CONCEITO Partindo da definição original, os QUADRADOS MÁGICOS devem satisfazer três condições: a) tabela ou matriz quadrada (número de igual ao número de ); b) domínio: com elementos assumindo valores consecutivos a partir de 1, ou seja, D={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} c) as somas dos elementos de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal têm sempre um mesmo valor. Quando pelo menos uma das condições acima não é satisfeita, eles passam a ser chamados DEFEITUOSOS, IMPERFEITOS ou NÂO PUROS. O seu domínio é:. Sobre a origem, a história, as curiosidades, os misticismos e as particularidades dos QUADRADOS MÁGICOS e dos NÃO PUROS deve-se consultar as REFERÊNCIAS abaixo. OBJETIVO Sugerimos codificar um programa que trate os QUADRADOS MÁGICOS de ordem 4 e não puros de ordem 4, de modo equivalente ao sugerido para os quadrados de ordem 3. BASE MATEMÁTICA Conforme citado na página do QUADRADO MÁGICO de ordem 3: Série de valores: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,ord 2 CONSTANTE = 34 (demonstração: veja quadrado de ordem 3) Preenchendo, por coluna, o QUADRADO MÁGICO com valores literais, podemos verificar algumas relações numéricas. e 1 e 5 e 9 e 13 e 2 e 6 e 10 e 14 e 3 e 7 e 11 e 15 e 4 e 8 e 12 e 16 O QUADRADO MÁGICO não tem um elemento central, mas tem um quadrado central, representado pelos elementos e 6 e 7 e 10 e 11. O número 4 é realmente muito especial. Veja a que se pode fazer com este número ou algarismo e algumas operações aritméticas na página de Matemáticas na parte Lúdicos. Aqui ele também simplifica muito a geração manual do QUADRADO MÁGICO. Embora existam 7040 QUADRADOS MÁGICOS de ordem 4 é muito simples gerar um exemplo. Vamos adiantar a título de curiosidade, pois não necessitaremos de nenhuma informação matemática além do valor da CONSTANTE = 34 e um pouco de observação para os elementos que não tornam a CONSTANTE verdadeira na distribuição dos valores do PRIMEIRO passo. Veja a série, I M E N S A, de passos e operações: ATUALIZADO: mai/2013 1 olenzi @ orlandolenzi. eng. br
*---------------- PRIMEIRO PASSO --------------* *-------- ÚLTIMO PASSO: sabendo que a CONSTANTE é igual a 34 ---------* Preencher em sequência a série de números A primeira coluna tem os maiores números e a quarta coluna tem os em ordem decrescente ou crescente e por menores números. Para obtermos a CONSTANTE precisamos permutar por linha ou coluna. valores pequenos da primeira coluna por valores grandes da quarta. Pode- Vamos optar: preenchimento = por coluna e se conseguir esta troca invertendo-se os valores em cada diagonal. ordem = decrescente. 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 Para os que gostam de matemática, o assunto da ordem 4 continua. Vamos buscar algumas das particularidades ou relações numéricas dos QUADRADOS MÁGICOS com esta ordem. PARTICULARIDADES 1) SOMA = 34 DO ELEMENTO CENTRAL, QUE É UM QUADRADO COM OS ELEMENTOS e 6 e 10 e 7 e 11 Considerando o QUADRADO MÁGICO com elementos literais, podemos formar 6 equações que contêm dois elementos do centro e que no conjunto contêm todos os elementos da matriz. e 1 e 5 e 9 e 13 e 2 e 6 e 10 e 14 e 3 e 7 e 11 e 15 e 4 e 8 e 12 e 16 Desejamos provar ou obter: Sabemos que a soma de todos os números é igual a 136. Este valor é obtido pela fórmula da soma de progressões aritméticas ou pelo valor da CONSTANTE multiplicado pelo valor da ordem. Somando as equações e agrupando de modo conveniente, obtemos Substituindo a soma de todos os elementos pelo seu valor: ATUALIZADO: mai/2013 2 olenzi @ orlandolenzi. eng. br
