-se pelos 11.500 pontos. Não é política do Fundo o desinvestimento nos títulos que detém em carteira. Assim parece mais razoável um investimento em opções. As cotações das séries disponíveis em opções com vencimentos para Dezembro de 1995 são as seguintes: Preço de Exercício OPÇÕES DE COMPRA OPÇÕES DE VENDA 11 000 2880 2 13 000 1090 150 15 000 140 1055 1 - Que estratégia sugere para o Fundo em causa tendo em vista uma cobertura estática até Dezembro de 1995 e supondo que se vêm a confirmar as expectativas do gestor do Fundo? Defina a posição (compradora/vendedora) a tomar, a série e o número de contratos. 2 - Se pretender efectuar uma cobertura dinâmica, que estratégia aconselha? Defina a posição (compradora/vendedora) a tomar, a série e o número de contratos. Exercício 7 Um fundo de investimento mobiliário detém em carteira 10 milhões de contos de valores mobiliários. Este montante está repartido do seguinte modo: 30% em acções 7

e 65% em Obrigações e 5% em numerário e Depósitos à Ordem. Do montante investido em acções 40% são de origem externa. Os restantes 60% constituem uma carteira diversificada com um Beta igual a 1,4. O gestor da carteira está apreensivo sobre a evolução do índice durante o maldito Verão que se aproxima. O índice PSI- 20 está neste momento cotado a 4120 pontos e o preço dos futuros sobre o índice com vencimento para Dezembro de 1996, está cotado a 4400 pontos. 1) Que posição deve o gestor da carteira tomar no mercado de futuros (sinal e quantidade de contratos), se desejar cobrir 50% do valor da carteira de títulos nacionais? 2) Qual a taxa de juro que o mercado está a assumir como taxa livre de risco, se considerar que a taxa de remuneração por via de dividendos (dividend yield) é de 0% até Dezembro? 3) Se o índice de acções PSI20 estiver nos 4000 pontos em Dezembro de 1996, que ganhos/perdas terão sido obtidos no mercado de futuros? De que modo terá sido compensado pelas variações de valor da carteira? 4) Caso o gestor da carteira pretenda alterar a composição da mesma, que estratégia deverá seguir usando futuros sobre índices e Obrigações do Tesouro por forma a obter uma composição de 20% de Obrigações e o remanescente de acções? Exercício 8 Um fundo de investimento mobiliário detém em carteira 10 milhões de contos de valores mobiliários. Este montante está repartido do seguinte modo: 30% em acções da Portugal Telecom, 25% em acções do BCP e 45% em acções da EDP. Os respectivos betas esperados para o próximo ano sâo 1,5, 1,2 e 0,8. O gestor da carteira está apreensivo sobre a evolução do índice durante o Outono que se aproxima. O índice PSI-20 está neste momento cotado a 7800 pontos e estão cotadas opções europeias sobre o índice com vencimento dentro de 5 meses (para finais de Dezembro de 1997). As séries de opções disponíveis são: 8

Opções de Compra Prémio Opções de Venda Prémio X = 7600 635 X = 7600 217 X = 7800 518 X = 7800 294 X = 8000 416 X = 8000 386 Assuma que a taxa de remuneração por via de dividendos (dividend yield) é de 0% até Dezembro 1) Suponha que a taxa livre de risco se situa nos 7% ao ano e que a volatilidade esperada para o índice PSI20 para o período decorrente até Dezembro de 96 é de 20%. Que posição deve o gestor da carteira tomar no mercado de opções (sinal e quantidade de contratos), se desejar cobrir 100% do valor da carteira de títulos nacionais de modo dinâmico? 2) Se no dia seguinte o índice se mover para os 7810 pontos qual o valor global da carteira? 3) Se o índice de acções PSI20 estiver nos 8100 pontos em Dezembro de 1996, que ganhos/perdas terão sido obtidos no mercado de opções e na carteira de acções se tivesse comprado opções de venda com preço de exercício X=7800? 4) Qual teria sido a melhor estratégia estática a usar se em Dezembro de 96 o índice se fixar em 7500 pontos? Exercício 9 Suponha que vai lançar um produto estruturado que está desenvolvido sobre o índice PSI20. O produto só permite o resgate no vencimento (dentro de 6 meses), o detentor dest produto (opção) recebe a diferença (contada em pontos de índice e convertida no mesmo número de euros), acima do preço de exercício (7.500 pontos) até ao limite de 8500 pontos. Isto é, se o índice estiver cotado a 9.000 pontos o titular desta opção só recebe 1.000 euros. A taxa de juro sem risco é de 6% ao ano e não se espera que as empresas constituintes do índice distribuam dividendos até ao vencimento. A volatilidade histórica dos últimos 6 meses foi de 25% ao ano, e o índice está neste 9

