Lógica Matemática 1. Semana 7, 8 e 9. Material Previsto para três semanas

Lógica Matemática 1 Semana 7, 8 e 9. Professor Luiz Claudio Pereira Departamento Acadêmico de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná Material Previsto para três semanas Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 91

Operações lógicas 1 Possibilidades de tabelas-verdade 2 Tautologia, contradição e contingência 3 Um Sistema Lógico não pode contradizer-se 4 Princípios de Substituição 5 Convenções da linguagem simbólica 6 Conectivo principal 7 Outras simbologias para as operações lógicas 8 Exemplos 9 Implicação lógica e equivalência lógica Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 91

Indução e Dedução Formulação de Aristóteles Para o famoso estagirita, indução é um procedimento que vai do particular para o geral e dedução é o movimento reverso. Neste sentido, (1) um processo indutivo começa pela observação de que um certo fenômeno ocorre mediante determinadas condições. (2) Isso sugere ou indica a possibilidade da ocorrência do fenômeno mediante condições similares mais gerais do que as da observação. Formula-se assim uma conjectura sobre o fenômeno. A conjectura é uma sentença declarativa em que se arma: se (tal condição mais geral) então (tal fenômeno é observado). (3) A veracidade da conjectura é dada pela sua capacidade em produzir informações novas verdadeiras, não previamente observadas, enquanto se mantém em acordo com as observações que lhe deram origem. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 91

Indução e Dedução Formulação de Aristóteles No processo indutivo, ao realizar a generalização expressa na (hipótese da) conjectura, não se tem certeza absoluta da armação feita (na conclusão), uma vez que não se observou o fenômeno mediante as condições mais gerais propostas. (a) Noutras palavras, a validade da conjectura não está assegurada em um processo indutivo. (b) Vale dizer, a conclusão (dada na conjectura) não decorre logicamente da(s) hipótese(s). Dedução Quando a suposta verdade da(s) hipótese(s) conduz (necessária e logicamente) à verdade da conclusão, tem-se uma dedução. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 91

Indução e Dedução Exemplo de processo indutivo (a) Todos os corvos observados até agora são negros. Logo, todos os corvos são negros. (b) Joguei uma pedra no lago e a pedra afundou. Joguei outra pedra no lago e ela também afundou. Joguei mais uma pedra no lago e também esta afundou. Logo, se eu jogar qualquer pedra no lago, ela afundará. Nas ciências naturais, um processo indutivo pode ser forte ou fraco dependendo do grau de apoio que a(s) hipótese(s) fornecem à conclusão. E em Matemática? Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 5 / 91

E sobre a veracidade desta armação? Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 91 Indução e Dedução Princípio(s) de Indução Em Matemática, pode-se tentar utilizar o(s) Princípio(s) de Indução para vericar logicamente uma conjectura. Apesar da nomenclatura, este(s) princípio(s) são deduzidos, i. e., são provados usando argumentação lógica e resultados conhecidos como, e. g., os axiomas de Peano. Exemplos Considere x real positivo xado e a expressão (1 + x) n 1 + nx. Observe que é verdade que: (1 + x) 1 1 + 1 x. (1 + x) 2 1 + 2 x, uma vez que (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 e x 2 é positivo. (1 + x) 3 1 + 3 x, uma vez que (1 + x) 3 = 1 + 3x + 3x 2 + 3x 3. Uma conjectura possível é que: Se n é natural então (1 + x) n 1 + nx.

Indução e Dedução Princípio de Indução (i) Para n = 1, tem-se Para n = 2, tem-se (1 + x) 1 1 + 1 x. (1 + x) 2 1 + 2 x. (ii) Suponha, por hipótese de indução, que a desigualdade se verique para n = k. Ou seja, (1 + x) k 1 + k x. Atenção Agora, usando a hipótese de indução, precisamos de algum modo vericar que a desigualdade vale para n = k + 1, ou seja, que de fato ocorre (1 + x) k+1 1 + (k + 1) x. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 7 / 91

