FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 6 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 7 SINAL DE UMA FUNÇÃO... 9 SINAL DA FUNÇÃO AFIM... INEQUAÇÕES... SISTEMA DE INEQUAÇÕES... INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS... INEQUAÇÕES-PRODUTO... INEQUAÇÃO-QUOCIENTE... 7 RESPOSTAS... 9 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... No final das séries de eercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a eercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio -7. Todos os eercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume. MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE Uma função f de R em R recebe o nome de FUNÇÃO IDENTIDADE quando associa a cada elemento R o próprio, isto é: f: R R f() = Desta forma, todos os pares ordenados que pertencem à função identidade são do tipo (a; a) e o gráfico que a representa contém as bissetrizes do º e º quadrantes. A imagem da função identidade é Im = R e isto pode ser percebido facilmente, veja: f() = a = a = a = a assim, = R, a, tal que: a f() a f() a a f() E.: Vamos construir o gráfico da função =. A imagem da função identidade é Im = R. FUNÇÃO LINEAR Uma função f de R em R recebe o nome de FUNÇÃO LINEAR quando associa a cada elemento R o elemento a R onde a é o número real dado, isto é: f: R R f() = a com a É possível demonstrar que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem, mas veremos esta demonstração mais a frente, num caso mais geral. Resolução: como já sabemos que o gráfico da função linear é uma reta e que dois pontos distintos determinam uma reta, basta que encontremos dois pontos para construir o gráfico. Além disso, o gráfico da função linear passa sempre pela origem assim, já temos o ponto (; ) bastando encontrar apenas mais um ponto. Vamos, então, atribuir um valor não nulo a e calcular o correspondente =. Agora devemos localizar, num sistema cartesiano, os pontos P(; ) e Q(; ) e traçar a reta PQ que será o gráfico procurado. Note que Im(f) = R. Veja o gráfico na coluna a seguir. E.: Construir o gráfico da função =. CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
Resolução: Analogamente, temos: Agora, P(; ) e Q(; -). ) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f: R R a seguir. a) = b) = c) = d) ) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f: R R a seguir. a) = - b) = - c) = - d) FUNÇÃO AFIM Mais a frente, vamos tratar de um assunto que já pode ser observado nestes dois gráficos. Vamos, então, de forma incipiente, aproveitar a oportunidade. No E., o termo que multiplica o é. Este fator é chamado de taa de variação. Isto significa que para cada uma unidade que o varia, há uma variação de unidades em. No E., essa taa de variação é -, ou seja, cada unidade em faz o variar em unidades. Agora vamos construir alguns gráficos. ) Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gráfico de funções constantes a seguir. a) = b) = c) = - d) = Uma função f: R R recebe o nome de FUNÇÃO AFIM quando associa a cada elemento R o elemento a + b R onde a, isto é: f: R R f() = a + b com a.: = + onde a = e b =.: = - + onde a = - e b =.: = onde a = e b = -.: = onde a = e b = Observe este último eemplo. Note que, quando b =, a função = a + b assume a forma da função linear e, assim, podemos dizer que a função linear é um caso particular de uma função afim. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU O gráfico da função do primeiro grau é uma reta e isto pode ser facilmente MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
demonstrado. A demonstração não faz parte da ementa deste curso. Caso tenha interesse ou curiosidade, ela foi acrescentada no final desta apostila. E.: Construir o gráfico da função = +. Resolução; Sabendo que este gráfico é uma reta, vamos encontrar dois de seus pontos, localiza-los no plano cartesiano e, em seguida traçar a reta. + + + O gráfico da função, então, é uma reta que passa pelos pontos (; ) e (; ). É facilmente perceptível, pelo gráfico, que tanto o domínio quanto a imagem desta função são formados por todos os números reais, assim: D(f) = R eim(f) = R E.: Construir o gráfico da função = - + Resolução: De modo análogo, temos: - + - + - + Assim, o gráfico da função, então, é a reta que passa pelos pontos (; ) e (; ). D(f) = R e Im(f) = R ) Construa o gráfico da cada uma das 8 funções apresentadas. (Dica: em cada situação siga os eemplos fazendo, inclusive, a tabela afim de que a construção fique organizada) a) = b) = + c) = + d) e) = f) = g) = + h) ) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações do º grau: 6) Resolva analiticamente e graficamente os sistemas de equações do º grau: a) CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
