Poliedro de Escher (dodecaedro rômbico estrelado) (Jogos de Engenho S1 Laboratório de Educação Matemática) Parte 1: Observando a natureza A primeira descrição formal do dodecaedro rômbico deve-se a Kepler, que o descobriu a partir da observação das colmeias de favos de mel que as abelhas constroem. As colmeias das abelhas têm a forma de um prisma hexagonal acabado em três rombos. Fig. 1 Forma do favo construído pelas abelhas. Qual a razão da escolha deste desenho pelas abelhas para os seus favos de mel? Durante o século XVIII muitos investigadores procuraram responder a esta questão. Uma das explicações melhor aceite naquela altura tinha o seu fundamento na relação entre superfície e volume. De todas as figuras que preenchem completamente o espaço, sem deixar buracos, o dodecaedro rômbico era a que menos superfície tinha para igual volume. Chegava-se assim à conclusão de que as abelhas otimizavam a cera de que precisavam para construir os favos. Descobriu-se, mais tarde, que este pressuposto estava errado. Existem outras formas de rematar o prisma hexagonal que economizam ainda mais cera. O octaedro truncado também enche o espaço por completo, sem deixar espaços vazios. Se o fundo da colmeia fosse baseado nestas formas, as abelhas poupavam ainda um pouco mais de cera por unidade de volume. Esta descoberta foi, na altura, tão inesperada como surpreendente. Desde então um grande número de matemáticos esforça-se por encontrar a melhor solução. No entanto a forma mais económica de construir uma colmeia de favo de mel continua a ser um mistério por resolver. 1. Do dodecaedro rômbico ao poliedro de Escher (dodecaedro rômbico estrelado) Que tipo de poliedro é o dodecaedro rômbico estrelado? Para o perceber importa rever alguns conceitos relacionados com este tema.
1.1. O que é um poliedro? A definição clássica diz que um poliedro resulta da união de polígonos planos, como quadrados, triângulos, etc., as faces do poliedro (fig. 2 e 3). Os lados dos polígonos, convenientemente unidos, constituem as arestas do poliedro. Assim, um poliedro é uma superfície fechada, que divide o espaço em duas partes, uma infinita, fora dele, e outra finita no seu interior. = Fig. 2 O tetraedro resulta da junção adequada de quatro triângulos equiláteros Fig. 3 O cubo resulta da junção adequada de seis quadrados 1.2. Relação de Euler Desenvolvida por Leonhard Euler, matemático Suíço, relaciona o número de faces, vértices e arestas de um poliedro: V+F=A+2 onde V se refere ao número de vértices, A ao número de arestas e F ao número de faces do poliedro. 1.3. Poliedros convexos São os poliedros mais conhecidos. São poliedros nos quais o plano que contém uma face não entra no poliedro ou, dito de outra forma, se temos um destes sólidos em cima da mesa podemos apoiar uma folha em qualquer das suas faces sem que toque nas outras (fig. 4). O mesmo não pode ser realizado num poliedro côncavo (fig. 5). Fig. 4 Poliedro convexo Fig. 5 Poliedro côncavo (não-convexo)
1.4. Poliedros regulares Diz-se que o poliedro é regular se todas as faces são polígonos regulares iguais e se em cada vértice concorre o mesmo número de faces ou arestas. 1.5. Sólidos platónicos São cinco os poliedros convexos regulares assim chamados (fig. 6): Fig. 6 Sólidos Platónicos Tetraedro - tem 4 faces em forma de triângulo equilátero, 4 vértices e 6 arestas; Cubo - tem 6 faces em forma de quadrado, 8 vértices e 12 arestas; Octaedro - tem 8 faces em forma de triângulo equilátero, 6 vértices e 12 arestas; Dodecaedro - tem 12 faces em forma de pentágono regular, 20 vértices e 30 arestas; Icosaedro - tem 20 faces em forma de triângulo equilátero, 12 vértices e 30 arestas. 1.6. Polígonos estrelados Do prolongamento dos lados de um triângulo (fig. 9) ou de um quadrado nada resulta. Porém, prolongando os lados de um pentágono (fig. 10) obtemos um novo polígono. Fig. 9 Prolongamento dos lados de um triângulo Fig. 10 Prolongamento dos lados de um pentágono
Se o pentágono é regular obtemos uma figura com cinco vértices (fig. 11) conhecida por pentagrama: Fig. 11 Pentagrama Este processo de obter o pentagrama chama-se estrelação, visto que do prolongamento dos lados do polígono resulta uma estrela. Alguns polígonos, como é o caso do heptágono (fig. 12), podem admitir mais do que uma estrelação. Fig. 12 duas possibilidades de estrelação do heptágono 1.7. Dodecaedro rômbico O dodecaedro rômbico é um poliedro convexo com 12 faces congruentes (fig. 7). Tem 24 arestas e 14 vértices de dois tipos (motivo pelo qual não é regular): i. 6 vértices onde convergem 3 ângulos obtusos; ii. 8 vértices onde convergem 4 ângulos agudos (pontos vermelhos). Fig. 7 dodecaedro rômbico
O dodecaedro rômbico pode ser construído com 4 conjuntos de 6 arestas paralelas (fig. 8). Fig. 8 arestas do dodecaedro rômbico Poliedro de Escher (dodecaedro rômbico estrelado) Parte 2 (em breve)