SISTEMAS DE CONTROLE II

SISTEMAS DE CONTROLE II - Algumas situações com desempenho problemático 1) Resposta muito oscilatória 2) Resposta muito lenta

3) Resposta com erro em regime permanente 4) Resposta pouco robusta a perturbações 5) Resposta muito susceptível a ruídos de medição Exemplo: ε.sen(ω.t) Sinal Ondulado Utilizando um controlador PID (parte Derivativa), a resposta fica: ε. ω.cos(ω.t) isso mostra que os ruídos são amplificados.

A resposta adequada é aquela resposta sem oscilações (ou poucas oscilações), rápida, sem erro em regime permanente (ou com erro em regime permanente nulo), robusta a perturbações e pouco susceptível a ruídos de medição. - Regulação x Rastreamento Regulação Regulação consiste no problema de levar o sistema de volta ao ponto de operação x 1 = x 1 -x 10 x 2 = x 2 -x 20 Regulação (no novo sistema de coordenadas) consiste em levar o sistema para a origem.

Rastreamento O rastreamento consiste em levar o sistema a acompanhar um sinal de referência qualquer. - Sequência de projeto 1) Escolha do controlador 2) Sintonia inicial a) Métodos de Ziegler-Nichols b) Método polinomial c) Método do lugar das raízes (roots-locus) d) Método frequencial (Diagrama de Bode) e) Método por variáveis de estado 3) Sintonia fina (ajuste intuitivo)

- Índice de desempenho r Referência y Saída da planta y final lim t y t P.O. (Porcentagem de Overshoot) ym áx yfinal P.O. =.100% yfinal Ts (Tempo de acomodação ou tempo de estabilização) é o tempo necessário para a resposta ficar dentro de um percentual em relação ao valor final. - Critérios para o percentual Ts 5% (Tolerância de 5%) Ts 2% (Tolerância de 2%) Erro e = r y Erro em regime permanente e. r. = lim t e(t) - Controlador Proporcional (P) U(s) = Kc.E(s) => u(t) = Kc.e(t) Em geral, o erro em regime não é nulo e o ganho é proporcional ao erro.

Em geral: Kc pequeno P.O. baixo Tempo de acomodação alto Erro em regime alto Kc intermediário Essa é a situação mais adequada para porcentagem de overshoot, tempo de acomodação e erro em regime. Nos projetos utilizamos o Kc intermediário.

Kc grande P.O. alto Tempo de acomodação alto Erro em regime baixo - Controlador Proporcional-Integrativo (PI) U(s) = Kc + Ki s ). E(s) => u(t) = Kc. e t + Ki t 0 e t. dt Veja que em u(t), temos uma parte proporcional e outra parte integrativa.

A parte proporcional age no início e a parte integrativa age no final. Vamos mostrar porque a saída y não pode ficar abaixo nem acima da referência em regime permanente.

Agora vamos ver um exemplo acima do nível da referência em regime permanente.

- Conclusão geral: Com o controlador PI consegue-se um e. r. = 0 para r(t) tipo degrau.

Ki pequeno Porcentagem de overshoot baixa Tempo de acomodação alto Ki grande Porcentagem de overshoot alto Tempo de acomodação alto Ki intermediário Respostas adequadas para porcentagem de overshoot e tempo de acomodação. - Controlador Proporcional Integrativo Derivativo (PID) U(s) = Kc + Ki s + Kd. s. E(s) => u(t) = Kc. e t + Ki e t. dt + Kd. d dt e(t)

Conclusão: a parte derivativa se opõe as outras duas componentes e faz isso com mais intensidade quando o módulo da variação do erro é maior. Como o Kd é mais relacionado a porcentagem de overshoot, vamos analisá-lo com Kc e Ki constante. Kd grande Porcentagem de Overshoot baixo Kd pequeno Porcentagem de Overshoot alto Kd intermediário Resposta adequada para a porcentagem de overshoot Conclusão final: Com um controlador PID é possível obter um desempenho transitório adequado.

- Controlador PID Efeito de cada componente As componentes proporcionais, derivativa e integrativa atuam em momentos distintos. A parte proporcional P mais importante no início do transitório. A parte proporcional I mais importante em regime permanente. A parte proporcional D mais importante quando a saída da planta está variando mais rapidamente. Parametrizações do PID G c (s) = U(s) E(s) G c (s) função de transferência do controlador G c (s) = Kc + Ki. 1 + Kd. s s (mais intuição) G c (s) = Kc(1 + Ki = Kc τi Kd = Kc. τd 1 τi.s + τd. s) (melhor para projeto)

- Sistemas de 1ª Ordem qi vazão de entrada qi > 0 bomba está colocando líquido no reservatório qi < 0 bomba está retirando líquido do reservatório qi = Ki.u u tensão aplicada na bomba q0 vazão de saída q0 = R h nível R resistência de restrição V = A.h V volume A área da seção reta u entrada y = h saída d dt = 1 R. A A. d dt = qi q0 A. d dt = Ki. u R Ki. +. u Descrição por variáveis de estado A - Aplicando a transformada de Laplace (C. I. nulas)

s + 1 R. A s. H s = 1 R. A Ki. H s +. U s A Ki H(s). H s =. U s A U(s) = Y(s) = G s = U(s) Ki. R R. A. s + 1 = K τs + 1 K = Ki.R ganho estático Τ = R.A constante de tempo G(s) = K τs+1 função de transferência Para u(t) = C1, C1 0, U(s) = C1 (u é um degrau) Y s = G s. U s = s K τs + 1. C1 K s s = s + 1. C1 s = K1 τ s + 1 + K2 s τ K. C1 τ K1 = = K. C1 1 τ K2 = K. C1 τ 1 τ = K. C1 y(t) = -1 {Y(s)} = K. C1. e t τ + K. C1 = K. C1(1 e t τ) t Y erro(%) τ 0,63.K.C 1 37 2τ 0,86.K.C 1 14 3τ 0,95.K.C 1 5 4τ 0,98.K.C 1 2 5τ > 0,99.K.C 1 < 1 T s5% = 3 τ (tempo necessário para y ficar dentro de uma tolerância de 5% em relação ao valor final)

T s2% = 4 τ (tempo necessário para y ficar dentro de uma tolerância de 2% em relação ao valor final) Regime permanente na pratica: t 5 τ Ex. K G s = 1 + 1 τ Pólo(s): 1 τ < 0 Sistema estável Zero(s): -x- τ 1 Grande 1 τ 1 pequeno, pólo próximo do eixo imaginário sistema lento τ 2 Pequeno 1 τ 2 grande, pólo afastado do eixo imaginário sistema rápido -Planta de 2ª Ordem

f=u Força x=y Deslocamento K Constante da mola B Coeficiente de atrito viscoso M. x = f K. x B. x M. x + K. +B. x = f Descrição por variáveis de estado x 1 = x x 1 = x 2 x 2 =x x 2= K M. x 1 B M. x 2+ 1 M. f y = x 1 x = x 1 x 2 x 1 x 2 = 0 1 K B M M. x 1 x 2 + 0 1 M.u y = 1 0. x 1 x 2 x = A. x + B. u y = C. x + D. u (B é uma matriz) D só aparece quando a saída influencia diretamente na entrada A = 0 1 K B M M ; B = 0 1 M ; C = 1 0 Aplicando a Transformada de Laplace e considerando Condições Iniciais nulas, temos: M. s 2. X s + B. s. X s + K. X s = F s M. s 2 + B. s + K. X s = F s X s F s = Y s U s = G s = 1 M. s 2 + B. s + K = 1 M s 2 + B M + K M

G s = K s 2 + 2. ξ. ω n. s + ω n 2 Onde: K = 1 M 2. ξ. ω n = B M ω n 2 = K M ω n Frequência natural ξ Fator de amortecimento G s = K s 2 + 2. ξ. ω n. s + ω n 2 Zeros: -x- Pólos: s 2 + 2. ξ. ω n. s + ω n 2 = 0 s = 2. ξ. ω n 2 ± 4. ξ 2. ω n 2 4. ω n 2 2 s = ξ. ω n ± ω n. ξ 2 1 1º Caso: ξ > 1 Pólos reais, distintos e negativos s 1 = ξ. ω n + ω n. ξ 2 1 s 2 = ξ. ω n ω n. ξ 2 1 O efeito de s 1 é muito lento, o efeito de s 2 é muito rápido.

Para u t = 1 U s = 1 s Y s = G s. U s = K (s + ξ. ω n ω n. ξ 2 1). s + ξ. ω n + ω n. ξ 2 1. s K1 s + ξ. ω n ω n. ξ 2 1) + K2 s + ξ. ω n + ω n. ξ 2 1) + K3 s y t = L 1 Y s = K1. e ( ξ.ω n + ω n. ξ 2 1)t + K2. e ( ξ.ω n ω n. ξ 2 1)t + K3, t 0. Coeficiente de atrito grande deixa o ξ > 0 lim t y(t) = lim s. Y(s) = lim s 0 Caso Sobre-Amortecido s 0 s. K s 2 + 2ξ. ω n. s + ω n 2. 1 s = K ω n 2 2º caso: ξ=1 pólos reais iguais e negativos s 1 = s 2 = -ω n Y s = G s. U s = k s + ω 2. 1 n s = k 1 s + ω 2 + k 2 n s + ω + k 3 n s

y t = L 1 Y(s) = K 1. e ω n.t + K 2. e ω n.t + K 3 3º caso: 0 < ξ < 1 s 1,2 = ξ. ω n ± j. ω n 1 ξ 2 a 2 = ξ. ω n 2 + ω n 2. 1 ξ 2 a = ω n cos Θ = ξ. ω n ω n ξ = cos Θ Para u t = 1, U s = 1 s Y s = G s. U s = K s + ξ. ω n j. ω n. 1 ξ 2. s + ξ. ω n + j. ω n. 1 ξ 2. s

K1 s + ξ. ω n j. ω n. 1 ξ 2 + K2 s + ξ. ω n + j. ω n. 1 ξ + K3 2 s y t = L 1 Y s = K1. e ( ξ.ω n + j.ω n. 1 ξ 2 )t + K2. e ( ξ.ω n j.ω n. 1 ξ 2 )t + K3, t 0. y t = K ω n 2. [1 e ξ.ω n.t 1 ξ 2. sen(ω n. 1 ξ 2. t + arcos ξ ] P.O. (Porcentagem de Overshoot) P.O. = y m áx K ω n 2 K ωn 2. 100 = 100. e π.ξ 1 ξ 2 Para: ξ = 0,7 P. O. = 5% θ = 45º Para: Ts 5% = 3.τ = Ts 2% = 4.τ = ξ = 0,5 P. O. = 16,3% θ = 60º 3 ξ.ω n, τ valor para a exponencial ficar -1. 4 ξ.ω n

Regime permanente na prática t Ex.: Deseja-se P.O. 5% Ts 2% 4s P.O. = 5% ξ = 0,7 θ = 45º Ts 2% = 4 = 4 ξ.ω n ξ. ω n = 1 5 ξ.ω n Pólos: -1 + j, -1 j. Obs: para ξ = 0, temos: y t = K ω n 2. 1 sin ω n. t + 90 o = K ω n 2. 1 cos ω n. t 0,1,-1 P.O=100% Ts2% Ts5%

-Sistemas de ordem maior Aproxima-se por um sistema de 1ª ordem Aproxima-se por um sistema de 2ª ordem Real de um pólo dominado 5*. Real de um pólo dominante * boa aproximação Sistema aproximadamente de 1ª ordem - Estabilidade Ex.: u t = 1 Degrau unitário U s = 1 s

Y s = G s. U s = 1 s 2. 1 s = K1 s 2 + K2 s K1 = 1 s s=2 = 1 2 K2 = 1 s 2 s=0 = - 1 2 y t = 1 2. e2.t 1 2 t 0 y h (t) = 1 2. e2.t Componente homogênea y p (t) = 1 Componente particular 2 lim t y (t) Sistema instável Pólo: 2 Pólo com parte real positiva, sistema instável. Ex.: u t = 1 Degrau unitário U s = 1 s Y s = G s. U s = 1 s + 2. 1 s = K1 s + 2 + K2 s

K1 = 1 s s=-2 = - 1 2 K2 = 1 s+2 s=0 = 1 2 y t = 1 2. e 2.t + 1 2 t 0 y h (t) = 1 2. e 2.t Componente homogênea y p (t) = + 1 Componente particular 2 Pólo: -2 Pólo real negativo, sistema estável. -Critério algébrico para a estabilidade (critério de Routh-Hurwitg) N s G s = a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 2 s + a 0 1º passo: a 0, a 1, a 2,e a 3 com mesmo sinal (nenhum pode se anular)\ 2º passo: s 3 a 3 a 1 s 2 a 2 a 0 b 0 = a 2.a 1 a 3.a 0 a 2 s 1 b 0 0 s 0 a 0 Coeficientes da 1ª coluna com o mesmo sinal (nenhum pode se anular) 1º passo + 2º passo sistema estável

-Zeros e pólos G s = s + a s + 2 (s + 3) Zero: -a Pólos: -2,-3 u t = 1 t U s = 1 s Y s = G s. U s = s + a s + 2 s + 3 s = K 1 s + 2 + K 2 s + 3 + K 3 s K 1 = s + a s + 3 s= 2 = a 2 2 = 2 a 2 K2 = K3 = s+a s+2 s s= 3 = a 3 3 s+a s+2. s+3 s=0 = a 6 y t = 2 a 2. e 2.t + a 3 3. e 3.t + a 6, t 0. y h (t) = 2 a 2. e 2.t + a 3 3. e 3.t y p (t) = a 6 e 2.t Modos do sistema (Determinado pelos pólos) e 3t Pólo em -2 modo e 2.t Pólo em -3 modo e 3.t O efeito do pólo pode ser atenuado pelo zero reduz o efeito do pólo com o zero próximo a ele. Zero em a pondera os modos do sistema.

- Desempenho em regime permanente Supor o sistema em malha fechada estável r Referência (Comportamento desejado para y). y Saída da planta. e.r. erro em regime permanente e.r. = lim t e t = lim s 0 s. E s e.r. = lim t e t = lim s 0 1º caso: r t = C 1, t 0 (degrau) K p constate de erro ao degrau K p = lim s 0 G s E s = R s Y s = R s G s. E s E s = s 1+G s. R(s) e.r. = lim s 0 2º caso: r t = C 2. t, t 0 (rampa) 1 1 + G s. R(s) R(s) = C 1 s s 1+G s. C 1 s = C 1 1+K P R s = C 2 s 2 e.r. = lim s 0 s 1+G s. C 2 s 2 = C 2 K v

K v = lim s 0 s. G s constante de erro à rampa -Planta tipo 0 G s = K 1. s+z 1 s+z 2 s+p 1 s+p 2 s+p 3 Kp = lim s 0 G(s) = K 1. Z 1. Z 2 P 1. P 2. P 3 0 e.r 0 K v = lim s 0 s. G s = 0 e.r. Planta tipo 1 G s = K 1 s + Z 1 (s + Z 2 ) s s + P 1 s + P 2 s + P 3

Kp = lim s 0 G(s) e. r. = 0 Kv = lim sg s = Z 1. Z 2. Z 3 0 e. r. 0 s 0 P 1. P 2. P 3 Efeito de perturbações r Referência p Perturbação Se G 1 (s) = 1, perturbação na entrada da planta Se G 2 (s) = 1, perturbação na saída da planta

Se G 1 (s) 1 e G 2 (s) 1, perturbação em um ponto intermediário da planta - Efeito de R(s) Considera-se P(s) 0 Y(s) R(s) = G 1 s. G 2 (s) 1 + G 1 s. G 2 (s) = G TC s Função de Transferência de Comando Efeito de P(s) Considera-se R(s) 0 Y(s) P(s) = G 2 (s) 1+G 1 (s).g 2 (s) = G tp s função de transferência de perturbação Y s = G tc s. R s + G tp s. P s Influência da referência Influência da perturbação Teorema do valor inicial e valor final Teorema do valor inicial lim f t = lim s. F s t 0 s Teorema do valor final (função estável)

lim t f t = lim s. F s s 0 -Efeito de ruídos oscilações. Supor r = constante = c r referência Na prática, a medida de y vem contaminada por ruídos, em geral, na forma de y medido = y teórico + ε. sin ωt Se houver necessidade de uti lização da componente derivativa (D) nos controladores do tipo PID (controlador PD e controlador PID), ocorrerá uma amplificação do ruído.

e = r y = r y teórico + ε. sin ωt d dt e t = d dt { r y teórico + ε. sin ωt } Em regime permanente, lim t y teórico = C (supor e.r. = 0) d lim t e t = ε. ω. sin ωt, há uma amplificação de ω vezes dt Obs.: no caso de ruídos causados pela fonte de alimentação, temos: f = 60 Hz ω = 2.π.f = 377 rad/s Um sistema com grande ruído não usamos controladores. - Introdução de um filtro Ex: Filtro passivo de 1ª Ordem Análise em aberto: V i = R. i + V o i = C. d dt V o V i = R. C. d dt V o + V o Aplicando a transformada de Laplace V i s = R. C. s. V o s + V o (s)

V o (s) V i (s) = 1 R. C. s + 1 = 1 filtro passa baixa τ. s + 1 τ = R. C - Introdução de um filtro na parte derivativa dos controladores PID Teoria τ d. s Pratica τ d.s introdução de um filtro 1+τ d.s Projeto sem filtro o Projeto mais simples o Sintonia fina mais trabalhosa Projeto com filtro o Projeto mais complexo o Sintonia fina menos trabalhosa No caso do projeto sem filtro, como a implementação sempre é feita com filtro, calcula-se a constante do filtro como: τ d = τ d N, 3 N 10 constante N sempre é números inteiros N=10 o Comportamento próximo do caso teórico o Amplificação significativa dos ruídos N=3 o Comportamento distante do caso teórico o Amplificação pequena dos ruídos Valor mais usado na pratica: N=5 *Na parte integrativa, atenua-se o ruído, pois ε. sen(ω. t) ε. cos ω. t atenua ω - Projeto de controladores Controlador tipo relé

Seja r = c u=m, para e 0 u=-m, para e 0 Supor: G s = K s+a.(s+b), K,a,b > 0 Para u=m U s = M s Para Y s = K s+a.(s+b). M s lim t y t = lim s. Y s = lim s. s 0 s 0 K s + a. (s + b). M s = K. M a. b Se K.M a.b < c, temos: Se K.M a.b = c, temos:

Para u = M U s = M s lim t K. M y t = lim Y s = s 0 a. b Se K.M a.b > c, temos:

M o Resposta atinge a referência mais rapidamente o Oscilações maiores amplitude das oscilações maiores o Tempo de estabilização maior M o Resposta atinge a referência mais lentamente o Oscilações menores o Tempo de estabilização menor Problema: alta freqüência de chaveamento

Solução: introdução de histerese u = M, para : e < e < e d dx e t < 0 u = -M, para : e - < e < e d dx e > 0 largura da histerese KM ab > c

Resposta oscilatória com pequena freqüência de chaveamento o Oscilações o Freqüência de chaveamento o Oscilações o Freqüência de chaveamento Obs: PI melhora o erro a parte integrativa ajuda a proporcional PID melhora o transitório a parte derivativa se opõem as partes P e I Ex: G s = r=1 1 s+2 s+3 - Controlador PID Método de sintonia inicial o Ziegler-Nichols o Polinomial o Lugar das raízes o Frequencial Método da sensibilidade malha fechada Método da curva de reação malha aberta - Método de Ziegler-Nichols 1) Sintonia inicial pelo método da sensibilidade 2) Sintonia inicial pelo método da curva de reação G s = K c 1 + 1 τ i. s + τ d. s K τ i. τ d. s 2 + τ i. s + 1 c τ i. s K 1 c. τ i. τ s2 + d τ. s + 1 d τ i. τ d K τ i s c. τ d s 2 + 1 τ d. s + 1 τ i. τ d s

s 2 + 1 τ d. s + 1 τ i.τ d = 0 s = 1 τ d ± 1 τ 2 + 4 τ d i.τ d 2 s = 1 τ d ± τ i 4τ d τ i. τ d 2 2 Caso mais simples: zeros reais iguais Zeros reais e iguais são: - 1 2τ d τ i 4τ d = 0 τ i = 4τ d - Método polinomial o Oferece a melhor sintonia inicial o Método que faz mais cálculos controladores mais sofisticado. 4 = b(s) s(s+1) a(s) n p = 0 n a = 2 Projetar o controlador mais simples de forma que o sistema em malha fechada apresente: P.O 5% T s2% 4s e.r 0,01 para r(t) = 2 Projete o controlador mais simples

Planta tipo 1 e.r = 0, para r(t) = 1 P.O 5% ξ = 0,7 θ = 45º T s2% = 4 ξ.ω n = 4 ξ. ω n = 1 Pólos de malha fechada: a s = s + 1 j s + 1 + j = s + 1 2 + 1 = s 2 + 2s + 2 grau de a = 2 Grau a tem que ser maior ou igual ao grau da planta. G s = p(s) l s Se p(s) e l(s) forem coprimos; podemos escrever da seguinte forma: n p < n a n p < 2 n p = 0 p s = p 0 primeira tentativa n p = 1 p s = p 1 segunda tentativa n l max(n a n a, n b 1) n l max (0, 1) n l 0 l s = l 0