Indução e Dedução Hipótese de indução (ii) Suponha, por hipótese de indução, que a desigualdade se verique para n = k. Ou seja, (1 + x) k 1 + k x. (iii) Para n = k + 1, segue que (1 + x) k+1 = (1 + x) k (1 + x) (1 + kx) (1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx 2 1 + (k + 1)x uma vez que kx 2 é positivo. Pelo Princípio de Indução Matemática, conclui-se que a desigualdade é válida para todo n natural. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 91

Indução e Dedução Dedução Pelo fórmula binomial, pode-se escrever (1 + x) n = n j=0 ( n j ) x j Daí, ( (1 + x) n n = 0 1 + nx ) ( x 0 n + 1 ) x 1 + n j=2 ( n j ) x j ( ) n uma vez que e x j são positivos. Assim, partindo da fórmula j binomial, deduzimos a desigualdade e o resultado está (logicamente) provado. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 91

Indução e Dedução Exemplos Considere a expressão n 2 + n + 41. Observe que: 1 2 + 1 + 41 = 43 é um número primo. 2 2 + 2 + 41 = 47 é um número primo. 3 2 + 3 + 41 = 53 é um número primo. 9 2 + 9 + 41 = 131 é um número primo. Uma conjectura possível é que: Se n é natural então n 2 + n + 41 é um primo. Essa proposição condicional também pode ser enunciada como: n 2 + n + 41 é primo para todo n N. E sobre a veracidade desta armação? A resposta é um tanto óbvia, não? Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 91

Indução e Dedução Conforme vericado por Euler em 1772 Para n = 40, tem-se n 2 + n + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 41 41. Gauss (1777-1855) Observe que: 1 + 2 + 3 + 4 = 4 5 2 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 5 6 2 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6 7 2 Uma conjectura possível é que: n(n + 1) Se n é natural então 1 + 2 + 3 +... + n =. 2 E sobre a veracidade desta armação? Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 91

Indução e Dedução Princípio de Indução (i) Para n = 1, tem-se Para n = 2, tem-se 1 = 1 2 2. 1 + 2 = 2 3 2. (ii) Suponha, por hipótese de indução, que a igualdade se verique para n = k. Ou seja, k (k + 1) 1 + 2 + 3 +... + k =. 2 Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 91

Indução e Dedução Hipótese de indução (ii) Suponha, por hipótese de indução, que a igualdade se verique para n = k. Ou seja, k (k + 1) 1 + 2 + 3 +... + k =. 2 (iii) Para n = k + 1, segue que 1 + 2 + 3 +... + (k + 1) = 1 + 2 +... + k + (k + 1) k (k + 1) = + (k + 1) 2 (k + 1)(k + 2) = 2 Pelo Princípio de Indução Matemática, conclui-se que a igualdade é válida para todo n natural. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 91

Indução e Dedução Dedução (de Gauss) Considere S = 1 + 2 + 3 +... + (n 2) + (n 1) + n. Ora, pela comutatividade, S = n + (n 1) + (n 2) +... + 3 + 2 + 1. Daí, pela associatividade, 2S = (n + 1) + (n + 1) +... + (n + 1) = n (n + 1). Deste modo, n(n + 1) S =, 2 e o resultado está (logicamente) provado. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 91

Indução e Dedução Exemplos Considere a expressão 991n 2 + 1. Observe que: 991 1 2 + 1 = 992 não é um quadrado perfeito. 991 2 2 + 1 = 3965 não é um quadrado perfeito. 991 3 2 + 1 = 8920 não é um quadrado perfeito. Uma conjectura possível é que: Se n é natural, então 991n 2 + 1 não é um quadrado perfeito. É essa armação verídica? Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 15 / 91

Indução e Dedução Exemplos Considere a expressão 2n + 2. Observe que: 2 1 + 2 = 2 + 2 é a soma de dois números primos. 2 2 + 2 = 3 + 3 é a soma de dois números primos. 2 3 + 2 = 3 + 5 é a soma de dois números primos. 2 4 + 2 = 3 + 7 é a soma de dois números primos. Uma conjectura possível é que: Se n é natural, então 2n + 2 é a soma de dois números primos. É essa armação verídica? Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 91

