Universidade Estadual do Piauí. Campus Professor Alexandre Alves de Oliveira

Universidade Estadual do Piauí Campus Professor Alexandre Alves de Oliveira Coordenação de Ciências da Computação Apostila de Álgebra Linear e Geometria Analítica Professor: Dr. Olímpio Pereira de Sá Neto email: olimpioqedc@gmail.com Parnaíba-PI Março-2018

Conteúdo 1 Uma Breve Introdução de Matrizes 2 1.1 Conceitos Básicos Sobre Matrizes............................. 2 1.2 Tipos de Matrizes..................................... 3 1.2.1 Matriz Quadrada.................................. 3 1.2.2 Matriz Nula..................................... 4 1.2.3 Matriz Coluna................................... 4 1.2.4 Matriz Linha.................................... 4 1.2.5 Matriz Diagonal.................................. 4 1.2.6 Matriz Identidade................................. 4 1.2.7 Matriz Triangular Superior............................ 5 1.2.8 Matriz Triangular Inferior............................. 5 1.2.9 Matriz Simeétrica................................. 5 1.2.10 Matriz Hermiteana................................. 5 1.3 Operações com Matrizes.................................. 6 1.3.1 Adição de Matrizes................................. 6 1.3.2 Mutiplicação por Escalar............................. 7 1.3.3 Transposição.................................... 8 1.3.4 Mutiplicação de Matrizes............................. 8 i

2 Sistemas de Equações Lineares 10 2.1 Sistema de Equações Lineares e Matrizes......................... 11 2.2 Método do Escalonamento................................. 12 2.3 Exercícios.......................................... 14 3 Determinante e Matriz Inversa 15 3.1 Determinante........................................ 16 3.1.1 Determinante de Uma Matriz 2 2........................ 16 3.1.2 Determinante de Uma Matriz 3 3........................ 16 3.2 Matriz dos Cofatores, Matriz Adjunta e Matriz Inversa................. 17 3.2.1 Matriz dos Cofatores................................ 17 3.2.2 Matriz dos Adjunta................................ 17 3.2.3 Matriz Inversa................................... 17 3.3 Observação......................................... 18 3.3.1 Observação 1.................................... 18 3.3.2 Observação 2.................................... 18 3.3.3 Observação 3.................................... 19 3.4 Regra de Cramer...................................... 19 3.5 Exercícios.......................................... 19 4 Vetores 21 4.1 Coordenadas Cartesianas................................. 22 4.2 Coordenadas Polares.................................... 22 4.2.1 Coordenadas Polares em Duas Dimenções.................... 22 4.2.2 Coordenadas Polares Cilindrica.......................... 23 4.2.3 Coordenadas Polares Esféricas.......................... 24 4.3 Operação com Vetores................................... 25 4.3.1 Adição........................................ 25 ii

4.3.2 Subtração...................................... 25 4.3.3 Produto Interno.................................. 25 4.3.4 Produto Vetorial.................................. 26 4.4 Exemplos.......................................... 26 4.4.1 Exemplo 1...................................... 26 4.4.2 Exemplo 2...................................... 27 1

Capítulo 1 Uma Breve Introdução de Matrizes 1.1 Conceitos Básicos Sobre Matrizes A nossa vida é recheada de conjuntos de problemas onde sempre procuramos ordenar ou simplificar, e com isso surgem novos m todos de resolução. Matriz é uma tabela de elementos distribuídos em linhas e colunas, onde esses elementos podem ser número (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes. A representação de uma matriz de m linhas e n colunas é dada por: a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n A m n = a 31 a 32 a 33... a 3n = [a ij ] m n....... a m1 a m2 a m3... a mn No contexto desse curso será usado sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos 2