2) SOMA = 34 - ELEMENTOS DOS CANTOS - elementos (e1 + e4 + e13 + e16) É uma consequência da particularidade anterior, pois os elementos dos cantos e os do quadrado central formam exatamente as duas diagonais. Selecionando as equações que correspondem às diagonais. Fazendo a soma das equações e organizando os elementos dos cantos do quadrado central. Substituindo o valor da soma do quadrado central e calculando: 3) DISTRIBUIÇÃO DOS ALGARISMOS POR LINHA, COLUNA OU DIAGONAL A soma dos elementos de cada linha, coluna ou diagonal é um número PAR e tem 4 PARCELAS. Pode-se obter este resultado nos casos de: a) 4 números ímpares; b) 4 números pares e c) 2 números pares e 2 números ímpares (mais frequente). Todas as e são formadas por de 2 números pares e 2 números ímpares. As diagonais podem ter, ambas, 2 números pares e 2 números ímpares ou uma diagonal pode ter 4 números ímpares e a outra 4 números pares. 4) OUTROS AGRUPAMENTOS QUE SOMAM 34 Partindo das equações básicas do QUADRADO MÁGICO (somas das, das e das diagonais), do quadrado central e dos cantos, vários agrupamentos de quatro dezenas também somam 34 e contêm 2 números pares e 2 números ímpares. Como exemplo, indicamos as equações que envolvem os números centrais das 1 e 4 e dos números centrais das 1 e 4. e 1 e 5 e 9 e 13 e 2 e 6 e 10 e 14 e 3 e 7 e 11 e 15 5) ALGUMAS IGUALDADES ENTRE AS SOMAS DE NÚMEROS e 4 e 8 e 12 e 16 Partindo da mesma origem do ítem anterior, encontramos: 6) RELAÇÕES DOS ELEMENTOS DOS CANTOS EM FUNÇÃO DE OUTROS ELEMENTOS Partindo das relações do ítem anterior e operando convenientemente conjuntos de 3 delas, obtemos: ou ou ou ou Analogamente, podemos deduzir equações para os elementos do quadrado central: e 6, e 7, e 10 e e 11. ATUALIZADO: mai/2013 3 olenzi @ orlandolenzi. eng. br
7) RELAÇÃO DE QUADRADOS DE CANTOS COM 4 NÚMEROS Soma dos elementos de A é igual a soma dos elementos de D, e analogamente a soma dos elementos de C é igual a soma dos elementos de B. e 1 e 5 e 9 e 13 e 2 e 6 e 10 e 14 e 3 e 7 e 11 e 15 e 4 e 8 e 12 e 16 A C B D S A = S D e S B = S C Os quadrados A e C são formados pelas 1 e 2 ------> S A + S C = 68 Os quadrados C e D são formados pelas 3 e 4 -------> S C + S D = 68 Subtraindo as equações e operando: S A - S D = 0 ou S A = S D USO DAS EQUAÇÕES ACIMA A apresentação dessas equações tem por objetivo fornecer informações para desenvolvimento vários algorítmos de preenchimento dos QUADRADOS MÁGICOS 4x4. Os exemplos de equações acima, embora representem apenas uma pequena parte, eles já apresentam interdependência entre si e portanto deve-se escolher o conjunto que parecer mais apropriado para desenvolver um ou outro algorítmo de preenchimento. ATENÇÃO: Para usar as equações desenvolvidas nos ítens acima, é necessário respeitar as equações básicas (somas de, de e de diagonais, iguais a CONSTANTE) e as regras (sequência de números) pois somente sob estas condições os seus resultados se aplicam aos QUADRADOS MÁGICOS PUROS. TOTALIZAÇÕES a) números de 1 a 16, em quadrados de ordem 4: PERMUTAÇÕES sem repetição: P(16) ou P(16;16) = 20.922.789.888.000 b) números de 1 a 16, no quadrado central (4 elementos: e 6, e 7, e 10 e e 11 ): PERMUTAÇÕES sem repetição de 16 números em 4 posições: P(16;4) = 43.680 COMBINAÇÕES sem repetição de 16 números em 4 posições: C(16;4) = 1.820 c) números de 1 a 16, no quadrado central com soma igual a CONSTANTE = 34 PERMUTAÇÕES: 2.064 ; COMBINAÇÕES: 86 d) números de 1 a 16, no quadrado central que permitem gerar QUADRADOS MÁGICOS PERMUTAÇÕES: 976 ; COMBINAÇÕES:50 ATUALIZADO: mai/2013 4 olenzi @ orlandolenzi. eng. br