b) 8 c) angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente b da função = a + b é denominado coeficiente linear. 7) Resolva os sistemas: a) Sugestão: faça a b) e b Os coeficientes a e b tem influência sensível no gráfico da função afim. Veja os eemplos a seguir onde são mostradas variações independentes em cada coeficiente. E.: Veja a construção, num mesmo plano cartesiano, de gráficos de 6 funções. Note que em todos os casos, o coeficiente b não muda. A única variação é no coeficiente a. 8) Obter a equação da reta que passa pelos pontos: a) (; ) e (; -). b) (; ) e (; ) c) (; -) e (; -) d) (; -) e (-; ) ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. e Eercícios a IMAGEM O conjunto imagem de uma função afim f: R R definida por f() = a + b com a é R. De fato, qualquer que seja R, eiste = b a a b + b =. a R tal que f() = f ( b a ) = Observe que a variação do coeficiente a faz variar a declividade da reta que representa o gráfico da função. E.: Agora você pode observar construções de funções que possuem o mesmo coeficiente angular variando, apenas, o coeficiente linear. COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM O coeficiente a da função f() = a + b é denominado coeficiente MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
Veja neste caso, que a variação do coeficiente b faz variar o ponto em que a reta do gráfico da função toca o eio OY. c) 9) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (; ) e tem coeficiente angular igual a. ) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-; ) e tem coeficiente angular igual a -. ) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-; ) e tem coeficiente angular igual a. ) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-; ) e tem coeficiente angular igual a. ) Obter a equação da reta que tem coeficiente angular igual a - e passa pelo ponto (-; -) ) Dados os gráficos das funções de R em R, obter a lei de correspondência dessas funções. Para tal considere cada quadradinho como referência de uma unidade. a) d) ZERO DA FUNÇÃO AFIM Zero ou raiz de uma função é todo número cuja imagem é nula, isto é, f() =. é zero de = f() f() = Assim, para determinar o zero de uma função afim, basta resolver a equação do º grau a + b = que apresenta uma única solução = b a. E.: Qual o zero da função f() =? b) = = = Logo, a raiz da função é. E. : Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eio OX. CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
Note o gráfico da função f() =, intercepta o eio das abscissas em, isto é, no ponto ;. Uma função f: A B definida por = f() é DECRESCENTE no conjunto A A se, para dois valores quaisquer e pertencentes a A, com <, tivermos f( ) > f( ). FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES Uma função f: A B definida por = f() é CRESCENTE no conjunto A A se, para dois valores quaisquer e pertencentes a A, com <, temos f( ) < f( ) Em termos técnicos, f é crescente quando: (, ) ( < f( ) < f( )) Esta epressão acima também pode ser escrita desta forma: Em termos técnicos, f é crescente quando: (, ) ( < f( ) > f( )) Esta epressão acima também pode ser escrita desta forma: (, ) ( f( ) f( ) < ) Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é decrescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o, o valor de diminui. Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função decrescente. (, ) ( f( ) f( ) > ) Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é crescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o, o valor de também aumenta. Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função crescente. E.: A função f() = é crescente pois tomados dois valores de distintos e com <, temos: MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU
E.: A função f() = - + é decrescente pois tomados dois valores de distintos e com <, temos: Notemos que uma função = f() pode assumir comportamentos variados (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio. É bastante comum que, inclusive, que a função seja crescente em alguns intervalos e decrescentes em outros. Veja o eemplo abaio. A função é decrescente em R e crescente em R + ) Com base nos gráficos a seguir, de funções de domínio e contradomínio reais, especificar onde a função é crescente e onde a função é decrescente. a) O estudo do comportamento quanto a crescimento ou decrescimento de uma função afim é feito em relação ao coeficiente angular. A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo. Dada a função f() = a + b, Se a > então f é crescente. DEMONSTRAÇÃO f f a b é crescente f ( a a b b a b a a b a ) b) Assim, podemos observar que f() = a + b é crescente a > 6) Demonstre que f() = a + b se, e somente se, a <. c) 7) Especificar se cada uma das funções abaio é crescente ou decrescente. a) = + 8 b) = 9 c) = - + 6 d) = - 6 CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO
e) f) g) h) Como foi dito, não importa a posição do eio das ordenadas, então vamos retiralo e preparar um aspecto prático. 8) Para quais valores de k a função f() = (k + ) 7 é crescente? 9) Estudar, segundo os valores do parâmetro k, a variação (crescente, decrescente ou constante) das funções abaio. a) = (k ) + b) = (k + ) 7 c) = ( k) + d) = k( + ) Conclusão: f() = para = ou = ou = ou = 8 f() > para < < ou < < ou > 8 f() < para < ou < < 8 SINAL DE UMA FUNÇÃO Seja a função f: A B definida por = f(). Estudar o sinal da função é determinar para que valores de temos maior, menor ou igual a zero. Graficamente, isto pode ser feito observando os intervalos em que o gráfico está acima ou abaio do eio. Note que o que realmente interessa é o comportamento do gráfico em relação ao eio OX não importando a posição do eio OY. ) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados a seguir. a) b) Estudar o sinal da função = f() cujo gráfico está representado na figura a seguir. c) MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU
SINAL DA FUNÇÃO AFIM Como vimos, estudar o sinal de uma função = f() significa estabelecer, para cada valor de D(f), qual das sentenças é verdadeira: > = < Para a função afim = a + b, temos com dois casos a considerar: º caso: a > Neste caso a função é crescente. Como para = b temos = f ( b )=, vem: a a < b a f() < f ( b a ) f() < º caso: a < Neste caso a função é decrescente. Também para = b temos = f ( b )=, vem: a a < b a f() > f ( b a ) f() > > b a f() < f ( b a ) f() < Considerando os valores de sobre um eio, o sinal da função da função = a + b com a <, é: > b a f() > f ( b a ) f() > Considerando os valores de sobre um eio, o sinal da função da função = a + b com a >, é: Entende-se, com esta notação, que para valores de à direita de b, a função a retorna um valor positivo ( + ) e para valores à esquerda de b, a função retorna valores a negativos ( - ). Um outro processo de analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano. Já vimos que o gráfico cartesiano da função f() = a + b é uma reta e se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente. Construindo o gráfico de f() = a + b com a > e lembrando o que está sendo dito na página, que a posição do eio não importa, temos: Entende-se, com esta notação, que para valores de à direita de b a função a retorna um valor negativo ( - ) e para valores à esquerda de b, a função retorna valores a positivo ( + ). Também podemos analisar com a construção do gráfico lembrando que para a >, a função é decrescente. Podemos fazer um resumo do estudo do sinal da função afim como está no quadro em destaque na coluna ao lado. Observe: para a >, f() > se > b a f() = se = b a { f() < se < b a CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
para a <, f() > se < b a f() = se = b a f() > se < f() = se = { f() < se > b a { f() < se > E.: Estudar o sinal da função f() = +. Resolução Mais uma vez vamos verificar a resposta com um valor maior que a raiz ( ) e outro menor que a raiz ( ). f f f f 7 f() = + = = Como a > (a = ), temos que f é crescente, assim: f() > se > f() = se = { f() < se < Note que, de fato, quando procuramos, pela função acima, a imagem de um número qualquer maior que, encontraremos um valor positivo. A imagem de é zero e a imagem de qualquer valor menor que é um número negativo Só para eemplificar, vamos encontrar os valores de f() e de f( ) f() = + = 7 f( ) = ( ) + = 9 Como previsto, a imagem de é positiva e a imagem de - é negativa E.: Estudar o sinal da função f() = +. Resolução: + = = Como a < (a = ), temos que a função f é decrescente, assim: ) Estudar os sinais das seguintes funções definidas em R: a) f() = + b) f() = - + c) f() = d) f() = + e) f f) f g) f h) f() = - ) Seja f: R R a função definida por f() =. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que (zero). ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 6 Eercícios 8 a MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