A m n. Para este curso utilizaremos notações de colchetes para as matrizes 1. Exemplo: Dado uma Matrix A 2 3 A 2 3 = 1 0 4, 4 3 2 logo podemos localizar cada elemento dizendo qual linha e coluna que ele está. Neste casso os elementos são a 11 = 1, a 12 = 0, a 13 = 4, a 21 = 4, a 22 = 3 e a 23 = 2. Definição: Dada duas matrizes A m n = [a ij ] m n e B r s = [a ij ] r s são iguais, A = B, se elas tem o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes sào iguais (a ij = b ij ). Por exemplo: 32 1 log (1) = 9 sen ( ) π 2 0. 2 2 2 5 2 4 5 1.2 Tipos de Matrizes Os tipos de matrizes são caracterizados pela quantidade de linhas e colunas, e pela natureza de seus elementos. Sendo assim temos alguns tipos de matrizes. 1.2.1 Matriz Quadrada A matriz quadrada é a matriz que tem o(s) néro(s) de linha(s) e coluna(s) iguais (m = n). Assim uma matrix A m m pode ser chamada de uma matriz quadrada de ordem m. Por exemplo: A 2 2 = 1 3 5 8 1 Existem outras notações para matriz, como parênteses (...) ou duas barras... 3

1.2.2 Matriz Nula A matriz nula é a matriz que tem o(s) elemento(s) igual a zero (a ij = 0, para todo i e j). Por exemplo: 1.2.3 Matriz Coluna A 2 2 = 0 0 0 0 A matriz coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1). Por exemplo: A 3 1 = 1 4 3 1.2.4 Matriz Linha A matriz linha é aquela que possui uma única linha (m = 1). Por exemplo: [ ] A 1 3 = 1 4 3 1.2.5 Matriz Diagonal A matriz diagonal é uma matriz quadrada que tem apenas os elementos da diagonal não nulos (a ij = 0, para i diferente de j). Por exemplo: A 2 2 = 1 0 0 5 1.2.6 Matriz Identidade A matriz identidade é uma matriz quadrada que tem apenas os elementos da diagonal igual a 1 (a ij = 1, para i = j) e (a ij = 0, para i diferente de j). Por exemplo: A 2 2 = 1 0 0 1 4

1.2.7 Matriz Triangular Superior A matriz triangular superior é uma matriz quadrada que tem apenas os elementos abaixo da diagonal nulo (a ij = 0, para i menor que j). Por exemplo: A 2 2 = 1 3 0 1 1.2.8 Matriz Triangular Inferior A matriz triangular inferior é uma matriz quadrada que tem apenas os elementos acima da diagonal nulo (a ij = 0, para i maior que j). Por exemplo: A 2 2 = 1 0 3 1 1.2.9 Matriz Simeétrica A matriz simétrica é uma matriz quadrada que a ij = a ji. Por exemplo: A 2 2 = 1 3. 3 1 1.2.10 Matriz Hermiteana A matriz Hermiteana é uma matriz quadrada que a ij = a ji. Por exemplo: A 2 2 = 1 i, i 1 onde o elemento i pertence aos números complexos 2. 2 Não confunda com o i da anotação a ij. 5

1.3 Operações com Matrizes Para essa seção consideraremos as matrizes a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n A m n = a 31 a 32 a 33... a 3n,....... a m1 a m2 a m3... a mn e B r s = C u v = b 11 b 12 b 13... b 1s b 21 b 22 b 23... b 2s b 31 b 32 b 33... b 3s,....... b r1 b r2 b r3... b rs c 11 c 12 c 13... c 1v c 21 c 22 c 23... c 2v c 31 c 32 c 33... c 3v........ c u1 c u2 c u3... c uv Com isso descreveremos as seguintes operações com matrizes. 1.3.1 Adição de Matrizes Para a matriz C u v ser igual a soma das matrizes A m n e B r s : (i) primeiro, o numero de linhas e de colunas das matrizes A, B e C tem que ser iguais; (ii) segundo, com C = A + B, a matriz C tera os seguintes elementos 6

C u v = = c 11 c 12 c 13... c 21 c 22 c 23... c 31 c 32 c 33......... a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13... a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23.... a 31 + b 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33......... Exemplo: 1 1 0 4 1 3 4 0 + 2 5 = 2 5. 2 5 1 0 3 5 A mesma analogia pode ser feita para subtração de matrizes. 1.3.2 Mutiplicação por Escalar Considerando k sendo um número, então definimos o produto entre k e uma matriz A m n como: ka 11 ka 12 ka 13... ka 1n ka 21 ka 22 ka 23... ka 2n ka m n = ka 31 ka 32 ka 33... ka 3n........ ka m1 ka m2 ka m3... ka mn 7