e) QUADRADOS MÁGICOS PUROS de ordem 4: TOTAL: 7040 OBSERVAÇÃO: Estudo semelhante pode ser desenvolvido para os CANTOS (e 1, e 4, e 13 e e 16 ) f) nos quadrados mágicos puros: total de ocorrências dos números no elemento e 1 (linha 1, coluna 1): núm. total núm. total núm. total núm. total 1 416 5 432 9 476 13 476 2 400 6 456 10 460 14 404 3 404 7 460 11 456 15 400 4 476 8 476 12 432 16 416 total: 7040 g) nos quadrados mágicos puros: total de ocorrências do número 1 em todos os elementos: 416 464 464 416 464 416 416 464 464 416 416 464 416 464 464 416 h) nos quadrados mágicos puros: total de ocorrências do número 2 em todos os elementos: 400 480 480 400 480 400 400 480 480 400 400 480 400 480 480 400 i) nos quadrados mágicos puros: total de ocorrências do número 6 em todos os elementos: 456 424 424 456 424 456 456 424 424 456 456 424 456 424 424 456 j) nos quadrados mágicos puros: total de ocorrências do número 11 em todos os elementos: 456 424 424 456 424 456 456 424 424 456 456 424 456 424 424 456 Pode-se observar que a soma dos 2 primeiros elementos e dos 2 últimos elementos de linha ou coluna é sempre igual a 880. Por analogia a partir dos valores do ítem f, pode-se deduzir os quadros de totais dos demais números. ATUALIZADO: mai/2013 5 olenzi @ orlandolenzi. eng. br
GERAÇÃO DE QUADRADOS MÁGICOS Tratando um QUADRADO MÁGICO como uma matriz podemos aplicar operações elementares e geração de. O QUADRADO MÁGICO base foi gerado por um algoritmo que utiliza as fórmulas de cálculo dos elementos (itens 5 e 6 da página 3 deste texto) e completa os demais valores considerando as fórmulas básicas do QUADRADO MÁGICO (somas de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal igual a CONSTANTE do QUADRADO MÁGICO) e suas particularidades (soma dos cantos, do quadrado central (4 elementos), quantidade de números pares por linha e coluna, etc. O QUADRADO MÁGICO do exemplo tem todos os quadrados dos cantos (4 números) com soma igual a 34. Neste caso obtivemos, por meio das operações com matrizes, 31 outros QUADRADOS MÁGICOS, totalizando 32 para esse caso. 10 5 8 11 3 16 13 2 15 4 1 14 6 9 12 7 10 5 8 11 15 4 1 14 3 16 13 2 6 9 12 7 10 8 5 11 3 13 16 2 6 12 9 7 10 8 5 11 3 13 16 2 6 12 9 7 10 3 15 6 8 13 1 12 5 16 4 9 11 2 14 7 10 3 15 6 5 16 4 9 8 13 1 12 11 2 14 7 10 15 3 6 5 4 16 9 8 1 13 12 11 14 2 7 10 15 3 6 8 1 13 12 5 4 16 9 11 14 2 7 1 e 4 6 9 12 7 3 16 13 2 15 4 1 14 10 5 8 11 6 9 12 7 15 4 1 14 3 16 13 2 10 5 8 11 6 12 9 7 3 13 16 2 10 8 5 11 6 12 9 7 3 13 16 2 10 8 5 11 6 3 15 10 12 13 1 8 9 16 4 5 7 2 14 11 1 e 4 6 3 15 10 9 16 4 5 12 13 1 8 7 2 14 11 6 15 3 10 9 4 16 5 12 1 13 8 7 14 2 11 6 15 3 10 12 1 13 8 9 4 16 5 7 14 2 11 11 5 8 10 14 4 1 15 7 9 12 6 11 5 8 10 14 4 1 15 7 9 12 6 11 8 5 10 14 1 4 15 2 13 16 3 7 12 9 6 11 8 5 10 2 13 16 3 14 1 4 15 7 12 9 6 11 2 14 7 8 13 1 12 5 16 4 9 10 3 15 6 1 e 4 11 2 14 7 5 16 4 9 8 13 1 12 10 3 15 6 11 14 2 7 5 4 16 9 8 1 13 12 10 15 3 6 11 14 2 7 8 1 13 12 5 4 16 9 10 15 3 6 7 9 12 6 14 4 1 15 11 5 8 10 7 9 12 6 14 4 1 15 11 5 8 10 7 12 9 6 14 1 4 15 2 13 16 3 11 8 5 10 7 12 9 6 2 13 16 3 14 1 4 15 11 8 5 10 7 2 14 11 12 13 1 8 9 16 4 5 6 3 15 10 7 2 14 11 9 16 4 5 12 13 1 8 6 3 15 10 7 14 2 11 9 4 16 5 12 1 13 8 6 15 3 10 7 14 2 11 12 1 13 8 9 4 16 5 6 15 3 10 Em casos especiais (em todas as os dois elementos centrais e os dois cantos somam 17) podemos os dois elementos centrais das e das de contorno, sem alterar os valores do quadrado central. Exemplificando: 8 14 3 9 10 1 16 7 11 4 13 6 5 15 2 12 8 15 2 9 10 1 16 7 11 4 13 6 5 14 3 12 8 14 3 9 11 1 16 6 10 4 13 7 5 15 2 12 8 15 2 9 11 1 16 6 10 4 13 7 5 14 3 12 ATUALIZADO: mai/2013 6 olenzi @ orlandolenzi. eng. br
