INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA Reginaldo J. Santos Deartamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais htt://www.mat.ufmg.br/~regi Agosto de 2005 última atualização em 10 de abril de 2009
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 2 SUMÁRIO Sumário 1 Valor Futuro e Valor Presente de uma Quantia 3 2 Períodos não Inteiros - Taxas Equivalentes 5 3 Valor Futuro e Valor Presente de uma Série de Pagamentos Iguais 7 4 Sistema de Financiamento com Prestações Constantes 11 4.1 Sem Entrada..................................... 11 4.2 Com Entrada..................................... 14 5 Sistema de Financiamento com Amortizações Constantes 18 5.1 Tabela de Amortização................................ 18 6 Páginas Interativas 20 7 Resostas dos Exercícios 21 Referências 22
10 de abril de 2009 Reginaldo J. Santos 3 1 Valor Futuro e Valor Presente de uma Quantia Em um regime com uma taxa de juros j or eríodo (eríodo aqui ode ser um mês, um ano, etc), o valor futuro de uma quantia q 0 deois de um eríodo é igual a q 1 = q 0 + j q 0 = (1 + j)q 0. (1) Alicando-se o raciocínio acima, sucessivas vezes, temos que, se no resente eu tenho uma quantia q 0, então no futuro, deois de n eríodos, a uma taxa de juros j or eríodo, esta quantia vai valer q n = (1 + j) n q 0. (2) Recirocamente, se daqui a um eríodo eu tenho uma quantia q 1, então de (1) segue que ela vale hoje, no resente, q 0 = (1 + j) 1 q 1. Se deois de n eríodos eu tenho uma quantia q n, segue de (2) que esta quantia vale hoje q 0 = (1 + j) n q n. Escrevemos um rograma que roda em uma ágina na web ara fazer a atualização monetária de um valor, ou seja, se você sabe o valor de uma quantia hoje, o rograma diz quanto ela valerá no futuro e recirocamente, se você sabe o valor de uma quantia no futuro, ele diz quanto ela vale hoje. Clique aqui ara exerimentar o rograma. Exercício 1. Uma loja oferece duas oções de agamento: à vista com 2% de desconto ou em duas vezes, sem desconto, a rimeira sendo aga no ato da comra. Qual a taxa de juros mensal que está embutido na venda a razo? Resosta na ágina 21.
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 4 1 VALOR FUTURO E VALOR PRESENTE DE UMA QUANTIA Exercício 2. Investindo uma quantia q (uma única vez!) a uma taxa de juros mensal de 1%, em quanto temo o seu caital dobrará? Resosta na ágina 21.
10 de abril de 2009 Reginaldo J. Santos 5 2 Períodos não Inteiros - Taxas Equivalentes Se uma taxa de juros relativamente a um determinado eríodo é J, então a taxa corresondente a uma fração 1/n deste eríodo, j, é obtida da forma que descreveremos a seguir. Como já vimos, o valor futuro de uma quantia q aós o eríodo inteiro é (1 + J)q. Por outro lado, o eríodo inteiro é igual a n frações 1/n deste eríodo e se a taxa corresondente a fração 1/n do eríodo é j, então o valor futuro de uma quantia q aós n frações 1/n do eríodo é (1 + j) n q. Portanto, (1 + J)q = (1 + j) n q, ou seja, a taxa corresondente a um eríodo J e a taxa corresondente a uma fração 1/n deste eríodo satisfazem 1 + J = (1 + j) n. Neste caso, as taxas J e j são ditas equivalentes. Portanto, se J é a taxa de juros corresondente a um eríodo inteiro, então a taxa, j, corresondente a uma fração 1/n deste eríodo é dada or j = (1 + J) 1/n 1. Escrevemos um rograma que roda em uma ágina na web ara fazer a atualização monetária de um valor em divisões de um eríodo, ou seja, se você sabe o valor de uma quantia
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 6 2 PERÍODOS NÃO INTEIROS - TAXAS EQUIVALENTES hoje, o rograma diz quanto ela valerá no futuro em divisões de um eríodo, no qual é conhecida a taxa de juros. Clique aqui ara exerimentar o rograma. Exercício 3. Se a taxa de juros de um cheque esecial é de 10% ao mês, qual é a taxa equivalente a um dia? Se o meu cheque esecial fica negativo no valor de R$ 300,00 or 3 dias quanto devo agar de juro? (chamamos de juro a diferença entre o valor futuro e o valor resente de uma quantia) Exercício 4. Se em um financiamento está escrito que a taxa de juros nominal anual é de 12%, isto significa que a taxa mensal é igual a 1 %. Outra forma, é dizer que a taxa é de 12% ao ano com caitalização mensal. Qual é a taxa de juros real anual neste caso?
10 de abril de 2009 Reginaldo J. Santos 7 3 Valor Futuro e Valor Presente de uma Série de Pagamentos Iguais Suonha que deositamos todo mês uma quantia fixa numa caderneta de ouança que remunera a uma taxa fixa mensal igual j. Qual será o saldo aós n meses? 0 1 2 n 1 Aós o rimeiro mês, o saldo é de (1 + j) mais o deósito do segundo mês. Aós o segundo mês, o saldo é de (1 + j) 2 + (1 + j) mais o deósito do segundo mês. E assim or diante, aós n meses o saldo é s n = (1 + j) n + (1 + j) (n 1) + + (1 + j) Assim, o saldo em n meses aós n agamentos iguais a é dado or uma soma de uma rogressão geométrica, que é dada or s n = (1 + j) (1 + j)n 1 j Escrevemos um rograma que roda em uma ágina na web que dá o valor desta soma, ou seja, se você fornece o valor do deósito or eríodo, o rograma diz qual o saldo aós n eríodos e recirocamente, se você fornece o saldo aós n eríodos, ele diz quanto deverá ser
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 83 VALOR FUTURO E VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUA o valor do deósito or eríodo ara que em n eríodos se alcance aquele saldo. Clique aqui ara exerimentar o rograma. Exercício 5. Suonha que uma essoa deosite mensalmente 10 % de seu salário numa caderneta de ouança, que rende 1 % ao mês, ensando em se aosentar em 20 anos. Quantos salários ela terá disonível aós este eríodo? Suonha, agora, que eu tenha uma caderneta de ouança, que rende juros mensais j, com um saldo inicial s 0 e que todo mês eu faça um retirada de. Aós a retirada do rimeiro mês, o saldo será s 1 = (1 + j)s 0. Aós a retirada do segundo mês, o saldo será de s 2 = (1 + j)s 1 = (1 + j) 2 s 0 [(1 + j) + ]. Aós a retirada do n-ésimo mês o saldo será ou seja, s n = (1 + j) n s 0 [(1 + j) n 1 +... + (1 + j) + ]. s n = (1 + j) n s 0 (1 + j)n 1. j Se aós n meses o saldo é igual a zero, então o valor da retirada,, deve ser = j 1 (1 + j) n s 0. Escrevemos um rograma que roda em uma ágina na web que dá o saldo aós cada retirada, ou seja, se você fornece o valor do saldo inicial e a taxa de juros, o rograma diz o valor da retirada mensal e o saldo aós cada retirada ara que aós n eríodos o saldo seja igual a zero. Clique aqui ara exerimentar o rograma.
10 de abril de 2009 Reginaldo J. Santos 9 Exercício 6. Se aós anos de deósitos em uma caderneta de ouança, que rende 1% ao mês, uma essoa conseguiu um saldo igual a 100 salários seus. Quanto temo este saldo oderá agar a sua aosentadoria integral? Agora, vamos considerar o roblema de um financiamento de uma quantia q em n arcelas iguais a, a uma taxa de juros or eríodo igual a j. 0 1 2 n Para determinarmos o valor atual q, corresondente a uma série de agamentos iguais a, vamos considerar todos os agamentos no instante zero. A rimeira arcela vale (1 + j) 1 no instante zero. A segunda arcela vale (1 + j) 2, a terceira, (1 + j) 3 e assim or diante. A n-ésima arcela vale no instante zero (1 + j) n. Assim, q = (1 + j) 1 + (1 + j) 2 + + (1 + j) n. Assim, uma série de agamentos iguais a, num regime de juros j or eríodo, corresonde a um valor à vista é o resultado de uma soma de uma rogressão geométrica, que é dada or q = 1 (1 + j) n j
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 103 VALOR FUTURO E VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUA Exercício 7. Exercício 8. Um telefone sem fio é vendido or uma loja em duas oções: 9 R$ 24,70 (com entrada) ou R$ 168,00 à vista. Se você tem a oção de alicar o seu dinheiro a uma taxa de juros mensal de 1%, qual a forma de agamento mais vantajosa neste caso. Justifique. (Sugestão: calcule o valor atual das nove arcelas (1+8) num regime de taxa de juros de 1% ao mês e comare com o valor à vista.)
10 de abril de 2009 Reginaldo J. Santos 11 4 Sistema de Financiamento com Prestações Constantes Este sistema de financiamento é conhecido como Sistema Francês ou Tabela Price. 4.1 Sem Entrada Como já vimos na seção anterior, se uma quantia q é financiada em n arcelas iguais a, a uma taxa de juros or eríodo igual a j, então q = 1 (1 + j) n (3) j 0 1 2 n Exercício 9. Mostre que se uma quantia q é financiada em n arcelas iguais a, a uma taxa de juros or eríodo igual a j, então o valor da restação é dada or = j 1 (1 + j) n q Exercício 10. Uma bicicleta é vendida numa loja com duas oções de agamento: à vista or R$ 129,00 ou em 0+4 agamentos com juros de 4,85 % de juros ao mês. Qual o valor da restação na segunda oção de agamento?
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 12 4 SISTEMA DE FINANCIAMENTO COM PRESTAÇÕES CONSTANTES Vamos calcular a tabela de amortização de um financiamento com restações constantes, sem entrada. Cada restação é comosta de uma arcela de juro e uma arcela de amortização (diminuição na dívida), ou seja, ara k = 1,..., n, k = j k + a k O juro é calculado sobre o saldo devedor no mês anterior, ou seja, j k = j d k 1, onde j é a taxa de juros e d k 1 é o saldo devedor no mês k 1. E assim, a amortização é igual a a k = k j k. O saldo devedor imediatamente deois de aga a arcela k é igual a d k = d k 1 a k. Exercício 11. Prove a seguinte fórmula ara o saldo devedor d k : Qual o significado desta fórmula? d k = (1 + j)d k 1 k. Escrevemos um rograma que roda em uma ágina na web ara fazer o cálculo das restações e da tabela de amortização ara os dois sistemas de financiamento: tabela rice e sistema SAC (que veremos mais adiante). Clique aqui ara exerimentar o rograma.
10 de abril de 2009 Reginaldo J. Santos 4.1 Sem Entrada 13 Exercício 12. Escreva a tabela de amortização do Exercício 10. Agora, vamos considerar o roblema inverso, suonha que conhecemos o valor do débito inicial d 0 e o valor das restações fixas e queremos determinar a taxa de juros embutida no financiamento. Para isto temos que resolver a equação (3): q = 1 (1 + j) n j ara j. Observe que esta não é uma equação simles de se resolver ara n maior que 2. No caso geral recisamos usar um método ara resolver esta equação de forma aroximada. Vamos usar um método iterativo chamado método de Newton. Um método iterativo começa com uma aroximação inicial da solução, x 0, e gera uma nova aroximação a artir da anterior. Este rocesso é reetido, até que se atinja a recisão desejada ou que um número máximo de iterações seja atingido. No caso do método de Newton, se x k 1 é a aroximação anterior, a nova aroximação da solução de F (x) = 0 é a solução de uma aroximação linear da equação, ou seja, a solução de F (x k 1 )(x x k 1 ) + F (x k 1 ) = 0, onde F é a derivada de F. Assim, a aroximação x k é dada or x k = x k 1 F (x k 1) F (x k 1 ). Neste caso esecífico F (x) = 1 (1 + x) n q. x
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 14 4 SISTEMA DE FINANCIAMENTO COM PRESTAÇÕES CONSTANTES e a derivada de F (x) ( n(1 + x) F (n+1) (x) = x ) 1 (1 + x) n. x 2 Escrevemos um rograma que roda em uma ágina da web, que usa este método ara determinar a taxa de juros. Clique aqui ara exerimentar o rograma. Exercício 13. Verifique que realmente a taxa de juros do exemlo anterior é 4,85 %. 4.2 Com Entrada 0 1 2 n 1 Este caso é semelhante ao anterior, aenas substituindo n or n 1 e q or q na equação (3), ois o número de arcelas do financiamento é realmente n 1 e não n e o valor a ser financiado é realmente q e não q. Assim, ara determinarmos o valor da restação basta resolvermos a equação 1 (1 + j) (n 1) q = j ara.
10 de abril de 2009 Reginaldo J. Santos 4.2 Com Entrada 15 Exercício 14. Mostre que se uma quantia q é financiada em n arcelas iguais a, a uma taxa de juros or eríodo igual a j, sendo a rimeira aga no ato do financiamento, então o valor da restação é dada or j = q (4) 1 + j (1 + j) (n 1) Exercício 15. Uma bicicleta é vendida numa loja com duas oções de agamento: à vista or R$ 129,00 ou em 1+3 agamentos com juros de 4,85 % de juros ao mês. Qual o valor da restação na segunda oção de agamento? Para calcular a tabela de amortização de um financiamento com restações constantes, com entrada, o rocesso é o mesmo que sem entrada. Vamos reetir ara enfatizar o rocesso. Cada restação é comosta de uma arcela de juro e uma arcela de amortização (diminuição na dívida), ou seja, ara k = 1,..., n, k = j k + a k O juro é calculado sobre o saldo devedor no mês anterior, ou seja, j k = j d k 1, onde j é a taxa de juros e d k 1 é o saldo devedor no mês k 1. E assim, a amortização é igual a a k = k j k. O saldo devedor imediatamente deois de aga a arcela k é igual a d k = d k 1 a k.
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 16 4 SISTEMA DE FINANCIAMENTO COM PRESTAÇÕES CONSTANTES Escrevemos um rograma que roda em uma ágina na web ara fazer o cálculo das restações e da tabela de amortização ara os dois sistemas de financiamento: tabela rice e sistema SAC. Clique aqui ara exerimentar o rograma. Exercício 16. Escreva o exemlo da tabela de amortização do Exercício 15. Agora, vamos considerar o roblema inverso, suonha que conhecemos o valor do débito inicial d 0 e o valor das restações fixas e queremos determinar a taxa de juros embutida no financiamento. Para isto temos que resolver a equação (4): = j 1 + j (1 + j) (n 1) q ara j. Observe que esta não é uma equação simles de se resolver ara n maior que 3. Precisamos usar um método iterativo ara resolver esta equação. Vamos usar novamente o método de Newton. Um método iterativo começa com uma aroximação inicial da solução, x 0, e gera uma nova aroximação a artir da anterior, reetidamente, até que se atinja a recisão desejada. No caso do método de Newton, se x k 1 é a aroximação anterior, a nova aroximação da solução de F (x) = 0 é a solução de uma aroximação linear da equação, nas roximidades da aroximação anterior da solução, ou seja, a solução de F (x k 1 )(x x k 1 ) + F (x k 1 ) = 0, onde F é a derivada de F. Assim, a aroximação x k é dada or x k = x k 1 F (x k 1) F (x k 1 ).
10 de abril de 2009 Reginaldo J. Santos 4.2 Com Entrada 17 Neste caso esecífico e a derivada de F (x) F (x) = 1 (1 + x) (n 1) + q. x ( (n 1)(1 + x) F n (x) = x ) 1 (1 + x) (n 1). x 2 Escrevemos um rograma que roda em ágina da web, que usa este método ara determinar a taxa de juros. Clique aqui ara exerimentar o rograma. Exercício 17. Verifique que realmente a taxa de juros do exemlo anterior é 4,85 %.
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 185 SISTEMA DE FINANCIAMENTO COM AMORTIZAÇÕES CONSTANTES 5 Sistema de Financiamento com Amortizações Constantes Este sistema de financiamento é conhecido como SAC. Neste sistema o débito é dividido em arcelas iguais que serão as amortizações corresondentes a cada arcela. 5.1 Tabela de Amortização Assim como no sistema francês, cada restação é comosta de uma arcela de juro e uma arcela de amortização, ou seja, ara k = 1,..., n, temos k = a k + j k. Agora, neste caso, a amortização em cada eríodo é dada or a k = d 0 n. A arcela de juro é, assim como no sistema francês, calculada sobre o saldo devedor no eríodo anterior, ou seja, j k = j d k 1. O saldo devedor imediatamente aós ter sido aga a arcela k é dado or d k = d k 1 a k. Exercício 18. Prove a seguinte fórmula ara o saldo devedor d k : d k = (1 + j)d k 1 k
10 de abril de 2009 Reginaldo J. Santos 5.1 Tabela de Amortização 19 Exercício 19. Escreva a solução do exemlo do Exercício 10, mas agora no sistema SAC: Uma bicicleta é vendida numa loja com duas oções de agamento: à vista or R$ 129,00 ou em 0+4 agamentos com juros de 4,85 % de juros ao mês, no sistema SAC. Observe que as restações são decrescentes. Clique aqui ara usar o rograma que calcula a tabela de amortização.
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 20 6 PÁGINAS INTERATIVAS 6 Páginas Interativas Escrevemos alguns rogramas que rodam em áginas da web ara alguns cálculos financeiros: Tabelas de Atualizações Monetárias - ara calcular o valor futuro (ou atual) de uma quantia sujeita a valorização a uma taxa constante. Tabelas de Dereciações Monetárias - ara calcular o valor futuro (ou atual) de uma quantia sujeita a dereciação a uma taxa constante. Tabelas de Atualizações ara Períodos não Inteiros - ara calcular os valores futuros de uma quantia em frações de um eríodo, no qual é conhecida a taxa de juros. Tabela de Série de Pagamentos Iguais - se você fornece o valor do deósito or eríodo, o rograma diz qual o saldo aós n eríodos e recirocamente, se você fornece o saldo aós n eríodos, ele diz quanto deverá ser o valor do deósito or eríodo ara que em n eríodos se alcance aquele saldo. Tabela de Saldos aós Retiradas Iguais - fornece o valor da retirada mensal e o saldo aós cada retirada ara que aós n eríodos o saldo seja igual a zero. Tabelas de Financiamentos - ara calcular as tabelas de financiamento do sistema de amortizações constantes (SAC) e do sistema francês (Tabela Price). Cálculo da Taxa de Juros elo Método de Newton - ara calcular a taxa de juros raticada na tabela Price, sendo conhecidos o valor do débito e das restações (fixas).
10 de abril de 2009 Reginaldo J. Santos 21 7 Resostas dos Exercícios 1. 0, 98 q 1 = q 1 2 + (1 + q j) 1 1 2 0, 98 = 1 2 + (1 + j) 1 2 (1 + j) 1 = 2 0, 98 1 = 0, 96 j = 1 1 0, 04167 0, 96 2. 2q 0 = (1 + j) n q 0 2 = (1 + j) n ln 2 = n ln(1 + j) n = ln 2 ln(1 + j) = ln 2 ln 1, 01 70 meses
Introdução à Matemática Financeira 10 de abril de 2009 22 REFERÊNCIAS Referências [1] Augusto Cesar Morgado, Eduardo Wagner, and Sheila C. Zani. Progressões e Matemática Financeira. SBM, Rio de Janeiro, 4a. edition, 2001.