Sistemas de numeração Aula 02 e 03 Prof. Msc. Arthur G. Bartsch Departamento de engenharia elétrica DEE Centro de ciências tecnológicas CCT Universidade do estado de Santa Catarina UDESC Álgebra de Boole ALB0001 arthur.bartsch@udesc.br 2017/02 1/19
Sumário 1 Introdução 2 Contagem 3 Bases numéricas 4 Conversão entre bases 5 Operações aritméticas 6 Números negativos na base 2 7 Resumo e Conclusão 2/19
Introdução 3/19
Introdução Nesta aula, iremos tratar de princípios de contagem em diferentes bases numéricas. 3/19
Introdução Nesta aula, iremos tratar de princípios de contagem em diferentes bases numéricas. Além disso, iremos aprender como converter números descritos em bases diferentes e como realizar operações matemáticas básicas em outras bases numéricas. 3/19
Introdução Nesta aula, iremos tratar de princípios de contagem em diferentes bases numéricas. Além disso, iremos aprender como converter números descritos em bases diferentes e como realizar operações matemáticas básicas em outras bases numéricas. Por fim, discutiremos a representação de números negativos na base 2. 3/19
Contagem 4/19
Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. 4/19
Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. Possivelmente, essa foi a primeira área da matemática explorada pelo homem. 4/19
Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. Possivelmente, essa foi a primeira área da matemática explorada pelo homem. Segundo registros arqueológicos, há diversos códigos numéricos catalogados, produzidos pelos mais diferentes povos antigos. 4/19
Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. Possivelmente, essa foi a primeira área da matemática explorada pelo homem. Segundo registros arqueológicos, há diversos códigos numéricos catalogados, produzidos pelos mais diferentes povos antigos. Talvez o código numérico antigo mais famoso seja o romano, que utilizavam letras, de seu alfabeto, para indicar quantidades. 4/19
Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. Possivelmente, essa foi a primeira área da matemática explorada pelo homem. Segundo registros arqueológicos, há diversos códigos numéricos catalogados, produzidos pelos mais diferentes povos antigos. Talvez o código numérico antigo mais famoso seja o romano, que utilizavam letras, de seu alfabeto, para indicar quantidades. Em relação a sistemas numéricos antigos, o sistema sexagesimal pode ser considerado um dos mais famoso. Inventado pelos sumérios, nesse sistema numérico, os números são contados de zero a sessenta. 4/19
Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. Possivelmente, essa foi a primeira área da matemática explorada pelo homem. Segundo registros arqueológicos, há diversos códigos numéricos catalogados, produzidos pelos mais diferentes povos antigos. Talvez o código numérico antigo mais famoso seja o romano, que utilizavam letras, de seu alfabeto, para indicar quantidades. Em relação a sistemas numéricos antigos, o sistema sexagesimal pode ser considerado um dos mais famoso. Inventado pelos sumérios, nesse sistema numérico, os números são contados de zero a sessenta. De forma geral, o ser humano na atualidade utiliza o código numérico indo-arábico, em um sistema numérico decimal. 4/19
Definições Códigos numéricos: símbolos utilizados para representar uma dada quantidade. 5/19
Definições Códigos numéricos: símbolos utilizados para representar uma dada quantidade. Sistema numérico: intervalo de contagem definido para o código numérico. 5/19
Definições Códigos numéricos: símbolos utilizados para representar uma dada quantidade. Sistema numérico: intervalo de contagem definido para o código numérico. Geralmente, ambos os conceitos estão diretamente interligados, pois, normalmente, códigos numéricos são criados para um sistema numérico específico. 5/19
Bases numéricas 6/19
Bases numéricas A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. 6/19
Bases numéricas A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. De modo geral, os números são descritos na forma posicional, ou seja, a posição de cada número expressa uma potência de sua base numérica. 6/19
Bases numéricas A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. De modo geral, os números são descritos na forma posicional, ou seja, a posição de cada número expressa uma potência de sua base numérica. Exemplo: 754 10 = 754 = 700 + 50 + 4 = 7 10 2 + 5 10 1 + 4 10 0 6/19
Bases numéricas A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. De modo geral, os números são descritos na forma posicional, ou seja, a posição de cada número expressa uma potência de sua base numérica. Exemplo: 754 10 = 754 = 700 + 50 + 4 = 7 10 2 + 5 10 1 + 4 10 0 Notar que em uma dada base r, um número N pode ser representado na forma N r. Desse modo, o número subscrito indica a base em que o número se encontra. Alternativamente, o número da base pode ser substituído por uma letra, para alguns casos específicos. 6/19
Principais bases numéricas Decimal, exemplo: 101 10, 297 d ; 7/19
Principais bases numéricas Decimal, exemplo: 101 10, 297 d ; Binária, exemplo: 101 2, 10011 b ; 7/19
Principais bases numéricas Decimal, exemplo: 101 10, 297 d ; Binária, exemplo: 101 2, 10011 b ; Octal, exemplo: 101 8, 712 o ; 7/19
Principais bases numéricas Decimal, exemplo: 101 10, 297 d ; Binária, exemplo: 101 2, 10011 b ; Octal, exemplo: 101 8, 712 o ; Hexadecimal, exemplos: 101 16, 2FA1 h. 7/19
Relação de algarismos em algumas bases numéricas 8/19
Conversão entre bases 9/19
Representação polinomial de um número Qualquer número inteiro A de m algarismos em uma dada base r, em um sistema de numeração posicional, pode ser representado na forma: A = A r = a m 1 r m 1 + a m 2 r m 2 +... + a 1 r 1 + a 0 r 0. (1) 9/19
Representação polinomial de um número Qualquer número inteiro A de m algarismos em uma dada base r, em um sistema de numeração posicional, pode ser representado na forma: A = A r = a m 1 r m 1 + a m 2 r m 2 +... + a 1 r 1 + a 0 r 0. (1) Exemplo: 672 = 672 16 = 6 16 2 + 7 16 1 + 2 16 0 = 1650 10. 9/19
Representação polinomial de um número Qualquer número inteiro A de m algarismos em uma dada base r, em um sistema de numeração posicional, pode ser representado na forma: A = A r = a m 1 r m 1 + a m 2 r m 2 +... + a 1 r 1 + a 0 r 0. (1) Exemplo: 672 = 672 16 = 6 16 2 + 7 16 1 + 2 16 0 = 1650 10. A expansão da forma polinomial para o caso real envolve a inclusão de potências negativas na representação polinomial. 9/19
Conversão entre bases Base 10 para base r: método das divisões sucessivas. 10/19
Conversão entre bases Base 10 para base r: método das divisões sucessivas. Base r para base 10: solução da forma polinomial. 10/19
Conversão entre bases Base 10 para base r: método das divisões sucessivas. Base r para base 10: solução da forma polinomial. Bases de potência de 2 para base 2 (e vice-versa): agrupamento numérico. 10/19
Exercício Faça as conversões de base como solicitado: 10101 2 X 10. 18 16 X 2. 47 10 X 16. 700 8 X 10. 2A 16 X 10. 53 10 X 2. 15 10 X 16. 31 10 X 2. 22 8 X 16. 11/19
Exercício Faça as conversões de base como solicitado: 10101 2 X 10. R: 21 10 18 16 X 2. R: 11000 2 47 10 X 16. R: 2F 16 700 8 X 10. R: 448 10 2A 16 X 10. R: 42 10 53 10 X 2. R: 110101 2 15 10 X 16. R: F 16 31 10 X 2. R: 11111 2 22 8 X 16. R: 12 16 11/19
Relação de números de 1 a 15 em algumas bases numéricas 12/19
Operações aritméticas 13/19
Operações aritméticas em diversas bases Soma: 145 16 + 235 16 = 37A 16 13/19
Operações aritméticas em diversas bases Soma: Subtração: 145 16 + 235 16 = 37A 16 1010 2 0011 2 = 0111 2 13/19
Operações aritméticas em diversas bases Soma: Subtração: Multiplicação: 145 16 + 235 16 = 37A 16 1010 2 0011 2 = 0111 2 24 8 3 8 = 74 8 13/19
Operações aritméticas em diversas bases Soma: Subtração: Multiplicação: Divisão: 145 16 + 235 16 = 37A 16 1010 2 0011 2 = 0111 2 24 8 3 8 = 74 8 24 8 3 8 = 6 8 13/19
Casos especiais para base 2 Multiplicação por 2: pode-se deslocar todo número binário para a esquerda (shift left). Exemplo: 1001 10 = 10010. 14/19
Casos especiais para base 2 Multiplicação por 2: pode-se deslocar todo número binário para a esquerda (shift left). Exemplo: 1001 10 = 10010. Divisão por 2: pode-se deslocar todo número binário para a direita (shift right), o último bit é perdido (caso se trate de uma divisão inteira) ou assume uma posição após a vírgula (caso se trate de uma divisão real). Exemplo: 1001 10 = 0100 ou 1001 10 = 0100, 1. 14/19
Exercício Realize as operações matemáticas solicitadas: 10101 2 11 2. 876 16 + 554 16. A2C 16 + B5 16. 77 8 + 15 8. 45 8 12 8. 1100 2 1001 2. 3A 16 5 16. 32 16 4 16. 110000 2 110 2. 21 7 16 7. 21 8 + 13 16. 15/19
Exercício Realize as operações matemáticas solicitadas: 10101 2 11 2. R: 111111 2 876 16 + 554 16. R: DCA 16 A2C 16 + B5 16. R: AE1 16 77 8 + 15 8. R: 114 8 45 8 12 8. R: 3 8 1100 2 1001 2. R: 0011 2 3A 16 5 16. R: 122 16 32 16 4 16. R: C 16 110000 2 110 2. R: 1000 21 7 16 7. R: 2 7 21 8 + 13 16. R: 36 10 15/19
Números negativos na base 2 16/19
Números negativos na base 2 Dígito sinalizador: O número negativo é representado simplesmente adicionando-se um bit 1 na frente do número. Exemplo: +13 = 01011 e 13 = 11011 16/19
Números negativos na base 2 Dígito sinalizador: O número negativo é representado simplesmente adicionando-se um bit 1 na frente do número. Exemplo: +13 = 01011 e 13 = 11011 Complemento de 1: O número negativo é obtido invertendo-se todos os bits do número (o que é zero vira um e vice-versa). Nessa representação, o número iniciado por 1 ainda é negativo e o número iniciado por zero ainda é positivo. Exemplo: +13 = 01011 e 13 = 10100 16/19
Números negativos na base 2 Dígito sinalizador: O número negativo é representado simplesmente adicionando-se um bit 1 na frente do número. Exemplo: +13 = 01011 e 13 = 11011 Complemento de 1: O número negativo é obtido invertendo-se todos os bits do número (o que é zero vira um e vice-versa). Nessa representação, o número iniciado por 1 ainda é negativo e o número iniciado por zero ainda é positivo. Exemplo: +13 = 01011 e 13 = 10100 Complemento de 2: O número negativo é obtido adicionando-se o bit 1 ao seu complemento de 1. +13 = 01011 e 13 = 10101 16/19
Números negativos na base 2 O complemento de 2 de um número negativo é o módulo do próprio número. 17/19
Números negativos na base 2 O complemento de 2 de um número negativo é o módulo do próprio número. A subtração de um número já resulta naturalmente no complemento de 2. Exemplo: 00101 01011 = 11010 17/19
Números negativos na base 2 O complemento de 2 de um número negativo é o módulo do próprio número. A subtração de um número já resulta naturalmente no complemento de 2. Exemplo: 00101 01011 = 11010 A representação em complemento de 2 é especialmente útil para evitar problemas computacionais como -0. 17/19
Números negativos na base 2 O complemento de 2 de um número negativo é o módulo do próprio número. A subtração de um número já resulta naturalmente no complemento de 2. Exemplo: 00101 01011 = 11010 A representação em complemento de 2 é especialmente útil para evitar problemas computacionais como -0. Além disso, é importante ressaltar que em certos ambientes computacionais se trabalha com números não-sinalizados. Em outros ambientes, por padrão, se trabalha com números sinalizados. 17/19
Exercício Realize as operações matemáticas solicitadas: Complemento de 1 de 011010. Complemento de 2 de 011010. Complemento de 2 de 110011, representado nas bases 2, 10 e 16. Shift right de 10101001 e seu valor na base 10. Shift left de 01101101 e seu valor na base 10. 18/19
Exercício Realize as operações matemáticas solicitadas: Complemento de 1 de 011010. R: 100101. Complemento de 2 de 011010. R: 100110. Complemento de 2 de 110011, representado nas bases 2, 10 e 16. R: 001101, 11 10, B 16. Shift right de 10101001 e seu valor na base 10. R: 01010100, 84 10. Shift left de 01101101 e seu valor na base 10. R: 11011010, 218 10. 18/19
Resumo e Conclusão 19/19
Resumo e Conclusão Nesta aula, estudamos a aritmética básica em diferentes bases numéricas. 19/19
Resumo e Conclusão Nesta aula, estudamos a aritmética básica em diferentes bases numéricas. Na próxima aula, iremos estudar códigos binários especiais. 19/19