DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio Microeconomia II Lista Adicional de Incerteza c/ Gabarito Questão 1: Considere o caso típico de um investidor cuja renda total se divide em renda do trabalho (salário) e renda do capital (rendimento de aplicações financeiras). Este investidor tem uma riqueza financeira igual a W F e precisa decidir como alocá-la entre três ativos financeiros disponíveis: fundo de títulos domésticos, fundo de títulos estrangeiros e poupança. O salário e o retorno líquido de cada um destes ativos depende do desempenho da economia, para a qual existem dois cenários possíveis: cenário de expansão com probabilidade de 50% e cenário de recessão com probabilidade de 50%. O salário W L do investidor tem a seguinte distribuição de probabilidade: ½ $1000 c/expansão W L = $200 c/ recessão O retorno líquido do fundo de títulos domésticos R D tem a seguinte distribuição de probabilidade: ½ 10% c/expansão R D = -10% c/recessão O retorno líquido do fundo de títulos estrangeiros R E tem a seguinte distribuição de probabilidade: ½ -10% c/expansão R E = 10% c/recessão O retorno líquido da poupança R S tem a seguinte distribuição de probabilidade: ½ 0% c/expansão R S = 0% c/recessão A riqueza total do investidor, após a realização do cenário da economia, é dada por W L +(1+R p )W F onde R p é o retorno líquido do portifólio de ativos do investidor. O investidor é avesso ao risco com utilidade de Bernoulli na sua riqueza total dada por u (W )=lnw. Responda: 1
a) Suponha W F =$0, ou seja, toda sua riqueza vem do trabalho. Neste caso, qual o equivalentecerteza de sua riqueza? Resposta: u (EC) = 0, 5u (1000) + 0, 5u (200) = ln (EC) = 0, 5 ln (1000) + 0, 5 ln (200) = ln (1000) 0,5 + ln (200) 0,5 = ln (1000) 0,5 (200) 0,5 =ln (1000 200) 0,5 = ln (200000) 0,5 = EC = 200000 b) Suponha agora W F =$1.000, 00 e que o investidor pode comprar apenas um ativo. Qual a sua escolha? Justifique a resposta. Resposta: investimento no fundo doméstico: ½ 1000 + 1000 (1 + 0, 10) = 2100, c/expansão W L +(1+R D )W F = 200 + 1000 (1 0, 10) = 1100, c/recessão E(R D ) = 0, 5 0, 10 + 0, 5 ( 0, 10) = 0 VAR(R D ) > 0 E(W ) = 0, 5 2100 + 0, 5 1100 = 1600 E [u(w )] = 0, 5 ln (2100) + 0, 5 ln (1100) = 0, 5 7, 65 + 0, 5 7, 00 = 0, 5 14, 65 investimento no fundo estrangeiro ½ 1000 + 1000 (1 0, 10) = 1900, c/expansão W L +(1+R E )W F = 200 + 1000 (1 + 0, 10) = 1300, c/recessão E(R E ) = 0, 5 ( 0, 10) + 0, 5 0, 10 = 0 VAR(R E ) > 0 E(W ) = 0, 5 1900 + 0, 5 1300 = 1600 E [u(w )] = 0, 5 ln (1900) + 0, 5 ln (1300) = 0, 5 7, 55 + 0, 5 7, 17 = 0, 5 14, 72 investimento em poupança ½ 1000 + 1000 = 2000, c/expansão W L +(1+R S )W F = 200 + 1000 = 1200, c/recessão E(R S ) = 0, 5 0+0, 5 0=0 VAR(R S ) = 0 E(W ) = 0.5 2000 + 0, 5 1200 = 1600 E [u(w )] = 0.5 ln (2000) + 0, 5 ln (1200) = 0.5 7, 60 + 0, 5 7, 10 = 0, 5 14, 70 Entre as três aplicações, o investidor prefere aplicar no fundo estrangeiro. poupança é melhor que fundo doméstico Além disso, 2
c) Comente a seguinte afirmação: se dois ativos têm o mesmo retorno esperado, um investidor avesso ao risco prefere o de menor variância. Resposta: Afirmação errada. No exemplo acima, os três ativos têm o mesmo retorno esperado, ou seja, E(R D )=E(R E )=E(R S )=0, enquantoavariânciadoretornodofundoestrangeiro é maior que a variância do retorno da poupança, ou seja, VAR(R E ) >VAR(R S )=0. Apesar disso, o investidor prefere o fundo estrangeiro à poupança. Isto acontece porque o retorno do fundo estrangeiro covaria negativamente com a renda do trabalho e assim proporciona para o investidor uma proteção (hedge) contra um salário baixo no cenário de recessão. A poupança não proporciona este hedge porque seu retorno não covaria com o salário. Desta forma, o fundo estrangeiro contribui para reduzir a volatilidade total da riqueza do investidor, sendo então preferido pelo investidor avesso ao risco. No final das contas, o que importa para o investidor é a contribuição do ativo para a redução da volatilidade de sua riqueza total e não a volatilidade do ativo em si mesma. d) (0,5) Suponha agora que o investidor pode alocar sua riqueza financeira nos três ativos simultaneamente. Qual o efeito sobre o bem-estar do investidor de um aumento na covariância entre o retorno do fundo de títulos domésticos e o retorno do fundo de títulos estrangeiros? Explique intuitivamente, usando os conceitos da teoria de incerteza. Resposta: O bem-estar diminui. Um aumento da covariância entre os ativos aumenta, ceteris paribus, a variância de sua riqueza total. Como o investidor é avesso ao risco, isto provoca uma redução de seu bem-estar. Lembre que a diversificação de portifólio é boa para o investidor porque o mau desempenho de um ativo é compensado pelo bom desempenho do outro. Desta forma, quanto menos estiverem correlacionados, maior o efeito positivo da diversificação de portifólio sobre o bem-estar. Atenção: os seguintes resultados podem ser úteis: ln(2100) = 7, 65; ln(2000) = 7, 60; ln(1900) = 7, 55 ln(1300) = 7, 17; ln(1200) = 7, 10; ln(1100) = 7, 00 3
Questão 2: Um agricultor tem 100 hectares de terra e, no momento, ele pode somente plantar soja. Cada hectar de soja lhe rende (líquido de custos) 100 reais de lucro por ano, nos anos secos, e 0 nos anos chuvosos. Em média, metade dos anos são secos e metade dos anos são chuvosos. O fato de um ano ser chuvoso ou seco não diz nada a respeito do que ocorrerá no ano seguinte. O fazendeiro valoriza a renda segundo uma função de Bernoulli u ( ), crescente e continuamente diferenciável. 1) Verdadeiro ou falso: se o fazendeiro fosse avesso ao risco, ele preferiria arrendar sua terra por 5000 reais anuais. Justifique em no máximo uma linha. Resposta: Agricultor tem duas alternativas (loterias) para usar seus 100 hectares de terra: plantar soja ou alugar. A alternativa de plantar soja rende um lucro líquido de 10000 reais com prob. 50% (anos secos) e zero reais com prob. 50% (anos chuvosos). Logo, a utilidade v.n-m desta loteria, definida como a esperança da utilidade de Bernoulli dos resultados, é dada por 0, 5 u (10000) + 0, 5 u (0) Como o agricultor é avesso ao risco, a utilidade de Bernoulli u ( ) é estritamente côncava, ou seja, u 00 ( ) < 0. Logo, pode-se afirmar que a utilidade v.n-m desta loteria é menor que a utilidade de Bernoulli da esperança dos resultados, ou seja, 0, 5 u (10000) + 0, 5 u (0) <u(0, 5 10000 + 0, 5 0) = u (5000) A alternativa de alugar rende um lucro líquido de 5000 com certeza (prob. 100%) e assim sua a utilidade v.n-m é dada por u (5000). Logo, segue diretamente dos resultados acima que o agricultor avesso ao risco preferiria arrendar a terra que plantar trigo. Qual a intuição deste resultado? Embora as duas alternativas tenham o mesmo lucro esperado de 5000 reais, o agricultor avesso ao risco prefere arrendar a terra porque esta alternativa implica uma menor volatilidade para seu lucro. (cqd) Agora o governo faz um programa para ajudar a agricultura incentivando a produção de outro produto, o feijão. Este programa, ao fim e ao cabo, implica que,cada hectare de feijão plantado dá 70 reais líquidos nos anos secos 29 reais líquidos nos anos de chuvosos. 2) Verdadeiro ou falso? Se agricultor fosse indiferente ao risco, a introdução deste programa teria valor zero para ele. Justifique em no máximo duas linhas Resposta: Comoagoraoagricultoréindiferenteaorisco,eleéindiferenteentreasduasalternativas do ítem anterior, cuja utilidade v.n-m é dada por 0, 5 u (10000) + 0, 5 u (0) = u (0, 5 10000 + 0, 5 0) = u (5000) Considere então a alternativa de plantar os 100 hectares com feijão. O agricultor ganha 7000 reais nos anos secos e 2900 nos anos chuvosos. Logo, a utilidade v.n-m desta alternativa é dada por 0, 5 u (7000) + 0, 5 u (2900) Além disso, indiferença ao risco, ou seja, u 00 ( ) =0, implica que 0, 5 u (7000) + 0, 5 u (2900) = u (0, 5 7000 + 0, 5 2900) = u (4950) Supondo não saciedade u 0 ( ) > 0, segue dos resultados anteriores que u (5000) > u(4950) 4
Logo, o programa tem valor 0 para o agricultor porque ele prefere plantar soja ou alugar que plantar feijão. Qual a intuição? Como o agricultor é indiferente ao risco, ele se preocupa apenas com o lucro esperado, o qual é sempre menor plantando feijão. (cqd) 5