INEQUAÇÕES O último eercício apresentado () é um eemplo de inequação. Vamos agora resolver outras inequações. E.: Seja f: R R a função definida por f() =. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que. Resolução: Note que este eemplo é bem parecido com o último eercício. Para encontrar a solução, basta resolver a inequação Este mesmo eemplo pode ter uma solução gráfica. No plano cartesiano abaio, você pode ver os gráficos das duas funções. > > 8 > Logo a solução é S = { R > } E.: Considerando as funções f() = e g() = +, determine os valores de para os quais temos f() g(). Resolução: Vamos resolver a inequação: + + + Solução: S = { R } Esta solução pode ser verificada de fato quando você substitui em ambas as funções valores iguais. Vamos testar completando a tabela abaio. Os dois primeiros valores são menores que e os dois últimos são maiores. f() g() Qual é maior? Note que em =, as funções são iguais (é o ponto onde elas se cruzam). Para valores menores que, a função f é menor que a função g e isto pode ser verificado pois à esquerda de =. o gráfico de f está abaio do gráfico de g. Esta situação se inverte à direita de =. ) Para que valores reais de a função f() = é negativa? ) Para que valores do domínio da função de f: R R definida por f() = a imagem é menor que? ) Dadas as funções f() = +, g() = e h() = definidas e, R, para quais valores de tem-se: a) f() > g() b) g() < h() c) f() h() CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
6) E.: Resolver o sistema de inequações { Resolução: De, Dados os gráficos das funções f, g e h definidas em R e considerando cada quadrinho como uma unidade, determine os valores de R, tais que: a) f() > g() b) g() h() c) f() h() d) g() > e) f() 7) Dado um número real k, a função f: R R definida por f() = k é chamada de função linear (pág. ). a) Prove que o gráfico da função linear passa pela origem do sistema de ordenadas. b) Prove que se f é linear então f(a + b) = f(a) + f(b) R 8) Uma grandeza é diretamente proporcional a uma grandeza quando é uma função linear de. Se é diretamente proporcional a e quando = temos =. Então, para =, qual é o valor de? SISTEMA DE INEQUAÇÕES Um sistema de inequações é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente o que equivale a inequações em separadas pelo conectivo e. O conjunto solução do sistema de inequações é a INTERSECÇÃO dos conjuntos-solução das diversas inequações que a formam. De, Vamos, agora, fazer a interseção entre as soluções: Logo, a solução é: S = { R } E.: Resolver o sistema { + + De, 6 9 9 De, Solução: S = { R 9} MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Uma dupla desigualdade f() < g() < h() pode ser decomposta em duas desigualdades simultâneas, isto é, equivale a uma sistema de duas inequações em separadas pelo conectivo e, aquele mesmo da intersecção entre conjuntos que estudamos na primeira apostila. Por isso, para resolver uma situação com inequações simultâneas, devemos gerar um sistema de duas (ou mais) inequações e fazer a intersecção entre as soluções de cada inequação. Assim: f g h f g g h Indicando por S o conjunto solução da primeira inequação e por S o conjunto solução da segunda inequação, o conjunto solução das inequações simultâneas é: S = S S E.: Resolver + < + + Resolução: 9) Resolver os sistemas a seguir: a) b) 6 8 c) d) 6 7 ) Resolver as inequações em : a) - < < b) - < c) - < < d) 7 e) + < <6 f) < + < + ) Com base nos gráficos das funções f, g e h definidas em, determinar os valores de, tais que: + < + { + + De, De, A intersecção desses dois conjuntos é S = { R < } a) f() < g() h() b) g() f() h() c) h() f() < g() INEQUAÇÕES-PRODUTO Sendo f() e g() duas funções na variável, as inequações f() g() > f() g() < f() g() f() g() são denominadas inequações-produto. CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