momento nos 7.000 pontos. Assuma um ambiente semelhante e compatível com a equação de Black - Scholes. a) Usando uma árvore binomial em que as variações temporais para avaliação correspondem a 2 meses (árvore com 3 desdobramentos e 4 nódulos finais) qual o valor da opção? b) Qual o delta da opção? c) Qual o Theta da opção? d) Se a opção fosse americana o valor seria diferente? (Se acha que sim, basta exemplificar com um nódulo) e) Se uma instituição financeira emitir um produto semelhante, mas com as bandas mais afastadas (por exemplo preço de exercício inferior de 7.200 pontos e preço de exercício superior de 8.800 pontos) qual das duas opções deverá ser mais cara? Justifique. Exercício 10 Suponha que a prata é transacionada nos mercados mundiais e que, num determinado momento o preço spot é de 5.90 USD/oz de prata e que o futuro sobre a prata com vencimento a um ano está cotado a 6.55-6.75 USD/oz de prata (compra - venda). a) Que tipo de agente poderá estar interessado em comprar contratos a futuro sobre a prata? b) Se a taxa de juro sem risco estiver a 5% ao ano, haverá oportunidades de arbitragem (asuma que a convenience yield é nula)? Em caso afirmativo, explique qual a estratégia a montar para e qual o benefício líquido por cada onça a negociar. 10

Exercício 11 Suponha que um contrato forward sobre um activo financeiro se vence a um ano e estabelece um preço forward de 10.00. A taxa de juro sem risco é de 8%. Seis meses depois, novos contratos forward sobre o mesmo activo e com vencimentos a 6 meses estão a ser negociados ao preço de 12.00. Qual é o valor do contrato forward original, no momento inicial e passado os 6 meses? Exercício 12 Um gestor gere uma carteira de acções no valor de 20 milhões de euros, tendo por base uma aproximação ao índice Stoxx 50. Este gestor acredita que o mercado vai descer durante o próximo mês e decide eliminar o risco durante esse período. Existe a seguinte informação disponível: Contrato Futuros de Stoxx 50 para entrega a 1 mês estão cotados a 1084.50. Dividendo yield da carteira em causa é de 2.1% ao ano. O beta da carteira é de 1,75. O índice Stoxx 50 hoje está hoje a 1081.40. Cada ponto do índice vale 10,00. a) Qual a estratégia de cobertura a realizar pelo gestor? b) Calcule a rendibilidade esperada a receber no próximo mês. Se necessário, assuma alguns pressupostos. Exercício 13 Suponha que se encontram cotadas opções europeias de compra e de venda sobre a Portugal Telecom com preço de exercício de 10.00 e maturidade dentro de 6 meses. 11

Suponha que a taxa de juro sem risco é de 8% ao ano e que a volatilidade é de 20%. As acções da PT estão hoje cotadas a 9.00. a) Usando a equação de Black - Scholes determine o preço teórico de uma opção de compra europeia e de uma opção de venda europeia sobre a PT com as carcaterísticas acima descritas. b) Se prevê que as acções PT vão pagar um dividendo de 0,5 dentro de 3 meses, qual o valor teórico de uma opção de compra europeia sobre a PT? c) Se possuir uma carteira de acções da PT e se estiver ligeiramente pessimista, prevendo apenas uma queda de 1 nos próximos 9 meses, qual a estratégia estática que propõe para combinar com as acções para maximizar a rendibilidade da sua carteira? d) Qual o delta da opção de compra europeia avaliada na alínea a)? e) Se as opções de compra avaliadas na alínea a) estiverem cotadas no mercado a 0,5 o que sugere que se faça esquecendo agora que tem uma carteira de acções e que pretende apenas retirar vantagens do mercado de opções? Exercício 14 Suponha que está interessado em avaliar uma opção exótica europeia sobre o índice PSI20. No vencimento (dentro de 6 meses), o detentor desta opção recebe a diferença (contada em pontos de índice e convertida no mesmo número de euros), acima do preço de exercício (7.500 pontos) até ao limite de 8500 pontos. Isto é, se o índice estiver cotado a 9.000 pontos o titular desta opção só recebe 1.000 euros. A taxa de juro sem risco é de 6% ao ano e não se espera que as empresas constituintes do índice distribuam dividendos até ao vencimento. A volatilidade histórica dos últimos 6 meses foi de 25% ao ano, e o índice está neste momento nos 7.000 pontos. Assuma um ambiente semelhante e compatível com a equação de Black - Scholes. a) Usando uma árvore binomial em que as variações temporais para avaliação correspondem a 2 meses (árvore com 3 desdobramentos e 4 nódulos finais) qual o valor da opção? b) Qual o delta da opção? 12

