SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS BIFÁSICOS DE FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS E IMISCÍVEIS EM MEIOS POROSOS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS BIFÁSICOS DE FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS E IMISCÍVEIS EM MEIOS POROSOS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Adrso d Lma Mdoça TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. Alvaro Luz Gaoso d Azrdo Coutho, D. Sc. Prof. Luz Ladau, D. Sc. Prof. José Lus Drummod Alvs, D. Sc. Dr. Lus Flp Frs Prra, Ph.D. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL OUTUBRO DE 003

MENDONÇA, ANDERSON DE LIMA Smulação Numérca d Escoamtos Icomprssívs Bfáscos d Fludos Não- Ntoaos Imscívs m Mos Porosos Va Método dos Elmtos Ftos [Ro d Jaro] 003 VIII, 47 p. 9,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Eghara Cvl, 003) Ts Uvrsdad Fdral do Ro d Jaro, COPPE. Método dos lmtos ftos. Mo poroso 3. Escoamto bfásco 4. Fludo ão-toao I. COPPE/UFRJ II. Título (sér)

A mha sposa Adraa aos mus flhos Adrso Carlos Marcus Vícus Aos mus pas João Carlos Nlza

Agradcmtos Ao Prof. Alvaro Luz Gaoso d Azrdo Coutho, amgo ortador, por sua ddcação pacêca dmostradas para comgo durat o príodo d ortação, como também pla cofaça ctvo ao logo d todo o dsvolvmto dss trabalho d psqusa. Ao Prof. Luz Ladau pla dspoblzação dos rcursos matras cssáros para a ralzação dss trabalho. Ao Prof. José Lus Drummod Alvs pla costat prstatvdad durat a ralzação dss trabalho. Ao Prof. Frado L. B. Rbro pla dspoblzação do vsualzador V 3d. À ANP (Agêca Nacoal d Ptrólo) plo apoo facro através da bolsa d mstrado, dspsávl à ralzação dss trabalho. Ao amgo Rato Nascmto Elas plas logas valosas dscussõs qu muto cotrbuíram para a ralzação dss trabalho d psqusa. Ao Núclo d Atdmto m Computação d Alto Dsmpho (NACAD/COPPE/UFRJ) ao Laboratóro d Métodos Computacoas m Eghara (LAMCE/COPPE/UFRJ) plo apoo computacoal. Aos amgos da COPPE/UFRJ qu smpr m apoaram: Marcos Adré Duart Marts Ds Araujo Flguras d Souza. Em spcal a mha qurda sposa Adraa pla comprsão os momtos d ausêca plo carho ctvo os momtos d dfculdads. v

Rsumo da Ts aprstada à COPPE/UFRJ como part dos rqustos cssáros para a obtção do grau d Mstr m Cêcas (M.Sc.) SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS BIFÁSICOS DE FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS E IMISCÍVEIS EM MEIOS POROSOS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Adrso d Lma Mdoça Outubro/003 Ortador: Alvaro Luz Gaoso d Azrdo Coutho Programa: Eghara Cvl Est trabalho aprsta uma formulação stablzada d lmtos ftos para a smulação d scoamtos comprssívs bfáscos d fludos ão-toaos mscívs m mos porosos. Esta formulação é uma mportat frramta para a smulação d vasão d fludos durat opraçõs d prfuração. O modlo d l das potêcas é usado para dscrvr o comportamto dos fludos ão-toaos. Portato tato o fludo vasor quato o rsdt podm sr cosdrados como psudoplástcos ou dlatats. A quação rsultat para a saturação da fas molhat é apromada plo método SUPG acrscdo d um trmo d captura d choqu, a quação da prssão é apromada plo método d Galrk é usado um pós-procssamto global para rcuprar a vlocdad d Darc, garatdo a cosrvação d massa. Tsts umércos m problmas udmsoas, arrajo d cco poços cofguraçõs d poço mostram a fcêca da apromação proposta. Partcularmt a smulação d vasão d lama do poço para a formação fo vrfcado qu para baas taas d dformação a lama psudoplástca vad a formação mas ltamt. v

Abstract of Thss prstd to COPPE/UFRJ as a partal fulfllmt of th rqurmts for th dgr of Mastr of Scc (M.Sc.) NUMERICAL SIMULATION OF TWO-PHASE INCOMPRESSIBLE FLOWS OF NON-NEWTONIAN IMMISCIBLE FLUIDS IN POROUS MEDIA BY FINITE ELEMENT METHODS Adrso d Lma Mdoça Octobr/003 Advsor: Alvaro Luz Gaoso d Azrdo Coutho Dpartmt: Cvl Egrg Ths ork prsts a stablzd ft lmt formulato for th smulato of to-phas comprssbl flos of o-toa mmscbl fluds porous mda. Ths s a mportat tool for th smulato of flud vaso durg drllg opratos. Th por la modl s usd to dscrb th bhavor of o-toa fluds. Thrfor th vadg ad rsdt fluds ca b cosdrd thr as psudo-plastc or dlatat. Th rsultg quato for th saturato of th ttg phas s appromatd b th SUPG mthod supplmtd b a dscotut capturg trm, th prssur quato s appromatd b th Galrk mthod ad s usd a global post-procssg to rcovr th Darc s vloct, forcg mass cosrvato. Numrcal tsts odmsoal, fv-spot ad borhol cofguratos sho th ffctvss of th proposd approach. Partcularl for th smulato of mud vaso a borhol as vrfd that for lo dformato rats psudo-plastc muds provd th slost vaso to th formato. v

Ídc Capítulo Itrodução. Cosdraçõs cas. Objtvos do trabalho 6.3 Orgazação do tto 6 Capítulo Formulação Matmátca 8. Equaçõs Govrats 9.. Forma gral das quaçõs para scoamtos multfáscos.. Escoamto bfásco d fludos mscívs m mos porosos..3 Saturação, saturação rsdual saturação ftva 3..4 Prmabldad absoluta prmabldad rlatva 5..5 Prssão caplar 6..6 Vscosdad vscosdad apart 7. Equação da Prssão.3 Equação da Saturação 4.4 Sstma Acoplado d Equaçõs Dfrcas 8.5 Codçõs d cotoro codçõs cas 30 Capítulo 3 Formulação Apromada d Elmtos Ftos 3 3. Método dos Elmtos Ftos 3 3. Dscrtzação Espacal 37 3.3 Formulação d Galrk para a Equação da Prssão 38 3.4 Matrzs d Elmto para a Equação da Prssão 39 3.4. Matrz d Cofcts 4 3.4. Vtor d Trmos Idpdts 4 3.5 Pós-procssamto do Campo d Vlocdads 46 3.6 Matrzs d Elmto para a Equação da Vlocdad 47 v

3.7 Formulação Establzada para a Equação da Saturação 55 3.8 Matrzs d Elmto para a Equação da Saturação 57 3.8. Matrz d Massa 59 3.8. Corrção SUPG da Matrz d Massa 60 3.8.3 Matrz d Covcção 6 3.8.4 Corrção SUPG da Matrz d Covcção 63 3.8.5 Matrz d Dfusão 64 3.8.6 Matrz d Corrção do Oprador d Captura d Dscotudad 65 3.9 Dscrtzação Tmporal 66 3.9. Algortmo squcalmt mplícto 67 3.9. Algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor 68 3.0 Solução dos Sstmas d Equaçõs Lars 7 3.0. Métodos Itratvos 7 3.0. Implmtação lmto-por-lmto 73 3.0.3 Pré-codcoamto 74 Capítulo 4 Rsultados Numércos 78 4. Emplos d valdação 78 4.. Caso udmsoal jção d um fludo toao 79 4.. Caso udmsoal jção d um fludo psudoplástco 8 4..3 Problma clássco d cco poços 83 4. Emplos Numércos 9 4.. Problma clássco d cco poços 9 4.. Smulação d um poço d ptrólo 06 4..3 Problma clássco d cco poços com mo htrogêo Capítulo 5 Coclusõs 39 5. Cosdraçõs fas 39 5. Trabalhos futuros 4 Bblografa 43 v

Capítulo Itrodução. Cosdraçõs cas Os studos sobr scoamtos d fludos ão-toaos através d mos porosos saturados têm sdo bastat stmulados os últmos aos dvdo suas amplas aplcaçõs as áras d ghara cêcas físcas. Tas scoamtos ocorrm, por mplo, m sstmas gofíscos, procssos d rcupração d ólo, ghara d polímros procssos d fltração [7]. Um tdmto profudo sobr o scoamto d fludos ão-toaos através d mos porosos é d fudamtal mportâca para dvrsas aplcaçõs as áras d ghara. Nas últmas décadas, mutos studos quattatvos prmtas trouram cosdrávs progrssos para a comprsão do comportamto d um úco fludo ão-toao scoado através d um mo poroso. Etrtato, são cotrados poucos trabalhos sobr scoamto multfásco d fludos ão-toaos através d mos porosos ou apromaçõs umércas para tas aálss. Para scoamtos d fludos ão-toaos através d mos porosos, as quaçõs govrats aprstam forts ão-lardads msmo o caso d scoamto d um úco fludo, sto porqu a vscosdad apart do fludo ão-toao é prssa por uma fução altamt ão-lar da taa d dformação do scoamto. A solução para tas problmas m gral é alcaçada somt com a utlzação d métodos umércos [38]. Os problmas d scoamto bfásco d fludos mscívs através d mos porosos aplcam-s à dústra d ptrólo prcpalmt m smulaçõs d

rsrvatóros. Tradcoalmt, os smuladors d rsrvatóros utlzam o método das dfrças ftas para dscrtzar as quaçõs dfrcas parcas govrats. Como as quaçõs govrats são altamt ão-lars ss tpo d problma é comum o dsvolvmto d frts abruptas, cudados spcas dvm sr tomados tato para rprstar ssas ão-lardads quato para vtar o surgmto d osclaçõs spúras as promdads das frts. Est últmo problma é gralmt cotorado mprgado-s squmas d dfrças upd. Iflzmt, tas squmas dsspam artfcalmt as frts abruptas coduzm a rsultados qu são ssívs à ortação da malha computacoal. Mutos smuladors comrcas tratam as ãolarads do problma mprgado métodos plíctos a dscrtzação tmporal. Rctmt, os métodos totalmt mplíctos têm s torado mas populars por srm mas robustos codcoalmt stávs. Em algus problmas os métodos mplíctos são também mas fcts qu os métodos plíctos porqu possum mos rstrçõs quato ao crmto d tmpo []. Azz Sttar [] aprstam uma ampla rvsão dst tma ralzam comparaçõs tr os dfrts squmas d dfrças ftas usados m smuladors comrcas. A stêca d struturas gológcas com gomtras complas, tas como falhas stratfcaçõs, a prsça d htrogdads podm flucar dcsvamt o scoamto dos fludos através dstas formaçõs. Portato, métodos d dscrtzação spacal voltados para malhas ão-struturadas são trmamt atrats para a smulação d scoamtos a prsça d cáros complos. Os smuladors d rsrvatóros comrcas gralmt ão possum grad flbldad para o tratamto d gomtras complas, dvdo prcpalmt ao mprgo d métodos d dfrças ftas como a técca prcpal d dscrtzação spacal [0]. As prcpas dfculdads cotradas a rsolução d problmas d scoamto multfásco d fludos m mos porosos stão lgadas às forts ãolardads prsts as rlaçõs costtutvas ao fato d qu sss tpos d problmas gralmt são domados plos ftos covctvos od a utlzação d métodos umércos clásscos além d rsultar m osclaçõs spúras mostra também cssva dfusão artfcal [0]. Adcoalmt, o cálculo da vlocdad utlzado drtamt a l d Darc, a qual cssta d uma multplcação plo gradt d

prssão, acarrta prda a prcsão dos rsultados ão garat o prcípo d cosrvação d massa [7]. Dvrsos autors têm aprstado os últmos aos dfrts formulaçõs qu são mprgadas a dscrtzação d problmas d scoamto multfásco d fludos m mos porosos, od o modlo matmátco é prsso por duas quaçõs dfrcas parcas, uma cohcda como quação da prssão outra cohcda como quação da saturação. Bsas Car [4] utlzam uma formulação qu rsolv a prssão d forma mplícta a saturação d forma plícta (IMPES mplct prssur/plct saturato), sdo mprgada a formulação d lmtos ftos d Galrk/mímos quadrados. Durlofsk [4] utlza lmtos ftos mstos para a prssão a vlocdad téccas d volums ftos para a quação da saturação. Já Douglas t al. [3] mprgam a combação d métodos d lmtos ftos mstos para a quação da prssão o método das caractrístcas para acompahar a volução da frt d saturação, m ambts d computação paralla []. Db t al. [] Slva [34] mprgam uma formulação d lmtos ftos com rfamto d malha adaptatvo do tpo hp od a quação da saturação é solucoada com a formulação SUPG (Straml Upd Ptrov-Galrk) acrscda d um oprador d captura d dscotudad. Masud Hughs [7] dscutm os problmas qu surgm quado a vlocdad é calculada drtamt a partr da l d Darc aprstam uma formulação stablzada d lmtos ftos mstos para scoamtos d um úco fludo através d mos porosos. Para problmas d scoamto d fludos mscívs m mos porosos Loula t al. [] Malta t al. [4] utlzaram uma stratéga d pósprocssamto do campo d vlocdads para rcuprar a prcsão a apromação da vlocdad od todas as varávs do problma foram apromadas por trpolaçõs Lagragaas d msma ordm. Lagtag [] compara os rsultados obtdos a partr do mprgo d dfrts formulaçõs d lmtos ftos. Nos casos od os ftos caplars foram sgfcatvos os campos d prssão d saturação mostraram-s suavs todas as formulaçõs utlzadas por Lagtag [] aprstaram bos rsultados. Por outro lado, sgudo Lagtag [] foram cotradas dfculdads para rprstar a frt d saturação formada quado os ftos caplars foram glgcados, sdo tas dfculdads supradas com o mprgo d uma formulação d Ptrov-Galrk qu acrscta stabldad tato a drção das lhas d corrt quato a drção do gradt d saturação. Lagtag [] mostrou também m su 3

studo comparaçõs tr as fcêcas d dfrts métodos tratvos combados a dvrsas téccas d pré-codcoamto. Coutho t al. [9] aprstam um algortmo DMP (Damc Msh Partto) od o domío d lmtos ftos é partcoado d acordo com um crtéro d stabldad, basado m um úmro d Courat local, um crtéro d prcsão, basado m varaçõs locas do gradt da solução. Coutho Alvs [8] aprstam uma formulação stablzada d lmtos ftos utlzado téccas d solução m ambts d computação paralla para scoamtos mscívs m mos porosos. Juas a Patzk [0] utlzam uma formulação stablzada d lmtos ftos, a qual basa-s a dcomposção das varávs d trss m multscalas, para scoamtos tato d fludos mscívs quato d fludos mscívs m mos porosos. Parsos Coutho [8] dstacam um mlhor dsmpho do método multgrd a solução do sstma d quaçõs rfrt à quação da prssão quado comparado com o método dos gradts cojugados com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl. O scoamto comprssívl bfásco d fludos ão-toaos mscívs m mos porosos aplca-s por mplo a opraçõs d prfuraçõs d poços d ptrólo, od o fludo d prfuração possu comportamto ão-toao sob dtrmadas codçõs vad o rsrvatóro dslocado o fludo rsdt. Est tpo d smulação prmt portato aalsar o problma da prda do fludo d prfuração durat a prfuração d poços. Wu Pruss [37] tratam do scoamto d fludos ão-toaos através d mos porosos. Esss autors aprstam um tratamto umérco dtalhado para o modlo d l das potêcas para o modlo d fludo d Bgham. Em su trabalho Wu Pruss [37] utlzam o método das dfrças ftas a dscrtzação spacal das quaçõs govrats. Zhu t al. [39] também utlzam o método das dfrças ftas para smular o scoamto d fludos ão-toaos m mos porosos, porém mplmtam um modlo d fludo ão-toao cohcdo como modlo hprbólco. Chu t al. [7] aprstam uma formulação d lmtos ftos para o scoamto d fludos ão-toaos m mos porosos. Esss autors aprstam dos modlos d fludos ão-toaos, ambos basados o modlo d l das potêcas, cohcdos rspctvamt por modlo d Koz modlo d Tu 4

Hasslk. Chu t al. [7] studaram os ftos dos parâmtros tato dos fludos ãotoaos quato do mo poroso sobr a solução do problma. Nst trabalho aprsta-s uma formulação stablzada d lmtos ftos para a smulação d scoamtos comprssívs bfáscos d fludos ão-toaos mscívs m mos porosos. Esta formulação é uma mportat frramta para a smulação d vasão d fludos durat opraçõs d prfuração d poços d ptrólo. O modlo d Koz mostrado m [7] é usado para dscrvr o comportamto dos fludos ão-toaos. A quação da saturação é apromada plo método SUPG [5] acrscdo d um trmo d captura d choqu do tpo CAU [], a quação da prssão é apromada plo método d Galrk é usada uma stratéga d pós-procssamto para rcuprar a vlocdad d Darc, garatdo a cosrvação d massa [4]. Uma formulação varacoal sm-dscrta é utlzada para rsolvr o cojuto acoplado d quaçõs dfrcas parcas qu dscrv o problma. O cojuto acoplado d quaçõs dfrcas ordáras rsultat da dscrtzação spacal srá dscrtzado o tmpo utlzado o método trapzodal gralzado aprstado por Hughs [8]. Para ralzar o avaço da solução do problma o tmpo adota-s uma stratéga basada o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor mostrado m Coutho Alvs [8]. Nst algortmo é cssáro, a cada tração ão-lar ou multcorrção, rsolvr três sstmas d quaçõs lars dsttos. Esss sstmas d quaçõs lars rfrm-s, rspctvamt, à prssão, vlocdad saturação. No caso do sstma d quaçõs rfrt à prssão a matrz d cofcts é smétrca postva-dfda para rsolvê-lo aplca-s o método dos gradts cojugados com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl (PCG). No cálculo das vlocdads pós-procssadas o sstma d quaçõs também possu uma matrz d cofcts smétrca postva-dfda porém st caso a solução é alcaçada com a utlzação do método d Jacob lvr d matrzs. A técca d pós-procssamto do campo d vlocdads utlzada basa-s a formulação varacoal da l d Darc combada com o rsíduo da quação d balaço d massa [4]. O sstma d quaçõs rfrt à saturação é ão-smétrco o método GMRES (Gralzd Mmal Rsdual) com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl dscrto m [33] é utlzado para rsolvê-lo. 5