Indução e Dedução Exercícios Uma fórmula fechada, grosso modo, é uma fórmula que depende dos dados iniciais do problema e que permite calcular diretamente os valores do objeto em estudo fazendo um número pequeno de contas. Dado o problema, conjecture uma fórmula fechada e, em seguida, verique a veracidade de sua conjectura. (a) A soma alternada, começando em 1, dos quadrados de números naturais consecutivos Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 91

Indução e Dedução Exercícios Uma fórmula fechada, grosso modo, é uma fórmula que depende dos dados iniciais do problema e que permite calcular diretamente os valores do objeto em estudo fazendo um número pequeno de contas. Dado o problema, conjecture uma fórmula fechada e, em seguida, verique a veracidade de sua conjectura. (a) A soma alternada, começando em 1, dos quadrados de números naturais consecutivos, ou seja, 1 2 2 + 3 2... + ( 1) n 1 n 2 Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 91

Indução e Dedução Exercícios Uma fórmula fechada, grosso modo, é uma fórmula que depende dos dados iniciais do problema e que permite calcular diretamente os valores do objeto em estudo fazendo um número pequeno de contas. Dado o problema, conjecture uma fórmula fechada e, em seguida, verique a veracidade de sua conjectura. (a) A soma alternada, começando em 1, dos quadrados de números naturais consecutivos, ou seja, 1 2 2 + 3 2... + ( 1) n 1 n 2 (b) A soma dos inversos de produtos de dois números naturais ímpares consecutivos Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 19 / 91

Indução e Dedução Exercícios Uma fórmula fechada, grosso modo, é uma fórmula que depende dos dados iniciais do problema e que permite calcular diretamente os valores do objeto em estudo fazendo um número pequeno de contas. Dado o problema, conjecture uma fórmula fechada e, em seguida, verique a veracidade de sua conjectura. (a) A soma alternada, começando em 1, dos quadrados de números naturais consecutivos, ou seja, 1 2 2 + 3 2... + ( 1) n 1 n 2 (b) A soma dos inversos de produtos de dois números naturais ímpares consecutivos, isto é, 1 1 3 + 1 3 5 +... + 1 (2n 1)(2n + 1) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 20 / 91

Indução e Dedução O pensamento é algo incontido Uma conjectura baseada em simples observação pode não ser algo tão simples de ser realizado. Johannes Kepler, por exemplo, demorou quase duas décadas para estabelecer suas conclusões sobre a órbita dos planetas a partir das observações (e medições) feitas por Tycho Brahe. Isso evidencia a necessidade da conjugação dos processos indutivo e dedutivo na obtenção de resultado novo. O desenvolvimento da ciência tem dependido, em grande parte, da habilidade em combinar os dois tipos de raciocínio. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 21 / 91

Indução e Dedução Desigualdade de Bernoulli Anteriormente, feitas algumas observações, conjecturamos que, sendo x real e positivo, ocorre (1 + x) n 1 + nx, para todo n natural. Depois, usando indução matemática, provamos a veracidade da armação de que a desigualdade era verídica para todo n natural. Em seguida, partindo da fórmula binomial de Newton, deduzimos a desigualdade. Através da combinação desses racíocínios, outra conjectura possível é que para x 1, real, se n é natural então (1 + x) n 1 + nx, conjectura essa que não se insinuava a partir das observações iniciais. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 91

Indução e Dedução Exercícios Verique a veracidade da conjectura de que para x 1, real, tem-se (1 + x) n 1 + nx, para todo n natural. Exercícios Encontre fórmulas fechadas para 1 3 + 2 3 +... + n 3 e 1 2 + 3 2 +... + (2n 1) 2 Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 23 / 91

Indução e Dedução Exercícios Considere a expressão 1 + 2 +... + n = n2 + n + 2 2 Mostre que: (a) Se a expressão vale para n = k, então ela vale para n = k + 1. (b) A expressão é verídica? Discorra sobre a situação, fundamentando sua resposta. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 91

Indução e Dedução Exercícios Observe que 1! 13 1 2! 13 2 3! 13 3 (a) Elabore uma conjectura a respeito da desigualdade entre n! e 13 n. (b) Prove, usando indução matemática, a veracidade de sua conjectura. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 91

Indução e Dedução Exercícios Em seu livro Naive Set Theory (Teoria Ingênua dos Conjuntos), Paul Halmos considera conjunto um conceito primitivo sobre o qual o leitor possui uma compreensão humana, intuitiva, ordinária, e sobre o qual é suciente delinear algumas coisas que se pode fazer corretamente com ele. Analise criticamente a seguinte argumentação em que se deseja provar que todo número natural é pequeno. Evidentemente, 1 é um número pequeno. Além disso, se n for pequeno, n + 1 também o será, pois não se torna grande um número pequeno simplesmente somando-lhe uma unidade. Logo, por indução, todo número natural é pequeno. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 26 / 91

Indução e Dedução Exercícios Analise criticamente a seguinte argumentação em que se deseja demonstrar que todas as pessoas têm a mesma idade. Seja X o conjunto de todas as pessoas. Por indução, mostraremos os elementos de X têm a mesma idade. Com efeito, para n = 1 a armação é verdadeira, pois se X é um conjunto formado por um única pessoa, todos os elementos de X têm a mesma idade. Suponha agora que a armação seja verdadeira para todos os conjuntos de n elementos. Considere um conjunto com n + 1 pessoas, {a 1, a 2,...,a n, a n+1 }. Ora, {a 1, a 2,...,a n } é um conjunto de n pessoas, logo a 1, a 2,..., a n têm a mesma idade. Mas, {a 2,...,a n, a n+1 } também é um conjunto de n elementos, logo todos os seus elementos, em particular a n e a n+1, têm a mesma idade. Mas, tendo a 1, a 2,..., a n a mesma idade e tendo a n e a n+1 a mesma idade, todos os elementos de {a 1, a 2,...,a n, a n+1 } têm as mesma idade, conforme queríamos demonstrar. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 91

Tautologia, contradição e contingência ou uma ou outra Exemplo Construa uma tabela-verdade para a proposição [(p q) p] q. Solução Um modelo de tabela-verdade possível é o seguinte: [(p q) p] q Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 28 / 91

Tautologia, contradição e contingência ou uma ou outra Exemplo Construa uma tabela-verdade para a proposição [(p q) p] q. Solução Um modelo de tabela-verdade possível é o seguinte: [(p q) p] q V V V V V V V V F F F V V F F V V F F V V F V F F F V F Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 29 / 91

Tautologia, contradição e contingência ou uma ou outra Exemplo Construa uma tabela-verdade para a proposição (p q) (q p). Solução Um modelo de tabela-verdade possível é o seguinte: (p q) (q p) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 30 / 91

Tautologia, contradição e contingência ou uma ou outra Exemplo Construa uma tabela-verdade para a proposição (p q) (q p). Solução Um modelo de tabela-verdade possível é o seguinte: (p q) (q p) V V V V V V V V F F V F V V F V V F V F F F V F V F V F Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 91

Tautologia, contradição e contingência ou uma ou outra Exemplo Faça uma tabela-verdade para [p ( q)] [ (q r)] (p r). Solução [p ( q)] [ (q r)] (p r) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 32 / 91

Tautologia, contradição e contingência ou uma ou outra Exemplo Faça uma tabela-verdade para [p ( q)] [ (q r)] (p r). Solução [p ( q)] {[ (q r)] (p r)} V V F V F F V V V F V V V V V F V F V V F F F V F F V V V F F F F V V F V V V V V V F F F F V F F V F F F F F V F F V V V F F V V F F F V F V V F F V F V F F V V F F F F V V F F V V F V V F F F F V F F F V F Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 33 / 91

Tautologia, contradição e contingência ou uma ou outra Exemplo Faça uma tabela-verdade para [p ( q)] [ (q r)] (p r). Solução {[p ( q)] [ (q r)]} (p r) V V F V F F V V V F V V V V V F V V V V F F F V F F V V V F F F F V V F V V V V V V F F F F V F F V F F F F F V F F V V V F F V V F F F V F V V F F F F V F F V V F F F F V V F F V V F V V F F F F V F F F V F Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 91

Tautologia, contradição e contingência ou uma ou outra Denição Uma tautologia é uma proposição (composta) cujo valor lógico é sempre a verdade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples que a constituem. Observação Uma tautologia também é chamada proposição tautológica ou proposição logicamente verdadeira. Observação Uma vez que a verdade de uma tautologia é independente dos valores de verdade de seus componentes mais elementares, pode-se dizer que uma tal fórmula é verdadeira apenas em função do signicado dos operadores (lógicos) que nela ocorrem. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 35 / 91

Tautologia, contradição e contingência ou uma ou outra Denição Uma contradição é uma proposição (composta) cujo valor lógico é sempre a falsidade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples que a constituem. Observação Uma contradição também é chamada proposição contraválida ou proposição logicamente falsa. Observação A negação de uma contradição é uma tautologia e a negação de uma tautologia é uma contradição. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 36 / 91

Tautologia, contradição e contingência ou uma ou outra Denição Uma contigência (ou proposição contingente ou proposição indeterminada) é uma proposição que não é tautologia nem contradição. Observação Contingências são proposições cuja verdade ou falsidade não pode ser determinada apenas por meio de uma análise lógica: é necessário recorrer a observação para isso. Ou seja, elas fazem uma descrição do mundo. Por isso, costuma-se dizer que o conteúdo informacional de tautologias e contradições é vazio - sendo verdadeiras ou falsas independentemente da realidade, elas não dizem nada sobre o mundo real, ao contrário das contingências. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 37 / 91

Um Sistema Lógico não pode contradizer-se (e esse é um problema que precisa ser investigado) Exemplo Mostre que as proposições Solução Um modelo de tabela-verdade possível é o seguinte: e [p ( p)] p ( p) [p ( p)] p ( p) são tautologias. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 38 / 91

Um Sistema Lógico não pode contradizer-se (e esse é um problema que precisa ser investigado) Exemplo Mostre que as proposições Solução Um modelo de tabela-verdade possível é o seguinte: e [p ( p)] p ( p) [p ( p)] p ( p) V V F F V V V F F V F V são tautologias. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 39 / 91

Um Sistema Lógico não pode contradizer-se (e esse é um problema que precisa ser investigado) Observação [p p)] p ( p) V V F F V V V F F V F V Seja p o átomo dado por p : Uma proposição é verdadeira. Princípio da não-contradição É uma tautologia. Não pode ocorrer de que uma proposição seja verdadeira e não seja verdadeira (ao mesmo tempo). Admitindo, como é o caso da lógica bivalente, que a falsidade signica não ser verdadeiro. Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 40 / 91

Um Sistema Lógico não pode contradizer-se (e esse é um problema que precisa ser investigado) Observação [p p)] p ( p) V V F F V V V F F V F V Seja p o átomo dado por p : Uma proposição é verdadeira. Princípio do terceiro excluído É uma tautologia. Uma proposição (ou) é verdadeira ou não é verdadeira. Admitindo, como é o caso da lógica bivalente, que a falsidade signica não ser verdadeiro. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 41 / 91

Um Sistema Lógico não pode contradizer-se (e esse é um problema que precisa ser investigado) Observação Seja p o átomo dado por p : p p p p p V V V F V V Σ é um objeto. Princípio da identidade É uma tautologia. Se Σ é um objeto, então Σ é um objeto. Σ é um objeto se e, somente se, Σé um objeto. Noutras palavras, o objeto Σ é idêntico a si próprio. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 42 / 91

Princípio de Substituição para tautologias Teorema Se Γ(α,β,γ,...) é uma tautologia e P, Q, R,... são proposições quaisquer, então Γ(P, Q, R,...) também é uma proposição logicamente verdadeira. Prova V (Γ) = V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a constituem. Decorre que substituindo α, β, γ,... por P, Q, R,... o valor lógico de Γ continuará sendo a verdade, independentemente dos valores lógicos de P, Q, R,... Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 43 / 91

Princípio de Substituição para contradições Teorema Se Γ(α,β,γ,...) é uma contradição e P, Q, R,... são proposições quaisquer, então Γ(P, Q, R,...) também é uma proposição logicamente falsa. Prova V (Γ) = F quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a constituem. Decorre que substituindo α, β, γ,... por P, Q, R,... o valor lógico de Γ continuará sendo a falsidade, independentemente dos valores lógicos de P, Q, R,... Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 44 / 91

Simplicando a notação o uso de parênteses O uso de parênteses, colchetes, chaves evita ambiguidades, porém torna a simbologia muito carregada. Convenção 1 Os conectivos seguem a seguinte ordem de precedência: 1 2,, na ordem em que aparecem. 3 4 Convenção 2 Faz-se a associação a partir da esquerda, inclusive quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido. Exemplo A proposição (p q) p tem o mesmo signicado que { [ (p q)]} ( p) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 91

Conectivo principal Denição O conectivo principal de uma proposição composta Φ é a última operação lógica realizada na determinação de seu valor lógico. Um proposição composta é classicada em negação, conjunção, disjunção, disjunção exclusiva, condicional ou bicondicional de acordo com seu conectivo principal. Exemplo Classique a proposição composta Φ = p q r q r q. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 46 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Φ = p q r q r q. Solução Φ = p q r q r q Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 47 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Φ = p q r q r q. Solução Φ = p q ( r) ( q) r q Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 48 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Φ = p q r q r q. Solução Φ = (p q) ( r) ( q) r q Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 49 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Φ = p q r q r q. Solução Φ = (p q) (( r) ( q)) r q Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 50 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Φ = p q r q r q. Solução Φ = (p q) ((( r) ( q)) r) q Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 51 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Φ = p q r q r q. Solução Φ = (p q) (((( r) ( q)) r) q) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 52 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Φ = p q r q r q. Solução Porque Φ = (p q) (((( r) ( q)) r) q), tem-se que Φ é uma condicional. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 53 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 54 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Solução Ψ = p r q p r p q r p Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 55 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Solução Ψ = p r ( q) p ( r) p q r ( p) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Solução Ψ = p r (( q) p) ( r) p q r ( p) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 57 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Solução Ψ = p r ((( q) p) ( r)) p q r ( p) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 58 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Solução Ψ = p r (((( q) p) ( r)) p) q r ( p) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 59 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Solução Ψ = p r (((( q) p) ( r)) p) (q r) ( p) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Solução Ψ = p r (((( q) p) ( r)) p) ((q r) ( p)) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Solução Ψ = (p r) (((( q) p) ( r)) p) ((q r) ( p)) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 62 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Solução Ψ = ((p r) (((( q) p) ( r)) p)) ((q r) ( p)) Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 63 / 91

Conectivo principal Exemplo Classique a proposição composta Ψ = p r q p r p q r p. Solução Porque Ψ = ((p r) (((( q) p) ( r)) p)) ((q r) ( p)), tem-se que Ψ é uma condicional. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 64 / 91

Outras notações para as operações lógicas Outras simbologias para os conectivos 1 Negação: 2 Conjunção:, & 3 Disjunção: + 4 Disjunção exclusiva:, 5 Condicional: 6 Bicondicional: Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 65 / 91

Da linguagem usual para a linguagem simbólica negação, conjunção, disjunção, condicional, bicondicional Exemplo Se a Ciência é a base da evolução humana, embora a humanidade evolua através da Lógica, então a Lógica não determina a Matemática e/ou a Matemática é o ideal da Ciência. Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 66 / 91

Da linguagem usual para a linguagem simbólica negação, conjunção, disjunção, condicional, bicondicional Exemplo Se a Ciência é a base da evolução humana, embora a humanidade evolua através da Lógica, então a Lógica não determina a Matemática e/ou a Matemática é o ideal da Ciência. Solução Proposições simples 1 p : A Ciência é a base da evolução humana. 2 q : A humanidade evolui através da Lógica. 3 u : A Lógica determina a Matemática. 4 v : A Matemática é o ideal da Ciência. Proposição composta A sentença dada é simbolicamente representada por (p q) (( u) v) ou, eliminando os parêntesis, p q u v Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 70 / 91