Vejamos, por eemplo, como determinamos o conjunto solução S de uma inequação do tipo f() g() >. De acordo com a regra dos sinais do produto de números reais, um número é solução da inequação f() g() > se, e somente se, f( ) e g( ), não nulos, têm o mesmo sinal. Assim, são possíveis dois casos: º: f() > e g() > Se S e S são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações, então S S é o conjunto solução do sistema. º: f() < e g() < Se S e S são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações, então S S é o conjunto solução do sistema. Daí concluímos que o conjuntosolução da inequação produto f() g() > é: S = (S S ) (S S ) Um raciocínio análogo poderia ser feito para f() g() < porém buscando intervalos onde as funções possuem sinais diferentes. Também no caso de f() g() ou f() g(), podemos agir da mesma forma sendo possível, neste caso, marcar os pontos que anulam cada função. E.: Resolver em R a inequação ( + ) ( ) >. Resolução Como estamos procurando valores para que tornem o produto ( + ) ( ) positivo, então sabemos que ( + ) e ( ) devem ter o mesmo sinal. A forma mais prática de encontrar os intervalos onde isto acontece é fazer um estudo dos sinais de cada parte e montar num quadro como você verá. f() = + + = = - Como a função é crescente, g Esta função também é crescente, então, Vamos agora montar um quadro para o estudo do sinal da inequação produto: Assim temos a solução: S = { R < ou > } E.: Resolver em R a inequação ( ) ( + ) ( ) < Resolução: f g h MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
O próimo passo é montar o quadro de sinais onde a linha S é a solução obtida de f g h E temos a solução: S = { R < < ou > } Quando uma inequação-produto apresenta ou, devemos lembrar que as raízes de cada uma das funções que formam a inequação-produto zeram toda a inequação e, desta forma, devem fazer parte da solução. Veja no eemplo. E.: Resolver, em R, a inequação ( + ) ( ) f() = + + = = - g Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações do tipo: n f f n n f f Para resolver estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das potências de base real e epoente inteiro: toda potência de base real e epoente par é um número real não negativo, isto é: a n, a, n N toda potência de base real e epoente ímpar conserva o sinal da base, ou seja: a a a n n n a a a n n N Assim sendo, temos as seguintes equivalências: n f se n é ímpar f f se n é par n f se n é ímpar f se n é par n f se n é ímpar f Df se n é par n f se n é ímpar f f se n é par Assim temos a solução: S = { R ou } E.: E.: 6 S S CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
E.: S E.: S E.: 8 7 8 S E.6: S E.7: 8 8 S ) Resolver em R a inequação 6 ) Resolver em R as inequações: 7 a) 8 b) 7 c) 6 6 8 6 d) 6 6 ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 6 Ver R.7 INEQUAÇÃO-QUOCIENTE Sendo f() e g() duas funções de variável real, as inequações do tipo ) Resolver em R as inequações a seguir: a) b) c) d) 6 e) 6 7 f) 7 g) h) 7 ) Resolver em R as inequações a seguir: a) b) 8 c) 6 d) 7 e) f) g) h) 8 f g f g f f g g são denominadas inequações-quociente. Considerando que regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto observando o fato de que o denominador de uma fração nunca pode ser nulo. E.: Resolver em R a inequação. Resolução: Inicialmente devemos transformar a desigualdade de forma a compará-la a (zero). MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO f g Fazendo o quadro-quociente para o estudo dos sinais, temos: Solução: S = { R ou > } 6) Resolver em R as inequações: a) b) c) 8 d) 7) Resolver em R as inequações: a) b) c) d) 8) Resolver em R as inequações: a) b) c) d) 9) Resolver em R as inequações: a) b) c) d) e) f) g) ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 68 Análise de Resolução ) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaio. f() = g() = + h() = - ) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaio. f() = - g() = - + h() = - - ) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaio. f() = - g() = - h() = - - ) Construa o gráfico da função: 6 para para f ) Construa o gráfico da função: para para para f
RESPOSTAS ) c) ) d) e) ) f) ) a) g) b) MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU
h) 6) a) S = {(; )} Solução: S = {( ; )} ) Resolução: SOLUÇÃO ANALÍTICA. Eistem diversas formas de se resolver analiticamente esta questão como, por eemplo, por substituição, por adição ou por comparação. Aqui vou resolver apenas por adição, mas você pode [e deve] escolher outra forma. = ( ) + = 6 { + = + = Fazendo + encontramos: = = Substituindo em + = = Solução: S = {( ; )} b) S = {( ; )} c) S = Ø SOLUÇÃO GEOMÉTRICA O primeiro passo para resolver pelo método geométrico é escrever um sistema equivalente àquele dado porém isolando em ambas as equações. Agora vamos construir os gráficos de cada umas das funções afins e o ponto de intersecção entre os dois gráficos será a solução do sistema. - - - Y 7) a) S = {(; )} b) S = {(; )} 8) Resolução Se estamos procurando uma equação de reta, então esta equação assumirá a forma de uma função afim do tipo = a + b. Desta forma, considerando que o ponto (, ) pertence à reta de equação = a + b, temos a sentença verdadeira = a + b a + b = Analogamente, para o ponto (, -) obtemos: - = a + b a + b = - Resolvendo, agora, o sistema a b a b CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
