DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS EDO II - MAP 036 PROF: PEDRO T P LOPES WWWIMEUSPBR/ PPLOPES/EDO2 Os exercícios a seguir foram selecionaos os livros os auores Claus Doering-Arur Lopes e Jorge Soomayor SXY inica exercício Y o capíulo X o livro o Soomayor DLXY inica exercício Y o capíulo X o livro os auores Claus Doering e Arur Lopes Exercício S Seja g = 2 2, a Mosre que oa solução e x = g é a forma ϕ = c + ln +, one c R De fao, basa inegrar g e obemos x x = x ss = gss = s s = ln s s + s + Logo x = x ln + + ln + = c + ln +, em que c := x ln 0 + b Faça um esboço esas soluções em Ω = { R; } R Sugesão: Noe que g = + = ln + ln + Exercício 2 S2 Seja fx = x2 2 Mosre que oa solução e x = fx iferene as soluções ϕ + e ϕ é a forma: ϕ = + ce ce, c 0 Qual é o inervalo máximo I c e efinição esas soluções? Faça um esboço geomérico as soluções em Ω = R 2 e compare com o exercício anerior Usano o méoo aprenio em sala e aula, emos x = F, em que F w = ˆ w x 0 fξ ξ = ˆ w x 0 2 ξ 2 ξ = ˆ w x 0 ξ ξ + ξ = ln w w + ln x 0 x 0 + Assim F x = Logo para algum c e c perencenes a R, emos ln x x + ln x 0 x 0 + = = ln x x + = + c = Assim x x + = ce x = ce x + = x ce = + ce = x = + ce ce Logo uma solução esá efinia para oo, se c < 0 Se c > 0, a solução esá efinia para oo al que ce, ou seja, e c = ln c, ou seja, o inervalo máximo é ], ln c [ ou ] ln c, [, epeneno o pono o valor inicial
DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS EDO II - MAP 036 2 Exercício 3 S5 Seja f : R R a As equações a forma x = f x, 0 são chamaas homogêneas Prove que a muança e variáveis x = y ransforma equações homogêneas em equações com variáveis separáveis Se x = y, enão x = y + y Assim emos x x = f y + y = f y y = f y y b Resolva a equação Vemos que x = x +, x = 0 x = x +, logo x = f x, em que f w = w + Se x = y, enão 0 = x = y e Assim Concluímos que x = ln Exercício 4 S6 Enconre os valores e α e β para os quais y = f y y = y + y = y = y + ln = ln x = α α + βx β se ransforma numa equação homogênea por meio e uma muança e variáveis a forma x = y m Se x = y m, enão x = my m y Logo my m y = α α + βy βm, ou seja, y = α α y m + βy β m+ = α α+ m y m + β β m+ y β m+ m m Logo para que m α α y m + βy β m+ possa ser escria como f y, evemos er um os rês casos: α = β = 0 2 β = 0 e α = m 3 β = + m e α = 0 4 β = + m e α = m Exercício 5 S8 Mosre que a muança e variáveis x n = y ransforma a equação e Bernoulli x = ax + cxn numa equação linear Se y = x n, enão y = n x n x Logo x = n x n y Logo a equação acima equivale a n x n y = ax + cx n = y = n ax n + n c = y = n ay + n c Exercício 6 S9
DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS EDO II - MAP 036 3 A equação o ipo x = rx 2 + ax + b chama-se equação e Riccai Suponha que os coeficienes a equação são funções conínuas e Mosre que se ϕ é uma solução a equação, enão ϕ = ϕ + ϕ 2 é solução a equação se, e somene se, ϕ 2 é uma solução a equação e Bernoulli veja exercício anerior Ache as soluções e y = a + 2rϕ y + ry 2 x = x + 3 x 2 5 sabeno que esa equação amie ϕ = como solução De fao, se ϕ + ϕ 2 é solução, enão emos ϕ + ϕ 2 = rϕ 2 + 2rϕ ϕ 2 + rϕ 2 2 + aϕ + aϕ 2 + b Como ϕ é solução, concluímos que ϕ 2 = 2rϕ ϕ 2 + rϕ 2 2 + aϕ 2 No caso em que x = x + 3 x 2 5, ϕ 2 eve saisfazer y = + 23 y + 3 y 2 = Se y = z, enão Logo [ x = + x 0 s 3 exp + 24 y + 3 y 2 z = + 24 z 3 ˆ s s 0 ] τ + 2τ 4 τ s exp τ + 2τ 4 τ Exercício 7 S Em caa um os seguines exemplos, enconre ou emonsre que não exise uma consane e Lipschiz nos omínios inicaos: a f, x = x, a, x R n b f, x = x 3, x c f, x = x, x f, x = x 2 x 2, + x 3, x 2 3, x b, a a É Lipschiz De fao, f, x f, y = x y = x y x y a x y Noe que usei x = y + x y y + x y e y x + x y Logo x y x y b Não é Lipschiz Iso foi viso em sala e aula Se fosse Lipschiz, exisiria uma consane C > 0 al que f, x f, y sup C x y x y Porém f, x f, 0 = x 3 = x 2 x 0 3 x x Um absuro Logo f não é Lipschiz c É Lipschiz De fao, emos f, x f, y = x ˆ y y = s 2 s ˆ y s y x, em que usamos s 2, pois f só esá efinio para x É Lipschiz x x
DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS EDO II - MAP 036 4 De fao, a função é C Logo f, x f, y max D xf, x x y x b, a O número max x b, a D x f, x é finio, pois é o máximo e uma função conínua sobre um compaco Exercício 8 S2 Seja f : R 2 R efinia por fx, y = y Consiere a equação iferencial y = fx, y com a conição inicial y0 = 0 i Dê uma solução esa equação ii Ela é única? iii Caso a resposa e ii seja negaiva, conraiz o Teorema e Picar? Jusifique Sugesão: Use o méoo e variáveis separáveis para enconrar a seguine solução: { x 2 y := 4, x 0 x2 4, x 0 i Uma possível solução é aa por y = 0 para oo R, pois y = 0 = 0 = y ii Não, usano o méoo e variáveis separáveis a princípio ele só vale quano fx, y 0, no enano ele esá seno usano aqui numa enaiva e ober uma solução emos para x > 0 F x = ˆ x 0 ξ ξ = 2 x = x = 4 F x2 = F y = 4 y2 Logo, obemos para 0, y = F = 2 4 Fazeno o mesmo para 0, obemos y = 2 4 Como vimos, ese méoo só foi emonsrao a valiae para fx, y 0 No enano, poemos mosrar expliciamene que a solução obia acima e fao resolve a equação Embora não seja a única que o faça iii Não, pois y y não é localmene Lipschiiziana Se fosse, exisiria uma consane C > 0 al que se x, y, x y, enão x y x y C No enano, x 0 lim x 0 = lim = x x x Exercício 9 S4 Seja f : R R n R n e classe C e suponhamos que ϕ : R R n é a solução e x = f, x, x = x 0 É possível que exisa al que ϕ = ϕ, porém ϕ e ϕ são linearmene inepenenes? Sugesão: Noe que sen = cos + sen e 2 sen = 2 cos + 2sen Seja ϕ : R R 2 a solução e com f : R R 2 R 2 aa por f, x, y = cos + sen, 2 cos + 2sen e conições iniciais x0, y0 = 0, 0 Calcule enão ϕπ, ϕ2π, ϕ π e ϕ 2π Sim No caso a sugesão emos que ϕ = sen, 2 sen é solução e ϕ = f, ϕ Além isso, ϕπ = 0, 0 ϕ2π = 0, 0 ϕ π = π, π 2 ϕ 2π = 2π, 4π 2 Como π, π 2 e 2π, 4π 2 são LI concluímos que sim, é possível Exercício 0 S5
DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS EDO II - MAP 036 5 Seja f : R R n R n conínua e Lipschiziana com respeio a seguna variável Exise K > 0 al que f, x f, y K x y, para oo, x e, y R R n Prove que ao, x 0 R R n exise uma única solução e x = f, x, x = x 0, efinia em oo R Vamos esboçar uas formas e resolver ese exercício: Refaço o Teorema e Picar Linelöf Mosro que para oo inervalo compaco I que coném a aplicação F : CI, R n CI, R n aa por F x = x 0 + fs, xss é al que F n é uma conração para n grane Logo exise um único pono fixo Assim a solução exise em caa inervalo compaco que coném Mosro que as soluções coinciem nas inersecções os inervalos Por fim, mosro que poemos efinir uma solução em oo R izeno que a resrição em caa inervalo compaco que coném é ao pelas soluções obias acima pelo eorema o pono fixo 2 Mosro que se o inervalo maximal for a forma ]α, β[ com β < para α >, o argumeno é o mesmo, enão x converge quano vai para β Logo poemos esener a solução para maiores o que β Exercício S6 Seja f : R n R n e classe C e suponhamos que ϕ : R R n é solução e x = fx, x = x 0 a É possível que exisa al que ϕ = ϕ, mas ϕ ϕ? Não Pois se ϕ = ϕ, iso implica que ϕ = fϕ = fϕ = ϕ b Compare a com o exercício 9 No exercício 9 emos um sisema não auônomo e nese exercício um sisema auônomo Concluímos que o efeio escrio nese exercício só