. Objtvos do trabalho Os objtvos do prst trabalho podm sr umrados da sgut mara: ) mplmtar uma formulação d lmtos ftos stablzada para smular scoamto d fludos ão-toaos através d mos porosos; ) aalsar o comportamto da vscosdad apart dos fludos ãotoaos sua fluêca a solução do problma; ) vrfcar s o tratamto umérco dos fludos ão-toaos trfr sgfcatvamt o comportamto tato dos métodos tratvos quato do algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor, afm d ão compromtr a qualdad dos rsultados; v) forcr subsídos para o studo do fômo d prda do fludo d prfuração durat opraçõs d prfuraçõs d poços d ptrólo (scala d poço) smular o dslocamto d fludos ão-toaos o tror dos rsrvatóros acompahado sua varação d vscosdad apart (scala d rsrvatóro)..3 Orgazação do tto Os prómos capítulos dst trabalho cotram-s assm orgazados. O Capítulo aprsta a formulação matmátca do problma studado. Nl são aprstadas as cosdraçõs mprgadas a solução do problma, as rlaçõs costtutvas do modlo, a forma fal das quaçõs govrats além das codçõs d cotoro codçõs cas cssáras para compltar o modlo matmátco. No Capítulo 3 aprsta-s a formulação d lmtos ftos mprgada. Nst capítulo dscrv-s dtalhadamt a formulação stablzada d lmtos ftos, os métodos utlzados para solucoar os sstmas d quaçõs lars orudos da dscrtzação d lmtos ftos, o algortmo d avaço o tmpo as matrzs d lmto qu compõm o sstma a sr 6

solucoado. No Capítulo 4 cotram-s os rsultados umércos qu dmostram a potcaldad a aplcabldad da formulação aprstada. Falmt o Capítulo 5 são aprstadas as coclusõs fas as sugstõs para trabalhos futuros. 7

Capítulo Formulação Matmátca A modlagm matmátca d scoamtos multfáscos d fludos mscívs m mos porosos é fudamtada as quaçõs báscas da mcâca do cotíuo. Tas quaçõs são prssas plas ls d cosrvação d massa (quação da cotudad), cosrvação da quatdad d movmto (quação do movmto) cosrvação d rga. Nst trabalho srá studado o caso spcífco d um scoamto bfásco sotérmco d fludos mscívs comprssívs através d um mo poroso rígdo cujo volum ão s altra durat o procsso d scoamto. Como s trata d um problma sotérmco as quaçõs govrats st caso são prssas plas quaçõs da cotudad do movmto. As hpótss as cosdraçõs utlzadas st trabalho srão dscutdas m dtalhs a Sção.. Além dsso as quaçõs qu govram o procsso d scoamto multfásco bm como as rlaçõs costtutvas qu compltam a modlagm do problma também srão aprstadas sta sção. As Sçõs..3 aprstam as formulaçõs altratvas do problma coform aprstado por Azz Sttar [], Hlmg [7], Lagtag [] Pacma [9]. A Sção.4 faz uma rcaptulação das quaçõs qu modlam o problma quato a Sção.5 mostra o cojuto d codçõs d cotoro codçõs cas cssáro para compltar a modlagm matmátca. Do poto d vsta matmátco cosdra-s qu o problma m qustão aprsta um domío vtor ormal utáro tro = (, ) o tmpo por t [ 0, T ]. Ω R com um cotoro Γ o qual s cotra qupado com um. O vtor posção é rprstado por = (, ) 8

. Equaçõs Govrats O problma d scoamto multfásco sotérmco d fludos mscívs através d mos porosos é govrado plas quaçõs da cotudad do movmto [6], mostradas rspctvamt a sgur: ( s ρ ) φ () ( ρv ) q = 0 t ( φ ρ u ) t u ( ρ u ) σ = ρ g, () od v é a vlocdad suprfcal d scoamto da fas [LT - ], u é a vlocdad trstcal d scoamto da fas [LT - ], ρ é a massa spcífca da fas [ML -3 ], q é a vazão mássca por udad d volum da fas [MT - L -3 ], s é a saturação da fas [admsoal], φ é a porosdad do mo [admsoal], σ é o tsor tsão da fas [ML - T - ] g é o vtor campo gravtacoal [LT - ]. A vlocdad suprfcal d scoamto, utlzada amplamt m substtução à vlocdad trstcal, é mdda dscosdrado a prsça da matrz porosa [5]. As vlocdads suprfcal trstcal s rlacoam da sgut forma: v = φ. (3) u Na modlagm d um problma costtuído por fass são cssáras quaçõs da cotudad do movmto para cada fas stt. É mportat rssaltar qu a quação da cotudad () a vazão mássca por udad d volum q srá postva quado s tratar d fot gatva quado s tratar d sumdouro. As quaçõs () () govram o scoamto d fludos mscívs através d um mo poroso. Essas quaçõs são dfdas m scala mcroscópca gralmt o qu s faz [7] m mcâca dos fludos é trabalhar m scala macroscópca, ou sja, utlza-s um valor médo das proprdads mcroscópcas d uma crta quatdad d substâca cotda m um dtrmado volum (REV Rprstatv Elmtar 9

Volum). Assm, sgudo Hlmg [7], a trasção da scala mcroscópca para a scala macroscópca a quação do movmto toma a forma da l d Darc. D acordo com Massara [5] a l d Darc é utlzada dscrmadamt a ltratura sobr a fludodâmca m mos porosos. Cada problma d scoamto m mos porosos tm suas partculardads portato dv sr tratado por mo d dfrts stratégas. Sgudo Prr t al. [30], problmas d scoamtos d fludos volvdo formaçõs gológcas, como por mplo rsrvatóros d ptrólo aqüífros, são problmas qu aprstam scoamto lto ls aplca-s a l d Darc m substtução à quação do movmto. Nsss problmas o úmro d Rolds, gradza qu prssa o balaço tr os ftos covctvos os ftos vscosos, é mor qu um (R < ). Algus autors, como por mplo Hlmg [7], aprstam valors lmts para o úmro d Rolds od a l d Darc pod sr aplcada. Massara [5] dscrv as cosdraçõs hpótss qu prmtm smplfcar a quação do movmto a quação d Darc. Hlmg [7] faz um apahado dos dvrsos trabalhos qu tratam a quação d Darc como uma smplfcação da quação do movmto. Nos scoamtos m mos porosos od o úmro d Rolds é bao as forças vscosas prdomam a quda d prssão é proporcoal à vscosdad do fludo à sua vlocdad suprfcal. No caso d scoamtos od o úmro d Rolds é lvado a quda d prssão é proporcoal à dsdad do fludo ao quadrado d sua vlocdad suprfcal [30]. Como st trabalho o mo poroso é um rsrvatóro d ptrólo através dl o scoamto dos fludos é lto, utlza-s a quação d Darc, gralzada para o caso d scoamto multfásco d fludos mscívs, m substtução à quação do movmto. A quação d Darc gralzada para o caso d scoamto multfásco tm a sgut forma: v kr = K( p ρg), µ (4) od K é o tsor prmabldad absoluta do mo [L ], k r é a prmabldad rlatva da fas [admsoal], µ é a vscosdad dâmca da fas [ML - T - ], p é a prssão da fas [ML - T - ]. 0

É comum dfr a gradza scalar mobldad d fas como: k r λ =. µ (5) O tsor prmabldad absoluta o vtor campo gravtacoal são dfdos o R, rspctvamt, da sgut forma: k K = k k k (6) g g =. g (7) Nst trabalho cosdra-s a smtra do tsor prmabldad absoluta, sto é, m todos os casos aalsados k =k. Nas subsçõs sguts srá aprstada a forma gral das quaçõs tato para o caso d scoamto multfásco quato para o caso d scoamto bfásco d fludos mscívs m mos porosos. Aprsta-s também, stas subsçõs, o cojuto d formaçõs qu caractrzam o sstma, as domadas quaçõs costtutvas... Forma gral das quaçõs para scoamtos multfáscos A forma gral das quaçõs para o caso d scoamto multfásco d fludos mscívs através d mos porosos é obtda combado a quação da cotudad com a quação d Darc. Dsta forma tm-s: ( φ s ρ ) t k ρ µ r K ρg ( p ) q = 0. (8)

Além da quação (8) dos tpos d rlaçõs suplmtars são cssáras. O prmro tpo rlacoa as saturaçõs das fass quato o sgudo tpo rlacoa as prssõs das fass através do cocto d prssão caplar. Etão tm-s: = s = (9) cαψ α ψ ( s,..., s ) α, ψ, α ψ p = p p = f. (0) Nas quaçõs (9) (0) rprsta o úmro d fass stt a prssão caplar pcαψ tr as fass α ψ dpd somt da saturação das fass como srá mostrado adat a Subsção..5. As quaçõs (8), (9) (0) rprstam um sstma acoplado d quaçõs dfrcas qu dscrv o scoamto d dos ou mas fludos mscívs através d um mo poroso saturado ou ão. O comportamto dst sstma acoplado d quaçõs dfrcas é altamt ão-lar plo fato da prssão caplar da prmabldad rlatva srm prssas por fuçõs ão-lars das saturaçõs das fass [7]. O carátr ão-lar dst sstma acoplado d quaçõs dfrcas é ada maor quado s trabalha com fludos ão-toaos od, ao cotráro dos fludos toaos, a vscosdad ão é costat. A vscosdad dos fludos ão-toaos podm sr prssas d dfrts formas. Chu t al. [7] Massara Tlls [6] aprstam a vscosdad dos fludos ão-toaos como uma fução da vlocdad do scoamto. Por outro lado, Wu Pruss [37] aprstam a vscosdad dos fludos ão-toaos como uma fução do gradt do potcal... Escoamto bfásco d fludos mscívs m mos porosos No caso spcífco m qu tm-s apas duas fass (scoamto bfásco), dtfcadas plos subídcs os quas rprstam a fas molhat a fas ãomolhat rspctvamt, as quaçõs (8), (9) (0) têm a sgut forma:

( φ s ρ ) t ρ k µ r K ( p ρ g) q = 0 () ( φ s ρ ) t ρ k µ r K ( p ρ g) q = 0 () s s = (3) p c = p p. (4) No scoamto bfásco stm quatro cógtas ou varávs prmáras, são las as saturaçõs as prssõs d ambas as fass. Azz Sttar [], Hlmg [7], Lagtag [] Pacma [9] aprstam dfrts stratégas od as quaçõs () () são rarrajadas com objtvo d rduzr o úmro d varávs prmáras. Nst trabalho optou-s m utlzar apas s p como varávs prmáras. Coform mostrado por Azz Sttar [], Hlmg [7], Lagtag [] Pacma [9] outras scolhas d varávs também são possívs (p -s, p -s, p -s tc). O rsultado da stratéga adotada rsulta m duas quaçõs, uma cohcda como quação da prssão outra cohcda como quação da saturação. O dsvolvmto matmátco para s obtr as quaçõs da prssão da saturação srá aprstado adat as Sçõs..3...3 Saturação, saturação rsdual saturação ftva Os spaços vazos m um mo poroso podm star compltamt ou parcalmt prchdos por um ou mas fludos. Quado os vazos do mo poroso stão compltamt prchdos o mo poroso é chamado d saturado. Por outro lado quado os vazos do mo poroso stão parcalmt prchdos o mo poroso é chamado d ão-saturado. O cocto d saturação surg quado os vazos do mo poroso stão prchdos por dos ou mas fludos mscívs. Df-s saturação d uma 3

dtrmada fas como sdo a fração do volum poroso ocupada por sta fas [3]. Assm o caso m qu tha-s fass ocupado os vazos d um mo poroso a sgut rlação é vrdadra: = s =. (5) Quado os fludos qu stão ocupado os vazos d um mo poroso são mscívs o cocto d saturação é substtuído plo cocto d coctração. Outro cocto muto utlzado é o cocto d saturação rsdual. A saturação rsdual d uma dtrmada fas pod sr tdda como sdo o mor valor possívl assumdo pla saturação d fas. A saturação rsdual da fas é rprstada por s r. Sgudo Hlmg [7] a dfção da saturação ftva s basa-s as curvas d prmabldad rlatva d prssão caplar pod sr prssa d váras maras. Uma das possívs formas d prssar a saturação ftva é mostrada a sgur: s sr s = sr s, s r (6) od s é a saturação ftva, s é a saturação da fas molhat s r é a saturação rsdual da fas molhat. No caso d um scoamto bfásco od os subídcs dcam rspctvamt a fas molhat a fas ão-molhat rspctvamt a saturação ftva pod sr prssa por: s s s r = sr s sr, sr sr (7) od s é a saturação ftva, s é a saturação da fas molhat, s r é a saturação rsdual da fas molhat s r é a saturação rsdual da fas ão-molhat. 4

Hlmg [7] aprsta uma dscussão dtalhada sobr as dfrts dfçõs d saturação ftva, suas partculardads, aplcaçõs lmtaçõs...4 Prmabldad absoluta prmabldad rlatva O tsor prmabldad absoluta K dfdo m (6) md a habldad do mo m prmtr o scoamto d fludos através d sus poros. Portato o tsor prmabldad absoluta é uma caractrístca trísca do mo. S os vazos d um mo poroso stvrm sdo ocupados por mas d um fludo, a prsça d uma das fass trfr o scoamto das outras fass prsts vc-vrsa. Assm o scoamto d cada fas srá flucado tato plo mo (prmabldad absoluta) quato pla prsça das outras fass (prmabldad rlatva). A prmabldad rlatva é portato uma gradza admsoal qu md o quato cada fas fluca o scoamto das dmas fass prsts o mo. As curvas d prmabldad rlatva são obtdas m laboratóro através d saos ralzados sobr amostras do mo poroso. Tas curvas podm sr prssas por fuçõs ão-lars da saturação da fas molhat s. Város autors aprstam dfrts formas d modlar as curvas d prmabldad rlatvas m fução da saturação da fas molhat s. A sgur aprsta-s algus modlos d prmabldad rlatva para o caso spcífco d scoamto bfásco. Chu t al. [7] aprstam as sguts quaçõs para as prmabldad rlatvas das fass molhat ão-molhat rspctvamt: k r p = p d c 3λ (8) k r p = p d c λ λ pd pc (9) od k r é a prmabldad rlatva da fas molhat, k r é a prmabldad rlatva da fas ão-molhat, p c é a prssão caplar, p d é a prssão d dslocamto λ é uma costat mpírca do modlo. 5

A prssão d dslocamto p d é dfda como sdo a prssão caplar míma cssára para qu a fas ão-molhat comc a ptrar m um mo poroso saturado pla fas molhat. Um modlo bm mas smpls, muto comum m ghara d ptrólo para rprstar as prmabldad rlatvas das fass molhats ão-molhats rspctvamt, é dado por: k r = s (0) k r ( s ) =, () od k r é a prmabldad rlatva da fas molhat, k r é a prmabldad rlatva da fas ão-molhat s é saturação da fas molhat. É mportat dstacar qu m todos os modlos aprstados a prmabldad rlatva é uma fução ão-lar da saturação da fas molhat s...5 Prssão caplar A prssão caplar é um fto qu ocorr a trfac das fass pod sr tdda como sdo uma dscotudad d prssão o tror do mo poroso. A prssão caplar pod sr prssa como a dfrça tr as prssõs das fass ão-molhat molhat: p c = p p, () sdo p c a prssão caplar, p a prssão da fas ão-molhat p a prssão da fas molhat. Em procssos multfáscos a prssão caplar pod sr prssa como uma fução da saturação da fas molhat s, ou sja: 6

c c ( s ) p = p. (3) Város autors aprstam dfrts rlaçõs tr as curvas d prssão caplar a saturação da fas molhat s. A sgur aprsta-s algus modlos d prssão caplar para o caso spcífco d scoamto bfásco. Hlmg [7] aprsta o modlo d Brooks-Cor para a prssão caplar: s ( p ) c = s s s r r p = p d c λ, (4) od s é a saturação ftva, s é a saturação da fas molhat, s r é a saturação rsdual da fas molhat, p d é a prssão d dslocamto, p c é a prssão caplar λ é uma costat mpírca do modlo. Durlofsk [4] aprsta um modlo qu rlacoa a prssão caplar a saturação da fas molhat da sgut forma: p c pc ma s ps = l, ps ps l ps (5) od p c é prssão caplar, p cma é a prssão caplar máma, s é a saturação da fas molhat ps é um parâmtro do modlo. É mportat dstacar qu m todos os modlos aprstados a prssão caplar é uma fução ão-lar da saturação da fas molhat s...6 Vscosdad vscosdad apart Um fludo é uma substâca qu s dforma cotuamt sob a ação d uma tsão d csalhamto, ão mportado quão pqua ssa tsão d csalhamto possa sr. Os 7

fludos podm sr classfcados d acordo com a rlação tr a tsão d csalhamto aplcada a taa d dformação. Os fludos os quas a tsão d csalhamto é drtamt proporcoal à taa d dformação são chamados d fludos toaos, tão: dγ τ. dt (6) A costat d proporcoaldad a quação (6) é a vscosdad absoluta ou vscosdad dâmca µ. Portato a l d Nto da vscosdad é dada por: dγ τ = µ. dt (7) Os fludos os quas a tsão d csalhamto ão é drtamt proporcoal à taa d dformação são chamados d fludos ão-toaos. Sgudo Fo [6] umrosas quaçõs mpírcas têm sdo propostas para laborarm o modlo matmátco das rlaçõs obsrvadas tr a tsão d csalhamto a taa d dformação o caso d fludos ão-toaos. Para mutas aplcaçõs prátcas d ghara ssas rlaçõs tr a tsão d csalhamto a taa d dformação podm sr adquadamt rprstadas plo modlo pocal, cohcdo como l das potêcas, dado por: dγ τ = H, dt (8) od H é chamado d parâmtro d cosstêca o pot é o ídc d comportamto do scoamto. A quação (8) s rduz à l d Nto da vscosdad quado = H=µ. É comum rscrvr a quação (8) da sgut forma: 8

dγ τ = η, dt (9) sdo: d η = H γ, dt (30) od η é a vscosdad apart do fludo ão-toao. Os fludos m qu a vscosdad apart dmu com taas d dformaçõs crscts ( < ) são chamados d psudoplástcos. S a vscosdad apart aumtar com taas d dformação crscts ( > ) o fludo é chamado d dlatat. Estm fludos qu s comportam como um sóldo até qu uma tsão d csalhamto míma sja cdda, subsqütmt, aprstam uma rlação lar tr a tsão d csalhamto a taa d dformação. Um fludo qu aprsta tas caractrístcas é domado fludo plástco d Bgham ou smplsmt fludo d Bgham. O modlo aproprado para a rlação tr a tsão d csalhamto a taa d dformação para o fludo d Bgham é dado por: dγ τ = τ m µ b, dt (3) od µ b é o cofct d vscosdad do fludo d Bgham τ m é a tsão d csalhamto míma do fludo d Bgham. A Fgura aprsta as curvas típcas da tsão d csalhamto m fução da taa d dformação para dfrts tpos d fludos. No caso d scoamto d fludos ão-toaos através d mos porosos os parâmtros qu caractrzam o mo também flucam a vscosdad apart. 9

