Tira-Teima Curso Mentor Barbosa, L. S. leonardosantos.inf@gmail.com 18 de fevereiro de 01
Lista de Siglas EEAr................................. Escola de Especialistas da Aeronáutica CMRJ..................................... Colégio Militar do Rio de Janeiro CN............................................................ Colégio Naval
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Sumário 1 Álgebra 7 1.1 Radicais e Racionalização...................... 7 1. Polinômios.............................. 8 Geometria 11.1 Quadriláteros............................. 11. Círculos................................ 1 5
6 SUMA RIO
Capítulo 1 Álgebra 1.1 Radicais e Racionalização Q1. (CN) Se x + x 4 y + y + y 4 x = a, então D = x + y. Calcule D em função de a. Solução: Colocando o termo quadrático em evidência teremos: [ ( x + x 4 y x ( 1 + x y ) 1 ( + )] 1 [ + y + y 4 x ) 1 = a y ( 1 + y x Desenvolvendo a expressão dentro dos parênteses temos: [x ( 1 + y x [x ( x + y x )] 1 = a )] 1 ( )] + [y 1 + x 1 = a y )] 1 ( )] + [y y + x 1 = a y Cancelando os termos quadráticos com seus respectivos denominadores: Colocando [ ( x 4 ( ) 1 x + y ( x + y em evidência: x + y )] 1 [ ( + y 4 ) 1 y + x [ ( ) x 4 1 ( + y 4 )] 1 = a ) 1 ] = a Como D = x + y teremos: D D = a D = a D = a 7
8 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA 1. Polinômios Q. Sejam a, b, c e d reais tais que a = 45 1 a, b = 45 + 1 b, c = 45 1 + c e d = 45 + 1 + d. Calcule o valor de a b c d. Solução: Desenvolvendo cada um dos valores: 1) a = 45 1 a Elevando ao quadrado de ambos os lados: Elevando mais uma vez ao quadrado: ) a = 45 1 a 1 a = 45 a 1 a = ( 45 a ) 1 a = 05 90a + a 4 a 4 90a + a + 004 = 0 b = 45 + 1 b Elevando ao quadrado de ambos os lados: Elevando mais uma vez ao quadrado: ) b = 45 + 1 b 1 b = 45 b 1 b = ( 45 b ) 1 b = 05 90b + b 4 b 4 90b + b + 004 = 0 c = 45 1 + c Elevando ao quadrado de ambos os lados: Elevando mais uma vez ao quadrado: c = 45 1 + c 1 + c = 45 c 1 + c = ( 45 c ) 1 + c = 05 90c + c 4
1.. POLINÔMIOS 9 4) c 4 90c c + 004 = 0 d = Elevando ao quadrado de ambos os lados: Elevando mais uma vez ao quadrado: 45 + 1 + d d = 45 + 1 + d 1 + d = 45 d 1 + d = ( 45 d ) 1 + d = 05 90d + d 4 d 4 90d d + 004 = 0 Agora comparamos as quatro equações: a 4 90a + a + 004 = 0 b 4 90b + b + 004 = 0 c 4 90c c + 004 = 0 d 4 90d d + 004 = 0 Repare que a primeira e a segunda equações têm a mesma forma. Isto significa que as soluções da primeira equação são: S 1 = {a, b, α 1, α } Note que a e b são distintos pelo próprio enunciado da questão. equação possui as seguintes soluções: A segunda S = {a, b, β 1, β } A terceira e a quarta equações têm a mesma forma. Isto significa que as soluções da terceira equação são: S = {c, d, θ 1, θ } Mas c e d são distintos pelo próprio enunciado da questão. Consequentemente as soluções da quarta equação são: S 4 = {c, d, γ 1, γ } Olhando a terceira equação e comparando com a primeira, notamos que c é solução da primeira equação, portanto, d também o será. Logo o conjunto S 1 fica: S 1 = {a, b, c, d} Ou seja, o conjunto S, pelo mesmo motivo fica: S = {c, d, a, b}
10 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA Para conferir basta substituir b na primeira equação e obteremos a segunda. Se substituirmos c ou d obteremos a terceira e a quarta respectivamente. Analogamente teremos: S = {a, b, c, d} S 4 = {c, d, a, b} Como queremos abcd basta usarmos as relações de Girard na primeira equação para calcular o produto das raízes de um polinômio: P = 004 1 abcd = 004 Colaborador: Arnaldo Nascimento
Capítulo Geometria.1 Quadriláteros Q. (CMRJ 010/011 1 ọ Ano) O retângulo da figura, cujo perímetro é 176 cm, está dividido em cinco retângulos congruentes entre si. A área de cada um desses 5 retângulos, em cm, é: a)46 b)0 c)84 d)408 e)510 Solução: Primeiro vamos dar nomes aos lados do retângulo maior. Seja então b a maior dimensão e a a menor dimensão. Como os cinco retângulos são congruentes teremos a figura a seguir. 11
1 CAPÍTULO. GEOMETRIA Sabemos que o perímetro p vale 176, então: a + b = 176 a + b = 88 Pela figura anterior há a seguinte relação entre os lados: b = a b b + b = a a = 5 6 b Teremos então o seguinte sistema: { a + b = 88 a = 5 6 b Agora substituindo a segunda equação na primeira teremos: Multiplicando toda a equação por 6: Portanto: 5 6 b + b = 88 5b + 6b = 6 88 11b = 6 88 b = 48 Voltando à primeira equação do sistema teremos: A área A do maior retângulo é: A área s de cada retângulo menor é: s =. Círculos 40 48 5 a + 48 = 88 a = 40 A = 40 48 s = 8 48 s = 48 cm Q4. (EEAr) Seja o triângulo ABC abaixo, circunscrito pelo círculo de centro O.
.. CÍRCULOS 1 Sabendo que AB = 5, AC = 6 e a altura relativa ao lado BC é AH =. Conforme a figura abaixo. Calcule o raio do círculo. Solução 1: Vamos calcular o seno do ângulo AĈB: (AĈB ) sin = (AĈB ) 6 sin = 1 Podemos concluir que o ângulo AĈB vale 0. Vamos marcar na figura o centro do círculo e traçar OA e OB: Como AĈB = 0 o arco AB vale 60 (arco subentendido) e AÔB = 60 (ângulo central). O triângulo AOB é equilátero, pois OA = OB = r e AÔB = 60. Portanto o raio do círculo vale: r = 5 Solução : A área de um triângulo qualquer de lados a, b e c inscrito em um círculo de raio R, pode ser escrita como sendo: Como ABH é retângulo temos: S = abc 4R AHC também é retângulo logo: A área do triângulo ABC é dada por: AB = AH + BH 5 = 9 + BH BH = 5 AC = AH + CH 6 = 9 + CH CH = S = BC AH
14 CAPÍTULO. GEOMETRIA Comparando as expressões: ( 4 + ) = 5 6 (4 + ) 4R = 5 6 4R R = 5