1.3.3 Transposição Dada uma matriz A = [a ij ] m n, podemos obter sua matriz transposta A = [a ji ] n m. Por exemplo: A 3 2 = 1 1 4 0 2 5 3 2, A 2 3 = 1 4 2 1 0 5 2 3. 1.3.4 Mutiplicação de Matrizes Para a matriz C u v ser igual a soma das matrizes A m n e B r s : (i) primeiro, o numero de linhas e de colunas das matrizes A, B e C tem que ser iguais; (ii) segundo, com C = A B, a matriz C tera os seguintes elementos C u v = c 11 c 12 c 13... c 21 c 22 c 23..., c 31 c 32 c 33......... onde, c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31... a 1n b n1, c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32... a 1n b n2, c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31... a 2n b n1, c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 2 13b 32... a 2n b n2,... Observação: (i) Só podemos efetuar o produto entre duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Exemplo: 8

2 1 4 2 5 3 3 2 1 1 0 4 2 2 = = 2 1 + 1 0 2 ( 1) + 1 4 4 1 + 2 0 4 ( 1) + 2 4 5 1 + 3 0 5 ( 1) + 3 4 2 2 4 4. 5 7 3 2 3 2 9

Capítulo 2 Sistemas de Equações Lineares Alguns de nós deparamos anteriormente com sistema de equação do tipo: 2x + y = 10 x y = 5 e facilmente voce vê que x = 5 e y = 0. O que acontece na verdade é que quando é feito um gráfico de y(x) para as duas equações, as retas se cruzam no ponto (5, 0), daí temos a unicidade na solução. Para amplificar a importância desse cap titulo veremos sistemas de equações lineares não triviais, e junto a isso veremos o método de escalonamento. 10

2.1 Sistema de Equações Lineares e Matrizes Uma forma geral de escrevermos um sistema de equações lineares é da seguinte forma a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 +... + a 3n x n = b 3. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 +... + a mn x n = b m, que é a mesma coisa da anotação matricial A X = B, onde a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n A m n = a 31 a 32 a 33... a 3n....... a m1 a m2 a m3... a mn é a matriz dos coeficientes, é a matrix das incógnitas e X n 1 = B m 1 = x 1 x 2 x 3. x n b 1 b 2 b 3. b m 11

é a matriz dos termos independentes. Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é a 11 a 12 a 13... a 1n b 1 a 21 a 22 a 23... a 2n b 2 a 31 a 32 a 33... a 3n b 3........ a m1 a m2 a m3... a mn b m que é chamada de matriz aplicada do sistema. 2.2 Método do Escalonamento Para o entendimento do método do escalonamento vamos resolver o seguinte exemplo. 1) Dado o sistema de equações x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 4 x 1 3x 2 2x 3 = 5 use o método do escalonamento para solucionar os valores das incognitas? Resposta: Para iniciar a solução, passamos o sistema de matriz para anotação da matriz aplicada 1 4 3 1 2 5 4 4, 1 3 2 5 após isso iniciamos o método do escalonamento 1 4 3 1 1 4 3 1 2 5 4 4 L 2 2L 1 L 2, L 3 L 1 L 3 0 3 2 2, 1 3 2 5 0 7 5 4 12

note que os termos da primeira coluna da segunda e terceira linha da matriz aplicara zeraram. o próximo passo é zerar o termo da segunda coluna e terceira linha da ultima matriz mencionada. 1 4 3 1 1 4 3 1 0 3 2 2 L 3 7L 2 3L 3 0 3 2 2. 0 7 5 4 0 0 1 2 Agora a matriz está na forma escada, que jạria a solução diretamente da incognita x 3. Mas o objetivo do método do escalonamento é deixar a solução direta para todas as incógnitas. Para isso continuaremos e eliminaremos os termos da matriz a 12, a 13 e a 23. 1 4 3 1 3 0 1 11 0 3 2 2 L 1 4L 2 3L 1 0 3 2 2, 0 0 1 2 0 0 1 2 3 0 1 11 3 0 0 9 0 3 2 2 L 1 L 3 L 1, L 2 L 2 + 2L 3 0 3 0 6. 0 0 1 2 0 0 1 2 Para finalizar o método do escalonamento nós: L 1 L 1 /3; L 2 L 12 /3; e L 3 L 3, nos dando 1 0 0 3 0 1 0 2, 0 0 1 2 isso significa que 1 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = 3 0 x 1 + 1 x 2 + 0 x 3 = 2 ou seja, x 1 = 3, x 2 = 2 e x 3 = 2. 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 = 2, 13