poe ocorrer em sisemas não auônomos Exercício 2 S28 Seja f : R R n R n uma função conínua al que f, x = f +, x e f [0,] R n é Lipschiziana Prove que oa solução ϕ,, x 0 a equação x = f, x, x = x 0 esá efinia para oo R e ϕ,, x 0 = ϕ +, +, x 0 De f, x = f +, x é simples concluir que f, x = f + n, x, para oo n Z Poemos usar inução Seja K > 0 al que f, x f, y K x y, [0, ] Logo se [n, n + ], para algum n Z, concluímos que = n + s Porano f, x f, y = fn + s, x fn + s, y = fs, x fs, y K x y Desa maneira f é uma função Lipschiziana Pelo exercício 0, uma solução esa equação esá efinia para oo R Por fim, observemos que se y : R R n é uma função aa por y = ϕ +, +, x 0, enão y = ϕ +, +, x 0 = x 0 e y = ϕ +, +, x 0 = ϕ +, +, x 0 = f +, ϕ +, +, x 0 = f, ϕ +, +, x 0 = f, y Pela uniciae as soluções e EDO, y = ϕ,, x 0, ou seja, ϕ,, x 0 = ϕ +, +, x 0 Exercício 3 S29
DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS EDO II - MAP 036 6 Seja H : R n R n e classe C Seja f : R R n R n conínua e Lipschiziana al que f, Hx = DHxf, x para oo, x R R n Se f é Lipschiziana e ϕ,, x 0 enoa a solução e x = f, x que passa por, x 0, prove que ϕ,, Hx 0 = H ϕ,, x 0 Lembremos que por efinição, a função x : R R n aa por x = ϕ,, x 0 saisfaz x = f, x x = x 0 Agora, basa observar que se y : R R n é a função aa por y = H ϕ,, x 0, enão y = ϕ [H ϕ,, x 0 ] = DH ϕ,, x 0,, x 0 = DH ϕ,, x 0 f, ϕ,, x 0 = f, Hϕ,, x 0 = f, y e y = H ϕ,, x 0 = H x 0 Logo y = ϕ,, Hx 0, ou seja, H ϕ,, x 0 = ϕ,, Hx 0 Exercício 4 S30 Se X = X, X 2,, X n é um campo veorial e classe C em R n e V é uma função real iferenciável em R n al que n i= V x i xx i x 0 e V x x 2 para oo x R n, prove que oa solução e x = Xx, x0 = x 0, esá efinia para oo > 0 Basa observar que se x = Xx e x0 = x 0, enão V x = V xx = n i= V x i xx ix = n i= V x i xx i x 0 Logo V x é uma função ecrescene Suponha que o inervalo e efinição a solução máxima seja I = ]α, β[, α < 0 e β < Como x V x, concluímos que [0, β[ x R é uma função limiaa, ou seja, x[0, β[ perence a um compaco K e R n Como o campo esá efinio para oo R n e β <, eve exisir al que x R n \K Iso é um absuro Logo β = Exercício 5 DL4 Sejam f : E R n um campo conínuo, em que E R n é um abero, I R um inervalo com I e x : I R n um caminho conínuo e erivável al que x E para oo I Mosre que x é solução e x = fx, com x = x 0, se, e somene se, para qualquer I vale x = x 0 + fxss = Suponha que x = fx, com x = x 0 Como f e x são conínuas, concluímos que fx é inegrável Assim, pelo eorema funamenal o cálculo: x x = x ss = fxss = x = x 0 + fxss = Suponha que x seja conínua e x = x 0 + fxss Sabemos que se g : R R é conínua, enão gss = g Como s fxs é conínua, concluímos que x = x 0 + fxss = fxss = fx Além isso, emos x = x 0 + fxss = x 0 Exercício 6 DL42
DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS EDO II - MAP 036 7 Seja f : E R n um campo e classe C, em que E R n é um abero Dao y E, enoamos por Iy o inervalo máximo a solução a EDO { x = fx x0 = y Mosre que se s, R e x R são ais que s, s + Ix, enão I φs, x { w Seja w : Ix R n a solução máxima e = fw Suponha que s Ix Defino z : {y s : y Ix} w0 = x R n por zu = wu + s Logo z = fz e z0 = ws = φs, x, ou seja, z é uma resrição e u φu, φs, x Observamos que φs, x esá bem efinia, pois s Ix Se s + Ix, enão ws + esá bem efinia s + esá no omínio e w Logo z esá bem efinia, ou seja, perence ao omínio e z e e u φu, φs, x Porano, I φs, x Exercício 7 DL43 Sejam f : E R n um campo e classe C, em que E R n é um abero Seja x uma solução efinia em oa rea e al que lim x = z 0, em que z 0 E Mosre que fz 0 = 0 Sabemos que x = x 0 + fxss Tomano o limie para, obemos