c) Qual o Theta da opção? d) Se a opção fosse americana o valor seria diferente? (Se acha que sim, basta exemplificar com um nódulo) e) Se uma instituição financeira emitir um produto semelhante, mas com as bandas mais afastadas (por exemplo preço de exercício inferior de 7.200 pontos e preço de exercício superior de 8.800 pontos) qual das duas opções deverá ser mais cara? Justifique. Exercício 15 A administração de uma empresa refinadora de petróleo enviou uma nota interna ao director financeiro, no sentido de estabelecer os procedimentos e rotinas apropriados à cobertura do risco. O director financeiro ficou inicialmente indeciso sobre que atitude tomar pois não estava especificado qual a natureza dos riscos a cobrir. a) Tratando-se do risco operacional, quais as medidas que em seu entender devem ser tomadas para cumprir os desejos da administração? b) E tratando-se do risco de preço, sabendo-se que a empresa refina anualmente 1000 milhões de barris, cuja aquisição é feita trimestralmente em encomendas semelhantes, se a empresa estiver disposta a cobrir apenas 60% dessa quantidade, qual a política a seguir através de contratos a futuro? (explicite a quantidade de contratos, posição a tomar no mercado e respectivos vencimentos de acordo com os pressupostos que deve assumir no sentido de completar o problema) c) Se o preço a futuro na data de hoje, para um contrato com vencimento em Dezembro, estiver a $US 18.20 o barril, e se o preço spot for de $US17.80, qual o movimento na conta margem da empresa que adoptou a política proposta na alínea anterior ao longo de um período de 5 dias, se as liquidações de ganhos e perdas forem feitas diariamente? Data Preço de liquidação diário Posições abertas t 18.20 12.500 t+1 18.00 15.800 t+2 17.70 15.000 t+3 17.90 17.000 t+4 18.30 18.000 t+5 18.50 22.000 13

d) Pode considerar-se que a empresa apurou um ganho ou uma perda? e) Se a taxa de juro sem risco for de 5% ao ano, determine se existem oportunidades de arbitragem no mercado do petróleo para os preços de hoje (condições da alínea c), e explique que procedimentos tomar para daí tirar as devidas vantagens. Exercício 16 Uma determinada empresa tem sob sua gestão uma carteira de acções diversificada. O risco sistemático dessa carteira de acções é 1,5 e o gestor dessa carteira está expectante sobre uma possibilidade de descida de cotações. O índice PSI20 está hoje cotado a 10.200 pontos e a taxa de juro sem risco está nos 4% ao ano. O valor da carteira de acções, avaliada às cotações de hoje é de 10 milhões de euros. Não se espera que de hoje até Dezembro as empresas constituintes do índice venham a distribuir dividendos. Se estiverem cotados contratos com vencimento para Setembro e Dezembro e se a empresa quer minimizar o risco de preço para uma data próxima do final do mês de Outubro (após as eleições legislativas) a) Que sugere à empresa como actuação mais adequada? (Explicite posição a tomar, número de contratos e contrato a seleccionar em concreto, assumindo que a correlação entre a rendibilidade do índice e a do preço a futuro é de 0.85 e que a volatilidade de ambos estes preços é de 20%) b) Se lhe sugerissem que cotasse o contrato com vencimento para Setembro, estando neste momento muito pessimista sobre a evolução das cotações nos próximos meses, qual o preço a futuro que proporia? c) Se no vencimento o índice estiver a 11.000 pontos quanto é esperado que se tenha valorizado/desvalorizado a sua carteira e quanto ganhou/perdeu no mercado a futuro? d) Em que medida o preço à vista e a futuro observados hoje, lhe sugerem a existência de uma convenience yield? 14

Exercício 17 Suponha as condições propostas para o problema II incluindo as da alínea a). Tratando-se agora de opções sobre futuros sobre o índice PSI20, a) Qual o preço teórico para uma opção de compra sobre o índice com vencimento dentro de 6 meses e preço de exercício de 11.000 pontos? Assuma que o dividend yield é nulo para o prazo até ao vencimento que ocorrerá dentro de 3 meses. b) Se desejar cobrir o risco de preço com o recurso a opções, o que sugere que se faça perante a hipótese de tomar posições em opções (indique contrato, número de contratos e posição a tomar seleccionando a partir das seguintes opções) Vencimento Preço de Exercício Opções de Compra Opções de Venda Outubro 99 X=9.000 1320 39 Outubro 99 X=10.000 565 265 Outubro 99 X=11.000 162 858 c) Se no vencimento o PSI20 estiver nos 9.500, qual o resultado da estratégia enunciada na alínea anterior quer no mercado de derivados, quer na carteira em que tem posição? d) Comente a seguinte afirmação em não mais que 10 linhas: O recurso a opções para cobrir o risco de preço não tem qualquer utilidade, uma vez que o risco medido através do desvio padrão das rendibilidades não é eliminado integralmente. Com futuros o resultado é superior até porque no encerramento da posição, a remuneração é equivalente à taxa sem risco Exercício 18 a) Usando o modelo binomial, avalie uma das opções de venda do exercício anterior assumindo que o intervalo de tempo entre cada alteração de preço é apenas de 1 mês. b) Como explica a existência de diferentes volatilidades implícitas em opções sobre o mesmo activo subjacente e com a mesma data de vencimento? 15