encontramos a = - e b =. Substituindo a e b em = a + b, encontramos a equação procurada que, neste caso, é: = - + b) = + c) = d) = 9) Resolução A equação procurada é da forma = a + b. Se o coeficiente angular é, então a =. Substituindo =, = e a = em = a + b, vem: = + b b = Logo, a equação procurada é ) = ) =. ) =. ) =. ) a) = + b) = + c) = d) = + = + ) a) Crescente: ] - ; -7[, ]-6; -[ e ]; [ Decrescente: ]-7; -6[ e ]-; [ b) Crescente: ] -; [ e ]; [ Decrescente: ] - ; -[ e ]; [ c) Crescente: ] - ; [ e ]; [ 6) Demonstração 7) Crescente: a, b, e, f, g. Decrescente: c, d, h. 8) k > 9) a) Crescente para k > k > Constante para k = k = Decrescente para k < k < b) Cresc.: k > - Const.: k = - Decresc.: k < - c) Cresc.: k < Const.: k = Decresc.: k > d) Cresc.: k > Const.: k = Decresc.: k < ) a) f() = para = - ou = ou = ou = 7 f() > para < - ou < < ou > 7 f() < para - < < ou < < 7 b) f() = para = - ou = ou = 6 f() > para - < < f() < para < - ou < < 6 ou > 6 c) f() = para = - ou = ou = f() > para < - ou > f() < para - < < ou < < ) a) b) > para > = para =. < para < { > para < = para =. < para > { > para < c) { = para =. < para > > para > d) { = para =. < para < MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
> para < 6 e) { = para = 6. < para > 6 > para > 9 f) = para = 9. g) < para < 9 { > para > = para =. < para < { > para < h) { = para =. < para > ) > ) > ) < ) a) b) > c) R 6) a) > b) c) R d) < e) 7) (Demonstração) 8) = 9) a)s = { R < < } b) S = { R < < } c) S = { R } d) S = ) a) S = { R < < } b)s = { R < } c)s = { R < < } d)s = e)s = { R < } f)s = { R > } ) a) S = { R < } b) S = { R } c) S = ) a) S = { R < ou > } b) S = { R < ou > } c) S = { R < ou < < } d) S = { R < < ou > 6} e) S = { R 7 ou } 6 f) S = { R 7 } g) S = { R ou } h) S = { R ou 7 } ) a) S = { R } b) S = { R < 8 } c) S = d) S = { R < 7 } e) S = R f) S = { R } g) S = { } h) S = { R 8 } ) Solução: Estudaremos, separadamente, os sinais das funções f() = ( ) e g() = ( + ) 6. Lembrando que potência de epoente ímpar e base real tem sinal da base então o sinal de ( ) é igual ao sinal de, isto é: A potência de epoente par e base real não nula é sempre positiva, então ( CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
+ ) 6 é positivo se, isto é: e é nulo se Montando o quadro para estudo de sinais, temos: 9) a) S = { R < < ou > } b) S = { R < < ou > } c) S = { R < < } d) S = { R < 9 ou < } e) S = { R < < 9 ou > } f) S = { R < ou < < ou > } g) S = { R < ou < ) < ou } Assim, S = { R < ou } ) ) a) S = { R 7 } b) S = { R < < } c) S = { R 6 ou = ou = } d) S = { R ou = } 6) a) S = { R < ou > } ) b) S = { R < ou > } c) S = { R < } d) S = { R ou > } 7) a) S = { R < 7 8 ou > } b) S = { R < ou > } c) S = { R < } d) S = { R < } ) 8) a) S = { R < < ou > } b) S = { R < ou < < } c) S = { R ou < } d) S = { R < ou > } MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Luiz Roberto; Matemática. São Paulo, Ática, MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 988 IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume. São Paulo, Atual, ª edição Links para as vídeos-aulas sugeridas Pág. 6 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/graficofg/ Pág. http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/estudosinalfg Pág. 9 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/inequacaoproduto/ Demonstração: Sejam A, B e C três pontos quaisquer distintos pertencentes ao gráfico cartesiano da função = a + b com a e ( ; ), ( ; ) e (, ), respectivamente, as coordenadas cartesianas destes pontos. mostrar, em princípio, que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Note que : ; f a b ; f a b ; f a b Fazendo, temos: a a a b b Fazendo, temos: De, De, Assim, a a a a a b b a a a Logo os triângulos ABD e BCE são semelhantes e assim, os ângulos e são iguais e, consequentemente A, B e C estão alinhados. Daí está provado que o gráfico da função afim é uma reta. Sabendo, agora, que o gráfico da função afim é uma reta e que para determinar uma reta precisamos apenas de dois pontos, vamos usar deste recurso para construir tais gráficos. Veja nos eemplos a seguir. Para provar que os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta, vamos CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO