NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO Pof. D. Helde Alves Peeia Abil, 08

- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -. Teste I e Estágio I. Campos eletostáticos.. Campos eléticos em meio mateial.. Teste II e Estágio II. Poblemas de valo de fonteia em eletostática.. Campos magnetostáticos. 3. Teste III e Estágio III. Foças, mateiais e dispositivos magnéticos.

CAMPOS ELETROSTÁTICOS - TÓPICOS DAS AULAS -. Intodução.. Lei de Coulomb e intensidade de campo. 3. Campos eléticos de distibuições contínuas de caga. 4. Densidade de fluxo elético. 5. Lei de Gauss (ª equação de Maxwell). 6. Potencial escala elético. 7. Relação ente o campo e o potencial escala eléticos (ª equação de Maxwell). 8. O dipolo elético 9. Linhas de fluxo elético. 0. Densidade de enegia em campos eletostáticos.

Intodução Beve históico do Eletomagnetismo

Lei de Coulomb e intensidade de campo A lei de Coulomb é uma lei expeimental e tata da foça que uma caga pontual exece sobe outa caga pontual. Gealmente, as cagas são medidas em Coulomb (C), sendo a caga de um eléton igual a -,6 x 0-9 C. A lei de Coulomb estabelece que a foça (F) ente duas cagas pontuais (Q e Q ) Está ao longo da linha que une as cagas. É dietamente popocional ao poduto das cagas Q e Q. É invesamente popocional ao quadado da distância (R) ente elas.

Matematicamente, temos que F k Q Q R onde k é a constante de popocionalidade. Em unidades do SI, as cagas são dadas em Coulomb, a distância em meto e a foça em Newton, de modo que k 4 pe 0

A constante ε 0 é chamada de pemissividade do espaço live e tem o seguinte valo apoximado e 0 @ 8,85x0 - F/m Dessa foma, k 4 pe 9 0» 9x0 m/f

Desse modo, F 4 pe 0 Q Q R Se as cagas estão localizadas em pontos, cujos vetoes posição são e, temos que F 4 pe 0 Q Q R â R

Consideando a figua, temos que Figua F Q Q æ ç è - 4 pe 0 - ö ø 3

É impotante pecebe que A foça F, sobe a caga Q devido à caga Q, é dada po F. Cagas de mesmo sinal se epelem, enquanto que cagas de sinal contáio se ataem. Q e Q devem se estáticas. Os sinais das cagas devem se levados em consideação na expessão da foça.

Se tivemos mais do que duas cagas pontuais, podemos usa o pincípio da supeposição paa detemina a foça sobe uma deteminada caga, dessa foma F Q 4pe 0 n å k Q k æ ç - è - k 3 k ö ø onde k indica o veto posição efeente à k-ésima caga no espaço e indica o veto posição efeente à caga onde se que calcula a foça.

O veto campo elético (E) é dado pela foça po unidade de caga imesa nesse campo elético. Dessa foma,! $ % & Oigem Figua Q onde o campo elético é medido em Newton po Coulomb, ou em Volt po meto.

Execício. Duas cagas pontuais de 5 nc e - nc estão localizadas em (, 0, 4) e (-3, 0, 5), espectivamente. Detemine a foça sobe uma caga pontual de nc localizada em (, -3, 7). Enconte o campo elético em (, -3, 7).

Campos eletostáticos de distibuições contínuas de caga Além de cagas pontuais, podemos te distibuições contínuas de caga ao longo de uma linha, sobe uma supefície, ou em um volume, confome ilustado na figua 3. Figua 3

É usual denota a densidade de cagas como: linea (ρ L em C/m), supeficial (ρ S em C/m ) e volumética (ρ v em C/m 3 ). O elemento de caga (dq) e a caga total (Q), associados a tais distibuições, são obtidos da seguinte foma dq L dl Q ò L L dl Linha de cagas dq S ds Q ò S S ds Supefície de cagas dq v dv Q ò v dv v Volume de cagas

A intensidade de campo elético, devido a uma dessas distibuições, pode se obtida a pati da soma das contibuições elementaes de campo, devido a cada um dos pontos de caga que constituem a distibuição, dessa foma E E E ò L ò S ò v 4 4 4 pe pe pe L 0 S 0 v 0 R R R dl' ds dv' â ' â â R R R Linha de cagas Supefície de cagas Volume de cagas

As coodenadas-linha são usadas paa denota a localização do ponto-fonte. As demais se efeem à localização do ponto de inteesse, ou seja, ponto no qual E vai se calculado. E ò L dl' âr Linha de cagas 4pe R L 0 E E ò S ò v 4 4 pe pe S 0 v 0 R R ds ' dv' â â R R Supefície de cagas Volume de cagas