Fludo d Bgham µ b Tsão d csalhamto τ m Psudoplástco < Ntoao = µ Dlatat > Taa d dformação Fgura Curvas típcas da tsão d csalhamto m fução da taa d dformação para dfrts tpos d fludos. Város modlos para vscosdad apart d fludos ão-toaos m mos porosos têm sdo propostos. Chu t al. [7] aprstam um modlo d l das potêcas od a vscosdad dos fludos ão-toaos é uma fução da vlocdad do scoamto. Massara Tlls [6] aprstam um modlo smlhat ao modlo aprstado por Chu t al. [7]. Wu Pruss [37] aprstam tato um modlo d l das potêcas quato um modlo d fludo d Bgham od a vscosdad dos fludos ão-toaos é uma fução do gradt do potcal. Nst trabalho o modlo d Koz, qu é basado o modlo d l das potêcas aprstado por Chu t al. [7], é utlzado para s obtr a vscosdad apart do fludo ão-toao. Tal modlo é prsso por: H 3 η = 9 50 ( κ aφ ) vt, (3) Algus autors substtum a omclatura potcal por prssão pzométrca. 0

od H é o parâmtro d cosstêca, é o ídc d comportamto do scoamto, κ a é prmabldad absoluta a drção do scoamto, φ é a porosdad do mo v t é a orma ucldaa da vlocdad total do scoamto. Assm como a prmabldad rlatva a prssão caplar a vscosdad apart d fludos ão-toaos também é prssa por uma fução ão-lar. No caso do modlo d Koz, quação (3), a vscosdad apart é uma fução ão-lar da vlocdad do scoamto ão da saturação da fas molhat s. Como o problma d scoamto bfásco d fludos mscívs m mos porosos é dscrto por um sstma acoplado d quaçõs dfrcas, como pod sr obsrvado mas adat a Sção.4, td-s qu a vscosdad apart possu uma dpdêca ão-lar drta com a saturação da fas molhat s.. Equação da Prssão A quação da prssão, sgudo Lagtag [], é obtda coform mostrado abao. As quaçõs da cotudad, o caso d scoamtos comprssívs, para as fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por: ( φ s ) t ( φ s ) t v q ρ = 0 q v = 0. ρ (33) (34) Somado as quaçõs (33) (34) tm-s a sgut prssão:. [ ( s s )] φ ( v v ) ( Q Q ) = 0 (35) t od:

Q q =, =,. ρ (36) Assm, lvado m cota a rlação (3), a quação (35) toma a sgut forma: v Q = 0, (37) t t od: v = v v (38) t Q = Q Q. (39) t Sdo v t a vlocdad total d prcolação das fass Q t a vazão volumétrca total das fass por udad d volum. A vlocdad total d prcolação das fass v t, dv sr scrta m fução das varávs prmáras do problma, p s, como srá aprstado a sgur. Sabdo-s qu a vlocdad d prcolação d cada fas é dada pla L d Darc, gralzada para scoamtos multfáscos, tm-s: ( g) v = Kλ p ρ (40) ( g) v = Kλ p ρ. (4) Somado as quaçõs (40) (4) tm-s: v t ( λ ρ λ ρ ) = Kλ p Kλ p Kg. (4) Pla dfção da prssão caplar sab-s qu:

p = p p. (43) c Calculado o gradt da quação (43) obtém-s: p = p p. (44) c Como a prssão caplar é uma fução da saturação da fas molhat s, podmos scrvr a quação (44) da sgut mara: dp c p = p s. ds (45) Substtudo a quação (45) a quação (4) tmos a sgut prssão: v t = Kλ p dp s Kλ p Kg ( λ ρ λ ρ ) c ds. (46) Mapulado a quação (46) chgamos a forma fal da prssão da vlocdad total d prcolação das fass m fução da prssão da fas ão-molhat p da saturação da fas molhat s : dp v = K, t ( λ ρ λ ρ ) c λ t p Kλ s Kg ds (47) od: λ = λ λ. (48) t As quaçõs (37) (47) compõ a modlagm do sstma prssão/vlocdad. A quação (47) é cohcda como quação da vlocdad. A quação da prssão é obtda substtudo a quação (47) a quação (37) da sgut forma: 3

dp c K λt p Kλ s Kg ( λρ λρ ) Qt = 0. ds (49) A quação (49) é cohcda como quação da prssão, porém é comum a utlzação das quaçõs (37) (47) para rprstarm, rspctvamt, a quação prssão a quação da vlocdad total d prcolação das fass. Sgudo Pacma [9] a quação da prssão para scoamtos comprssívs, qu é o caso da quação (49), é uma quação líptca quato o caso d scoamtos lgramt comprssívs a quação rsultat srá uma quação parabólca..3 Equação da Saturação A quação da saturação, sgudo Azz Sttar [], Hlmg [7] Pacma [9], é obtda coform mostrado abao. Prmramt utlza-s a dfção d prssão caplar, quação (44), a quação da vlocdad da fas ão-molhat, quação (4), o qu forc a sgut quação: v ( p p ρ g) = Kλ. (50) c fraccoal: A combação das quaçõs (40) (50) forc a quação do scoamto λ v = v λk( pc ρg ρg). λ (5) Utlzado-s a dfção d vlocdad total d prcolação das fass, quação (38), m cojuto com a quação (5) obtém-s o sgut: 4

v = t pc ρ λ λ [ v λ K( ρ g g) ]. (5) Substtudo a quação (5) a quação (34) tm-s: s v, t [ f t hk( pc ρg ρg) ] = φ Q (53) od dfm-s as fuçõs d fluo fracoáro como: f f λ = λ λ λ λ λ =, (54) (55) a fução h também é dfda como sdo uma fução das mobldads d fas: λ λ h =. λ λ (56) Algus trmos da quação (53), qu são fuçõs da saturação da fas molhat s, podm sr scrtos da sgut forma: p c dp = ds c s ( f v t ) = vt f f ( vt ) = vt s fqt [ hk( ρ g ρg) ] = Kg( ρ ρ ) h = Kg( ρ ρ ) s df ds dh ds. (57) (58) (59) Aalsado as quaçõs (54) (55) pod-s coclur qu: 5

df ds df = ds (60) f f =. (6) Etão a sgut smplfcação pod sr scrta: Q f Q = Q f Q. (6) t t Nst poto, fazdo as smplfcaçõs substtuçõs cssáras a quação (53) chga-s a sgut quação: s φ t v t df ds Kg G s K h dp ds c s Q f Q t = 0, (63) od: G ( ρ ρ ) dh =. ds (64) D acordo com Lagtag [] as vzhaças dos poços as fots os sumdouros, rspctvamt, jtam tram fludos a proporção d suas mobldads locas. Etão pod-s ralzar a sgut smplfcação: Q = f Q = f v. (65) t t Substtudo (65) m (63) chga-s falmt à forma fal da quação da saturação qu é a sgut: s φ v a s D s = 0. t (66) 6

Na quação (66) v a é a vlocdad apart d trasport do fludo D, d acordo com a omclatura utlzada por Hlmg [7], é o tsor d dfusão. Sgudo Durlofsk [4] os ftos caplars troduzm ao tsor D ftos smlhats aos ftos dfusvos, mbora st ão sja um tsor d dfusão propramt dto. Abao são aprstadas as quaçõs qu dfm as duas gradzas acma dscrtas. A vlocdad apart d trasport do fludo é prssa por: va v a =, va (67) od: df v a = v ( kg kg )G ds df v a = v ( kg k g )G ds (68) (69) O tsor d dfusão é prsso por: dpc D = h K. ds (70) Do poto d vsta físco o prmro trmo da quação (66) é o trmo d acúmulo, o sgudo é o trmo covctvo o trcro é o trmo dfusvo. A quação da saturação, quação (66), tm um carátr altamt ão-lar vsto qu algumas das gradzas qu compõ sta quação, como por mplo a prssão caplar a prmabldad rlatva das fass, são fuçõs ão-lars da saturação da fas molhat s. Quado s trata d scoamto d fludos ão-toaos o carátr ão-lar da quação (66) é ada maor uma vz qu a vscosdad qu srá utlzada a quação d Darc srá a vscosdad apart, qu pod sr prssa por uma fução ão-lar tato da vlocdad do scoamto quato do gradt do potcal. Sgudo Pacma [9] a quação da saturação, quação (66), é uma quação parabólca-hprbólca. O comportamto da quação (66) é dtrmado plo valor da 7

drvada da prssão caplar m fução da saturação da fas molhat dp ds c. Quado a drvada da prssão caplar m fução da saturação da fas molhat aprstar valors sgfcatvos a quação (66) trá um comportamto prdomatmt parabólco. Por outro lado quado a drvada da prssão caplar m fução da saturação da fas molhat aprstar valors pquos dp ds comportamto prdomatmt hprbólco [7]. c 0 a quação (66) trá um.4 Sstma Acoplado d Equaçõs Dfrcas Com bas as Sçõs..3 pod-s agora scrvr o sstma complto d quaçõs dfrcas objto d studo dst trabalho, dado por: v Q = 0 (37) t t v t = K dp ( λ ρ λ ρ ) c λ t p Kλ s Kg ds s φ v a s D s = 0. t (47) (66) A quação (37) é a quação da prssão, a quação (47) é a quação da vlocdad total d prcolação das fass a quação (66) é a quação da saturação. A quação da vlocdad total d prcolação das fass é rsposávl plo acoplamto das quaçõs da prssão da saturação. D acordo com Durlofsk [4] o sstma acoplado d quaçõs dfrcas parcas acma dscrto pod sr admsoalzado dtfcado-s valors caractrístcos para cada varávl, sdo qu as quaçõs admsoas rsultats dpdm d dos grupos admsoas. O prmro grupo admsoal quatfca a rlação tr os ftos gravtacoas os ftos covctvos é dado por: 8

G d K ρ g c =, µ v c Tc (7) od K c é a prmabldad caractrístca do rsrvatóro, ρ=ρ -ρ, µ c é a vscosdad caractrístca do scoamto, ν Tc é a vlocdad total caractrístca do scoamto. O sgudo grupo admsoal quatfca a rlação tr os ftos covctvos os ftos rlacoados à prssão caplar é dado por: µ c P v L Tc c =, pckc (7) od L c é o comprmto caractrístco do rsrvatóro caractrístca. pc é a prssão caplar Lagtag [] também aprsta dos grupos admsoas qu, da msma mara como dscrto por Durlofsk [4], prmtm tratar o sstma d quaçõs dfrcas m studo d forma admsoal. O prmro grupo admsoal aprstado por Lagtag [] é dado por: V c p K t =, L c µ c c c c (73) od ṗc é a prssão caractrístca do rsrvatóro t c é o tmpo caractrístco da aáls. O sgudo grupo admsoal aprstado por Lagtag [] é dado por: W c ρ g K t c c c c =, µ c Lc (74) od ρ c é a massa spcífca caractrístca g c é um valor caractrístco qu rprsta os ftos gravtacoas. Coform aprsta Lagtag [] o valor ral d uma dtrmada gradza é obtdo multplcado su valor caractrístco por su valor admsoalzado usado a smulação. Por mplo, o caso da vscosdad tm-s: 9

µ = µ µ, =, (75) c, od dcam as fass molhat ão-molhat rspctvamt o suprídc astrístco dtfca o valor admsoalzado da gradza..5 Codçõs d cotoro codçõs cas Para compltar a dscrção do problma é prcso spcfcar um cojuto aproprado d codçõs d cotoro codçõs cas. A frotra Γ do domío Ω pod aprstar rgõs d poços jtors, poços produtors codçõs d fluo ulo. Assm a frotra Γ do domío Ω pod tão sr partcoada d modo qu Γ = Γ Γ p Γ d Γ, od Γ Γ p dotam, rspctvamt, a frotra os poços jtor produtor, Γ d dota a frotra od a prssão é prscrta Γ a part da frotra od a codção d fluo ulo é spcfcada. No caso da quação da prssão, quação (37), pod-s prscrvr tato valors para as prssõs (codção d cotoro sscal) quato para os fluos (codção d cotoro atural). Para a quação da saturação, quação (66), por qustõs prátcas gralmt lmta-s a prscrvr saturaçõs (codção d cotoro sscal) a frotra dos poços jtors. Portato as codçõs d cotoro para a quação da prssão são dadas por: [ 0, T ] v t = h m Γ (76) [ 0, T ] v t = hp m Γp (77) [ 0, ] v = 0 m Γ T (78) t p (, t) = p m Γ [ 0, T ] (79) d od h h p são os fluos prscrtos os cotoros d poços jtors poços produtors rspctvamt p d é o valor d prssão prscrta. d 30

Para a quação da saturação as codçõs d cotoro são dadas por: s (, t) = s m Γ [ 0, T ] (80) [ 0, T ] D s = 0 m Γ (8) As codçõs cas para as quaçõs da prssão da saturação são dadas rspctvamt por: ( 0) = p m Ω p (8), 0 ( 0) = s m Ω s (83), 0 Jutamt com as quaçõs da prssão, da vlocdad da saturação, as quaçõs d codçõs d cotoro codçõs cas compltam a modlagm matmátca do problma d scoamto bfásco d fludos mscívs comprssívs através d um mo poroso rígdo. 3

Capítulo 3 Formulação Apromada d Elmtos Ftos A solução aalítca do modlo matmátco rprstado plas quaçõs (37), (47) (66) raramt pod sr alcaçada os casos prátcos d ghara. Assm utlzam-s métodos umércos para s cosgur uma solução apromada do problma. Dvrsos métodos umércos podm sr mprgados para s alcaçar a solução apromada, como por mplo, o método das dfrças ftas, o método dos volums ftos o método dos lmtos ftos. Nst trabalho adota-s o método dos lmtos ftos para s obtr uma solução apromada. Dsta forma srá utlzada uma formulação varacoal smdscrta para s rsolvr o cojuto acoplado d quaçõs dfrcas parcas qu rprsta o problma studado. A formulação varacoal sm-dscrta caractrza-s pla dscrtzação por lmtos ftos o spaço sguda pla dscrtzação por dfrças ftas o tmpo. 3. Método dos Elmtos Ftos No método dos lmtos ftos a formulação matmátca (quação dfrcal o cojuto d codçõs d cotoro codçõs cas) é rformulada m trmos d uma formulação varacoal. O método dos lmtos ftos cosst m subdvdr o domío do problma Ω m um cojuto d subdomíos Ω (lmtos ftos) tal qu, Ω = l = Ω l = Ω =, od l rprsta o úmro total d lmtos da malha o suprídc 3

dca o -ésmo lmto da malha. Dsta forma a solução do problma lva m cota a cotrbução d cada lmto da malha. É cssáro ada dfr os cojutos d fuçõs admssívs para a prssão P h, para a saturação S h o cojuto d fuçõs pso W h, P h = h h h h { p p H ( Ω), p (, t) = p m Γ } / (84) d d S W h h = = h h h h { s s H ( Ω), s (, t) = s m Γ } / (85) h h h h { H ( Ω), = 0 m Γ Γ } / (86) d od o suprídc h dca a dscrtzação d lmtos ftos, sdo H h ( Ω) H ( Ω) um spaço d dmsõs ftas sobr o domío Ω ( Ω) cuja a prmra drvada é quadrado tgrávl [8], sto é, s H é o spaço das fuçõs df f H ( Ω) dω <. Ω d (87) Nst trabalho utlza-s lmtos tragulars lars para dscrtzar o domío Ω coform mostra a Fgura. Para s rsolvr as tgras do problma ralza-s uma mudaça d varávs, sto é, um lmto tragular lar qualqur dfdo m varávs globas = (, ) é mapado para um Elmto Pa dfdo m varávs aturas = (ξ, η) coform squma aprstado a Fgura. As varávs do problma a fução pso são apromadas da sgut forma: h os p = N h = os = p s = N s s t h = os = N a, os h = Nc = (88) (89) (90) (9) 33

od p é a prssão odal, s é a saturação odal, a é a drvada tmporal odal d s, c é uma costat qualqur arbtrára, os é úmro total d ós da malha d lmtos ftos N é a fução d trpolação do ó dpdt somt da posção, sto é, N =N (). No caso d lmtos tragulars lars as fuçõs d trpolação são dfdas da sgut forma: [ N N ] N =. (9) N3 As compots do vtor d fuçõs d trpolação para o lmto tragular lar, dfdas m coordadas aturas, são dadas por: N = ξ (93) N = η (94) N = ξ η. (95) 3 ξ? = η 3 η (0,) 3 Elmto Pa lmto lmto (0,0) (0,0) (,0) ξ = Fgura Elmto tragular lar. 34

É comum dfr o oprador gradt dscrto das fuçõs d trpolação por: N, B =, N, (96) od N = N,, N = N,. As drvadas d N m fução das coordadas globas (,) podm sr avaladas utlzado a rgra da cada como: N a, N a, ξ ξ, N a, ηη, = (97) N a, Na, ξ ξ, Na, ηη, =, (98) od a=,,3. As quaçõs (97) (98) podm sr scrtas m forma matrcal como: ξ η,,, [ N N ] = [ N N ] a, a, ξ a, ξ a, η. η, (99) As drvadas N a, ξ a, η N podm sr computadas plctamt a partr das dfçõs (93), (94) (95). Etrtato, os trmos da matrz quadrada stt a quação (99) ão podm sr computados plctamt uma vz qu ão s têm prssõs plíctas d ξ = ξ (, ) η = η(, ) rlaçõs vrsas:. Por outro lado, tm-s as sguts 3 ( ξ, η) = N ( ) a ξ, η a a= 3 ( ξ, η) N ( ) a ξ, η a =, a= (00) (0) as quas os prmt calcular a sgut matrz: 35

, ξ, η J =., ξ, η (0) As compots da matrz (0) são dadas por: 3 = N a, ξ, ξ a= 3, η, η a= a = N a 3, ξ, ξ a= a = N a a 3, η =, η a. a= N a (03) (04) (05) (06) A matrz (0) é a vrsa da matrz quadrada stt a quação (99), ou sja: ξ η, ξ η,, η, η = J =, j, ξ, ξ,, (07) od j = dt (J) =., ξ, η, η, ξ Com bas o qu fo posto é possívl calcular as drvadas N a, N a,. A matrz (0), qu df a trasformação d coordadas globas para coordadas aturas, é cohcda como matrz jacobaa. Calculado-s a vrsa da matrz jacobaa, o caso d lmtos tragulars lars, tm-s: 3 3 J =, A 3 3 (08) od A = dt (J) sdo A a ára do lmto j = j j = j,,j =,,3. 36

Fazdo as substtuçõs cssáras o oprador gradt dscrto das fuçõs d trpolação para o lmto tragular lar pod falmt sr calculado é rprstado por: 3 3 B =. A 3 3 (09) como: O oprador gradt dscrto pod sr scrto m fução d suas compots B B =, B (0) dsta forma tm-s qu: B = () [ 3 3 ] A B = [ 3 3 ] A. () A dfção do oprador gradt dscrto é tsamt utlzada o dsvolvmto das matrzs d lmto. 3. Dscrtzação Espacal Como a quação da prssão, quação (37), é uma quação líptca a formulação clássca d Galrk é sufct para s obtr uma boa apromação da solução. Porém o caso da quação da saturação, quação (66), qu é uma quação parabólca-hprbólca a formulação clássca d Galrk tora-s stávl, aprstado forts osclaçõs umércas prcpalmt m problmas prdomatmt covctvos, od st uma frt abrupta d saturação qu s mov o domío. Etão o caso da quação da saturação, quação (66), para s vtar o surgmto d osclaçõs umércas dsjávs ou rfa-s drastcamt a malha d 37

lmtos ftos [5], aumtado o sforço computacoal ou adota-s uma formulação stablzada. Nst trabalho optou-s pla utlzação d uma formulação stablzada qu acrscta à formulação clássca d Galrk stabldad tato a drção das lhas d corrt (SUPG - Straml Upd Ptrov-Galrk) quato a drção do gradt da solução (CAU Cosstt Appromat Upd). O trmo qu acrscta stabldad a drção das lhas d corrt é cohcdo como corrção SUPG quato o trmo qu acrscta stabldad a drção do gradt da solução é cohcdo como oprador d captura d choqu (ou dscotudad). Para forcr a stabldad dsjada, à fução pso d Galrk é somada uma fução pso dscotíua rfrt a corrção SUPG [5] acrscta-s também à formulação um trmo rfrt ao oprador d captura d choqu []. Maors dtalhs a rspto das formulaçõs d lmtos ftos usadas st trabalho srão aprstados as Sçõs 3.3 3.7. 3.3 Formulação d Galrk para a Equação da Prssão A formulação clássca d Galrk para a quação da prssão, quação (37), cosst m cotrar h h p P tal qu h h W tm-s: Ω h h h ( Q ) dω = 0 v. (3) t t Rsolvdo a quação (3) tm-s: h h h h v dω = Q dω. (4) Ω t Ω t Aplcado o torma da dvrgêca combado à técca d tgração por parts o lado squrdo da quação (4) tm-s: 38

39 Ω Γ = Ω Ω Γ Ω d Q d d h t h h t h h t h v v. (5) Dpddo do tpo d codção d cotoro spcfcada o produto scalar v h t pod tr su valor ulo (codção d fluo ulo) ou pod tr um valor d fluo spcífco. Nst dsvolvmto adota-s a codção d fluo ulo dvdo sua comoddad, porém ao fal dv-s fcar claro qu m algus problmas o trmo rfrt ao fluo prscrto dv str mbora aqu o msmo tha sdo omtdo. Assm d acordo com as codçõs mpostas acma substtudo a quação da vlocdad total d prcolação dos fludos, quação (47), tm-s: (6) ( ) Ω Ω Ω Ω = Ω Ω Ω Ω d d s ds dp d Q d p h h c h h t h h t h ρ λ ρ λ λ λ Kg K K. 3.4 Matrzs d Elmto para a Equação da Prssão Substtudo as dfçõs (88), (89) (9) a quação (6) tm-s: (7) ( ) Ω Ω Ω Ω = Ω Ω Ω Ω d N d s N ds dp N d q N N d p N N a b b c a b b a b b t a,,,,, ρ λ ρ λ λ λ Kg K K. A quação (7) pod sr scrta a forma matrcal como: f Kp =, (8) od K é a matrz d cofcts, f é o vtor d trmos dpdts p é o vtor d cógtas odas (prssõs odas).

É covt scrvr os trmos das parclas da quação (8) m fução das cotrbuçõs d cada lmto. Assm, os trmos qu cotrbum para a formação da matrz K são dados por: l K = A = ( k ) [ k ], a, =,, 3 (9) k = b (0) ab k ab = Na, Kλt Nb, dω, () Ω od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. Dsta forma, a matrz do lmto é dada por: T k = B Kλ tb dω. () Ω Aalogamt o vtor f pod sr scrto m trmos da cotrbução d cada lmto da sgut forma: l f = A = ( f ) [ f ], =,,3 (3) f = a (4) a f a = Ω Ω N N a, a N Kg b q b ( λ ρ λ ρ ) dω dω Ω N a, Kλ dp ds c N b, s b dω (5) od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. Dsta forma, o vtor do lmto é dado por: 40

f = Ω Ω B T T N Nq dω Kg ( λ ρ λ ρ ) dω Ω T B Kλ dp ds c Bs dω. (6) 3.4. Matrz d Cofcts A matrz d cofcts, dfda m (8), é rprstada por: T k = B Kλ tb dω. (7) Ω Substtudo a dfção (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (7) são costat o tror do lmto, uma vz qu as gradzas volvdas são avaladas o barctro do lmto, a matrz d cofcts pod sr scrta da sgut forma: 3 3 k k 3 3 λ k = t 3 3 4. A k k 3 3 (8) Dst poto m dat m todas as tgras rsolvdas st trabalho as gradzas volvdas srão avaladas o barctro do lmto. Como cosquêca dsto os trmos do tgrado d cada tgral srão costats o tror do lmto. Rsolvdo a prssão (8) tm-s a forma fal da matrz d cofcts: ( k k ) 3 k k3 λ k = t ( k k3) k3 4 ( ), A sm k3 k3 (9) od: 4

k = (30) 3k 3k k = (3) 3 4 3 3k 3k k = (3) 3 4 3 3k 3k k 3k 3k = (33) k 3k 3k = (34) 3 k k k = (35) 4 k k k =. (36) 3.4. Vtor d Trmos Idpdts O vtor d trmos dpdts lva m cota os trmos fot o domío, as codçõs d cotoro os ftos gravtacoas. Portato o vtor d trmos dpdts toma a sgut forma: f f q f s f g = f, (37) p od f q é o vtor d trmos fot o domío, f s é o vtor qu lva m cota os valors da saturação s, f g é o vtor qu lva m cota os ftos gravtacoas f p é o vtor qu lv m cota as codçõs d cotoro d prssõs prscrtas. O vtor qu lva m cota as codçõs d cotoro d fluo prscrto f Γ é calculado a ívl d lmto m sguda armazado drtamt o vtor global f. O procsso pod sr rprstado por: f ( q ) = f ( q) f Γ, (38) od q dca a cotrbução do vtor d lmto para o vtor global. 4

O vtor d trmos fot o domío f q tm a sgut forma: T f q = N Nq dω. (39) Ω Cosdrado a dfção (9) para a fução d trpolação N rsolvdo cada tgral trval volvda m (39), o vtor d trmos fot o domío pod sr scrto da sgut forma: q A f q = q. q (40) domío: Rsolvdo a prssão (40) tm-s a forma fal para o vtor d trmos o q q q3 A f q = q q q3. q q q3 (4) O vtor qu lva m cota os valors da saturação da fas molhat f s tm a sgut forma: dp T c fs = B Kλ Bs dω. Ω ds (4) Substtudo a dfção (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (4) são costat o tror do lmto, o vtor qu lva m cota os valors da saturação da fas molhat pod sr scrto da sgut forma: 3 3 s λ k k 3 3 dpc f = s 3 3 s 4. A ds k k 3 3 s3 (43) 43

Rsolvdo a prssão (43) tm-s a forma fal para o vtor qu lva m cota os valors da saturação da fas molhat: 3ks 3ks λ dpc f s = 3ks 3ks, 4A ds ks ks (44) od: k = k s k s (45) s k = k s k s (46) s s = (47) 3s 3s s3 s =. (48) 3s 3s s3 O vtor qu lva m cota os ftos gravtacoas f g tm a sgut forma: ( λ ρ λ ) dω f. (49) T g = B Kg ρ Ω Substtudo a dfção (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (49) são costat o tror do lmto, o vtor qu lva m cota os ftos gravtacoas pod sr scrto da sgut forma: 3 3 g f g = 3 3 ( λρ λρ ) dω. Ω A g (50) Rsolvdo a prssão (50) tm-s a forma fal para o vtor qu lva m cota os ftos gravtacoas: 44

3g 3g λρ λρ f = g 3g 3g, g g (5) od: g = kg kg (5) g = kg k g. (53) O vtor qu lva m cota as prssõs da fas ão-molhat prscrtas f p tm a sgut forma: f k p = p, (54) od k é a matrz d cofcts a ívl d lmto, dfda m (9), p é o vtor d prssõs odas prscrtas a ívl d lmto. Assm coform aprstado m (9), tm-s: ( k k ) 3 k k3 p λt f ( ) p = k k3 k3 p 4 ( ). A sm k3 k3 p3 (55) Rsolvdo a prssão (55) tm-s a forma fal para o vtor qu lva m cota as prssõs da fas ão-molhat prscrtas: f p λt = 4A ( k k ) k k 3 p p 3 p ( k k ) k k 3 p p 3 p k k 3 3 p p 3 3. ( ) k3 k3 p3 (56) O vtor qu lva m cota as codçõs d cotoro d fluo prscrto f Γ tm a sgut forma: 45

T f Γ = N N h d Γ. (57) Γ Cosdrado a dfção (9) para a fução d trpolação N rsolvdo cada tgral trval volvda m (57), o vtor qu lva m cota as codçõs d cotoro d fluo prscrto pod sr scrto da sgut forma: L h f Γ =, 6 h (58) od L rprsta o comprmto do lado do lmto od s tm codção d cotoro d fluo prscrto h h são os valors dos fluos prscrtos. Rsolvdo a prssão (58) tm-s a forma fal para o vtor qu lva m cota as codçõs d cotoro d fluo prscrto: L h h f Γ =. 6 h h (59) 3.5 Pós-procssamto do Campo d Vlocdads Quado o campo d vlocdads é calculado drtamt a partr da l d Darc, quação (47), os rsultados obtdos ão aprstam boa prcsão, satsfazm fracamt a codção d fluo ulo ão garatm a cosrvação d massa [][4][7][8]. Uma stratéga para mlhorar a apromação do campo d vlocdads é a utlzação d métodos mstos coform mostrado, por mplo, m Masud Hughs [7] m Durlofsk [4]. Altratvamt, téccas d pós-procssamto do campo d vlocdads podm sr utlzadas para s obtr rsultados satsfatóros [][4]. Nst trabalho utlza-s a stratéga d pós-procssamto global do campo d vlocdads aprstada por Malta t al. [4]. Esta stratéga basa-s a formulação varacoal da l d Darc (47) combada com o rsíduo da quação d balaço d massa (37). 46

Etão cohcdo-s os campos d prssão h p d saturação h s dfdo: U h = h h h h { H ( Ω) H ( Ω), = 0 m Γ }, (60) o pós-procssamto do campo d vlocdads cosst m cotrar h h v~ t U tal qu h h U tm-s: Ω l h Ω = ~ v h t δ Kλ p h t h Kλ s ( ~ h h v Q ) dω = 0 t t dp ds c h Kg ( λ ρ λ ρ ) dω, (6) od h v~ t é o vtor d vlocdads pós-procssadas o parâmtro δ é dpdt da malha d lmtos ftos pod sr tomado como δ h =, od h é o tamaho caractrístco do lmto dado por h = A sdo A a ára do lmto. Com a utlzação dsta técca d pós-procssamto do campo d vlocdads as varávs do problma, prssão, vlocdad saturação, são apromadas por trpolaçõs Lagragaas d msma ordm []. 3.6 Matrzs d Elmto para a Equação da Vlocdad Substtudo as dfçõs (88), (89) (9) a quação (6) tm-s a sgut forma matrcal: ~ ~ Kv ~ = f, (6) od K ~ é a matrz d cofcts, v ~ é o vtor d vlocdads pós-procssadas f ~ é o vtor d trmos dpdts. 47

É covt scrvr os trmos das parclas da quação (6) m fução das cotrbuçõs d cada lmto. Assm, os trmos qu cotrbum para a formação da matrz K ~ são dados por: ~ l ~ K = A = ~ ( k ) ~ [ k ], a, =,, 3 (63) ~ k = b (64) ab k ab = N a N b dω δ N a N b dω, (65) Ω Ω od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. Dsta forma, a matrz do lmto é dada por: ~ T T k = N N dω δ dω D dv D dv, (66) Ω Ω od D dv é o oprador dvrgt dscrto dfdo, o caso d lmtos tragulars lars, como: D dv = [ 3 3 3 3 ]. A (67) A matrz d cofcts dfda m (66) é formada pla soma d duas matrzs portato pod sr scrta como: ~ ~ ~ = k. (68) k k ~ A matrz k dfda m (68) é dada por: 48

~ T k = N N dω. (69) Ω Cosdrado a dfção (9) para a fução d trpolação N, tm-s: NI ~ k N = [ N N N ] dω Ω I I I 3I. N 3I (70) Na quação (70) I é a matrz dtdad d ordm dada por: 0 I =. 0 (7) Rsolvdo cada tgral trval volvda m (70), tm-s a forma fal para a ~ matrz k : ~ k I A = I I I I I I I. I (7) A matrz ~ k dfda m (68) é dada por: ~ T k = δ D dω Ω dvddv. (73) Cosdrado a dfção (67) para o oprador dvrgt dscrto qu os trmos do tgrado d (73) são costats o tror do lmto tm-s: 49

~ 3 3 [ ] 3 k 3 3 3 3. 4A 3 = δ (74) Rsolvdo a quação (74) tm-s a forma fal para a matrz ~ k : 3 3 33 3 3 33 3 3 33 3 3 33 3 3 ~ 33 33 3 3 δ k =. 4A 33 3 3 sm (75) Aalogamt o vtor f ~ pod sr scrto m trmos da cotrbução d cada lmto da sgut forma: ~ l f = A = ~ ( f ) ~ [ f ],,,3 (76) ~ f = a = (77) a ~ f a = δ Ω N Ω a N Kλ a dp ds c N b N q b b, dω s b dω Ω N Kλ N Ω a N a t Kg b, ( λ ρ λ ρ ) dω p b dω (78) od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. Dsta forma, o vtor do lmto é dado por: 50

~ f = δ Ω Ω T N Kλ T D Nq dω dp ds c Bs dω Ω T N Kλ Bp dω Ω N t T Kg ( λ ρ λ ρ ) dω. (79) O vtor d trmos dpdts dfdo m (79) é formado pla soma d quatro vtors portato pod sr scrta como: ~ ~ ~ ~ ~ = f, (80) f f f f3 4 od ~ ~ f é o vtor d trmos fot o domío, f é o vtor rfrt ao gradt d prssão, ~ ~ f é o vtor rfrt ao gradt d saturação f é o vtor rfrt aos 3 ftos gravtacoas. 4 O vtor d trmos fot o domío ~ f tm a sgut forma: ~ Nq T f = δ D dω. (8) Ω A tgral das fuçõs d trpolação N, =,,3, pod sr faclmt calculada portato tm-s: A N dω = [ ]. Ω 6 (8) Substtudo as dfçõs (9) (67) cosdrado qu os trmos do tgrado d (8) são costats o tror do lmto, o vtor d trmos fot o domío pod sr scrto da sgut forma: 5

5 (83) [ ] = 3 3 3 3 3 6 ~ q q q A A δ f. Rsolvdo a prssão (83) tm-s a forma fal para o vtor d trmos fot o domío: (84) ( ) = 3 3 3 3 3 6 ~ q q q δ f. O vtor rfrt ao gradt d prssão ~ f tm a sgut forma: t T d = Ω Ω ~ Bp K N f λ. (85) Substtudo as dfçõs (9) (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (85) são costats o tror do lmto, o vtor d rfrt ao gradt d prssão pod sr scrto da sgut forma: (86) = 3 3 3 3 3 6 ~ p p p A k k k k A t λ I I I f. Rsolvdo a prssão (86) tm-s a forma fal para o vtor rfrt ao gradt d prssão:

k p k p k p k p ~ λ k p k p t f =, 6 k p k p k p k p k p k p (87) od: p = (88) 3 p 3 p p3 p =. (89) 3 p 3 p p3 O vtor rfrt ao gradt d saturação ~ f 3 tm a sgut forma: ~ dp T c f3 = N Kλ Bs dω. Ω ds (90) Substtudo as dfçõs (9) (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (90) são costats o tror do lmto, o vtor d rfrt ao gradt d saturação pod sr scrto da sgut forma: I s ~ k k 3 3 A dpc f = 3 I λ s 6. k k ds A 3 3 I s 3 (9) Rsolvdo a prssão (9) tm-s a forma fal para o vtor rfrt ao gradt d saturação: 53

54 (9) = c s k s k s k s k s k s k s k s k s k s k s k s k ds dp 6 ~ 3 λ f, od: 3 3 3 s s s s = (93) 3 3 3 s s s s =. (94) O vtor rfrt aos ftos gravtacoas 4 ~ f tm a sgut forma: ( ) T d Ω = Ω ~ 4 ρ λ ρ λ Kg N f. (95) Substtudo a dfção (9) cosdrado qu os trmos do tgrado d (95) são costats o tror do lmto, vtor rfrt aos ftos gravtacoas pod sr scrto da sgut forma: (96) ( ) g k g k g k g k A ρ λ ρ λ = I I I f 6 ~ 4. Rsolvdo a prssão (96) tm-s a forma fal para o vtor rfrt aos ftos gravtacoas:

55 (97) ( ) = g k g k g k g k g k g k g k g k g k g k g k g k A 3 ~ 4 ρ λ ρ λ f. O vtor d vlocdads pós-procssadas a ívl d lmto tm a sgut forma: (98) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 3 v v v v v v ~ v, od o suprídc (), =,,3, dca a umração local do ó o lmto o subídc j=, dca a drção da compot do vtor d vlocdad. 3.7 Formulação Establzada para a Equação da Saturação Ats d aprstar a formulação stablzada para a quação da saturação df-s um oprador blar qu dtfca a quação (66) como: ( ) h h h a h h a h s s t s s L = D v v φ,. (99) A formulação stablzada d Ptrov-Galrk para a quação da saturação, quação (66), cosst m cotrar h h S s tal qu h h W tm-s:

Ω l h L Ω = l h h h h h h ( s, v a ) dω τ v a L( s, v ) τ h s h Ω = dω = 0 dω. (00) Na quação (00) a prmra tgral rprsta o trmo d Galrk, o prmro somatóro d tgras rprsta o trmo d corrção SUPG o sgudo somatóro d tgras rprsta o trmo d corrção rfrt ao oprador d captura d dscotudad. Os parâmtros d stablzação τ τ são dpdts da malha d lmtos ftos podm sr calculados da sgut forma: τ δ P = m, v 3 a (0) τ P = δ v 3 a T ( v a ) D v a ( s, ) (0) = L v (03) a P// δ m, s 4 P // a // = δ T ( v ) D v a // v a = s 3 a // a // v s v s. (04) (05) Nas dfçõs (0), (0), (03), (04) (05) P é o úmro d Pclt o qual rprsta o balaço tr os ftos covctvos os ftos dfusvos. O suprídc dca qu a varávl fo calculada o tror do lmto quato o subídc // dca a projção da varávl a drção paralla ao gradt da solução, sto é, paralla à s. Cosdra-s qu δ h = quato qu δ pod sr podrado por h δ = ou por δ = h. O tamaho caractrístco do lmto é dado por h A rprsta a ára do lmto. 56 =, od A

No dsvolvmto da formulação stablzada, quação (00), aplca-s o torma da dvrgêca combado à técca d tgração por parts o trmo dfusvo d Galrk. O trmo dfusvo rfrt à corrção SUPG é ulo uma vz qu o msmo é podrado por fuçõs pso costats o tror do lmto. Da mara como fo dfdo o oprador d captura d dscotudad só ag m rgõs od o gradt da solução for dfrt d zro. 3.8 Matrzs d Elmto para a Equação da Saturação Substtudo as dfçõs (88), (89), (90) (9) a quação (00) tm-s a sgut forma matrcal: Ma Cs =, (06) f s od M é a matrz d massa gralzada, C é a matrz ftva d cofcts, s é o vtor d cógtas odas (saturaçõs odas), a é o vtor das drvadas tmporas d s, f s é o vtor qu provém da cotrbução dos graus d lbrdad prscrtos d s. É covt scrvr os trmos das parclas da quação (06) m fução das cotrbuçõs d cada lmto. Assm, os trmos qu cotrbum para a formação da matrz M são dados por: l M = A = ( m ) [ m ], a, =,, 3 (07) m = b (08) ab ( N φ N φτ v N v ) N Ω m = a a, a a, φτ a b d, Ω ab (09) od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. 57

Dsta forma, a matrz do lmto é dada por: m = T T T φ N N dω B φτ v a a dω N B φτ v N. (0) Ω Ω Na quação (0) a prmra tgral é rfrt à matrz d massa a sguda tgral é rfrt à corrção SUPG da matrz d massa. Aalogamt a matrz C pod sr scrta m trmos da cotrbução d cada lmto da sgut forma: l C = A = ( c ) [ c ], a, =,, 3 () c = b () ab c ab = Ω τ ( N τ ( N v N N v N ) a, N a v N N N N ( N a, DNb, N a, DN b, ) ( N N N N ) dω a, a a, a v v a b, a b, v b, a a, b, a a, b, a v a a, b, v v a a N v b, a N b, ) (3) od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. Dsta forma, a matrz do lmto é dada por: c Ω = B T Ω T T ( N v B N v B ) DB dω a Ω a T τ B B dω dω Ω τ B T AB dω, (4) od: 58

v a vava A A A = v a v a = =. vava va A A (5) Na quação (4) a prmra tgral é rfrt à matrz d covcção, a sguda tgral é rfrt à corrção SUPG da matrz d covcção, a trcra tgral é rfrt à matrz d dfusão d Galrk a quarta tgral é rfrt ao oprador d captura d dscotudad do tpo CAU. O vtor f s, dfdo m (06), provém da cotrbução dos graus d lbrdad prscrtos da saturação da fas molhat s portato tm a sgut forma: s l = ( m a c s ) f = A, (6) od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. 3.8. Matrz d Massa A parcla d Galrk rfrt à matrz d massa, dfda m (06), é rprstada por: T g = Ω Ω N N d m φ, (7) od o subídc g dtfca o trmo provt da parcla d Galrk. Cosdrado a dfção (9) para a fução d trpolação N, tm-s: N m g = φ N [ N N N ] dω Ω 3. N 3 (8) 59

Rsolvdo cada tgral trval volvda m (8), tm-s a forma fal para a matrz d massa: A m = g φ. (9) 3.8. Corrção SUPG da Matrz d Massa O trmo rfrt à corrção SUPG da matrz d massa, dfdo m (06), é rprstado por: m pg T T = B φτ v a dω a dω N B φτ v N, (0) Ω Ω od o subídc pg dtfca o trmo provt da parcla d corrção SUPG. Cosdrado qu os trmos do tgrado d (0) são costat o tror do lmto, a corrção SUPG da matrz d massa pod sr scrta da sgut forma: m pg = T T v B N d Ω φτ v ab N Ω Ω φτ dω. () A tgral das fuçõs d trpolação N, =,,3, pod sr faclmt calculada portato tm-s: A N dω = [ ]. Ω 6 () Assm, cosdrado o rsultado obtdo m () utlzado as dfçõs () () a corrção SUPG da matrz d massa pod sr scrta da sgut forma: 60

3 3 v φτ v φτ a a m 3 [ ] pg = 3 [ ] 6 6. (3) Rsolvdo a quação (3) tm-s a forma fal para a prssão da corrção SUPG da matrz d massa: m pg m pg m pg φτ m pg = 6 m pg m pg m pg, 3 3 3 m pg m pg m pg (4) od: m pg = v (5) 3va 3 a m pg = v (6) 3va 3 a m 3 pg = v. (7) va a 3.8.3 Matrz d Covcção Os trmos covctvos rfrts à parcla d Galrk, dfdos m (06), são rprstados por: T T c g = N vab dω a dω N v B, (8) Ω Ω od o subídc g dtfca o trmo provt da parcla d Galrk. Substtudo as dfçõs () () cosdrado qu os trmos do tgrado d (8) são costat o tror do lmto, a matrz d covcção pod sr scrta da sgut forma: 6

c g A T [ ] N dω v [ ] T = N dω v a 3 3 Ω Ω a A 3 3. (9) D forma smlar à quação () vrfca-s qu: N A T dω = Ω 6. (30) Substtudo a dfção (30) a prssão (9) tm-s: v va a c g = [ 3 3 ] [ 3 3 ] 6 6. (3) Galrk: Rsolvdo a prssão (3) tm-s a forma fal da matrz d covcção d 3 c g cg cg 3 c g = 6 cg cg cg, 3 cg cg cg (3) od: c g = v (33) 3va 3 a c g = v (34) 3va 3 a 3 c = ( c c ). (35) g g g 6

3.8.4 Corrção SUPG da Matrz d Covcção O trmo rfrt à corrção SUPG da matrz d covcção, dfdo m (06), é rprstado por: T c pg = τ B AB dω, (36) Ω od o subídc pg dtfca o trmo provt da parcla d corrção SUPG. Substtudo as dfçõs (09) (5) cosdrado qu os trmos do tgrado d (36) são costat o tror do lmto, a prssão para a corrção SUPG da matrz d covcção tm a sgut forma: 3 3 A A 3 3 τ c pg = 3 3. 4A A A 3 3 (37) Rsolvdo a prssão (37) tm-s a forma fal para prssar a corrção SUPG da matrz d covcção: ( B B ) 3 B B3 τ c pg = ( B B3 ) B3 4 ( ), A sm B3 B3 (38) od: B = (39) 3B 3B B = (40) 3 4 3 3B 3B B = (4) 3 4 3 3B 3B 63

B 3A = A (4) 3 B 3A = A (43) 3 3 B A = A (44) 4 B A = A. (45) 3.8.5 Matrz d Dfusão A parcla qu cotém os trmos dfusvos, dfda m (06), é rprstada por: T c dg = B DB dω, (46) Ω od o subídc dg dtfca o trmo d dfusão provt da parcla d Galrk. Substtudo a dfção (09) (70) cosdrado qu os trmos do tgrado d (46) são costat o tror do lmto, a matrz d dfusão pod sr scrta da sgut forma: 3 3 k k 3 3 h dpc c dg = 3 3 4. A ds k k 3 3 (47) Rsolvdo a prssão (47) tm-s a forma fal para a matrz d dfusão: ( c c ) 3 c c3 h dpc c dg = ( c c3) c3 4 ( ), A ds sm c3 c3 (48) od: 64

c = (49) 3c 3c c = (50) 3 4 3 3c 3c c = (5) 3 4 3 3c 3c c 3k 3k = (5) c 3k 3k = (53) 3 c k k = (54) 4 c k k =. (55) 3.8.6 Matrz d Corrção do Oprador d Captura d Dscotudad O trmo rfrt ao oprador d captura d dscotudad, dfdo m (06), é rprstado por: T c op = τ B B dω, (56) Ω od subídc op dtfca o trmo provt da parcla d corrção do oprador d captura d dscotudad. Substtudo a dfção (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (56) são costats o tror do lmto, a matrz d corrção do oprador d captura d dscotudad pod sr scrta da sgut forma: 3 3 3 3 τ c op = 3 3 4. A 3 3 (57) 65

Rsolvdo a prssão (57) tm-s a forma fal para a matrz d corrção do oprador d captura d dscotudad: od: op op ( B B ) op op 3 B B3 τ op op op ( ) ( ) c op = B B3 B3. 4A op op sm B3 B3 33 33 (58) B op = (59) B op = (60) 3 3 3 B op =. (6) 3 3 3 3.9 Dscrtzação Tmporal Nst trabalho utlza-s uma formulação varacoal sm-dscrta para rsolvr o cojuto acoplado d quaçõs dfrcas parcas qu dscrv o problma d scoamto bfásco d fludos mscívs m mos porosos. A formulação varacoal sm-dscrta caractrza-s pla dscrtzação por lmtos ftos o spaço sguda pla dscrtzação por dfrças ftas o tmpo. Dst modo o cojuto acoplado d quaçõs dfrcas ordáras rsultat da dscrtzação spacal srá dscrtzado o tmpo utlzado o método trapzodal gralzado aprstado por Hughs [8]. Para ralzar o avaço da solução do problma o tmpo adota-s uma stratéga basada o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor mostrado m Coutho Alvs [8]. As quaçõs (8) (06) formam um sstma acoplado ão-lar d quaçõs dfrcas ordáras qu pod sr scrto da sgut forma: Fp Fs ( p, s, t) Q p = ( p, s, s, t) Q s, (6) od os subídcs p s dcam, rspctvamt, as cotrbuçõs da prssão da fas ão-molhat da saturação da fas molhat. Os trmos F p F s são fuçõs ão- 66

lars da prssão, da saturação da drvada tmporal da saturação. Os trmos Q p Q s lvam m cota os trmos fot as codçõs d cotoro. O sstma (6) possu dos graus d lbrdad, a prssão da fas ão-molhat a saturação da fas molhat. Estm duas stratégas d solução para s rsolvr o sstma (6). Na prmra os dos graus d lbrdad do problma são solucoados smultaamt. Já a sguda stratéga d solução rsolv-s sqücal cada quação d cosrvação do problma, ou sja, cada grau d lbrdad do problma é solucoamt sparadamt d forma squcal. Lagtag [] aprsta dos algortmos basados ssas duas stratégas, tas algortmos são dtfcados rspctvamt como algortmo totalmt mplícto algortmo squcalmt mplícto. Nst trabalho utlza-s o algortmo squcalmt mplícto aprstado por Lagtag [] para solucoar o sstma (6). 3.9. Algortmo squcalmt mplícto A prêca mostra qu o mprgo da stratéga d solução totalmt mplícta dmada mas mmóra quado comparado com a stratéga d solução squcalmt mplícta. Assm ao cotráro da stratéga totalmt mplícta, qu armaza uma úca matrz rfrt ao sstma global, a stratéga squcalmt mplícta armaza dvdualmt submatrzs assocadas a cada grau d lbrdad do problma. A ára d armazamto para as submatrzs é cosdravlmt mor do qu a ára cssára para armazar a matrz assocada ao sstma global. O gaho o armazamto das submatrzs m rlação ao armazamto da matrz rfrt ao sstma global fca mas vdt quado s trabalha com problmas d grad port. Etrtato o úmro d traçõs cssáras para s alcaçar a solução do problma é gralmt maor a stratéga squcalmt mplícta do qu a stratéga totalmt mplícta. Todava o tmpo cssáro para s compltar uma úca tração o procsso d solução é mor a stratéga squcalmt mplícta quado comparado com a stratéga totalmt mplícta. A prêca tm mostrado qu, m gral, o balaço fal é favorávl à stratéga squcalmt mplícta quado aplcada à solução d problmas bdmsoas d grad port gralmt a todos os problmas trdmsoas [5]. 67

Um outro poto favorávl à stratéga squcalmt mplícta é o fato d qu a solução tratva dos sstmas d quaçõs lars rsultats da dscrtzação das quaçõs dfrcas parcas tm su comportamto rlacoado ao tpo d quação dfrcal a sr dscrtzada. No prst trabalho por mplo, aplcado-s a stratéga d solução squcalmt mplícta srão rsolvdos dos sstmas d quaçõs lars dsttos, um smétrco orudo d uma quação líptca (quação da prssão) outro ão-smétrco orudo d uma quação parabólca-hprbólca (quação da saturação). O sstma orudo da quação líptca cssta d um úmro d traçõs tpcamt O(h - ) para covrgr quato o sstma orudo da quação parabólca-hprbólca cssta d um úmro d traçõs tpcamt O(h - ) para covrgr. S a stratéga d solução totalmt mplícta for aplcada ao problma apas um sstma d quaçõs lars srá rsolvdo. Est sstma d quaçõs lars é ão-smétrco l cotram-s prsts trmos rlatvos à quação líptca à quação parabólca-hprbólca. Dsta forma st uma tdêca dos trmos rlatvos à parcla líptca prdomarm duzrm um comportamto tpcamt O(h - ) para o sstma[]. A stratéga d solução squcalmt mplícta prmt a scolha d métodos tratvos d pré-codcoadors mas adquados fcts para cada sstma d quação lar volvdo o problma. Buscado smpr otmzar a forma d solucoar um problma a stratéga d solução squcalmt mplícta mostra-s bm mas atrat quado comparada com a stratéga d solução totalmt mplícta. No prst trabalho a stratéga d solução squcalmt mplícta rsulta a sgut sqüêca d cálculos: ) Rsolv-s a quação da prssão; ) Calcula-s o campo d vlocdads; 3) Rsolv-s a quação da saturação. 3.9. Algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor O problma é dscrtzado o tmpo através do método trapzodal gralzado aprstado por Hughs [8] o avaço da solução do problma d um stat d 68

69 tmpo para um stat d tmpo é obtdo com o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor [8] dscrto a sgur: Dados: s, a, p p =, v v = Icalza as gradzas (prdção) = 0 ( ) t a s s = γ = 0 a Para = 0,,, 3... até matr ou até covrgr, Faça Bloco : Rsolv a quação da prssão ( ) ( ) = s f p s K Bloco : Calcula o campo d vlocdad ( ) ( ), ~ ~, ~ = p s f v p s K Bloco 3: Rsolv a quação da saturação ( ) ( ) * ~,,, ~, = v p s r a v p s M od: ( ) ( ), ~,, ~, = t v p C s v p M s M γ ( ) ( ) ( ) s ~,, ~,, ~,, = s v p C s a v p M s v p s f r Atualza as gradzas (corrção) = t a s s γ = a a a Fm.

70 No algortmo acma dscrto é o cotador d passos d tmpo, matr é o úmro mámo d traçõs ão-lars do algortmo, é o cotador das multcorrçõs (traçõs ão-lars), t é o passo d tmpo da aáls, a é o crmto da drvada tmporal da saturação γ é o parâmtro qu cotrola a stabldad a prcsão a tgração do tmpo. No prst trabalho adota-s γ = 0.5 o qu lva a um método mplícto, codcoalmt stávl d sguda ordm (O( t) ) cohcdo como método d Crak-Ncolso. O procsso tratvo cotua até qu sja atgdo um crtéro d covrgêca pré-dtrmado, qu é avalado mprgado-s as sguts mddas d rros das varávs d trss: = p p p p (63) v = v v v (64) = a a a (65) 0 = = R r r (66) (67) ( ) ( ) 0 0 = = = T T E r a r a, od dca a orma Eucldaa do vtor p, v a são rspctvamt os rros rlatvos à prssão, à vlocdad à drvada tmporal da saturação. A quatdad R md o rro o balaço d massa da quação da saturação E rprsta o rro rlatvo à orma d rga, uma vz qu a sgut rlação é válda: a M a r a = * T T. (68)

Para s alcaçar a covrgêca é cssáro satsfazr as sguts codçõs: sat p (69) tol v (70) tol a R E (7) = ma,,. tol tol tol O parâmtro tol rprsta o valor da tolrâca do problma é forcdo plo usuáro. S as codçõs (69) (70) form satsftas os valors da prssão da vlocdad prmacrão altrados durat as traçõs ão-lars o algortmo cotuará atualzado somt os valors da saturação. Quado a codção (7) for satsfta crra-s o procsso tratvo. D acordo com Durlofsk [4] m problmas d smulação d rsrvatóros d ptrólo as varaçõs d prssão d vlocdad ocorrm m trvalos d tmpo bm maors do qu as varaçõs d saturação. Nsss casos a quação da prssão a quação da vlocdad ão prcsam sr rsolvdas a cada passo d tmpo. Df-s tão um úmro fo d passos d tmpo m qu a prssão a vlocdad prmacrão costats o algortmo d solução somt rsolvrá a quação da saturação durat st úmro fo d passos d tmpo. Est procdmto pod coduzr a gahos computacoas cosdrávs vsto qu a solução da quação da prssão é mas dspdosa do qu a solução da quação da saturação. 3.0 Solução dos Sstmas d Equaçõs Lars No algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor utlzado st trabalho é cssáro, a cada tração ão-lar ou multcorrção, rsolvr três sstmas d quaçõs lars dsttos. Esss sstmas d quaçõs lars rfrm-s, rspctvamt, a prssão, vlocdad saturação. Os métodos utlzados para rsolvr um sstma d quaçõs lars podm sr classfcados como métodos drtos ou métodos tratvos. Os métodos drtos são basados a fatoração da matrz d cofcts do sstma, tal como lmação d 7

Gauss. Esss métodos ão são dcados o caso d rsolução d problmas d grad port []. Os métodos tratvos basam-s a déa d qu a partr d uma stmatva cal da solução gra-s uma sqüêca d apromaçõs qu faz a solução parcal do problma, a cada tapa d cálculo, s apromar da solução ata. Os métodos tratvos m comparação com os métodos drtos são mas fcts do poto d vsta computacoal prcpalmt m problmas 3D []. Os métodos tratvos podm sr mplmtados a partr d dfrts stratégas, como por mplo téccas sparsas [3], téccas lmto-por-lmto [8] téccas basadas as arstas dos lmtos [3]. Cada uma dssas téccas possum suas partculardads, vatags, dsvatags caractrístcas própras qu flucam m sua aplcabldad. A taa d covrgêca d um método tratvo dpd das proprdads spctras da matrz d cofcts. Sgudo Lagtag [] a aplcação d téccas d pré-codcoamto sobr o sstma d quaçõs aumtam cosdravlmt a taa d covrgêca do método tratvo. Para s alcaçar uma fcêca computacoal satsfatóra a rsolução d sstmas d quaçõs lars dv str uma harmoa tr os dvrsos aspctos do problma. Assm o sucsso d um método tratvo dpd, por mplo, da stêca d um algortmo fct, qu stá assocado à aturza do problma, alado a uma técca d pré-codcoamto adquada. 3.0. Métodos Itratvos Nst trabalho adotam-s métodos tratvos para s rsolvr os sstmas d quaçõs lars rfrts às quaçõs da prssão, vlocdad saturação. Como cada um dos sstmas d quaçõs têm caractrístcas spcífcas, dfrts métodos tratvos são utlzados para rsolvê-los dvdualmt. No caso do sstma d quaçõs rfrt à quação da prssão a matrz d cofcts é smétrca postva-dfda para rsolvê-lo aplca-s o método dos gradts cojugados com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss- Sdl (PCG). No cálculo das vlocdads pós-procssadas o sstma d quaçõs também possu uma matrz d cofcts smétrca postva-dfda porém st caso utlza-s o método d Jacob lvr d matrzs. O sstma d quaçõs rfrt à 7

quação da saturação é ão-smétrco o método GMRES (Gralzd Mmal Rsdual) com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl é utlzado para rsolvê-lo. Dtalhs sobr os algortmos para cada um dos métodos tratvos acma ctados podm sr obtdos m [], [3] [33]. 3.0. Implmtação lmto-por-lmto Os métodos tratvos usados st trabalho foram mplmtados utlzado téccas lmto-por-lmto. Bascamt, os métodos tratvos volvm opraçõs tr vtors matrzs. As prcpas opraçõs são produto scalar tr dos vtors, atualzação d vtors o produto matrz-vtor. O produto matrz-vtor é uma opração d grad mportâca pos dpd da forma como a matrz d cofcts stá armazada. A mplmtação lmto-porlmto vta a motagm da matrz d cofcts global vsto qu sta opração é bastat dspdosa. O produto matrz-vtor é solucoado tão a ívl d lmto m sguda su rsultado é dstrbuído para o problma d forma global. O produto matrz-vtor mplmtado a forma lmto-por-lmto pod sr rprstado por: l l A = A A = A A, = = od A são rspctvamt a matrz d cofcts global o vtor global, A são rspctvamt a matrz d cofcts d lmto o vtor d lmto, l é o úmro d lmtos da malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. A cução do produto matrz-vtor mplmtado a forma lmto-porlmto ralza-s através d três passos como s sgu [33]: Localzação das compots do vtor d lmtos o vtor global: 73

. Ecuta a opração matrz-vtor a ívl d lmto: A. 3 Espalha as compots do vtor d lmto o vtor global:. Os passos dst algortmo podm sr cutados d forma paralla ou vtoral sm maors dfculdads. Porém o passo 3, qu volv uma opração d atualzação m um vtor global, só pod sr cutado d forma paralla ou vtoral dtro d um grupo d lmtos ão-adjacts. Grupos d lmtos ão-adjacts podm sr costruídos rordado a malha d lmtos ftos, ats d s car os cálculos, através d um algortmo d coloração d malha [8]. 3.0.3 Pré-codcoamto A taa d covrgêca d um método tratvo, usado a rsolução d um dtrmado sstma d quaçõs lars, dpd das proprdads spctras da matrz d cofcts do sstma. A técca d pré-codcoamto basa-s a déa d trasformar o sstma d quaçõs orgal m um outro sstma qu sja quvalt ao sstma orgal, ou sja, qu possua a msma solução do sstma orgal porém tha proprdads spctras mas favorávs [35]. Esta últma caractrístca aumta a taa d covrgêca do método tratvo. Nst trabalho utlzam-s pré-codcoadors lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl coform aprstado m [8] m [33]. Para dscrvr o pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl utlzado st trabalho são cosdrados dos sstmas quaçõs lars, um smétrco rfrt a quação da prssão, um ão-smétrco rfrt a quação da saturação, dados rspctvamt a sgur: 74

Hs = b (7) H s = b. (73) Os sstmas (7) (73) são calmt trasformados da sgut forma: HW = W b (74) W W HW = W b, (75) od: ( H) W = dag (76) ( H) W = dag (77) = W s = W s. (78) (79) Os sstmas (74) (75) são rscrtos como: A = u (80) A = u, (8) od: A = W HW (8) A = W HW (83) 75

u = W b u = W b. (84) (85) Em sguda, a cada multcorrção cutada plo método tratvo, ralzam-s sobr os sstmas (80) (8) as sguts opraçõs qu dfm o pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl: L B A = B u (86) AU = L u, (87) od: = U. (88) As matrzs B, L U são obtdas a partr da dcomposção d Gauss-Sdl das matrzs A A como: B = l T { L } { L} = = l L = l = L U = l U =, (89) (90) (9) tal qu: T L L = A I (9) L U = A I (93) 76

sdo qu o subídc dca a cotrbução das matrzs a ívl d lmto l é o úmro d lmtos da malha d lmtos ftos. A aplcação do pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl ão volv huma ára d mmóra adcoal além da ára rfrt às matrzs d lmto. Além dsso, a ação do pré-codcoador pod sr calculada d forma paralla ou vtoral sm maors dfculdads [8]. 77

Capítulo 4 Rsultados Numércos Nst capítulo são aprstados dos grupos dfrts d rsultados. O prmro grupo é formado plos mplos d valdação. Os mplos d valdação têm o objtvo d comprovar a qualdad dos rsultados obtdos com a formulação dsvolvda. Dsta forma os rsultados obtdos ss trabalho são comparados com os rsultados cotrados a ltratura. Uma vz dmostrada a fcêca da formulação dsvolvda ss trabalho o sgudo grupo d mplos é aprstado, os mplos umércos. Nsss mplos aalsa-s como a rologa dos fludos fluca a solução do problma. Compara-s tão os rsultados obtdos a partr do scoamto d dfrts fludos, tas como toaos, dlatats psudoplástcos. Nos mplos umércos também srão tratados casos m qu o mo poroso é htrogêo. Nst trabalho o método dos gradts cojugados com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo d Gauss-Sdl, mprgado para rsolvr a quação da prssão, é dtfcado como PCG. O método GMRES com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo d Gauss-Sdl, mprgado para rsolvr a quação da saturação, é dtfcado como GMRES. O método d Jacob lvr d matrzs mprgado o cálculo das vlocdads, é dtfcado como JCB. 4. Emplos d valdação São aprstados três mplos d valdação cuja a solução umérca obtda é comparada com a solução cotrada a ltratura. O prmro mplo d valdação é o caso udmsoal od jta-s um fludo toao pla latral squrda do domío, o sgudo é o caso udmsoal od jta-s um fludo psudoplástco 78

pla latral squrda do domío o trcro mplo d valdação é o problma clássco d cco poços. Nsss mplos d valdação vstga-s a fluêca dos parâmtros da formulação stablzada, mprgada a apromação da quação da saturação, sobr o rsultado da smulação. Dst modo, a quação da saturação, a formulação d Galrk pod sr acrscda somt da formulação SUPG, ou somt do trmo rfrt ao oprador d captura d dscotudad do tpo CAU ou acrscda tato da formulação SUPG quato do trmo rfrt ao oprador d captura d dscotudad do tpo CAU. Os rsultados od somt a formulação SUPG fo usada são rprstados smplsmt por SUPG. Quado a formulação SUPG é usada jutamt com o oprador d captura d dscotudad do tpo CAU os rsultados são rprstados por SUPGCAU. É mportat otar qu a cotrbução do oprador d captura d dscotudad pod sr podrada tato por δ = h quato por δ h =, sdo sus rfrdos rsultados rprstados rspctvamt por CAU h CAU h/. Os casos od somt o oprador d captura d dscotudad fo utlzado são dtfcados smplsmt por CAU h ou por CAU h/. Em todos os mplos d valdação a tolrâca dos métodos tratvos é fada m 0-6 a tolrâca para tração ão-lar m 0 -, o úmro mámo d multcorrçõs é fado m 0 o passo d tmpo é fado m t = 0.000, cto mplo 4..3 od o passo d tmpo é fado m t = 0.00. Adota-s também um úmro d 5 vtors d Krlov para o algortmo GMRES. 4.. Caso udmsoal jção d um fludo toao O objtvo dst mplo é valdar a formulação stablzada utlzada para rsolvr a quação da saturação. Para tal o problma udmsoal aprstado por Durlofsk [4] é usado como rfrêca. Coform aprsta Durlofsk [4], as gradzas do problma são dadas m um sstma compatívl d udads. O problma cosst m jtar um fludo (fas molhat) pla latral squrda do domío com o objtvo d dslocar o fludo stt o rsrvatóro (fas ão-molhat), sdo ambos os fludos cosdrados toaos. Utlza-s uma malha com 80 células, sdo cada célula dvdda m dos lmtos tragulars, dstrbuídas o rtâgulo 0 4, 79

0 0.05. Foram aplcadas codçõs d cotoro pródcas a drção para smular o dslocamto udmsoal a drção, od o dslocamto total é L = 4. Nst mplo os ftos da prssão caplar dos trmos fot o tror do domío foram dscosdrados. A vlocdad total é v t = fou-s s = m = 0. Icalmt cosdra-s qu o rsrvatóro stá prchdo apas pla fas ãomolhat, ou sja, m t = 0 s = 0 m todo o rsrvatóro. A porosdad do rsrvatóro é gual a 0.0 as prmabldads rlatvas das fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por k = ( ) r s k r =. O rsrvatóro é cosdrado um s mo poroso homogêo sotrópco. A razão tr a vscosdad da fas ão-molhat a vscosdad da fas molhat é gual a 5. Dos casos dsttos são aalsados: o prmro os ftos gravtacoas são dscosdrados, quato o sgudo tas ftos são lvados m cosdração agm o stdo oposto ao dslocamto dos fludos. No prmro caso G d = 0 quato qu o sgudo caso G d =, od G d é dfdo m (7). Os rsultados são aprstados m trmos d Volums Porosos Ijtados (VPI), qu é uma gradza aáloga ao tmpo admsoalzado. A Fgura 3 mostra o prfl d saturação obtdo para o caso m qu os ftos gravtacoas ão foram cosdrados quato a Fgura 4 mostra o prfl d saturação para o caso m qu s cosdra os ftos gravtacoas. Ambos os rsultados são tomados m t = 0.5 VPI. Sgudo Durlofsk [4] a altura tórca para o choqu o caso sm gravdad é 0.4, o qu stá m boa cocordâca com os rsultados obtdos, como pod sr obsrvado a Fgura 3. Na Fgura 4 stão os rsultados obtdos com gravdad, d acordo com Durlofsk [4], st caso a altura tórca para o choqu é d 0.76, o qu também stá m boa cocordâca com os prsts rsultados. Na Fgura 3 o rsultado obtdo quado utlza-s somt a formulação SUPG é o mos dfusvo, aprstado porém as osclaçõs spúras (udr-shootg) mas actuadas. No caso do rsultado obtdo quado s utlza a formulação SUPGCAU h/ também s costata a prsça d osclaçõs spúras, mbora com mor tsdad. Nos dmas rsultados ssas osclaçõs spúras ão são obsrvadas. Quado os ftos gravtacoas são cosdrados vrfca-s, a Fgura 4, a ausêca d osclaçõs spúras mas uma vz o rsultado obtdo quado somt a formulação SUPG é mprgada aprsta-s como o mos dfusvo. 80

0,8 Saturação - S 0,6 0,4 0, 0-0, SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Altura tórca 0 0, 0,4 0,6 0,8 Dslocamto horzotal (/L) Fgura 3 Frt d saturação m t=0.5 VPI para o caso udmsoal sm gravdad. 0,8 Saturação - S 0,6 0,4 0, 0 SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Altura tórca -0, 0 0, 0,4 0,6 0,8 Dslocamto horzotal (/L) Fgura 4 Frt d saturação m t=0.5 VPI para o caso udmsoal com gravdad. 8

4.. Caso udmsoal jção d um fludo psudoplástco O objtvo dst mplo é valdar o cálculo da vscosdad dos fludos ãotoaos. Para tal o problma udmsoal aprstado por Wu Pruss [37] é usado como rfrêca. O problma cosst m jtar um fludo psudoplástco (fas molhat) pla latral squrda do domío com o objtvo d dslocar o fludo stt o rsrvatóro (fas ão-molhat) sdo st últmo cosdrado um fludo toao. Utlza-s uma malha com 80 células, sdo cada célula dvdda m dos lmtos tragulars, dstrbuídas o rtâgulo 0 4 m, 0 0.05 m. Foram aplcadas codçõs d cotoro pródcas a drção para smular o dslocamto udmsoal a drção, od o dslocamto total é L = 4 m. Nst mplo os ftos da prssão caplar, dos trmos fot o tror do domío os ftos gravtacoas foram dscosdrados. A saturação rsdual da fas ão-molhat é gual a 0.0. A porosdad do rsrvatóro é gual a 0.0. As prmabldads rlatvas k r =.7 s das fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por ( ) k r (.s ) = 0.75. O rsrvatóro é cosdrado um mo poroso homogêo sotrópco sdo a prmabldad absoluta dst gual a Darc. A taa d jção é d 0.833 0-5 m 3 s - quato o tmpo total d jção é d 0h (dz horas). A vscosdad da fas ão-molhat é gual a 5cP para a fas molhat o parâmtro d cosstêca o ídc d comportamto do scoamto, utlzados o modlo d l das potêcas, são dados rspctvamt por H = 0.0 Pa.s = 0.5. A Fgura 5 mostra o prfl d saturação obtdo dpos d 0h d jção. O rsultado umérco obtdo stá m boa cocordâca com o rsultado aprstado por Wu Pruss [37], od a altura tórca para o choqu é 0.36, o qu valda o códgo utlzado para calcular a vscosdad dos fludos ão-toaos. Na Fgura 5, assm como vrfcado o mplo atror, o rsultado obtdo quado utlza-s somt a formulação SUPG é o mos dfusvo aprstado porém as osclaçõs spúras (udr-shootg) mas actuadas. No caso do rsultado obtdo quado s utlza a formulação SUPGCAU h/ também s costata a prsça d osclaçõs spúras, mbora com mor tsdad. Nos dmas rsultados ssas osclaçõs spúras ão são obsrvadas. Aalsado a Fgura 5 coclu-s ada qu o mlhor rsultado é obtdo quado s utlza a formulação SUPGCAU h. 8

Saturação - S 0,8 0,6 0,4 0, SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Altura tórca 0-0, 0 3 4 Dslocamto horzotal (m) Fgura 5 Frt d saturação dpos d 0h d jção d um fludo psudoplástco. 4..3 Problma clássco d cco poços O objtvo dst mplo é valdar a solução do sstma acoplado d quaçõs (prssãovlocdad-saturação). Para tal o problma clássco d cco poços aprstado por Durlofsk [4] é usado como rfrêca. Assm como m Durlofsk [4] o problma cosst m rsolvr um quarto do problma d cco poços. Nst problma o fludo jtado o poço jtor (fas molhat) dsloca o fludo do rsrvatóro (fas ãomolhat) m drção ao poço produtor, sdo ambos os fludos cosdrados toaos. Coform aprsta Durlofsk [4], as gradzas do problma são dadas m um sstma compatívl d udads. O domío do problma é um quadrado d lado utáro. Foram utlzados 800 lmtos tragulars lars para dscrtzar rgularmt o domío do problma. Nst mplo os ftos da prssão caplar, dos trmos fot o tror do domío os ftos gravtacoas foram dscosdrados. Icalmt cosdra-s qu o rsrvatóro stá prchdo apas pla fas ãomolhat, ou sja, m t= 0 s = 0 m todo o rsrvatóro. No poço jtor fou-s s = as prmabldads rlatvas das fass molhat ão-molhat são dadas 83

rspctvamt por k = ( ) r s k r =. O rsrvatóro é cosdrado um mo s poroso homogêo sotrópco, assm sdo a prmabldad absoluta do msmo é dada por K=I. A porosdad do rsrvatóro é gual a 0.0. A razão tr a vscosdad da fas ão-molhat a vscosdad fas molhat é gual a 4. Dos cáros dsttos são aalsados: o prmro, dtfcado como dagoal, a lha magára poço jtor-poço produtor é prpdcular às lhas dagoas dos lmtos tragulars; o sgudo, dtfcado como parallo, as lhas dagoas dos lmtos tragulars são parallas à lha magára poço jtor-poço produtor. A Fgura 6 mostra a malha d lmtos ftos usada st problma. No caso dtfcado como dagoal o poço jtor stá stuado o vértc fror squrdo o poço produtor o vértc supror drto. No caso dtfcado como parallo o poço jtor stá stuado o vértc supror squrdo o poço produtor o vértc fror drto. Nos dos casos, os vértcs od ão stm poços prscrvm-s prssõs ulas o rstat do cotoro a codção d fluo ulo é spcfcada. Sgudo Durlofsk [4] os rsultados para os dos cáros, o dagoal o parallo, dvram sr dêtcos pos o dsvolvmto matmátco é o msmo m ambos os casos. Porém pod-s otar qu os rsultados obtdos dfrm um pouco dvdo ao fto d ortação d malha. Os rsultados são aprstados m trmos d Volums Porosos Ijtados (VPI), qu é uma gradza aáloga ao tmpo admsoalzado. Assm como m Durlofsk [4] os rsultados são mostrados d duas maras dfrts: rcupração d ólo ormalzada plo volum total jtado acumulação d ólo rcuprado (volum d ólo produzdo ou volum d ólo rcuprado). As Fguras 7 a mostram qu os rsultados umércos obtdos stão m boa cocordâca com os rsultados aprstados por Durlofsk [4]. O rsultado od somt a formulação SUPG fo utlzada, a cofguração paralla, fo o qu aprstou a maor dscrpâca m rlação aos rsultados mostrados m Durlofsk [4]. A aáls dos rsultados obtdos prmt vrfcar a prsça do fto d ortação d malha, porém os casos od a formulação SUPGCAU h fo utlzada st fto fo pratcamt lmado coform pod sr obsrvado as Fguras. Nos dmas casos o fto d ortação d malha st porém ão é tão actuado quato o cotrado a solução SUPG. 84

As Fguras 3 4 aprstam o úmro médo d multcorrçõs por passo d tmpo cutado plo algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor o úmro médo d traçõs m cada multcorrção cutado plos métodos umércos utlzados para rsolvr as quaçõs da prssão da saturação assm como os cálculos das vlocdads. As Tablas aprstam o úmro total d passos d tmpo da aáls, o úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação o úmro d total d traçõs cutado plos métodos PCG, JCB GMRES. Fgura 6 Malha d lmtos ftos com 800 lmtos tragulars lars. Aalsado as Fguras 3 4 pod-s obsrvar qu o método PCG cssta m méda d um úmro muto lvado d traçõs para atgr a covrgêca quado comparado com os dmas métodos aprstados. Nota-s também qu quado a formulação SUPG é mprgada sm o oprador d captura d choqu o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor cssta m méda d apas 3 traçõs para covrgr. O mprgo do oprador d captura d choqu aumta cosdravlmt o úmro d multcorrçõs dss algortmo. Nas Tablas obsrva-s qu para todas as formulaçõs aprstadas, cto a formulação SUPG com a cofguração paralla, o método GMRES cutou o maor úmro d traçõs. É mportat dstacar também o bao úmro d traçõs cutado plo método JCB m todos os casos 85

mostrados. Falmt coclu-s qu st mplo o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor prcsou m méda d 0 multcorrçõs por passo d tmpo para covrgr, cto quado s mprgou a formulação SUPG sm o oprador d captura d choqu. As quaçõs da prssão da vlocdad foram solucoadas m méda uma úca vz a cada passo d tmpo quato qu a quação da saturação prcsou sr solucoada durat todas as multcorrçõs do algortmo. 86

Rcupração d ólo 0,8 0,6 0,4 SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura 7 Rcupração d ólo ormalzada plo volum total jtado a cofguração dagoal. Volum d ólo rcuprado 0,8 0,6 0,4 0, SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura 8 Volum d ólo rcuprado a cofguração dagoal. 87

Rcupração d ólo 0,8 0,6 0,4 SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura 9 Rcupração d ólo ormalzada plo volum total jtado a cofguração paralla. Volum d ólo rcuprado 0,8 0,6 0,4 0, SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura 0 Volum d ólo rcuprado a cofguração paralla. 88

Rcupração d ólo 0,8 0,6 0,4 Dagoal - SUPGCAU h Paralla - SUPGCAU h 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura Rcupração d ólo ormalzada plo volum total jtado m dfrts cáros utlzado a formulação SUPGCAU h. Volum d ólo rcuprado 0,8 0,6 0,4 0, Dagoal - SUPGCAU h Paralla - SUPGCAU h 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura Volum d ólo rcuprado m dfrts cáros utlzado a formulação SUPGCAU h. 89

Multcorrcao PCG GMRES JCB 35 30 Númro médo d traçõs 5 0 5 0 5 0 SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Fgura 3 Númro médo d traçõs para o problma d cco poços a cofguração dagoal. 35 Multcorrcao PCG GMRES JCB 30 Númro médo d traçõs 5 0 5 0 5 0 SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Fgura 4 Númro médo d traçõs para o problma d cco poços a cofguração paralla. 90

Tabla Númro total d passos d tmpo, úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação, úmro total d traçõs dos métodos PCG, JCB GMRES para a cofguração dagoal. SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Passos d tmpo 000 000 000 000 000 Eq. prssão 007 008 007 007 006 PCG total 7464 94 87 870 8400 Eq. vlocdad 004 00 00 00 007 JCB total 940 0966 93 989 960 Eq. saturação 798 0000 9930 0000 909 GMRES total 387 84595 7650 5368 696 Tabla Númro total d passos d tmpo, úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação, úmro total d traçõs dos métodos PCG, JCB GMRES para a cofguração paralla. SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Passos d tmpo 000 000 000 000 000 Eq. prssão 005 008 007 007 006 PCG total 789 8578 8389 869 835 Eq. vlocdad 009 03 03 04 00 JCB total 363 08 0659 957 0895 Eq. saturação 68 9995 93 9998 804 GMRES total 8 875 6844 639 84436 9

4. Emplos Numércos São aprstados três mplos umércos com o objtvo d dmostrar a potcaldad a aplcabldad da formulação dsvolvda. O prmro mplo umérco é o problma clássco d cco poços, o sgudo é a smulação d um poço d ptrólo o trcro mplo umérco é o problma clássco d cco poços com mo htrogêo. Nsss mplos são jtados o rsrvatóro dfrts tpos d fludos. Em todos os mplos srá mprgada a formulação SUPGCAU h a apromação da quação da saturação, a tolrâca dos métodos tratvos é fada m 0-6, a tolrâca para tração ão-lar é fada m 0 - o úmro mámo d multcorrçõs é fado m 5. Adota-s também um úmro d 5 vtors d Krlov para o algortmo GMRES. 4.. Problma clássco d cco poços Nst mplo, assm como o mplo 4..3, rsolv-s um quarto do problma cco d poços. O fludo jtado o poço jtor (fas molhat) dsloca o fludo do rsrvatóro (fas ão-molhat) m drção ao poço produtor. As gradzas do problma são dadas m um sstma compatívl d udads. O domío do problma é um quadrado d lado utáro. Foram utlzados 800 lmtos tragulars lars para dscrtzar rgularmt o domío do problma. A malha d lmtos ftos usada st mplo é a msma utlzada o mplo 4..3 mostrada a Fgura 6. O poço jtor stua-s o vértc fror squrdo o poço produtor o vértc supror drto. Nos outros dos vértcs do quadrado prscrvm-s prssõs ulas o rstat do cotoro a codção d fluo ulo é spcfcada. Nst mplo os ftos da prssão caplar, dos trmos fot o tror do domío os ftos gravtacoas foram dscosdrados. Icalmt cosdra-s qu o rsrvatóro stá prchdo apas pla fas ão-molhat, ou sja, m t= 0 s = 0 m todo o rsrvatóro. No poço jtor fou-s s = as prmabldads rlatvas das fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por k = ( ) r s k r =. O rsrvatóro é cosdrado um s mo poroso homogêo sotrópco, assm sdo a prmabldad absoluta do msmo é dada por K=I. A porosdad do rsrvatóro é gual a 0.0 o passo d tmpo é fado 9

m t = 0.00. O fludo stt o rsrvatóro é cosdrado toao sua vscosdad é gual a 4. Os rsultados são prssos m fução do Volum Poroso Ijtado (VPI) qu é uma gradza aáloga ao tmpo admsoalzado. Srão aalsados três casos dsttos od o parâmtro d cosstêca H do modlo d l das potêcas assum dfrts valors. Em todos os casos quado s jtar um fludo toao sua vscosdad srá gual à vscosdad do fludo stt o rsrvatóro. Os parâmtros rológcos dos fludos ão-toaos jtados o rsrvatóro stão aprstados as Tablas 3 a 5. A Fgura 5 aprsta a frt d saturação o prfl d vscosdad, m t = 0.5 VPI, tomados tr o poço jtor o poço produtor, stado o poço jtor stuado o poto d coordada = 0 o poço produtor stuado o poto d coordada =.4, od rprsta a dstâca poço jtor-poço produtor. Aalsado a Fgura 5 coclu-s qu a vlocdad com qu a frt d saturação s dsloca o tror do rsrvatóro é maor o caso d fludos dlatats do qu o caso d fludos psudoplástcos. Nota-s também, o caso d fludos ãotoaos, qu quato maor o parâmtro d cosstêca H mor a vlocdad com qu a frt d saturação s dsloca. Portato quado H = 4 a maor vlocdad d dslocamto da frt d saturação é a do fludo dlatat m todos os dmas casos, H = 8 H = 6, a frt d saturação s dsloca mas rapdamt o caso d fludo toao. Na Fgura 5 obsrva-s também comportamtos opostos quato à vscosdad apart dos fludos dlatats dos fludos psudoplástcos. No caso d fludos dlatats a vscosdad apart aprsta valors lvados prómo ao poço jtor qu dmum gradatvamt quado o fludo s afasta dst poço. Por outro lado, o caso d fludos psudoplástcos a vscosdad apart aprsta valors rduzdos prómo ao poço jtor qu aumtam gradatvamt quado o fludo s afasta dst poço. Quato à vscosdad do fludo toao, logcamt, prmac costat por todo rsrvatóro. As Fguras 6 7 comparam os rsultados obtdos para jção d dfrts fludos m t = 0.50 VPI. Na Fgura 6 a frt d saturação obtda com a jção do fludo toao é comparada com o rsultado (frt d saturação) obtdo com a jção d dfrts fludos dlatats. Na Fgura 7 a frt d saturação obtda com a jção do fludo toao é comparada com o rsultado (frt d saturação) obtdo com a jção d dfrts fludos psudoplástcos. Em ambos os casos quato maor o 93

valor do parâmtro d cosstêca H dos fludos ão-toaos mor a vlocdad com qu a frt d saturação s dsloca. As Fguras 8, 9 0 aprstam a dstrbução d vscosdad apart d dfrts fludos dlatats. A aáls dssas fguras mostra qu a vscosdad apart dos fludos dlatats é lvada as promdads do poço jtor dmu gradatvamt quado o fludo s afasta dst poço. As Fguras, 3 aprstam a dstrbução d vscosdad apart d dfrts fludos psudoplástcos. A aáls dssas fguras mostra qu a vscosdad apart dos fludos psudoplástcos possu valors rduzdos as promdads do poço jtor qu aumtam gradatvamt quado o fludo s afasta dst poço. Em todos os casos aalsados a vscosdad apart dos fludos ãotoaos aumta com o aumto do parâmtro d cosstêca H. A Fgura 4 aprsta o úmro médo d multcorrçõs por passo d tmpo cutado plo algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor o úmro médo d traçõs m cada multcorrção cutado plos métodos umércos utlzados para rsolvr as quaçõs da prssão da saturação assm como os cálculos das vlocdads. A Tabla 6 aprsta o úmro total d passos d tmpo da aáls, o úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação o úmro d total d traçõs cutado plos métodos PCG, JCB GMRES. Aalsado a Fgura 4 pod-s obsrvar qu o método PCG cssta m méda d um úmro muto lvado d traçõs para atgr a covrgêca quado comparado com os dmas métodos aprstados. Na Tabla 6 obsrva-s qu o método GMRES cutou o maor úmro d traçõs. É mportat dstacar também o bao úmro d traçõs cutado plo método JCB m todos os casos mostrados. Obsrva-s também sta tabla qu o úmro d traçõs cutado plo método JCB aumta com o aumto do parâmtro d cosstêca H. Falmt coclu-s qu st mplo o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor prcsou m méda d multcorrçõs por passo d tmpo para covrgr. As quaçõs da prssão da vlocdad foram solucoadas m méda uma úca vz a cada passo d tmpo quato qu a quação da saturação prcsou sr solucoada durat todas as multcorrçõs do algortmo. 94

Tabla 3 Parâmtros rológcos dos fludos ão-toaos - Caso. Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H=4 Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H=4 Ídc d comportamto do scoamto =0.7 Tabla 4 Parâmtros rológcos dos fludos ão-toaos - Caso. Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H=8 Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H=8 Ídc d comportamto do scoamto =0.7 Tabla 5 Parâmtros rológcos dos fludos ão-toaos - Caso 3. Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H=6 Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H=6 Ídc d comportamto do scoamto =0.7 95

Saturação - S 0,8 0,6 0,4 0, 0 Ntoao Dlatat H=4 =.3 Psud H=4 =0.7 Vscosdad 8 7 6 5 4 3 Ntoao Dlatat H=4 =.3 Psud H=4 =0.7-0, 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 Dstâca tr o poço jtor o poço produtor 0 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 Dstâca tr o poço jtor o poço produtor (a) (b) 6 Saturação - S 0,8 0,6 0,4 0, 0 Ntoao Dlatat H=8 =.3 Psud H=8 =0.7 Vscosdad 4 0 8 6 4 Ntoao Dlatat H=8 =.3 Psud H=8 =0.7-0, 0 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 Dstâca tr o poço jtor o poço produtor Dstâca tr o poço jtor o poço produtor (c) (d) 30 Ntoao 0,8 5 Dlatat H=6 =.3 Saturação - S 0,6 0,4 0, Vscosdad 0 5 0 Psud H=6 =0.7 Ntoao 0-0, Dlat H=6 =.3 Psud H=6 =0.7 5 0 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 Dstâca tr o poço jtor o poço produtor Dstâca tr o poço jtor o poço produtor () (f) Fgura 5 Frt d saturação prfl d vscosdad, ambos tomados m t=0.50 VPI, para dfrts valors do parâmtro d cosstêca: (a) frt d saturação, H=4; (b) prfl d vscosdad, H=4; (c) frt d saturação, H=8; (d) prfl d vscosdad, H=8; () frt d saturação, H=6; (f) prfl d vscosdad, H=6. 96

(a) (b) (c) (d) Fgura 6 Frt d saturação tomada m t =0.5 VPI: (a) jção d fludo toao com vscosdad µ =4, (b) jção d fludo dlatat Caso, (c) jção d fludo dlatat Caso (d) jção d fludo dlatat Caso 3. 97

(a) (b) (c) (d) Fgura 7 Frt d saturação tomada m t =0.5 VPI: (a) jção d fludo toao com vscosdad µ =4, (b) jção d fludo psudoplástco Caso, (c) jção d fludo psudoplástco Caso (d) jção d fludo psudoplástco Caso 3. 98

(a) (b) (c) (d) Fgura 8 Dstrbução d vscosdad para jção d fludo dlatat Caso : (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 99

(a) (b) (c) (d) Fgura 9 Dstrbução d vscosdad para jção d fludo dlatat Caso : (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 00

(a) (b) (c) (d) Fgura 0 Dstrbução d vscosdad para jção d fludo dlatat Caso 3: (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 0

(a) (b) (c) (d) Fgura Dstrbução d vscosdad para jção d fludo psudoplástco Caso : (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 0

(a) (b) (c) (d) Fgura Dstrbução d vscosdad para jção d fludo psudoplástco Caso : (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 03

(a) (b) (c) (d) Fgura 3 Dstrbução d vscosdad para jção d fludo psudoplástco Caso 3: (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 04

Multcorrcao PCG GMRES JCB 35 30 Númro médo d traçõs 5 0 5 0 5 0 Nt Dlat H=4 Psud H=4 Dlat H=8 Psud H=8 Dlat H=6 Psud H=6 Fgura 4 - Númro médo d traçõs para o problma d cco poços cosdrado jção d dfrts tpos d fludos. Tabla 6 Númro total d passos d tmpo, úmro total d soluçõs das quaçõs da prssão, vlocdad saturação, úmro total d traçõs dos métodos PCG, JCB GMRES para o problma d cco poços cosdrado jção d dfrts tpos d fludos. Nt Dlat H4 Psud H4 Dlat H8 Psud H8 Dlat H6 Psud H6 Passos d tmpo 500 500 500 500 500 500 500 Eq. prssão 508 58 505 59 50 55 543 PCG total 5794 5455 607 543 646 5987 675 Eq. vlocdad 50 503 504 505 503 506 505 JCB total 5697 5567 604 5868 6364 636 6938 Eq. saturação 556 554 554 5530 553 5543 5555 GMRES total 65064 66404 64335 634 67 59009 57780 05

4.. Smulação d um poço d ptrólo Nst mplo aalsa-s o scoamto dos fludos as promdads d um poço d ptrólo. Dsta forma o fludo qu vad o rsrvatóro (fas molhat), provt do poço, dsloca o fludo rsdt (fas ão-molhat). Est mplo forc subsídos às opraçõs d prfuraçõs d poços d ptrólo od o fludo d prfuração, qu é um fludo ão-toao, sob dtrmadas codçõs d opração vad o rsrvatóro dslocado o fludo rsdt. Nas opraçõs d prfuraçõs d poços d ptrólo é mportat vtar a prda do fludo d prfuração, ou sja, é mportat mmzar a vasão do fludo d prfuração o rsrvatóro. As gradzas do problma são dadas m um sstma compatívl d udads. Utlza-s um quarto do domío do problma, ou sja, o domío computacoal é um quarto d uma coroa crcular d rao mor gual a 0.0 rao maor gual a 0, od o rao mor é o rao do poço. A malha d lmtos ftos utlzada possu 600 lmtos tragulars lars stá mostrada a Fgura 5. Esta malha caractrza-s por sr uma malha com um grad rfamto a rgão próma ao poço. Nst mplo os ftos da prssão caplar, dos trmos fot o tror do domío os ftos gravtacoas foram dscosdrados. Icalmt cosdra-s qu o rsrvatóro stá prchdo apas pla fas ão-molhat, ou sja, m t = 0 s = 0 m todo o rsrvatóro. No poço fou-s s = as prmabldads rlatvas das fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por k r ( s ) k r = s =. O rsrvatóro é cosdrado um mo poroso homogêo sotrópco, assm sdo sua prmabldad absoluta é dada por K=I. A porosdad do rsrvatóro é gual a 0.0 o passo d tmpo é fado m t = 5 0-4. O fludo stt o rsrvatóro é cosdrado toao sua vscosdad é gual a 5. O scoamto dos fludos ss mplo é govrado pla prscrção d um dfrcal d prssão tr o poço o rsrvatóro. Dos casos são aalsados, o prmro a dfrça d prssão tr o poço o rsrvatóro é P = 40 quato o sgudo sta dfrça é P = 0. Como ss mplo cosst m scoamto d fludos comprssívs apas a dfrça d prssão, ão o valor absoluto dsta gradza, é fscamt rlvat []. 06

A Fgura 6 mostra a frt d saturação m t = 000 passos d tmpos cosdrado a jção d dfrts fludos para P = 40. Aalsado sta fgura vrfca-s qu os fludos toaos a vlocdad com qu a frt d saturação s dsloca é maor do qu o caso d fludos ão-toaos. É fácl costatar qu o fludo toao com vscosdad µ = é o caso od a frt d saturação s movmta mas rapdamt. Através da Fgura 6 também é possívl vrfcar qu o caso d fludos psudoplástcos a frt d saturação s movmta mas rapdamt do qu o caso d fludos dlatats. Fgura 5 Malha d lmtos ftos com 600 lmtos tragulars lars. A Fgura 3 mostra a frt d saturação m t = 4000 passos d tmpos cosdrado a jção d dfrts fludos para P = 0. A trprtação dsta fgura forc rsultados aálogos aos obtdos com a aáls da Fgura 6, cto plo fato d qu st caso a frt d saturação s movmta mas rapdamt os fludos dlatats do qu os fludos psudoplástcos. 07

As Fguras 7, 8, 3 33 aprstam a dstrbução d vscosdad apart d dfrts fludos dlatats. A aáls dssas fguras mostra qu a vscosdad apart dos fludos dlatats é lvada as promdads do poço dmu gradatvamt quado o fludo s afasta do poço. Fazdo comparaçõs tr as Fguras 7 3 tr as Fguras 8 33 coclu-s qu quado P = 40 a vscosdad apart dos fludos dlatats é maor do qu quado P = 0. Tabla 7 Parâmtros rológcos dos fludos jtados o rsrvatóro. Fludo Ntoao Vscosdad µ = Fludo Ntoao Vscosdad µ = 5 Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H=8 Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H= Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H=8 Ídc d comportamto do scoamto =0.7 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H= Ídc d comportamto do scoamto =0.7 As Fguras 9, 30, 34 35 aprstam a dstrbução d vscosdad apart d dfrts fludos psudoplástcos. A aáls dssas fguras mostra qu a vscosdad 08

apart dos fludos psudoplástcos possu valors rduzdos as promdads do poço qu aumtam gradatvamt quado o fludo s afasta do poço. Fazdo comparaçõs tr as Fguras 9 34 tr as Fguras 30 35 coclu-s qu quado P = 40 a vscosdad apart dos fludos psudoplástcos é mor do qu quado P = 0. Em s tratado d fludos ão-toaos fca vdt qu tato a vlocdad d dslocamto da frt d saturação quato o comportamto da vscosdad apart dpdm do dfrcal d prssão aplcado. Como os mplos aalsados são govrados pla l d Darc, od a vlocdad d scoamto do fludo é drtamt proporcoal ao gradt d prssão, as trprtaçõs acma prmtm coclur qu para P = 40 o scoamto cotra-s m uma rgão d lvada taa d dformação quato qu para P = 0 o scoamto cotra-s m uma rgão d baa taa d dformação. Em todos os casos aalsados a vscosdad apart dos fludos ãotoaos aumta com o aumto do parâmtro d cosstêca H. As Fguras 36 37 aprstam o úmro médo d multcorrçõs por passo d tmpo cutado plo algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor o úmro médo d traçõs m cada multcorrção cutado plos métodos umércos utlzados para rsolvr as quaçõs da prssão da saturação assm como os cálculos das vlocdads. As Tablas 8 9 aprstam o úmro total d passos d tmpo da aáls, o úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação o úmro d total d traçõs cutado plos métodos PCG, JCB GMRES. Aalsado as Fguras 36 37 pod-s obsrvar qu o método PCG cssta m méda d um úmro muto lvado d traçõs para atgr a covrgêca quado comparado com os dmas métodos aprstados. Nas Tablas 8 9 obsrva-s qu o método GMRES cutou o maor úmro d traçõs. É mportat dstacar também o bao úmro d traçõs cutado plo método JCB m todos os casos mostrados. Obsrva-s também stas tablas qu o úmro d traçõs cutado plo método JCB aumta com o aumto do parâmtro d cosstêca H. Falmt coclu-s qu st mplo o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor prcsou m méda d multcorrçõs por passo d tmpo para covrgr. As quaçõs da prssão da vlocdad foram solucoadas m méda uma úca vz a cada passo d tmpo quato qu a quação da saturação prcsou sr solucoada durat todas as multcorrçõs do algortmo. 09

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 6 Frt d saturação m t = 000 passos d tmpos ( P = 40): (a) jção d fludo toao com µ =, (b) jção d fludo toao com µ = 5, (c) jção d fludo dlatat com H = 8, (d) jção d fludo dlatat com H =, () jção d fludo psudoplástco com H = 8 (f) jção d fludo psudoplástco com H =. 0

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 7 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo dlatat com H = 8 ( P = 40): (a) t = 00 passos d tmpos, (b) t = 300 passos d tmpos, (c) t = 500 passos d tmpos, (d) t = 700 passos d tmpos, () t = 900 passos d tmpos (f) t = 000 passos d tmpos.

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 8 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo dlatat com H = ( P = 40): (a) t = 00 passos d tmpos, (b) t = 300 passos d tmpos, (c) t = 500 passos d tmpos, (d) t = 700 passos d tmpos, () t = 900 passos d tmpos (f) t = 000 passos d tmpos.

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 9 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 8 ( P = 40): (a) t = 00 passos d tmpos, (b) t = 300 passos d tmpos, (c) t = 500 passos d tmpos, (d) t = 700 passos d tmpos, () t = 900 passos d tmpos (f) t = 000 passos d tmpos. 3

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 30 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo psudoplástco com H = ( P = 40): (a) t = 00 passos d tmpos, (b) t = 300 passos d tmpos, (c) t = 500 passos d tmpos, (d) t = 700 passos d tmpos, () t = 900 passos d tmpos (f) t = 000 passos d tmpos. 4

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 3 Frt d saturação m t = 4000 passos d tmpos ( P = 0): (a) jção d fludo toao com µ =, (b) jção d fludo toao com µ = 5, (c) jção d fludo dlatat com H = 8, (d) jção d fludo dlatat com H =, () jção d fludo psudoplástco com H = 8 (f) jção d fludo psudoplástco com H =. 5

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 3 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo dlatat com H = 8 ( P = 0): (a) t = 400 passos d tmpos, (b) t = 00 passos d tmpos, (c) t = 000 passos d tmpos, (d) t = 800 passos d tmpos, () t = 3600 passos d tmpos (f) t = 4000 passos d tmpos. 6

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 33 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo dlatat com H = ( P = 0): (a) t = 400 passos d tmpos, (b) t = 00 passos d tmpos, (c) t = 000 passos d tmpos, (d) t = 800 passos d tmpos, () t = 3600 passos d tmpos (f) t = 4000 passos d tmpos. 7

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 34 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 8 ( P = 0): (a) t = 400 passos d tmpos, (b) t = 00 passos d tmpos, (c) t = 000 passos d tmpos, (d) t = 800 passos d tmpos, () t = 3600 passos d tmpos (f) t = 4000 passos d tmpos. 8

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 35 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo psudoplástco com H = ( P = 0): (a) t = 400 passos d tmpos, (b) t = 00 passos d tmpos, (c) t = 000 passos d tmpos, (d) t = 800 passos d tmpos, () t = 3600 passos d tmpos (f) t = 4000 passos d tmpos. 9

Multcorrcao PCG GMRES JCB 30 5 Númro médo d traçõs 0 5 0 5 0 Nt vsc= Nt vsc=5 Dlat H=8 Psud H=8 Dlat H= Psud H= Fgura 36 - Númro médo d traçõs para a smulação d um poço d ptrólo cosdrado jção d dfrts tpos d fludos ( P = 40). 5 Multcorrcao PCG GMRES JCB Númro médo d traçõs 0 5 0 5 0 Nt vsc= Nt vsc=5 Dlat H=8 Psud H=8 Dlat H= Psud H= Fgura 37 - Númro médo d traçõs para a smulação d um poço d ptrólo cosdrado jção d dfrts tpos d fludos ( P = 0). 0

Tabla 8 Númro total d passos d tmpo, úmro total d soluçõs das quaçõs da prssão, vlocdad saturação, úmro total d traçõs dos métodos PCG, JCB GMRES para a smulação d um poço d ptrólo cosdrado jção d dfrts tpos d fludos ( P = 40). Nt Nt 5 Dlat H8 Psud H8 Dlat H Psud H Passos d tmpo 000 000 000 000 000 000 Eq. prssão 008 004 07 006 07 007 PCG total 884 696 7547 7593 4989 3896 Eq. vlocdad 07 048 03 05 050 054 JCB total 7336 9846 0 0739 054 405 Eq. saturação 335 56 90 93 75 98 GMRES total 9 03964 98593 00963 9487 97956 Tabla 9 Númro total d passos d tmpo, úmro total d soluçõs das quaçõs da prssão, vlocdad saturação, úmro total d traçõs dos métodos PCG, JCB GMRES para a smulação d um poço d ptrólo cosdrado jção d dfrts tpos d fludos ( P = 0). Nt Nt 5 Dlat H8 Psud H8 Dlat H0 Psud H0 Passos d tmpo 4000 4000 4000 4000 4000 4000 Eq. prssão 4003 4004 4009 4006 408 4006 PCG total 87866 7477 66947 784 67470 74609 Eq. vlocdad 4040 4036 4045 4056 4038 4048 JCB total 935 460 559 30058 7086 3787 Eq. saturação 4483 44764 44844 4460 44908 44538 GMRES total 494058 47385 4576 4067 40449 387057

4..3 Problma clássco d cco poços com mo htrogêo Nst mplo rsolv-s um quarto do problma cco d poços. O fludo jtado o poço jtor (fas molhat) dsloca o fludo do rsrvatóro (fas ão-molhat) m drção ao poço produtor. As gradzas do problma são dadas m um sstma compatívl d udads. O domío do problma é um quadrado d lado utáro. Foram utlzados 300 lmtos tragulars lars para dscrtzar rgularmt o domío do problma. A malha d lmtos ftos usada st mplo cotra-s a Fgura 38. O poço jtor stá stuado o vértc fror drto o poço produtor o vértc supror squrdo. Nos outros dos vértcs do quadrado prscrvm-s prssõs ulas o rstat do cotoro a codção d fluo ulo é spcfcada. Nst mplo os ftos da prssão caplar, dos trmos fot o domío os ftos gravtacoas foram dscosdrados. Icalmt cosdra-s qu o rsrvatóro stá prchdo apas pla fas ão-molhat, ou sja, m t= 0 s = 0 m todo o rsrvatóro. No poço jtor fou-s s = as prmabldads rlatvas das fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por k = ( ) r s k r =. A porosdad m todo s rsrvatóro é gual a 0.0 o passo d tmpo é fado m t = 0.00. O fludo stt o rsrvatóro é cosdrado toao sua vscosdad é gual a 5. Os parâmtros rológcos dos fludos jtados o rsrvatóro cotram-s a Tabla 0. Os rsultados são prssos m fução do Volum Poroso Ijtado (VPI) qu é uma gradza aáloga ao tmpo admsoalzado. O rsrvatóro é cosdrado um mo poroso htrogêo composto por três matras dfrts stado sua cofguração dada a Fgura 39. O tror do rsrvatóro aprsta uma rgão d alta uma rgão d baa prmabldad. São aalsados dos casos dsttos od a localzação dssas rgõs são altradas. Os valors das prmabldads absolutas dos matras qu compõm o rsrvatóro, para cada caso aalsado, cotram-s as Tablas. As Fguras 40, 4, 4, 45, 46 47 mostram o dslocamto da frt d saturação o tror do rsrvatóro para jção d dfrts fludos. Todos os rsultados obtdos rprstaram bm a htrogdad do mo. Em todos os casos ota-s a formação d zoas prfrcas d scoamto dos fludos cocddo com as rgõs d alta prmabldad stts o rsrvatóro. Por outro lado, as rgõs d baa prmabldad do rsrvatóro agm como uma barrra. A frt d saturação

s movmta mas rapdamt o caso do fludo toao do qu o caso dos fludos ão-toaos. Os rsultados mostram qu a vlocdad d dslocamto da frt d saturação é maor quado s jta um fludo dlatat m comparação com a jção d um fludo psudoplástco. Fgura 38 Malha d lmtos ftos com 300 lmtos tragulars lars. As Fguras 43, 44, 48 49 mostram a dstrbução d vscosdad o tror do rsrvatóro para a jção d dfrts fludos ão-toaos. No caso d jção d fludo dlatat vrfcou-s a formação d zoas d baas vscosdads o tror do rsrvatóro. Já o caso d jção d fludo psudoplástco vrfcou-s a formação d zoas d altas vscosdads o tror do rsrvatóro. Tato as zoas d altas vscosdads quato as zoas d baas vscosdads cotram-s prómas as rgõs d alta d baa prmabldad do rsrvatóro dmostrado como a htrogdad do mo stá flucado a vscosdad apart dos fludos ãotoaos. O fato do problma d scoamto d fludos psudoplástcos aprstar zoas d altas vscosdads o tror do rsrvatóro plca porqu para sss fludos a vlocdad com qu a frt d saturação s movmta é mor do qu o caso d 3

scoamto d fludos dlatats qu aprstam zoas d baas vscosdads o tror do rsrvatóro. Tabla 0 Parâmtros rológcos dos fludos jtados o rsrvatóro. Fludo Ntoao Vscosdad µ = Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H=5 Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H=5 Ídc d comportamto do scoamto =0.7 Poço produtor Mat Mat Mat 3 Poço jtor Fgura 39 Cofguração do rsrvatóro para o problma d cco poços com mo htrogêo. 4

Tabla Prmabldad absoluta dos matras qu compõ o rsrvatóro Caso. Matral Prmabldad absoluta k = k = k = 0 Matral Prmabldad absoluta k = k = 0.0 k = 0 Matral 3 Prmabldad absoluta k = k = 0 k = 0 Tabla Prmabldad absoluta dos matras qu compõ o rsrvatóro Caso. Matral Prmabldad absoluta k = k = k = 0 Matral Prmabldad absoluta k = k = 0 k = 0 Matral 3 Prmabldad absoluta k = k = 0.0 k = 0 Nota-s também qu a vlocdad com qu a frt d saturação s dsloca o tror do rsrvatóro é mor quado o rsrvatóro possu as prmabldads absolutas aprstadas a Tabla - Caso. Nst caso, por mplo, a frt d saturação do fludo psudoplástco ão cosgu alcaçar o poço produtor como pod sr obsrvado a Fgura 47. As Fguras 50 5 aprstam o úmro médo d multcorrçõs por passo d tmpo cutado plo algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor o úmro médo d traçõs m cada multcorrção cutado plos métodos umércos utlzados para rsolvr as quaçõs da prssão da saturação assm como os cálculos das vlocdads. As Tablas 3 4 aprstam o úmro total d passos d tmpo da 5

aáls, o úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação o úmro d total d traçõs cutado plos métodos PCG, JCB GMRES. Aalsado as Fguras 50 5 pod-s obsrvar qu o método PCG cssta m méda d um úmro muto lvado d traçõs para atgr a covrgêca quado comparado com os dmas métodos aprstados. Nas Tablas 3 4 obsrva-s qu o método GMRES cutou o maor úmro d traçõs. É mportat dstacar também o bao úmro d traçõs cutado plo método JCB m todos os casos mostrados. Obsrva-s também stas tablas qu o úmro d traçõs cutado plo método JCB aumta com o aumto do parâmtro d cosstêca H. Falmt coclu-s qu st mplo o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor prcsou m méda d multcorrçõs por passo d tmpo para covrgr. As quaçõs da prssão da vlocdad foram solucoadas m méda uma úca vz a cada passo d tmpo quato qu a quação da saturação prcsou sr solucoada durat todas as multcorrçõs do algortmo. 6

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 40 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo toao com µ = Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 7

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 4 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo dlatat com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 8

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 4 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 9

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 43 Dstrbução d vscosdad o tror do rsrvatóro o caso d jção d fludo dlatat com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 30

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 44 Dstrbução d vscosdad o tror do rsrvatóro o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 3

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 45 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo toao com µ = Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 3

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 46 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo dlatat com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 33

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 47 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 34

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 48 Dstrbução d vscosdad o tror do rsrvatóro o caso d jção d fludo dlatat com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 35

(a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 49 Dstrbução d vscosdad o tror do rsrvatóro o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 36