2.3 Exercícios 1. Mostre se os sistema de equações lineares tem unicidade de solução? x + y = 15 (a) x y = 5 x + 3y = 20 (b) x 3y = 5 x + 3y = 10 (c) 3x + 9y = 15 2. Resolva os sistemas de equações lineares pelo método de escalonamento? 2x + y 2z = 10 (a) 3x + 2y + 2z = 1 5x + 4y + 3z = 4 x + 2y z = 0 (b) 2x 2y + 3z = 0 4x + 3y + z = 0 x y + 2z w = 1 2x + y 2z 2w = 2 (c) x + 2y 4z + w = 1 3x 3w = 3 14

Capítulo 3 Determinante e Matriz Inversa Dado seguinte sistema de equações lineares a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 temos as soluções das incógnitas a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2, x 1 = b 1 a 22 b 2 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21, e x 2 = b 2 a 11 b 1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21. prestem bem atenção nas singularidades destas soluções pois fará todo sentido após o estudo das próximas seções deste capítulo. 15

3.1 Determinante 3.1.1 Determinante de Uma Matriz 2 2 Para calcular o determinante de uma matiz quadrada de ordem 2 é muito fácil, basta subtrair o produto dos elementos da diagonal pelo produto dos elementos da anti-diagonal, det a 11 a 12 a 11 a 12 = = a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 22 a 21 a 22 3.1.2 Determinante de Uma Matriz 3 3 Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 usaremos o desenvolvimento de Laplace, que consiste em a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 11 + a 12 12 + a 13 13, onde ij é o determinante afetado por ( 1) i+j da submatriz que a i-ésima linha e j-ésima coluna foram retiradas. Esse desenvolvimento pode ser feito não apenas escolhendo a primeira linha como foi feito. Com essa regra, podemos facilmente generalizar o calculo de determinante para uma matriz quadrada de ordem n. 16

3.2 Matriz dos Cofatores, Matriz Adjunta e Matriz Inversa 3.2.1 Matriz dos Cofatores Para o entendimento da matriz dos cofatores, usaremos uma matriz A 3 3 a 11 a 12 a 13 A 3 3 = a 21 a 22 a 23, a 31 a 32 a 33 que por sua vez tem sua matriz dos colabores A 3 3 11 12 13 Ā 3 3 = 21 22 23. 31 32 33 3.2.2 Matriz dos Adjunta A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores, adj (A) = Ā, ou seja, para a situação da matriz A 3 3 da seção anterior, temos a matriz adjunta 11 21 31 adj (A) = 12 22 32. 13 23 33 3.2.3 Matriz Inversa A Matriz inversa é a Matriz A 1 que obedece a seguinte relação A A 1 = I. Atenção: Existem matrizes que não tem inversa. 17

3.3 Observação 3.3.1 Observação 1 Partindo da relação A A 1 = I, logo, det ( A A 1) = det (I) det (A) det ( A 1) = 1 det ( A 1) = 1 det (A) 3.3.2 Observação 2 Se multiplicar a matriz A pela sua adjunta, temos A adj (A) = a 11 a 12 a 13... 11 21 31... a 21 a 22 a 23... 12 22 32... a 31 a 32 a 33... 13 23 33........... = c 11 c 12 c 13... c 21 c 22 c 23..., c 31 c 32 c 33....... onde c ij = det A para i = j, fora a isso c ij = 0. Portanto A adj (A) = det A I 18

3.3.3 Observação 3 Partindo de det A I = A adj (A) det A A 1 I = A 1 A adj (A) A 1 = 1 adj (A). det A 3.4 Regra de Cramer Relembrando do capítulo anterior, um sistema de equações lineares pode ser escrito como A X = B, logo A 1 A X = A 1 B X = A 1 B X = 1 adj (A) B det A 3.5 Exercícios 1. Calcule o determinante, matriz adjunta e inversa das matrizes abaixo? A = 6 2 11 4 B = 2 3 7 1 0 3 0 2 1 19

2. Resolva o seguinte sistemas de equações lineares pela regra de Cramer? 2x + y 2z = 10 (a) 3x + 2y + 2z = 1 5x + 4y + 3z = 4 2x 3y + 7z = 1 (b) x + 3z = 5 2y z = 0 y 2x = 3 (c) y 3x = 2 20

Capítulo 4 Vetores Em geometria analítica, um vetor é uma classe de equipolência de segmentos de reta orientados, que possuem todos a mesma intensidade (denominada norma ou módulo), mesma direção e mesmo sentido. Um vetor é definido como sendo uma classe de equipolência de segmentos de reta orientados de V 3, onde V n, em que representa um espaço vetorial de n dimensões. Assim sendo, em um espaço vetorial de 3 dimensões (V 3 ), cada vetor será dotado de três coordenadas. Quando falamos em distância geométrica de A para B, podemos imaginar que o ponto A está sendo carregado até chegar ao ponto B. Os vetores desempenham um papel importante na física: velocidade e aceleração de um objeto e as forças que agem sobre ele são descritas por vetores. É importante ressaltar, no entanto, que os componentes de um vetor físico dependem do sistema de coordenadas usado para descrevê-lo. Outros objetos usados para descrever quantidades físicas são os pseudo-vetores e tensores. Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico quanto científico, como física, engenharia e economia, por exemplo, sendo os elementos a partir dos quais se constrói o Cálculo Vetorial.... 21

4.1 Coordenadas Cartesianas Um vetor em coordenada cartesiana é definino da seguinte maneira A = A x î + A y ĵ + A zˆk, onde A x, A y e A z são as intensidades do vetor A em cada respectivo eixo cartesiano. O î é o vetor unitario referente ao eixo x, ĵ é o vetor unitario referente ao eixo y, e ˆk é o vetor unitario referente ao eixo z. 4.2 Coordenadas Polares 4.2.1 Coordenadas Polares em Duas Dimenções Utilizando A z = 0 da seção anterior, temos um vetor em coordenada cartesiana bidimensional da seguinte forma A = A x î + A y ĵ, onde temos representações dos eixos x e y. Nem sempre é convencional representar um vetor em coordenada Cartesiana, as vezes nos deparamos com problemas de simetria circular, e para isso vamos transformar de coordenadas cartesianas bidimensional para coordenadas polares da seguinte maneira: (i) Primeiro escrevemos as relações entre os vetores unitários polares e cartesianos cos(θ) sen(θ) î = ˆρˆθ sen(θ) cos(θ) ĵ (ii) Em seguida reescrevemos em termos da matriz inversa dos coeficientes î = cos(θ) sen(θ) ˆρˆθ ĵ sen(θ) cos(θ) 22

(iii) Agora é só fazer as substituições no vetor cartesiano A = A x î + A y ĵ ) ( ) = A x (cos(θ)ˆρ sen(θ)ˆθ + A y sen(θ)ˆρ + cos(θ)ˆθ = [A x cos(θ) + A y sen(θ)] ˆρ + [ A x sen(θ) + A y cos(θ)] ˆθ para finalmente termos a representação vetorial em coordenada polar. Se substituir A x = ρcos(θ) e A y = ρsen(θ), onde ρ = A 2 x + A 2 y ficamos com A = ρˆρ 4.2.2 Coordenadas Polares Cilindrica Agora, utilizando as três dimenssões, temos um vetor em coordenada cartesiana tridimensional da seguinte forma A = A x î + A y ĵ + A zˆk, onde temos representações dos eixos x, y e z. Para transformar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares colindricas da seguinte maneira: (i) Primeiro escrevemos as relações entre os vetores unitários polares e cartesianos cos(θ) sen(θ) 0 î ˆρ sen(θ) cos(θ) 0 ĵ = ˆθ 0 0 1 ˆk ˆk (ii) Em seguida reescrevemos em termos da matriz inversa dos coeficientes î cos(θ) sen(θ) 0 ˆρ ĵ = sen(θ) cos(θ) 0 ˆθ ˆk 0 0 1 ˆk 23

(iii) Finalmente é só fazer as substituições no vetor cartesiano A = A x î + A y ĵ + A zˆk ) ( ) = A x (cos(θ)ˆρ sen(θ)ˆθ + A y sen(θ)ˆρ + cos(θ)ˆθ + A zˆk = [A x cos(θ) + A y sen(θ)] ˆρ + [ A x sen(θ) + A y cos(θ)] ˆθ + A zˆk para finalmente termos a representação vetorial em coordenada polar. Se substituir A x = ρcos(θ) e A y = ρsen(θ), onde ρ = A 2 x + A 2 y ficamos com A = ρˆρ + A zˆk 4.2.3 Coordenadas Polares Esféricas utilizando as três dimenssões, temos um vetor em coordenada cartesiana tridimensional da seguinte forma A = A x î + A y ĵ + A zˆk, onde temos representações dos eixos x, y e z. Para transformar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares colindricas da seguinte maneira: (i) Primeiro escrevemos as relações entre os vetores unitários polares e cartesianos sen(φ)cos(θ) sen(φ)sen(θ) cos(φ) î ˆr cos(φ)cos(θ) cos(φ)sen(θ) sen(φ) ĵ = ˆθ sen(θ) cos(θ) 0 ˆk ˆφ (ii) Em seguida reescrevemos em termos da matriz inversa dos coeficientes î sen(φ)cos(θ) cos(φ)cos(θ) sen(φ) ˆr ĵ = sen(φ)sen(θ) cos(φ)sen(θ) cos(φ) ˆθ ˆk cos(θ) sen(θ) 0 ˆφ 24

(ii) Finalmente é só fazer as substituições no vetor cartesiano A = A x î + A y ĵ + A zˆk = A x (sen(φ)cos(θ)ˆr + cos(φ)cos(θ)ˆθ sen(φ) ˆφ ) ( + A y sen(φ)sen(θ)ˆr + cos(φ)sen(θ)ˆθ + cos(φ) ˆφ ) ) + A z (cos(θ)ˆr sen(θ)ˆθ para finalmente termos a representação vetorial em coordenada polar. Se substituir A x = rsen(φ)cos(θ) e A y = rsen(φ)sen(θ) e A z = rcos(φ), onde r = A 2 x + A 2 y + A 2 z ficamos com A = rˆr. 4.3 Operação com Vetores 4.3.1 Adição A + B = ( ) ( ) A x î + A y ĵ + A zˆk + B x î + B y ĵ + B zˆk = (A x + B x ) î + (A y + B y ) ĵ + (A z + B z ) ˆk 4.3.2 Subtração A B = ( ) ( ) A x î + A y ĵ + A zˆk B x î + B y ĵ + B zˆk = (A x B x ) î + (A y B y ) ĵ + (A z B z ) ˆk 4.3.3 Produto Interno A B = ( ) ( ) A x î + A y ĵ + A zˆk B x î + B y ĵ + B zˆk = A x B x + A y B y + A z B z 25

Note que para calcular a intensidade de um vetor veca basta fazer um produto interno dele com ele mesmo: A A ( ) ( ) = A x î + A y ĵ + A zˆk A x î + A y ĵ + A zˆk A 2 = A x A x + A y A y + A z A z A = A 2 x + A 2 y + A 2 z 4.3.4 Produto Vetorial A B = det 4.4 Exemplos î ĵ ˆk A x A y A z B x B y B z 4.4.1 Exemplo 1 Dado os vetores A = î + 2ĵ e B = 2î + 2ĵ, calcule: (a) A + B; (b) B A; (c) A B; (d) A B; (e) A + B ; (f) o resultado de A + B em coordenada polar? Respostas: (a) A + B A + B = ) ( ) (î + 2ĵ + 2î + 2ĵ = 3î + 4ĵ (b) B A B A = ( ) ) 2î + 2ĵ (î + 2ĵ = î 26

(c) B A A B = ( ) ) 2î + 2ĵ (î + 2ĵ = 2 + 4 = 6 (d) B A A B = det î ĵ ˆk 1 2 0 2 2 0 (e) A + B = 2ˆk A + B = 3 2 + 4 2 = 5 (f) A + B em coordenada polar A + B = 3î + 4ĵ = 5ˆρ 4.4.2 Exemplo 2 Dado o vetor A = 8î + 6ĵ + 44ˆk em coordenada cartesiana, transforme-o para coordenada polar cilindrica e esférica? Respostas: O vetor A em coordenada polar cilindrica fica: A = 10ˆρ + 44ˆk. O vetor A em coordenada polar esférica fica: A = 12ˆr. 27