Execício. Consideando uma linha de cagas com densidade unifome ρ L, ilustada na figua 4, detemine o veto campo elético no ponto P (x, y, z). z z b R P z a o y x Figua 4

Execício 3. Consideando uma lâmina infinita de cagas, no plano xy, com densidade unifome ρ S, ilustada na figua 5, detemine a contibuição da supefície paa o campo elético no ponto P (0, 0, h). z P R o y x Figua 5

Densidade de fluxo elético A intensidade de campo elético depende do meio no qual está imesa a caga fonte do campo. Supondo um campo vetoial D, independente do meio, e definido como definiemos o fluxo elético (Ψ) em temos de D da seguinte foma Y E D e 0 ò S D d S

Em unidades do SI, uma linha de fluxo elético se inicia em uma caga de C e temina em uma caga de - C. Dessa foma, o fluxo elético é medido em Coulomb. O campo vetoial D é denominado de densidade de fluxo elético e é medido em Coulomb po meto ao quadado. Po azões históicas, a densidade de fluxo elético é também denominada de deslocamento elético.

Lei de Gauss (ª equação de Maxwell) A lei de Gauss constitui-se em uma das leis fundamentais do Eletomagnetismo. Ela estabelece que o fluxo elético total (Ψ), atavés de qualque supefície fechada, é igual à caga total enceada po essa supefície. Dessa maneia, Y Q enc

Ou seja, Y ò dy ò D d S Q enc S ò v v dv Obtendo-se que Q ò D d S ò S v v dv ª equação de Maxwell (foma integal)

Aplicando o teoema da divegente à ª equação de Maxwell na foma integal, obtemos Ñ D v ª equação de Maxwell (foma difeencial) Deve-se obseva que A lei de Gauss se apesenta como uma maneia mais simples de se detemina E ou D, paa distibuições siméticas de caga, tais como: uma caga pontual, uma linha infinita de cagas, uma supefície infinita de cagas e uma distibuição esféica de cagas, po exemplo.

Uma distibuição contínua de cagas tem simetia caso o campo vetoial possua uma componente, ou seja, dependa de apenas uma dieção. Dessa foma, possuiá: simetia etangula se tive apenas componente na dieção â x (ou â y, ou â z ), simetia cilíndica, no caso de componente na dieção â ρ, e simetia esféica quando tive componente apenas na dieção â.

IMPORTANTE: Não podemos utiliza a lei de Gauss paa detemina E ou D quando a distibuição de cagas não fo simética. Nesse caso, devemos ecoe à lei de Coulomb paa detemina E ou D.

Aplicação da lei de Gauss O método de aplica a lei de Gauss, paa detemina o campo elético, começa pela veificação da existência de simetia. Uma vez identificada a existência de simetia, constuímos uma supefície matematicamente fechada (conhecida como supefície gaussiana). Essa supefície é escolhida de foma que o veto D seja nomal, ou tangencial, à supefície gaussiana. Quando D fo nomal à supefície D d S Quando D fo tangencial à supefície D d S 0 DdS

Dessa foma, devemos escolhe uma supefície que seja compatível com a simetia exibida pela distibuição de cagas.

Execícios 4. Detemina D no ponto P, localizado no espaço, supondo uma caga pontual Q localizada na oigem. 5. Detemina D no ponto P, localizado no espaço, supondo uma linha infinita de cagas unifomemente distibuída, ao longo do eixo z, dada po ρ L (C/m). 6. Detemina D no ponto P, localizado no espaço, supondo uma lâmina infinita, localizada no plano z0, com distibuição unifome de cagas dada po ρ S (C/m²). 7. Detemina D no ponto P, localizado no espaço, consideando uma esfea de aio a com uma distibuição unifome de cagas dada po ρ v (C/m 3 ).

Potencial escala elético Suponha que queiamos movimenta uma caga pontual Q, de um ponto A paa um ponto B, em um campo elético exteno E. Figua 6

A pati da lei de Coulomb, conclui-se que a foça sobe Q é dada po FQE. Dessa foma, o tabalho ealizado paa povoca um deslocamento dl na caga é dado po dw - F d l -Q E d l onde o sinal negativo indica que o tabalho é ealizado po um agente exteno.

Dessa maneia, o tabalho total ealizado, ou a enegia potencial necessáia, paa movimenta Q de A paa B é W ò B - Q E d l A Dividindo-se W po Q esulta no valo da enegia potencial po unidade de caga. Essa quantidade, denotada po V AB, é conhecida po difeença de potencial ente os pontos A e B.

Dessa foma, V AB B W - ò Q A E d l Obseve que: Ao detemina V AB, A é o ponto inicial e B é o ponto final. Se V AB fo negativo, existe uma peda de enegia potencial ao movimentamos Q de A até B. Isso significa que o tabalho é feito pelo campo elético.

Entetanto, se V AB fo positivo, existe um ganho de enegia potencial no movimento. Isso significa que um agente exteno é esponsável po esse tabalho. V AB é independente da tajetóia ealizada. V AB é medido em Joules po Coulomb, ou mais comumente em Volt.

O potencial em qualque ponto é a difeença de potencial ente esse ponto e um ponto escolhido no qual o potencial é abitado como zeo. Em outas palavas, consideando potencial zeo no infinito, o potencial a uma distância da caga pontual é o tabalho ealizado, po unidade de caga, devido a um agente exteno, paa se desloca uma caga-teste do infinito até esse ponto. Dessa foma, V ò - E d l Figua 7

Deteminação da expessão do potencial escala elético Consideando o campo E devido a uma caga pontual, temos que E Dessa foma, V AB - B Q â Q 4 pe 4pe 0 0 B 3 ( â â ) ò E d l -ò A A Q 4pe 0 d

Consideando o potencial escala elético no infinito igual a zeo, ou seja, V A 0, temos que A B A B 0 AB 0 0 AB 4 4 4 V V Q V Q d Q V B A B A - ø ö ç ç è æ - - ò pe pe pe Q V 4 ) ( pe 0

Se a caga Q não estive localizada na oigem, mas em um ponto cujo veto posição seja, o potencial em se tona Paa n cagas pontuais, o potencial em é dado po - ' 4 ) ( 0 Q V pe å - ø ö ç è æ n k k k Q V 0 4 pe

Paa distibuições contínuas de caga, o potencial em pode se escito como ò ò ò - ø ö ç è æ ø ö ç è æ - ø ö ç è æ ø ö ç è æ - ø ö ç è æ ø ö ç è æ v S L dv V ds V dl V ' ' ' 4 ' ' ' 4 ' ' ' 4 v 0 S 0 L 0 pe pe pe Linha de cagas Supefície de cagas Volume de cagas

Execício 8. Duas cagas pontuais -4 µc e 5 µc estão localizadas em (, -, 3) e em (0, 4, -), espectivamente. Detemine o potencial escala elético em (, 0, ), consideando potencial escala elético igual a zeo no infinito.

Relação ente o campo e o potencial escala eléticos A difeença de potencial ente dois pontos A e B independe da tajetóia pecoida, ou seja, Dessa foma, V + Û - V 0 V V AB BA BA AB 0 ò E dl Fisicamente, isso implica dize que não é ealizado tabalho ao se movimenta uma caga, ao longo de uma tajetóia fechada, no inteio de um campo eletostático. O campo eletostático é um campo consevativo.

Aplicando o teoema de Stokes, temos que ò E dl ò æ ç è Ñ E ö ø ds 0 ª equação de Maxwell ò æ ç è Ñ E ö ø ds 0 Foma integal Ñ E 0 Foma difeencial

Patindo-se da definição de potencial escala elético, dv - E dl -E x dx - E y dy - E z dz dv temos que V x dx + V y dy + V z dz E -ÑV O sinal negativo mosta que a dieção do campo elético é oposta à dieção de cescimento do potencial escala elético. A oientação do campo elético é do maio paa o meno potencial.

9. Dado o potencial, Execícios 0 V senq cosf a) Detemine a densidade de fluxo elético em (, π/, 0). b) Calcule o tabalho ealizado ao se movimenta uma caga de 0µC do ponto A (, 30º, 0º) até o ponto B (4, 90º, 60º). 0. Dado, detemine o tabalho ealizado ao movimenta uma caga de - µc do ponto (0, 5, 0) até o ponto (, -, 0), usando a tajetóia: a) (0, 5, 0) (, 5, 0) (, -, 0). b) y 5 3x. ( 3x + y) âx xây E +

O dipolo elético Dipolo elético: duas cagas pontuais, de igual magnitude e sinais opostos, sepaadas po uma pequena distância. z S(d/,0,0) +Q P(,θ,φ) d o y x -Q T(d/,π,0) Figua 8

O potencial no ponto P é dado po V V + V + Q -Q onde V + Q Q 4 pe 0 V -Q - Q 4 pe 0

Em coodenadas esféicas, a distância ente dois pontos é dada po com isso Potanto, ( ) cos sen sen cos cos f f q q q q - - - + d q q cos 4 cos 4 d d d d d d + + - + ï þ ï ý ü ï î ï í ì ú û ù ê ë é ø ö ç ç è æ + + - ú û ù ê ë é ø ö ç ç è æ - + - - 0 cos 4 cos 4 4 q q pe d d d d Q V

Fazendo temos que Consideando æ d ç è 4 - ± ( + u ) ö ± d cosq u ø» - u ± ± u ± <<

temos V Q 4pe 0 d cosq Consideando que z +Q p Q d Repesenta o momento dipolo, oientado de Q a +Q p d o y x -Q Figua 9

temos e 3 0 3 0 0 ' 4 ' 4 4 - ø ö ç è æ - p V p â p V pe pe pe Dipolo elético com cento localizado na oigem Dipolo elético com cento localizado no ponto

O campo elético devido a um dipolo com cento localizado na oigem é dado po E -ÑV 4 p pe 0 3 ( cosqâ + senqâ ) θ

Execícios.Dois dipolos com momentos de dipolo (0, 0, -5) nc.m e (0, 0, 9) nc.m estão localizados nos pontos (0, 0, -) e (0, 0, 3), espectivamente. Detemine o potencial na oigem..um dipolo elético de (0, 0, 00) pc.m está localizado na oigem. Detemine o potencial escala elético e o veto campo elético nos pontos: a) (0, 0, 0). b) (, π/3, π /).

Linhas de fluxo elético É uma tajetóia, ou linha imagináia, desenhada de tal modo que sua oientação, em qualque ponto, é a mesma do campo elético nesse ponto. Qualque supefície na qual o potencial elético seja o mesmo em toda a sua extensão é conhecida como supefície equipotencial. A inteseção de uma supefície equipotencial e um plano esulta em uma tajetóia, ou linha, conhecida como linha equipotencial. Nenhum tabalho é ealizado ao movimenta uma caga de um ponto a outo ao longo de uma linha, ou supefície, equipotencial.

As linhas de foça, linhas de fluxo, ou ainda dieção do campo elético, são sempe nomais às supefícies equipotenciais. Linhas de fluxo Linhas equipotenciais Figua 0

Densidade de enegia em campos eletostáticos Paa detemina a enegia amazenada po um aanjo de cagas, pecisamos, em pimeio luga, detemina a quantidade de tabalho necessáia paa euni essas cagas em uma egião. Suponhamos que se posicionem tês cagas pontuais Q, Q e Q 3 em uma egião do espaço inicialmente vazia. Q Q P P P 3 Q 3 Figua

Não há necessidade de se ealiza tabalho paa tansfei Q do infinito até P, poque o espaço inicialmente está live de cagas e não há campo elético pesente, potanto W W E 0 O tabalho ealizado paa tansfei Q, do infinito até P, é igual ao poduto de Q pelo potencial V em P, devido a Q, ou seja, W W E Q V De modo simila, o tabalho ealizado paa posiciona Q 3 em P 3 é dado po E 3 3 ( V V ) W W Q + 3 3

Dessa foma, o tabalho total ealizado paa posiciona as tês cagas é igual a Se as cagas foem posicionadas na odem evesa, Dessa foma, temos que ( V ) W + E W + W + W3 0 + QV + Q3 3 V3 ( V ) W + E W3 + W + W 0 + QV 3 + Q V3 W E + ( QV + Q V Q V ) onde V, V e V 3, são os potenciais totais em P, P e P 3. 3 3

A enegia também pode se deteminada paa difeentes distibuições de caga, po exemplo:. Paa n cagas pontuais W E n å k Q k V k. Paa uma linha de cagas 3. Paa uma supefície de cagas W W E E ò LVdl ò SVdS 4. Paa um volume de cagas W E ò vvdv

Consideando que w e que fazendo-se algumas consideações matemáticas, temos que onde E æ ö Ñ ç B A è ø W E v Ñ D æ BçÑ è ö A + ø æ A ç Ñ è ö B ø ò D E dv òe 0 E dv d WE D E e 0 E dv Repesenta a densidade de enegia eletostática, medida em J/m³

Execícios 3.Tês cagas pontuais - nc, 4 nc e 3 nc estão localizadas em (0, 0, 0), (0, 0, ) e (, 0, 0), espectivamente. Detemine a enegia intena do sistema. 4. Se V x y + xy + z V, detemine o veto campo elético em (,, 3) e a enegia eletostática amazenada em um cubo de lado m, centado na oigem.

Refeências SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletomagnetismo. 5ª edição 0. Editoa Bookman.

CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL - TÓPICOS DAS AULAS -. Intodução.. Popiedades dos mateiais. 3. Coentes de convecção e de condução. 4. Condutoes. 5. Polaização em dieléticos. 6. Constante e igidez dielética. 7. Dieléticos lineaes, isotópicos e homogêneos. 8. Equação da continuidade e tempo de elaxação. 9. Condições de fonteia.

Intodução Até então, consideamos campos eletostáticos no espaço live ou na ausência de meios mateiais. Da mesma maneia que campos eléticos podem existi no espaço live, eles também podem existi em um meio mateial. Os mateiais são classificados, segundo suas popiedades eléticas, de maneia ampla, como condutoes e não condutoes (isolantes ou dieléticos).

Popiedades dos mateiais Geneicamente, os mateiais podem se classificados, de acodo com sua condutividade (σ), como condutoes ou não condutoes. A condutividade de um mateial gealmente depende da tempeatua e da fequência. Um mateial com elevada condutividade (σ >> ) é efeido como metal. Um mateial com baixa condutividade (σ << ) é efeido como isolante. Um mateial cujo valo de conduvitidade está ente o valo dos outos dois é denominado de semiconduto.

A condutividade dos metais gealmente aumenta com a diminuição da tempeatua. Um exemplo disso é o conceito dos supecondutoes submetidos a baixos valoes de tempeatua. Micoscopicamente, a difeença mais significativa ente metal e isolante eside na quantidade de elétons disponíveis paa a condução de coente elética. Os mateiais dieléticos têm poucos elétons disponíveis paa a condução da coente elética, ao contáio dos metais, os quais têm elétons lives em abundância.

Coentes de convecção e de condução A coente, atavés de uma áea, é a quantidade de caga que passa atavés dessa áea po unidade de tempo, ou seja, I Se uma coente ΔI atavessa uma supefície ΔS, a densidade de coente é dada po J n Se a densidade de coente não fo nomal à supefície, temos d dt Q D I DS DI J D S

Dessa maneia, a coente total atavessando a supefície S seá dada po I S ò J ds Dependendo de como I é geada, existem difeentes tipos de densidades de coente, a sabe, Densidade de coente de convecção. Densidade de coente de condução. Densidade de coente de deslocamento. A coente de convecção não envolve condutoes e, consequentemente, não satisfaz à lei de Ohm. Resulta do fluxo de cagas atavés de um meio isolante tal como um líquido, um gás aefeito ou o vácuo.

Considee o seguinte filamento ΔS ρ v Δl u Figua Se houve um fluxo de cagas, de densidade ρ v, a uma velocidade u u y â y a coente atavés do filamento é dada po DI DQ Dt DS v Dl Dt DSu v y

A componente em y da densidade de coente J é dada po Potanto, em geal J y DI DS u J u A coente I é a coente de convecção e J é a densidade de coente de convecção, medida em A/m². v v y A coente de condução ocoe necessaiamente em condutoes. Um conduto é caacteizado po uma gande quantidade de elétons lives que pomovem a coente de condução ao seem impulsionados po um campo elético.

Quando um campo elético é aplicado, a foça sobe o eléton é dada po F - e E Já que o eléton não está no espaço live, ele seá aceleado pelo campo elético, sofeá inúmeas colisões com a ede cistalina do mateial, deslocando-se assim de um átomo paa outo. A densidade de coente de condução é dada po J n: númeo de elétons po unidade de volume. e: caga do eléton. τ: intevalo de tempo médio ente as colisões. m: massa do eléton. σ: condutividade do mateial. ne t u E s E v m

Condutoes Um conduto possui, em abundância, cagas eléticas que estão lives paa se movimenta. Quando um campo elético exteno é aplicado a um conduto isolado, as cagas lives positivas são empuadas no sentido do campo aplicado, enquanto que as caas lives negativas movemse no sentido oposto. E e Figua Essa migação das cagas ocoe apidamente.

Em um pimeio momento, essas cagas se acumulam na supefície do conduto, fomando uma supefície de cagas induzidas. - - - - Em um segundo momento, essas cagas induzidas estabelecem um campo elético inteno induzido, o qual cancela o campo elético exteno aplicado. E E i Figua 3 v 0 Dessa foma, um conduto pefeito não pode conte um campo eletostático em seu inteio. E e 0 Figua 4 + + + + E e

Um conduto é um copo equipotencial, o que implica dize que o potencial é o mesmo em qualque ponto no conduto. Isso se baseia no fato de que E -Ñ V Se algumas cagas foem intoduzidas no inteio de tal conduto, elas se moveão paa a supefície, edistibuindo-se apidamente, de foma que o campo no inteio do conduto se anula. 0 Sob condições estáticas, E 0; 0; VAB v 0 no inteio do conduto.

Consideemos um conduto cujos teminais são mantidos a uma difeença de potencial V, l I - E - - + - Figua 5 V Nesse caso, o campo elético no inteio do conduto é difeente de zeo. Devido ao fato do conduto não esta isolado e sim ligado a uma foça eletomotiz que compele as cagas lives a se movimentaem, evitando o estabelecimento do equilíbio eletostático.

Dessa foma, um campo elético deve existi no inteio do conduto paa mante o fluxo de coente. À medida em que os elétons se movem, encontam algumas foças amotecedoas denominadas de esistência. Supondo que o conduto tenha uma seção eta unifome S e um compimento l, o campo elético é dado po V E I > 0 e < 0 l ò E dl Desse modo, V J se s l I S

temos que R V l Aplicável paa detemina a cl I s S esistência de qualque conduto de seção eta S unifome onde ρ c epesenta o inveso da condutividade e é denominada de esistividade do mateial. A esistência de um conduto de seção eta não unifome é dada po R V I ò ò E dl s E ds

A potência, em Watt, é definida como a taxa de vaiação da enegia, ou a foça multiplicada pela velocidade, potanto, ò ò ò F u dv E u E J dv v Lei de Joule A densidade de potência, em Watt/m³, é dada po w P E J s E Paa um conduto de seção eta unifome, temos que P ò Edlò JdS VI RI V R

Execícios J ( cosq â + senq ) A/m². Se calcule a coente que passa â 3 θ atavés de: a) Uma casca hemisféica de aio 0 cm. b) Uma casca esféica de aio 0 cm. ( ) A/m². Paa a densidade de coente J 0z senf â, detemine a ρ coente atavés de uma supefície cilíndica dada po, z 5 m

Polaização em dieléticos Considee um átomo, de um dielético, como constituído de uma caga negativa Q (nuvem eletônica) e uma caga positiva +Q (núcleo). Quando um campo elético é aplicado, a caga positiva é deslocada, de sua posição de equilíbio, no sentido do campo, enquanto que a caga negativa é deslocada no sentido contáio. - - - - + - - - - Figua 6 - - - - - - - - + E

Um dipolo esulta do deslocamento das cagas e o dielético é dito esta polaizado. No estado polaizado, a nuvem eletônica é defomada pelo campo elético aplicado. Essa distibuição defomada de cagas é equivalente, pelo pincípio da supeposição, à distibuição oiginal mais um dipolo cujo momento é dado po onde d p Q d é o veto distância ente as cagas do dipolo. - - - - - - - - + - - - - + - - - - -Q - d +Q + Figua 7

Se houve n dipolos, em um volume Δv do dielético, o momento dipolo total devido ao campo elético é dado po n å k Dessa foma, podemos defini o veto polaização da seguinte maneia Q k d k P lim Dv 0 n å k Q k Dv d k O efeito pincipal do campo elético sobe o dielético é a geação de momentos dipolo que se alinham na dieção do campo elético. Esse tipo de dielético é chamado de apola.

As moléculas de dielético apolaes não possuem dipolos enquanto não fo aplicado um campo elético. Outos tipos de moléculas possuem dipolos intenos pemanentes, oientados aleatoiamente, e são denominadas de moléculas polaes. Quando um campo elético é aplicado sobe uma molécula pola, o dipolo pemanente sofe um toque que tende a alinha esse momento de dipolo em paalelo com o campo elético aplicado. -Q -Q +Q d d +Q - - + + Figua 8 E

Considee o mateial dielético ilustado na figua 9, z dv R P(x,y,z) o y x Figua 9 como constituído de dipolos com momento de dipolo unidade de volume. p po

O potencial dv em um ponto exteno P, devido ao momento de dipolo é dado po dv P dv' P â 4 pe R 0 dv' R Sabendo-se que e que Ñ æ ' ç è ö R ø â R R Ñ ' æ ç è f ö A ø f æ ç è Ñ ' ö A + ø æ A ç Ñ ' è f ö ø

temos que dv dv P â R R 4pe 0 dv' 4pe 0 é æ ê ç Ñ ' ê ç ë è ö P R ø æ P Ñ' ç è Ñ ' ù ö P údv' øú û Integando sobe todo o volume v do dielético e aplicando o teoema da divegente em um dos temos, obtemos - R æ ç è R ö ø dv' 4pe 0 V P â - Ñ ò n ' P ds' + ò dv' pe R 4pe R 4 0 0

Quando a polaização ocoe, uma densidade volumética de cagas ligadas (ρ ρv ) se foma no inteio do dielético, enquanto que uma densidade supeficial de cagas ligadas (ρ ρs ) se foma sobe a supefície do dielético. As cagas ligadas não são lives paa se movimenta no inteio do dielético. Elas sugem em função do deslocamento, que ocoe em escala molecula, duante o pocesso de polaização. As cagas lives são aquelas que são capazes de se move ao longo de distâncias macoscópicas, como os elétons em um conduto.

O total de cagas positivas ligadas, sobe a supefície S que contona o dielético, é dado po Q b P ds' ò ò ds' enquanto que a caga que pemanece no inteio de S é dada po -Q b - ò Ñ ' Pdv' Desse modo, a caga total do mateial dielético pemanece igual a zeo, ou seja, ò ρs ρv dv' QT Qb -Qb ρsds' + ρvdv' ò ò 0 isso poque o dielético foi eleticamente neutalizado antes da polaização.

Consideando o caso em que a egião do dielético contém cagas lives, temos T v v + Ñ e 0 ρv E- Ñ e ρv 0 onde ρ v epesenta a densidade volumética de cagas lives, desse modo O efeito líquido do dielético sobe o campo elético é o de aumenta a densidade de fluxo elético, no inteio do dielético, de uma quantidade igual ao efeito de polaização no mateial. E æ Ñ çe 0 è E+ D e 0 E+ P ö P ø Ñ D

A densidade de fluxo elético é maio do que seia se o mesmo campo elético fosse aplicado no espaço live. Paa alguns dieléticos a polaização vaia dietamente com o campo elético, potanto c e c e e E P 0 onde é conhecida como a susceptibilidade elética do mateial, sendo uma medida do quanto um dado dielético é sensível aos campos eléticos.

Constante e igidez dielética Sabendo-se que temos que ε: É a pemissividade do dielético. ε : É a pemissividade elativa ou constante dielética. Paa o espaço live, e os mateiais não dieléticos, a constante dielética é igual a unidade, ou seja, ε. ( ) + + + E E E D E E P E D e e e c e e c e e 0 e 0 0 e 0 0

Quando o campo elético no inteio de um dielético é suficientemente elevado, ele começa a aanca os elétons das moléculas e o dielético tona-se conduto. A uptua dielética ocoe quando o dielético tona-se conduto. Depende da natueza do mateial, da tempeatua, da umidade e do intevalo de tempo que o campo elético é aplicado. O meno valo do campo elético, paa o qual essa uptua ocoe, é chamado de igidez dielética do mateial dielético. Ou seja, igidez dielética é o máximo campo elético que o dielético pode supota, ou ao qual pode se submetido, sem que haja uptua.

Dieléticos lineaes, isotópicos e homogêneos Mateial linea: O veto densidade de fluxo elético vaia lineamente com o veto campo elético, caso contáio se caacteiza como um mateial não-linea. Mateial homogêneo: ε, ou σ, não vaia na egião em que está sendo consideado, caso contáio seu valo depende de sua posição no espaço se caacteizando como um mateial heteogêneo. Mateial isotópico: O veto densidade de fluxo elético e o veto campo elético estão na mesma dieção, caso contáio, quando esses vetoes e o veto polaização não estão em paalelo, caacteiza-se como mateial anisotópico.

Po exemplo,. Um mateial dielético é linea se ε não vaia com o campo elético aplicado, homogêneo se ε não vaia ponto a ponto e isotópico se ε não vaia com a dieção. D e E. O mesmo conceito é válido paa um mateial conduto, paa o qual J s E se aplica. O mateial é linea se σ não vaia com o campo elético, homogêneo se σ é o mesmo em todos os pontos da egião e isotópico se σ não vaia com a dieção.

Execícios 3. Uma haste fina de seção eta A se estende ao longo do eixo x de x 0 até x L. A polaização da haste ocoe ao longo de seu compimento e é dada po P x ax² + b. a) Calcule ρ ρv e ρ ρs em cada extemidade da haste. b) Demonste que a caga ligada total se anula nesse caso. 4. Um capacito de placas paalelas, com sepaação ente as placas de mm, tem difeença de pontecial ente as placas de kv. Se o espaço ente as placas é peenchido com poliestieno (ε,55), detemine o veto campo elético, o veto polaização e ρ ρs.

Equação da continuidade e tempo de elaxação Devido ao pincípio de consevação da caga, a taxa de diminuição da caga, em um dado volume e em um deteminado peíodo de tempo, deve se igual à coente líquida que sai da supefície fechada que limita esse volume. Dessa foma, a coente I, que sai da supefície fechada, é dada po onde Q in fechada. I d ò J ds - Qin - dt é a caga total pesente no inteio da supefície d dt ò dv v

Usando o teoema da divegente, temos que ò Ñ Ñ J J dv - - t ò v t dv v Equação da continuidade da coente. Estabelece que a caga elética não pode se destuída. Paa coentes estacionáias, J v 0 Þ Ñ t mostando que a caga total que sai é a mesma caga total que enta no volume. 0

Com a lei de Ohm e a lei de Gauss obtemos æ Ñ çs E è v J s E Ñ E v e onde ρ v0 : É a densidade de caga no instante t0. T : É o tempo de elaxação ou eaanjo. v0 ö ø e - t T v s e - v t

Como esultado da intodução de cagas, em algum ponto no inteio do mateial, ocoe um descéscimo na densidade volumética de cagas. O movimento da caga, do ponto do inteio onde foi intoduzida até a supefície do mateial, está associada a esse decéscimo. Tempo de elaxação é o tempo que uma caga no inteio de um mateial leva paa decai a e - (36,8%) de seu valo inicial. Isso implica que, paa bons condutoes, o tempo de elaxação é tão cuto que a maio pate da caga desapaece dos pontos intenos e apaece na supefície (como caga supeficial). Paa bons dieléticos, podemos considea que a caga pemaneceá no ponto onde foi intoduzida.

Condições de fonteia Se existe campo em uma egião fomada po dois meios difeentes, as condições que o campo deve satisfaze, na inteface de sepaação ente os meios, são chamadas condições de fonteia. Essas condições são úteis na deteminação do campo de um lado da fonteia se o campo no outo lado fo conhecido. Paa detemina as condições de fonteia, pecisamos utiliza as equações de Maxwell ò E dl 0 e D ds Q ò enc

Também pecisamos decompo a intensidade de campo elético em duas componentes, tangencial e nomal, em elação à inteface de inteesse, da seguinte foma E T E + E N Meio (ε ) E E N ΔS E T a b E E N Δh Δh d Δw c Meio (ε ) E T Figua 0

Aplicando ò ò E dl 0 ao caminho fechado abcda, assumindo que o caminho é muito pequeno em elação à vaiação do campo elético, temos E dl b ò a E dl+ c b Dh E dl+ d c E dl+ Dh E dl Dh 0 ETDw - EN - EN - ETDw + EN + E N Meio (ε ) Meio (ε ) ò E E E T E T ò E N E N Δh Figua a ò d a d Δw b c Dh

Dessa foma, temos E D e T T E T D e T As componentes tangenciais do campo elético são as mesmas em ambos os lados da fonteia, ou seja, são contínuas atavés da fonteia. As componentes tangenciais do veto densidade de fluxo elético são difeentes em ambos os lados da fonteia, ou seja, são descontínuas atavés da fonteia.

Aplicando D! ds Q enc ao cilindo, ou supefície gaussiana, temos (consideando Δh 0)! D ds D N ΔS D N ΔS ρ S ΔS Meio (ε ) E E N ΔS Meio (ε ) E T E E N E T Δh Figua

Dessa foma, temos D e N E - N D - N e E N S S onde ρ S : É a densidade supeficial de cagas lives na fonteia. As componentes nomais do veto densidade de fluxo elético são difeentes em ambos os lados da fonteia, ou seja, são descontínuas atavés da fonteia. As componentes nomais do campo elético são difeentes em ambos os lados da fonteia, ou seja, são descontínuas atavés da fonteia.

As expessões E E D - D T T e N N S são efeidas como condições de fonteia. Essas condições devem se satisfeitas po um campo elético na fonteia de sepaação ente dois meios difeentes. Meio (ε ) θ E T E T E senq E senq Meio (ε ) E E θ Figua 3 Consideando ρ S 0 C/m², temos e E e E N -e E N cosq e E S 0 cosq

Dessa foma, tg e q tg e q ou tg tg q q e e Essas expessões epesentam a lei de efação do campo em uma fonteia live de cagas (ρ S 0 C/m²). Uma inteface ente dois meios difeentes causa o desvio das linhas de fluxo elético.

Execícios 5. Detemina as expessões das condições de fonteia paa as seguintes condições: a) Inteface dielético dielético. b) Inteface conduto dielético. c) Inteface conduto espaço live. 6. Um dielético homogêneo (ε,5) peenche uma egião ( x 0), enquanto que a egião ( ) é o espaço live. â -0â 4 D + â E x ³ 0 a) Se nc/m², detemine. x y z e q! b) Se V/m e q 60, detemine E e θ. D

Refeências SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletomagnetismo. 5ª edição 0. Editoa Bookman.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO Pof. D. Helde Alves Peeia Abil, 08