QUADRADOS DE ORDEM 4 NÃO PUROS OU IMPERFEITOS Uma maneira de gerar quadrados não puros é utilizar uma sequência que comece por um número diferente de 1. Também podemos utilizar séries ou progressões aritméticas com razão diferente de 1. Para o cálculo da CONSTANTE do quadrado não puro, utiliza-se a mesma fórmula dos QUADRADOS MÁGICOS. Os valores do quadrado central (4 elementos) podem ser referenciados aos 4 elementos centrais da série e algumas particularidades do QUADRADO MÁGICO PURO podem não ser satisfeitas. EXEMPLOS 1) Para a série: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 e 32. Se fizermos a correspondência com a série do QUADRADO MÁGICO NÃO PURO (K=68) teremos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32. Então é só substituir os números respeitando a ordem de correspondência. 8 15 2 9 11 1 16 6 10 4 13 7 5 14 3 12 2) Para a série: -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 MÁGICO IMPERFEITO (K=2) 16 30 4 18 22 2 32 12 20 8 26 14 10 28 6 24 8 11 10 5 9 6 7 12 0 3 2-3 7-7 -4 6-6 8 5-5 1-2 -1 4 Estamos no exemplo 2, usando um outro QUADRADO MÁGICO como base ou referência. Podemos concluir duas regras: 1) Quando multiplicamos por um mesmo número todos os números de um QUADRADO MÁGICO, geramos um quadrado não puro com K igual ao do QUADRADO MÁGICO multiplicado pelo número. No exemplo 1: K do QUADRADO MÁGICO=34 ; K do quadrado não puro=68 Conferindo: (34x2)=68 2) Quando somamos um mesmo número a todos os números de um QUADRADO MÁGICO, geramos um quadrado não puro com K igual ao do QUADRADO MÁGICO mais o produto da ordem pelo número somado. No exemplo 2: K do QUADRADO MÁGICO=34 ; K do quadrado não puro=-3 Conferindo: (34+4(-8))=34-32=2 GENERALIZAÇÃO As regras acima valeram para os quadrados imperfeitos ou não puros de ordem 3 e 4. Podemos pensar, por analogia, que as mesmas valem para os quadrados imperfeitos das ordens seguintes: 5, 6, etc. ATUALIZADO: mai/2013 7 olenzi @ orlandolenzi. eng. br
ALGORITMOS PARA PROGRAMAÇÃO FORTRAN Os dados acima foram obtidos por meio de dois algorítmos diferentes. O primeiro bastante elementar e demorado, mas seguro por utilizar o mínimo de comandos de condições. Ele foi construído associando-se cada uma das posições do QUADRADO MÁGICO a um comando de repetição. Em cada estrutura a partir da segunda, por meio de comandos de decisão eliminam-se os números já gerados nos comandos de repetição anteriores. As verificações do valor da CONSTANTE serão feitas a partir do comando de repetição que complete uma linha ou coluna ou quadrado central ou cantos. O número de quadrados gerados e não MÁGICOS PUROS é muito grande (bom teste para especificar variáveis INTEGER*8) e isto torna o algorítmo lento. Para completar a tarefa, no meu ambiente computacional, o tempo foi aproximadamente 90 minutos. Então, um segundo algorítmo foi desenvolvido utilizando-se as relações aritméticas entre os elementos, as ocorrências de números pares e ímpares, sempre satisfazendo as condições básicas dos QUADRADOS MÁGICOS ou seja satisfazendo a CONSTANTE. Este algoritmo executa a tarefa, no mesmo ambiente computacional em, aproximadamente, 12 segundos ou em 6,94 segundos. No primeiro caso o programa mostra, no vídeo, todos os 7040 resultados e gera o arquivo em disco. No segundo somente gera o arquivo em disco. Também é um bom exercício para utilizar os comandos de DATA, TEMPO e CLOCK (relógio do sistema). O tempo acima melhorou bastante, mas ainda é possível especificar um algoritmo com execute com um tempo menor. DESAFIOS 1) Complete os QUADRADOS MÁGICOS PUROS de acordo com a quantidade de soluções possíveis. a) b) c) d) e) f) 9 16 12 4 1 10 13 4 8 9 7 3 11 14 9 16 15 13 16 1 solução 2 soluções 1 solução 2 soluções 16 soluções 10 soluções 9 14 10 14 7 3 10 1 8 15 10 2) Não existe QUADRADO MÁGICO PURO com os valores indicados. Indique qual é ou quais são as impossibilidades. a) b) c) d) e) f) 7 16 4 6 9 2 8 10 7 12 4 9 7 13 4 6 3 11 11 13 2 6 4 8 7 2 16 5 11 9 16 15 1 ATUALIZADO: mai/2013 8 olenzi @ orlandolenzi. eng. br