z 0 = lim x = lim x 0 + fxss = x 0 + lim fxss Sabemos ambém que lim fx = fz 0 Suponha que fz 0 0 Logo se fxs = f xs,, f n xs e fz 0 = f z 0,, f n z 0, enão f j z 0 0 para algum j {, 2,, n} Suponha que f j z 0 > 0 o argumeno para f j z 0 < 0 é o mesmo Assim exise C > 0 e R > al que f j xs C > 0 para s R Concluímos que ˆ R ˆ ˆ R lim f j xss = lim f j xss + lim R f j xss f j xss + ˆ R Porano, z 0 não é finio, uma conraição Logo fz 0 = 0 R f j xss f j xss + lim R = Cs = Exercício 8 DL45 Seja f : R R um campo e classe C com uma solução máxima não consane x : I R e x = fx al que a imagem xi é limiaa Mosre que: a I = R b x é esriamene monóona c xi é um inervalo abero limiao ]a, b[ fa = fb = 0 a Suponha que o inervalo maximal fosse ]α, β[, com β < para α >, o argumeno é análogo Logo, para oo compaco e R, em paricular um inervalo fechao limiao que conenha xi, everia exisir x que não perence a ese compaco Iso é evienemene uma conraição Logo β = b Se x não for monóona, enão exise um máximo ou mínimo local e x : I R, ou seja, um pono I al que x = 0 Concluímos que fx = x = 0 Seja y : I R ao por y = x para oo I Logo y = 0 = fx = fy y = x Por uniciae as soluções, concluímos que y = x Logo x é uma solução consane Iso é uma conraição Logo x em que ser monóona c Sabemos que I é um inervalo Logo é um conjuno conexo e R Assim xi é um conjuno conexo e R, pois x é conínua Concluímos que xi é um inervalo Suponha que xi =]a, b] o caso [a, b[ se raa e maneira semelhane Logo exise R al que x = b Como x é monóona, concluímos que exise I, > se x for crescene, ou <, se x for ecrescene, al que x > b Logo x / xi, o que é uma conraição Concluímos que xi =]a, b[ Sabemos que o limie lim ± x é igual a a ou b, epeneno e ±, pois x é uma função monóona Como lim ± fx é igual a fa ou fb, basa aplicar o resulao o exercício 7 para concluir que fa = fb = 0
DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS EDO II - MAP 036 8 Exercício 9 DL 47 Seja x : I R n uma solução máxima não consane e x = fx Mosre que se x não for injeora, enão: O inervalo máximo a solução é R 2 Exise uma consane T > 0 al que x + T = x para oo R Uma solução com as proprieaes acima é chamaa e perióica Sabemos que x não é injeora Logo exisem e 2 perencenes a I ais que x = x 2 Seja T = 2 Defino y : [, 2 + T ] R n { x, [ y =, 2 ] x T, [ 2, 2 + T ] Como x 2 T = x 2 2 = x = x 2, concluímos, usano um resulao ao em sala e aula, que y ambém é uma solução a EDO y = fy Poemos esener esa solução para oo R a seguine maneira: Se [ + nt, 2 + n + T ], n Z, enão = + nt + s, com s [, 2 ] Logo efino y = ys Usano o resulao ao em sala e aula para caa pono + nt poemos usar inução, concluímos que y é uma solução a EDO efinia em oo R Por uniciae a solução máxima, concluímos que x = y, ou seja, x esá efinio em oo R Pela própria consrução e y, concluímos que x + T = x para oo R O resulao ao em sala e aula a que nos referimos esá enunciao no exercício 0, pag 38, a primeira eição o livro o Doering e Lopes Exercício 20 DL 49 Seja f : R n R n um campo al que x, fx = 0, para oo x R Mosre que oa solução máxima x : I R n e x = fx esá efinia para oo R Ou seja, mosre que o inervalo máximo e oa solução máxima é igual a R Observação: x, y := x y + x 2 y 2 + + x n y n Basa observar que x 2 = x, x = x, x + x, x x = 2, x = 2 fx, x = 0 Logo x := R é uma função consane Suponha o inervalo maximal fosse ]α, β[, com β < para α >, o argumeno é análogo Logo, para oo compaco e R n, em paricular uma bola fechaa e raio maior o que R, everia exisir x que não perence a ese compaco Iso é evienemene uma conraição, pois x esá confinao a bola fechaa e raio R Logo β =